新人教A版必修5高中数学2.5等比数列的前n项和(1)学案(二)

高中数学 2.5等比数列的前n 项和(1)学案

新人教A 版必修5

学习目标

1. 掌握等比数列的前n 项和公式；

2. 能用等比数列的前n 项和公式解决实际问题. 学习重难点

1.重点： 等比数列的前n 项和公式的推导

2.难点：等比数列的前n 项和公式实际应用

一、课前回顾

复习1：什么是数列前n 项和？等差数列的数列前n 项和公式是什么？

复习2：已知等比数列中，33a =，681a =，求910,a a .

二、新课探究

※ 学习探究 探究任务： 等比数列的前n 项和 故事：“国王对国际象棋的发明者的奖励” 新知：等比数列的前n 项和公式

设等比数列123,,,n a a a a 它的前n 项和是n S =123n a a a a +++，公比为q ≠0， 公式的推导方法一：

则221

11111n n n n S a a q a q a q a q qS --?=++++??=

?? ， (1)n q S ∴-= 当1q ≠时，n S = ① 或n S = ② 当q =1时，n S = 公式的推导方法二：

由等比数列的定义，3212

1n n a a a

q a a a -==

=

=，有231

121n n n n n

a a a S a q a a a S a -+++-==+++-， 即

1

n n n

S a q S a -=-. ∴ 1(1)n n q S a a q -=-（结论同上）

公式的推导方法三：

n S =123n a a a a +++

＝11231()n a q a a a a -++++ ＝11n a qS -+＝1()n n a q S a +-.

∴ 1(1)n n q S a a q -=-（结论同上）

试试：求等比数列12，14，1

8

，…的前8项的和.

※ 试一试

习1已知a 1=27，a 9=1

243

，q <0，求这个等比数列前5项的和.

变式：13a =，548a =. 求此等比数列的前5项和.

习2某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，

那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)?

※ 模仿练习

练1. 等比数列中，33139

,.22

a S a q ==,求及

练2. 一个球从100m 高出处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的一半再落下，当它第10次着

地时，共经过的路程是多少？（精确到1m ）

三、总结提升 ※ 学习小结

1. 等比数列的前n 项和公式；

2. 等比数列的前n 项和公式的推导方法；

3. “知三求二”问题，即：已知等比数列之1,,,,n n a a q n S 五个量中任意的三个，列方程组可以求出

其余的两个.

※ 知识拓展

1. 若1q ≠-，*m N ∈，则232,,,m m m m m S S S S S --???构成新的等比数列，公比为m q .

2. 若三个数成等比数列，且已知积时，可设这三个数为,,a

a aq q

. 若四个同符号的数成等

比数列，

可设这四个数为33,,,a a

aq aq q q

.

3. 证明等比数列的方法有：

（1）定义法：1n n a

q a +=；（2）中项法：212n n n a a a ++=.

4. 数列的前n 项和构成一个新的数列，可用递推公式11

1(1)n

n n S a S S a n -=??=+>?表示

.

当堂检测

1. 数列1，a ，2a ，3a ，…，1n a -，…的前n 项和为（ ）.

A. 11n a a --

B. 111n a a +--

C. 211n a a

+-- D. 以上都不对

2. 等比数列中，已知1220a a +=，3440a a +=，则56a a +=（ ）. A. 30 B. 60 C. 80 D. 160

3. 设{}n a 是由正数组成的等比数列，公比为2，且30123302a a a a ???=，那么36930a a a a ???=（ ）.

A. 102

B. 202

C. 1

D. 602

4. 等比数列的各项都是正数，若1581,16a a ==，则它的前5项和为 .

5. 等比数列的前n 项和3n n S a =+，则a ＝ .

课后作业

1. 等比数列中，已知1441,64,.a a q S =-=求及