高考一轮复习专题：导数及其应用(含答案)

导数及其应用

考点一：导数概念与运算

（一）知识清单

1．导数的概念

函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值

x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x

y

??=x x f x x f ?-?+)()(00。如果当0→?x 时，x

y ??有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可

导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。

即f （x 0）=0lim →?x x y

??=0lim →?x x

x f x x f ?-?+)()(00。

说明：

（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→?x 时，x y ??有极限。如果x

y

??不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。

（2）x ?是自变量x 在x 0处的改变量，0≠?x 时，而y ?是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： （1）求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）；

（2）求平均变化率

x

y ??=x x f x x f ?-?+)

()(00；

（3）取极限，得导数f’(x 0)=x

y

x ??→?0lim 。

2．导数的几何意义

函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f /

（x 0）（x －x 0）。 3．几种常见函数的导数:

①0;C '= ②()1

;n n x

nx

-'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-;

⑤();x x

e e '=⑥()ln x

x

a a a '=; ⑦()1ln x x '=

; ⑧()1

l g log a a o x e x

'=. 4．两个函数的和、差、积的求导法则

法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，

即： (.)'

''v u v u ±=±

法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：.)('

'

'

uv v u uv +=

若C 为常数,则'

'

'

'

'

0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)('

'

Cu Cu =

法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：??

? ??v u ‘=

2

'

'v uv v u -（v ≠0）。 形如y=f [x (?])的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y ＇|X = y ＇|U ·u ＇|X

（二）典型例题分析

题型一：导数的概念及其运算 例1.

如果质点A 按规律32s t =运动，则在t =3 s 时的瞬时速度为（ ） A. 6m/s B. 18m/s C. 54m/s D. 81m/s

变式：定义在D 上的函数)(x f ，如果满足：x D ?∈，?常数0M >， 都有|()|f x ≤M 成立，则称)(x f 是D 上的有界函数，其中M 称为函数的上界. 【文】（1）若已知质点的运动方程为at t t S ++=

1

1

)(，要使在[0,)t ∈+∞上的每一时刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数，求实数a 的取值范围.

【理】（2）若已知质点的运动方程为at t t S -+=

12)(，要使在[0,)t ∈+∞上的每一时

刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数，求实数a 的取值范围.

例2.

已知x

f x f x x f x ?-?+=

→?)

2()2(lim

,1)(0则的值是（ ）

A. 4

1

- B. 2 C. 41 D. －2

变式1：()()()为则设h

f h f f h 233lim ,430--='→（ ）

A ．－１

Ｂ．－2

C ．－3

D ．1

变式2：()()()

0000

3,lim x f x x f x x f x x x

?→+?--??设在可导则等于（ ）

A ．()02x f '

B ．()0x f '

C ．()03x f '

D ．()04x f '

例3. 求所给函数的导数：

()

33

2991log ; ; sin ((1); 2; 2sin 25n x

x x y x x y x e y x y x y e y x x --=+==

=+==+（文科）理科）

变式：设f (x )、g(x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当x ＜0时,()()()()f x g x f x g x ''+＞0.且g(3)=0.则不等式f (x )g(x )＜0的解集是（ ） A ．(－3,0)∪(3,+∞)

B ．(－3,0)∪(0, 3)

C ．(－∞,－ 3)∪(3,+∞)

D ．(－∞,－ 3)∪(0, 3)

题型二：导数的几何意义

① 已知切点，求曲线的切线方程；

注：此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可．

例4. 曲线3231y x x =-+在点(1

1)-，处的切线方程为（ ） Ａ．34y x =- Ｂ．32y x =-+ Ｃ．43y x =-+ Ｄ．45y x =-

② 已知斜率，求曲线的切线方程；

注：此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决．

例5.

与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（ ）

Ａ．230x y -+=

Ｂ．230x y --= Ｃ．210x y -+=

Ｄ．210x y --=

③ 已知过曲线外一点，求切线方程；

此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．

例6. 求过点(20)，且与曲线1

y x =相切的直线方程．

变式1、已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是1

22

y x =

+，则(1)(1)f f '+= 。

变式2、

考点二：导数应用

（一）知识清单

1． 单调区间：一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导， 如果'f )(x 0>，则)(x f 为增函数；

如果'f 0)(

如果在某区间内恒有'f 0)(=x ，则)(x f 为常数；

2．极点与极值：

曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正； 3．最值：

一般地，在区间[a ，b]上连续的函数f )(x 在[a ，b]上必有最大值与最小值。 ①求函数?)(x 在(a ，b)内的极值； ②求函数?)(x 在区间端点的值?(a)、?(b)；

③将函数? )(x 的各极值与?(a)、?(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。 4．定积分

（1）概念：设函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0

I n ＝∑n

i f 1

＝(ξi )△x （其中△x 为小区间长度），把n →∞即△x →0时，和式I n 的极限叫做函

数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作：

?

b

a

dx x f )(，即?b

a

dx x f )(＝∑=∞

→n

i n f 1

lim (ξi )△x 。

这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )dx 叫做被积式。 基本的积分公式：

?dx 0＝C ；

?dx x m ＝

11

1

++m x m ＋C （m ∈Q ， m ≠－1）

； ?x 1

dx ＝ln x ＋C ；

?

dx e x

＝x e ＋C ； ?dx a x

＝a a x

ln ＋C ；

?xdx cos ＝sin x ＋C ；

?xdx sin ＝－cos x ＋C （表中C 均为常数）。 （2）定积分的性质 ①?

?=b

a b

a

dx x f k dx x kf )()(（k 为常数）；

②

?

??±=±b

a

b a

b

a

dx x g dx x f dx x g x f )()()()(；

③

?

??+=b

a

c a

b

c

dx x f dx x f dx x f )()()(（其中a ＜c ＜b )。

（3）定积分求曲边梯形面积

由三条直线x ＝a ，x ＝b （a

=

b

a

dx x f S )(。

如果图形由曲线y 1＝f 1(x )，y 2＝f 2(x )（不妨设f 1(x )≥f 2(x )≥0），及直线x ＝a ，

x ＝b （a

?

?-b

a

b

a

dx x f dx x f )()(21。

（二）典型例题分析

题型一：单调性

例7. 判断下列函数的单调性，并求出单调区间：

3232(1)()3; (2) ()23; (3) ()sin ,(0,);(4)()2324 1.

f x x x f x x x f x x x x f x x x x π=+=--=-∈=+-+

变式1：函数x

e

x x f -?=)(的一个单调递增区间是（ ）

A.[]0,1-

B. []8,2

C. []2,1

D. []2,0

变式2：已知函数53

123

-++=

ax x x y (1)若函数的单调递减区间是（-3，1），则a 的是 .

(2)若函数在),1[+∞上是单调增函数，则a 的取值范围是 . 变式3： 设0≠t ，点P （t ，0）是函数c bx x g ax x x f +=+=2

3

)()(与的图象的一个公

共点，两函数的图象在点P 处有相同的切线. （Ⅰ）用t 表示a ，b ，c ；

（Ⅱ）若函数)()(x g x f y -=在（－1，3）上单调递减，求t 的取值范围. 解：（Ⅰ）∵函数，

的图象都过点（t ，0）， ∴，即

， ∵t ≠0， ∴，

∵ ∴

，

又∵，

在点（t ，0）处有相同的切线，

∴而

∴

，

将

代入上式，得b=t ， ∴c=ab=-t 3， 故，b=t ，c=-t 3。

（Ⅱ），

∵函数在在（-1，3）上单调递减， ∴

在（-1，3）上恒成立，

∴即，

解得：t ≤-9或t ≥3， ∴t 的取值范围是

例8.

设函数

若曲线的斜率最小的切线与直

线平行，求：（Ⅰ）a 的值;（Ⅱ）函数f （x ）的单调区间. 解：(Ⅰ)因

，

所以，

即当时，f ′（x ）取得最小值，

)0(19)(2

3<--+=a x ax x x f )(x f y =612=+y x

因斜率最小的切线与12x+y=6平行，即该切线的斜率为-12，

所以

，解得a=±3，

由题设a ＜0，所以a=-3。 (Ⅱ)由(Ⅰ)知a=-3，因此，

，

， 令f ′（x ）=0，解得

，

当x ∈（-∞，-1）时，f ′（x ）＞0，故f （

x ）在（-∞，-1）上为增函数； 当x ∈（-1，3）时，f ′（x ）＜0，故f （x ）在（-∞，-1）上为减函数； 当x ∈（3，+∞）时，f ′（x ）＞0，故f （x ）在（3，+∞）上为增函数， 由此可见，函数f （x ）的单调递增区间为（-∞，-1）和（3，+∞），

单调递减区间为（-1，3）。

例9.

已知函数

，函数的图像在点的切线方程是．

（Ⅰ）求函数

的解析式；

（Ⅱ）若函数在区间

上是单调函数，求实数的取值范围．

32

()1()f x x ax bx x R =+++∈()y f x =(1,(1))P f 4y x =+()f x ()f x 2,3k k ?

?+ ???k

题型二：极值与最值

例10. 求函数31

()443f x x x =-+的极值.

求函数31

()443

f x x x =-+在[]0,3上的最大值与最小值..

变式1： 函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（A ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

变式2：已知函数3

2

()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5，其导函数'()y f x =的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示.求：

（Ⅰ）0x 的值；（Ⅱ）,,a b c 的值.

变式3：若函数4)(3

+-=bx ax x f ，当2=x 时，函数)(x f 极值3

4

-， （1）求函数的解析式；

（2）若函数k x f =)(有3个解，求实数k 的取值范围．

例11. 设函数

．

3

()3(0)f x x ax b a =-+≠