应力应力状态分析习题解答
8-9 矩形截面梁如图所示，绘出1、2、3、4点的应力单元体，并写出各点的应力计算式。
解：(1)求支反力R A =1.611KN,R B =3.914KN (2)画内力图如图所示。
x
Pl
(-)(+)
Pl
M
kN ·m)
P
P
y
(-)
(-)
(+)
V
kN)
题8-9图
(3) 求梁各点的正应力、剪应力：
(4)画各点的应力单元体如图所示。
9-1 试用单元体表示图示构件的A 、B 的应力单元体。 （a ）解：（1）圆轴发生扭转变形，扭矩如图所示。
111max 222222333333max 442330,22(')[()]448
11
4()12
12
00(0,
0)
16
Z
Z
Z Z
z
V p
A b h
h h h
P P b M V S Pl h
y I I b
b h b h b M S
M Pl
W b h σττστστστ==-=-?
=-??-??
?-?=
?=?
=
=??????=====-
=-
=??
x x 80A
-
+
160
80
T (kN ·m )
（2）绘制A 、B 两点的应力单元体：
A 、
B 两点均在圆轴最前面的母线上，横截面上应力沿铅垂方向单元体如图所示：
3
3
1601020.216
80510.216
A A t b
B t T Pa kPa W T Pa kPa
W τπτπ=
==?===-?
（b ）解：（1）梁发生弯曲变形，剪力、弯矩图如图所示。
-
+
120
V
kN)
40
M
kN ·m)
+
120
4020
60
题9-1（b ）
（2）绘制A 、B 两点的应力单元体：
A 点所在截面剪力为正，A 点横截面的剪力为顺时针，同时A 点所在截弯矩为正下拉，而A 点是压缩区的点。
B 点所在截面剪力为负，B 点横截面的剪力为逆时针，同时B 点所在截弯矩为正下拉，而B 点是拉伸区的点。单元体如图所示：
3
3
3.3
3
3
3.60100.0537.50.1200.212
12010(0.1200.050.075) 5.6250.1200.20.1201220100.0512.50.1200.212
4010(0.1200.05A A A t
A z A A t
B B B t B z B B t M y Pa MPa
I V S Pa MPa
I b M y Pa MPa
I V S I b
στστ?=-?=-?=-??????=?==????=?=?=??-????=?=?30.075) 1.8750.1200.20.12012
Pa MPa
=-??
9-2（c ）试用解析法求出图示应力单元体a-a 截面的应力。
解：(1)由题意知：
30,20.5030o
x x y MP MPa MP στσα==-==，，。
(2)求30o
斜截面上的应力
cos 2sin 22230503050
cos 60(20)sin 6052.32()
223050sin 2cos 2sin 60(20)cos 6018.67()
22
x x x x
x o o o o x x x MPa MPa αασσσσσατα
σστατα+-=
+
-+-=+--?=--=+=+-?=- (e) 试用解析法求出（1）图示应力单元体-30o 斜截面的应力。（2）主应力与主方向，以及面内的剪应力极值；（2）在单元体上标出主平面。
解：(1)由题意知：
o
MPa MP x x 30.20,10-=-=-=ατσ。见图（a ）
(MP a )
σ
3
=-
5
.6
2
O
(a) (b)
题9-2e 图
(2)求α斜截面上的应力。
cos 2sin 222100100
cos(60)(20)sin(60) 6.16()
22100sin 2cos 2sin(60)(20)cos(60)0.67()
22
x
y x y
x o o x
y o o x MPa MPa αασσσσσατασστατα+-=
+--+--=+---?-=---=+=-+-?-=- (3) 求梁的主应力及主平面方位角：
max min 1002215.62
520.62()
25.62
x y MPa σσσσ+?-+=±=±???=-±=?
-?故，MPa MPa 62.25,0,62.15321-===σσσ
0022(20)
tan 24
100=-37.98x x y
o
τασσα-?-==-=---- （4）求最大剪应力
)(62.202
3
1max MPa =-=
σστ
(4)画点的主应力单元体如图（b ）所示。
9-3c 对图示应力单元体，试用解析法求解：（1）主应力与主方向，以及面内的剪应力极值；（2）在单元
体上标出主平面、主应力和剪应力极值及其作用面。
解：(1)由题意知： 40,20,40x y x MP MP MPa σστ=-=-=-。 (2) 求梁的主应力及主平面方位角：
max min 40202211.23
3041.23()
71.23
x y MPa σσσσ+?--=±=±???=-±=?
-?故，12311.23,0,71.23MPa MPa σσσ===- 0022(40)
tan 24-37.9840+20
o x x y ταασσ-?-=
=-=-→
=--
（4）求最大剪应力
13
max 11.23+71.23
=41.23()2
2
MPa σστ-=
=
-37.98457o o o s α=+=
(4)画点的主应力单元体、剪应力极值及其作用面如图所示。 9-8 梁如图示，试求：（1）A 点处指定斜截面上的应力；（2）A 点处的主应力及主平面位置。
V kN)
40
-+
M k N ·m)
(c)
题9-8
140
(d )
+
+
(d )
(c)
(b)
M k N ·m)
140
题9-8
+
-40
V kN)
解：（1）根据对称性可知，两约束反力均为70kN,并绘出剪力和弯矩图如图示。
A 点在跨中稍左或稍右截面上，70140V M ==?中中kN ,kN m
（2）求跨中稍左横截面上A 点的应力。 ①查表得36a 工字钢的几何参数：
4
343
360,136,15.8,10,15800cm ()4
2224436015.8360336015.813615.815.810464116.68mm 4.6410m
248
2z z h b t d I h t h t h h S bt t d *-=====??- ?????
=?-+-??+ ? ? ????? ?
??
-?????=??+-??-==? ? ?????mm mm mm mm ②求跨中稍左横截面上A 点的应力
33
,8
1401036010Pa 79.7MPa 41580010A x
A z M y I σ--??=?=?=? 纵向纤维间无挤压：,0A y σ=
3,4,83
7010 4.6410Pa 20.56MPa 158********
z A
A x
z VS I d τ*---?==??=???? （3）绘制A 点的应力单元体。
（4）求A 点600
斜截面上的应力。
cos 2sin 22279.779.7
cos(260)20.56sin(260) 2.12()
2279.7sin 2cos 2sin(260)20.56cos(260)24.23()
22
x y
x y
x o o x y o o x MPa MPa αασσσσσατα
σστατα+-=
+
-=+?-??=-=+=?+??=
（5）求梁A 点处的主应力及主平面位置。
max min 79.72284.69
39.8544.84()
4.99
x y MPa σσσσ+?=±=±???=±=?
-?故，12384.69,0, 4.99MPa MPa σσσ===- 002220.56
tan 20.516-13.679.7
o x x y ταασσ-?==-=-→
=-
9-9试求图示杆件A 点处的主应力。
题9-9
2π
4π
+
-
+60πM k N ·m)
T kN)
N kN)kN
解：（1）外力分析：构件发生拉弯扭组合变形。
（2）内力分析：轴力图、扭矩图、弯矩图如图所示。 A 所在横截面的内力为：6042N T M πππ===?固固固kN
,kN ,kN m
（3）应力分析：A 点在上边缘点，无弯曲剪应力。A 点所在横截面各点具有均匀分布的轴力引起的拉的正应力N σ，A 点在上下弯的拉伸区的边缘点W σ，该点正应力
3
3
,2
3
6010210=
Pa=88MPa 0.10.14
32
A x N W z
N
M A
W ππσσσ
π
π
??=+=
+
+
??固固 ,0A z σ=
同时，该点还有扭转剪应力
3
,3
410=
Pa=64MPa 0.1
16
A x t
T W πτπ
?=
?固。
应力单元体如图所示。
（4）求梁A 点处的主应力及主平面位置。
max min 8822121.67
4477.67()
33.67
x z MPa σσσσ?+=±=±???=±=?
-?
故，123121.67,0,33.67MPa MPa σσσ===- 002264
tan 2 1.4546-27.788
o x x z ταασσ-?=
=-=-→
=-
9-5 试用图解法求解题9-3d
7°
7°
解：（1）由图可知：20,30,20
x y x
MP MP MPa
σστ
=-==-。
故：x、y面所对应的点分别为T（-20，-20），T‘（30，20）
（2）定比例尺，建立坐标系σ-τ
（3）先在建立坐标系内作出x、y面所对应的点，连接该两点与σ坐标轴交于C点。再以C点为圆心，T T‘为直径作出应力圆如图所示。
（4）过T点作水平线与应力圆交于P点，以P点为极点建立极坐标Px。
（5）连接P和应力圆最右点A、最左点A‘，分别得
13
σσ
、的大小和方向，
=-19.33
α。
（6）连接P和应力圆最上点B、最下点B‘，分别得
max min
ττ
、的大小和方向，=25.67
s
α。
(7)画点的主应力单元体、剪应力极值及其作用面如图所示。
9-11a 求图示单元体的主应力。
解：（1）由单元体可知：z 面为主面60MPa z σ= （2）建立应力坐标系如图，画应力圆如图,则:
123110MPa,60,10MPa σσσ===，主应力单元体如图所示。
9-13：图示薄壁圆筒受拉伸和扭转同时作用。若T 20kN,600kN m P M ==?，且50mm,2mm d δ==。试求：
（1）A 点指定截面的应力；（2）A 点主应力及其方位角，并绘制主应力单元体。
解：(1)由题意知：如图（a ）构件发生拉扭组合变形，构件横截面上既有拉伸引起的正应力，又有扭转引起的剪应力.。其原始单元体如图（c ）、(d)所示：
(b)
(d)
题9-13图
[]
MPa
Pa d W M MPa
Pa A P d d T x x 24.73])(1[)2(16
600
21.6105.0)002.0205.0(410204
232
23
-=-+?-=-==-?+?==+δδπτπσ (2)求A 点指定-60O 斜截面上的应力。
)
(115.10)120cos()24.73()120sin(2
021.612cos 2sin 2)
(125.48)120sin()24.73()120cos(20
21.612021.612sin 2cos 2
2MPa MPa o o x x x o o x y
x y
x -=-?-+--=+-=-=-?----++=--+
+=
ατασστα
τασσσσσαα (3) 求梁的主应力及主平面方位角：
max min 61.21022110
30.6179.31()
48.7
x y MPa σσσσ+?+=
±=±???=±=?
-?
故，MPa MPa 7.48,0,110321-===σσσ
o
y x x 93.333934
.2021.61)
24.73(222tan 00==--?-=--=
ασστα
(4)画点的主应力单元体如图（e ）所示。