高二月考数学试题
高二月考数学试题
总分150分
一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。）
1．关于频率分布直方图，下列有关说法正确的是 （ D ） A ．直方图的高表示取某数的频率。
B ．直方图的高表示该组上的个体在样本中出现的频率。
C ．直方图的高表示取某组上的个体在样本中出现的频数与组距的比值。
D ．直方图的高表示取该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值。 2．下列说法错误．．的是 ( C ) A ．命题“若0232=+-x x 则 1=x ”的逆否命题为：“若1≠x , 则0232≠+-x x ”。 B ．“1=x ”是“0
232=+-x x ”的充分不必要条件。
C ．若p q 且为假命题，则p ．q 均为假命题。
D ．对于命题p ：x R ?∈，使得2
10x x ++<. 则
?p ：x R ?∈， 均有2
10x x ++≥。
3．若函数f （x ）=2x 2
－1的图象两点（1，1）及（1+Δx ，1+Δy ），则
x
y
??等于（ C ） A ．4 B ．4x C ．4+2Δx D ．4+2Δx 2
3．已知点A(1, -2, 11)，B(4, 2, 3)，C(6, -1, 4)，则△ABC 的形状是 （ C ）
A ．等腰三角形
B ．正三角形
C ．直角三角形
D ．等腰直角三角形 4．椭圆的短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆的中心到其准线的距离是 （ D ）
A 5．曲线y =x 3
－3x 2
+1在点（1，－1）处的切线方程为 （ A ） A ．y =－3x +2 B ．y =3x －4 C ．y =－4x +3 D ．y =4x －5 5．已知四面体ABCD 中，AB ，AC ，AD 两两互相垂直，给出下列命题：
①AB CD AC BD AD BC ?=?=?；②2222|AB AC AD||AB||AC||AD|++=++；
则下列关于以上两个命题的真假性判断正确的是 （ A ）
A ．①真②真
B ．①假②真
C ．①假②假
D ．①假②真
6．已知动点P （x ,y ）到点（1，2）的距离等于到直线3x+4y-11=0的距离，则P 点的轨迹是 （ A ）
A ．直线
B ．抛物线
C ．双曲线
D ．椭圆
7．若抛物线2
2y px =的焦点与椭圆22
162
x y +=的右焦点重合，则p 的值为 （ B ）
A ．2
B ．4
C ．2-
D ． 4-
8．过点(0,1)作直线，使它与抛物线x y 42
=仅有一个公共点，这样的直线有 （ C ）
A.1条
B.2条
C. 3条
D. 0条
9．双曲线的渐近线方程为3
y x 4
=±
，则双曲线的离心率为 （ D ）
A ．53
B ．54
C ．5534或
10．下面有三个游戏规则，袋子中分别装有球，从袋中无放回地取球，问其中不公平的游戏
二．填空题（本大共6小题，每小题6分，共36分）
11．写出命题：“R x ?∈，使23+x =0”的否定3R,x +20x ?∈≠使。
12．下列程序： Read 1←S
For I from 1 to 5 step 2 I S S S ?+← print S
End for End
输出的结果S 是 2，8，48 。
13．一动点到y 轴的距离比到点(2，0)的距离小2，这个动点的轨迹方程是_______
答案：y 2
=8x 或y=0（x<0） 14．设函数f （x ）=（x －a ）（x －b ）（x －c ）（a ．b ．c 是两两不等的常数），则)(a f a '+)(b f b '+)
(c f c
'=___0__。 解析：∵f （x ）=x 3－（a +b +c ）x 2
+（ab +bc +ca ）x －abc ，
∴f '（x ）=3x 2
－2（a +b +c ）x +ab +bc +ca . 又f '（a ）=（a －b ）（a －c ），同理f '（b ）=（b －a ）（b －c ）， f ' （c ）=（c －a ）（c －b ）. 代入原式中得值为0.
14．已知实数,x y 满足4x =-，则=
4 。
15．若双曲线12
2=-y x 的右支上一点P （a,b ）直线y=x 的距离为2，则a+b 的值是
2
1 16. 为了科学地比较考试的成绩，有些选拔性考试常常将考试分数转化为标准分，转化关系
式为s
x
x Z -=
（其中x 是某位学生的考试分数， x 是该次考试的平均分，s 是该次考试的标准差，Z 称为这位学生的标准分），转化成标准分后可能出现小数或负数，因此，又常常再将Z 分数作线性变换转化成其他分数。例如某次学业选拔考试采用的是T 分数，
线性变换公式是：6040+=Z T ，已知在这次考试中某位考生的考试分数是85，这次考试的平均分是70，标准差是25，则该考生的T 分数为_______84_____.
三．解答题（本大题共6小题．共74分，解答给出文字说明，演算步骤）
17．（本小题满分14分）
已知60AOB ∠=，2OA =，5OB =，根据下列条件求AOC ?为钝角三角形的概率：
⑴在线段OB 上任取一点C ；
⑵过点A 任作一直线与直线OB 交于点C 。 解:(1)
52; (2)3
2. 18．（本小题满分14分）
已知抛物线C ：y 2
=4x 动直线L ：y=k （x+1）与抛物线C 交于A 、B 两点，O 为原点
①求证：OA OB ?定值；
②求满足+=的点M 的轨迹方程。 19．（本小题满分14分） 求下列函数的导数：
（1）y =x 2
sin x ； （2） y =1
e 1
e -+x x ；
解:（1）y ′=（x 2）′sin x ＋x 2（sin x ）′=2x sin x ＋x 2
cos x .
（2）y ′=2)1e ()1e )(1e ()1e ()1e (-'-+--'+x x x x x =2
)1(e e 2--x x
.
19．（本小题满分14分）用向量法求解下列问题．．．．．．．．．．
如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=BC=AA 1，∠ACB=90°，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，G 是AA 1上的点.
⑴如果1AC EG ⊥，试确定点G 的位置；
⑵在满足条件（Ⅰ）的情况下，试求1cos ,AC GF <>的值。 19．解：⑴以C 为原点，z CC y CA x CB 为轴为轴为1,,轴建立空间直角坐标系.
设AC=2，则C （0，0，0），A （0，2，0），C 1（0，0，2）E （1，1，0）
设).,1,1(),2,2,0(),,2,0(1h AC h G -=-=则
由1100(1)(2)1201,AC EG AC EG h h ⊥??=??-+-?+=?=即点G 为1AA 的中点。
⑵
(1,0,0),(1,2,1)F GF ∴=--. .6
36
222|
|||,cos =
?=
?>=
20. （本小题满分16分） 如图所示，已知A 、B 、C 是长轴长为4的椭圆上的三点，点A 是长轴的一个端点，BC 过椭 圆中心O ，且0AC BC =，BC ＝2AC ． A C 1 B 1 G F E C B A 1 （I ）建立适当的坐标系，求椭圆方程； （II ）如果椭圆上有两点P 、Q ，使∠PCQ 的平分线垂直于AO ，证明：存在实数λ，使 PQ AB λ=． 解：（I ）以O 为原点，O A 为X 轴建立直角坐标系，设A （2，0）， 则椭圆方程为 22 214x y b += ∵O 为椭圆中心，∴由对称性知|O C |＝|O B | 又∵0AC BC =， ∴AC ⊥BC 又∵|BC |＝2|AC | ∴|O C |＝|AC | ∴△A O C 为等腰直角三角形 ∴点C 的坐标为（1，1） ∴点B 的坐标为（－1，－1） 将C 的坐标（1，1）代入椭圆方程得243 b = ， 则求得椭圆方程为22 3144 x y += （II ）由于∠PCQ 的平分线垂直于O A （即垂直于x 轴），不妨设PC 的斜率为k ，则QC 的斜率为－k ，因此PC 、QC 的直线方程分别为y ＝k （x －1）+1，y ＝－k （x －1）+1 由22(1)1 3144 y k x x y =-+???+ =?? 得（1＋3k 2）x 2－6k （k －1）x ＋3k 2－6k －1＝0 *） ∵点C （1，1）在椭圆上， ∴x ＝1是方程（*）的一个根，∴x P ?1＝2236131k k k --+即x P ＝2236131k k k --+ 同理x Q ＝22 361 31 k k k +-+ ∴直线PQ 的斜率为2222(31) 2()21 3112331 P Q P Q P Q P Q k k k y y k x x k k k x x x x k -?--+-+===---+（定值） 又∠ACB 的平分线也垂直于OA ∴直线PQ 与AB 的斜率相等（∵k AB = 13 ） ∴向量//PQ AB ，即总存在实数λ，使PQ AB λ=成立． 21. （本小题满分16分） A 已知椭圆C ：22 a x ＋22b y ＝1（a ＞b ＞0），两个焦点分别为F 1和F 2，斜率为k 的直线l 过右焦点F 2且与椭圆交于A ．B 两点，设l 与y 轴交点为P ，线段PF 2的中点恰为B 。 （1）若｜k ｜≤55 2，求椭圆C 的离心率的取值范围； （2）若k =552，A ．B 到右准线距离之和为5 9 ，求椭圆C 的方程。 解：（1）设右焦点F 2（c ，0），则l ：y =k （x －c ）.令x =0，则y =－ck ，∴P （0，－ck ）。 ∵B 为F 2P 的中点，∴B （2c ，－2ck ）。 ∵B 在椭圆上，∴224a c ＋2 2 24b k c ＝1。 ∴k 2＝224c b ·2 2244a c a -＝（21e －1）（4－e 2）＝24e ＋e 2 －5。 ∵｜k ｜≤552，∴24e ＋e 2－5≤54.∴（5e 2－4）（e 2－5）≤0。∴5 4≤e 2 ＜1.∴552≤ e ＜1． （2）k ＝552，∴e ＝552.∴22a c ＝54 . ∴a 2＝45c 2，b 2＝41c 2.椭圆方程为2245c x ＋224 1c y ＝1，即x 2＋5y 2 ＝45c 2． 直线l 方程为y =55 2（x －c ）， B （2c ，－55c ），右准线为x =4 5 c . 设A （x 0，y 0），则（45c －x 0）＋（45c －2c ）＝59，∴x 0＝2c －59，y 0＝552（c －5 9 ）. ∵A 在椭圆上，∴（2c －59）2＋5［55（c －59）］2 ＝5 4c 2. 解之得c =2或c ＝5 6 （不合题意，舍去）. ∴椭圆方程为x 2＋5y 2＝5，即5 2x ＋y 2 ＝1． 第III 卷（理科附加题） （第1、2、3、4题每题6分，第5题16分 共40分） 1．在直角坐标系中，方程()() 02312=--+-+y x x y x 所表示的曲线为（ D ） A ．一条直线和一个圆 B ．一条线段和一个圆 C ．一条直线和半个圆 D ．一条线段和半个圆 A O B 2．双曲线x 2－y 2 ＝1的左焦点为F ，点P 为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线PF 的斜率的变化范围是 A ．（－∞，0） B ．（1，＋∞） C ．（－∞，0）∪（1，+∞） D ．（－∞，－1）∪（1，＋∞） 解析：数形结合法，与渐近线斜率比较。答案：C 3．已知实数x ，y 满足3x 2+2y 2=6x ，则x 2+y 2 的最大值是 4 。 4．过双曲线x 2 －12 2=y 的右焦点作直线交双曲线于A 、B 两点，且4AB =，则这样的直线有 3 条。 5．如图，ADB 为半圆,AB 为半圆直径,O 为半圆圆心，且OD ⊥AB ，Q 为线段OD 的中点,已知AB=4，曲线C 过Q 点，动点P 在曲线C 上运动，且保持PA+PB 的值不变。 (1)建立适当的坐标系，求曲线C 的方程。 (2)过D 点的直线L 与曲线C 相交于不同的两点M,N ，求△OMN 面积的最大值。 (3)若过D 的直线L 与曲线C 相交于不同两点M,N,且M 在D,N 之间,设λ=DM ，求λ的取值范围. 解：以AB 、OD 所在直线分别为x 轴，y 轴，O 为原点，建立直角坐标系，∵?AB ? =4 ∴A(-2,0) B(2,0),D(0,2) ∴?PA ?+?PB ?=?QA ?+?QB ?=25>?AB ? =4 ∴曲线C 为以O 为中心，A,B 为焦点的椭圆,设其长半轴为a ，短半轴为b ，半焦距为c, 则2a=25,2c=4, ∴a=5 , c=2 , b=1 ∴曲线C 方程为15 22 =+y x (2)设直线L 的方程为y=kx+2,代入曲线C 的方程得(1+5k 2 )x 2 +20kx+15=0,设M(x-1,y 1),N(x 2,y 2) 则 △=(20k)2 -4(1+5k 2 ) ·15>0 ① x 1 + x 2 =2 5120k k +- x 1 ·x 2 = 2 5115 k + 由①得k 2 >3/5 点O 到直线MN 的距离d=2 12k + 弦MN 的长 ?MN ?= 2 1k +?x 1 - x 2?=2 1k +212 214)(x x x x -+=2 1k +2 25160 100k k +- ∴S △OMN =21?MN ?·d= 2 1 2 1k +·225160100k k +-·212 k +=225115252k k +- 设m k =-15252∵k 2 =5 3∴m>0 则k 2 =25 15 2+m ∴S △OMN =20102+m m ≤ m m 20 210? = 2 5 当且仅当m=20/m 即m=52时等号成立，此时k 2 =57∴△OMN 的最大面积为2 5 （3） 1 13 λ≤< 思路点拨：由λ=DN DM 得DM DN λ=，从而得到M 、N 的坐标与D 点坐标之间的关系： ()1212,22x x y y λλ=-=-，代入到椭圆15 22 =+y x 方程中，将可以消去121,,x x y ，得到 2,y λ 的关系，利用11y -≤≤及01λ<<，即得。