【附28套精选模拟试卷】揭阳市2020年高中毕业班第一次高考模拟考试试题
揭阳市2020年高中毕业班第一次高考模拟考试试题
本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.
注意事项:
1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.
2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 参考公式:
样本数据1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y L 的回归方程为:y bx a ∧
=+
其中1
12
2
2
1
1
()()()
n n
i
i
i i
i i n
n
i
i
i i x x y y x y nx y
b x x x
nx
====---=
=
--∑∑∑∑, 121
2,n n
x x x y y y x y n n
++???+++???+=
=,a y bx =-.b 是回归方程得斜率,a 是截距.
一.选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数12,z z 在复平面内对应的点分别为(0,1),(1,3)A B -,则
2
1
z z = A .13i -+ B .3i
-- C .3i + D .3i -
2.已知集合2{|log (1)}A x y x ==+,集合1{|(),0}2
x
B y y x ==>,则A B I =
A .(1,)+∞
B .(1,1)-
C .(0,)+∞
D .(0,1) 3.在四边形ABCD 中,“AB DC =uu u r uuu r ,且0AC BD ?=uu u r
”是“四边形ABCD 是菱形”的
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C .充要条件
D .既不充分也不必要条件 4.当4
x π
=
时,函数()sin()(0)f x A x A ?=+>取得最小值,则函数3(
)4
y f x π
=- A .是奇函数且图像关于点(
,0)2
π
对称 B .是偶函数且图像关于点(,0)π对称
C .是奇函数且图像关于直线2
x π
=
对称 D .是偶函数且图像关于直线x π=对称
俯视图
5.一简单组合体的三视图及尺寸如图(1)示(单位 cm ) 则该组合体的体积为.
A. 720003
cm B. 640003
cm
C. 560003
cm D. 440003
cm 1 6.已知等差数列{}n a 满足,18130,58a a a >=,则前n 项和
n S 取最大值时,n 的值为
A.20
B.21
C.22
D.23
7.在图(2)的程序框图中,任意输入一次(01)x x ≤≤与(01)y y ≤≤, 则能输出数对(,)x y 的概率为
A .14
B .13
C .34
D . 23
8.已知方程sin x
k x
=在(0,)+∞有两个不同的解,αβ(αβ<),则下面结论正确的是: A .1tan()4
1π
ααα++=
- B .1tan()41πα
αα
-+=+ C .1tan()4
1π
βββ++
=
- D .1tan()41πβ
ββ
-+=+ 二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分. (一)必做题(9-13题)
9.计算:112
2
log sin15log cos15+o o = .
10
.若二项式(n x 的展开式中,第4项与第7项的二项式系数相等,则展开式中6x 的系数
为 .(用数字作答)
11.一般来说,一个人脚掌越长,他的身高就越高,现对10名成年人的脚掌长x 与身高y 进行测量,得到数据(单
位均为cm )如上表,作出散点图后,发现散点在一条直线附近,经计算得到一些数据:
101
()()577.5i
i
i x x y y =--=∑,10
2
1
()
82.5i
i x x =-=∑;某刑侦人员在某案发现场发现一对裸脚印,量得每个
图(3)
脚印长为26.5cm ,则估计案发嫌疑人的身高为 cm .
12
.已知圆C 经过直线220x y -+=与坐标轴的两个交点,且经过抛物线2
8y x =的焦点,则圆C 的方程为 .
13.函数()f x 的定义域为D ,若对任意的1x 、2x D ∈,当12x x <时,都有12()()f x f x ≤,则称函数()f x 在D 上为“非减函数”.设函数()g x 在[0,1]上为“非减函数”,且满足以下三个条件:(1)(0)0g =;(2)
1()()32x g g x =;
(3)(1)1()g x g x -=-,
则(1)g = 、5
()12
g =
. (二)选做题(14、15题,考生只能从中选做一题)
14.(坐标系与参数方程选做题)已知曲线1C :ρ=2C :cos(ρθ2C 的
的点的个数为 .
15.(几何证明选讲选做题)如图(3)所示,AB 是⊙O 的直径,过圆上一点 E 作切线ED ⊥AF ,交AF 的延长线于点D ,交AB 的延长线于点C.若CB=2,
CE=4,则AD 的长为 . 三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分12分)
在ABC ?中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且满足sin cos c A C =. (1)求角C 的大小; (2sin()2
A B π
-+的最大值,并求取得最大值时角,A B 的大小.
17. (本小题满分12分)
根据公安部最新修订的《机动车驾驶证申领和使用规定》:每位驾驶证申领者必须通过《科目一》(理论科目)、《综合科》(驾驶技能加科目一的部分理论)的考试.已知李先生已通过《科目一》的考试,且《科目一》的成绩不受《综合科》的影响,《综合科》三年内有5次预约考试的机会,一旦某次考试通过,便可领取驾驶证,不再参加以后的考试,否则就一直考到第5次为止.设李先生《综合科》每次参加考试通过的概率依次为0.5,0.6,0.7,0.8,0.9.
(1)求在三年内李先生参加驾驶证考试次数ξ的分布列和数学期望; (2)求李先生在三年内领到驾驶证的概率.
D C B A
E
F M
N
P
F
E
A B C
D
18.(本小题满分14分)
如图(4),在等腰梯形CDEF 中,CB
、DA 是梯形的高,2AE BF ==,AB =现将梯形沿CB 、DA 折起,使//EF AB 且2EF AB =,得一简单组合体ABCDEF 如图(5)示,已知,,M N P 分别为
,,AF BD EF 的中点.
(1)求证://MN 平面BCF ; (2)求证: AP ⊥DE ;
(3)当AD 多长时,平面CDEF 与
平面ADE 所成的锐二面角为60o
? 图(4) 图(5)
19.(本小题满分14分)
如图(6),设点)0,(1c F -、)0,(2c F 分别是椭圆:2
22+y a
x C 的左、右焦点,P 为椭圆C 上任意一点,且12PF PF ?uuu r uuu r
最小值为0(1)求椭圆C 的方程;
(2)若动直线12,l l 均与椭圆C 相切,且12//l l ,试探究在x 轴上是
否存在定点B ,点B 到12,l l 的距离之积恒为1?若存在,请求出点B 坐标; 若不存在,请说明理由.
20.(本小题满分14分)
已知函数()(0,1x
f x x x α
αα=
>+为常数),数列{}n a 满足:11
2
a =
,1()n n a f a +=,*n N ∈. (1)当1α=时,求数列{}n a 的通项公式;
(2)在(1)的条件下,证明对*n N ?∈有:12323412(5)
12(2)(3)
n n n n n a a a a a a a a a n n ++++++=
++L ;
(3)若2α=,且对*n N
?∈,有01n a <<,证明:11
8
n n a a +-<
.
21.(本小题满分14分)
已知函数()ln f x x =,2
()()g x f x ax bx =++,函数()g x 的图象在点(1,(1))g 处的切线平行于x 轴. (1)确定a 与b 的关系;
(2)试讨论函数()g x 的单调性;
(3)证明:对任意*
n N ∈,都有()21
1
ln 1n
i i n i =-+>
∑成立.
数学(理科) 参考答案及评分说明
一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.
二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分.
三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数. 一.选择题:CDCC BBDC 解析: 4.依题意可得3(
)sin 4
y f x A x π
=-=-,故选C. 5.由三视图知,该组合体由两个直棱柱组合而成,故其体积3
60401020405064000()V cm =??+??=,故选B.
6.由81358a a =得115(7)8(12)a d a d +=+13
61
d a ?=-
,由1(1)n a a n d =+- 113(1)()061a n a =+--
≥641
2133
n ?≤=,所以数列{}n a 前21项都是正数,
以后各项都是负数,故n S 取最大值时,n 的值为21,选B.
7.依题意结合右图易得所求的概率为:1
2
121133
x dx -
=-=?,选D. 8.解析:sin |sin |x k x kx x =?=,要使方程sin (0)x
k k x
=>在(0,)+∞有两个不同的解,则|sin |y x =的图像与直线(0)y kx k =>有且仅有三个公共点,所以直线y kx =与|sin |y x =在3,2ππ?
? ???
内相切,且
切于点(,sin )ββ-,由sin cos tan β
ββββ
--=
?=,1tan()41πβ
ββ
+∴+=-,选C
二.填空题:9.2;10.9; 11.185.5;12. 221
15()()222
x y -+-= [或22
20x y x y +---=];13.1(2分)、
12(3分);14.3;15. 245
. 解析:
10.根据已知条件可得:36
369n n C C n =?=+=
, 所以(n x 的展开
式的通项为
399219
91()2r r r
r
r r r T C x C x --+==,令39622r r -=?=,所以所求系数为2291
()92C =.
11.回归方程的斜率10
1
10
2
1
()()
577.5
782.5
()
i
i
i i
i x x y y b x x ==--=
=
=-∑∑,24.5x =,171.5y =,截距0a y bx =-=,即回归方程为7y x ∧=,当26.5x =,185.5y ∧
=, 12.易得圆心坐标为11(,)22
,半径为r =
, 故所求圆的方程为22115
()()222
x y -+-=【或2220x y x y +---=. 】
13.在(3)中令x=0得(0)1(1)0g g =-=,所以(1)1g =,在(1)中令1x =得1
11
()(1)3
22
g g ==,在(3)中令1
2
x =
得11()1()22g g =-,故11()22g =,因1513122<<,所以151()()()3122
g g g ≤≤,故
51()122
g =. 14.将方程
ρ=与cos()4
π
ρ
θ+
222
x y +=与20x y --
=,知1C 为圆心在坐标原点,半径为的圆,
2C 为直线,因圆心到直线20
x y --=,故满足条件的点的个数3n =.
15.设r 是⊙O 的半径.由2
CE CA CB =?,解得r=3.由CO OE CA AD =
解得24
5
AD =. 三.解答题:
16.解:(1)由sin cos c A
C =结合正弦定理得,
sin sin a c
A C
==----2分 从而sin
C C =,tan C =-----------------------------------------------4分 ∵0C π<<,∴3
C π
=;--------------------------------------------------------------6分
(2)由(1)知23
B A π
=
--------------------------------------------------------------7分
sin()cos 2
A B A B π
-+
=----------------------------------------8分
M
N
P
F
E
A B
C
D
2cos(
)3A A π
=--
22cos cos sin sin 33
A A A ππ
=--------9分
1cos 22A A =
+sin()6
A π
=+--------------10分 ∵203A π<<,∴5666
A πππ
<+< 当6
2
A π
π
+
=
sin()2
A B π
-+
取得最大值1,------------------------------11分
此时,3
3
A B π
π
=
=
.-----------------------------------------------------------------------12分
17.解. (1) ξ的取值为1,2,3,4,5. -------------------------------1分 (1)0.5P ξ==,
(2)(10.5)0.60.3P ξ==-?=
(3)(10.5)(10.6)0.70.14
P ξ==-?-?=
(4)(10.5)(10.6)(10.7)0.80.048
P ξ==-?-?-?=(5)(10.5)(10.6)(10.7)(10.8)0.012P ξ==-?-?-?-=--------------------6分
【或(5)1(1)(2)(3)(4)0.012P P P P P ξξξξξ==-=-=-=-==】
∴ξ的分布列为:
---------------------------8分 ∴10.520.330.1440.04850.012E ξ=?+?+?+?+?=1.772--------10分 (2)李先生在三年内领到驾照的概率为:
1(10.5)(10.6)(10.7)(10.8)(10.9)0.9988P =--?-?-?-?-=-----------------12分
18.(1)证明:连AC ,∵四边形ABCD 是矩形,N 为BD 中点,
∴N 为AC 中点,--------------------------------------------------------------1分 在ACF ?中,M 为AF 中点,故//MN CF --------------------------3分 ∵CF ?平面BCF ,MN ?平面BCF ,//MN ∴平面BCF ;---4分 (其它证法,请参照给分)
(2)依题意知,DA AB DA AE ⊥⊥ 且AB AE A =I
F
∴AD ⊥平面ABFE
∵AP ?平面ABFE ,∴AP AD ⊥,------------------5分 ∵P 为EF
中点,∴FP AB ==结合//AB EF ,知四边形ABFP 是平行四边形
∴//AP BF ,2AP BF ==----------------------------------------------------7分
而2,AE PE ==222AP AE PE += ∴90EAP ∠=o
,即AP AE ⊥-----8分
又AD AE A =I ∴AP ⊥平面ADE ,
∵DE ?平面ADE , ∴AP ⊥DE .------------------------------------------------9分 (3)解法一:如图,分别以,,AP AE AD 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系 设(0)AD m m =>,则(0,0,0),(0,0,),(0,2,0),(2,0,0)A D m E P
易知平面ADE 的一个法向量为(2,0,0)AP =u u u r
,-----------10分
设平面DEF 的一个法向量为(,,)n x y z =r ,则0
n PE n DE ??=???=??r uur r uuu r
故22020x y y mz -+=??-=?,即020
x y y mz -=??-=? 令1x =,则21,y z m ==,故2
(1,1,)n m =r ----------------------------------------11分
∴cos ,||||
AP n AP n AP n ?<>==
uu u r r
uu u r r uu u r r ,
1
2
=
,m =,-------------------------------------------------------13分
即AD =CDEF 与平面ADE 所成的锐二面角为60o .------------------------14分
【解法二:过点A 作AM DE ⊥交DE 于M 点,连结PM ,则,DE PM ⊥
∴AMP ∠为二面角A-DE-F 的平面角,---------------------------------------------------------11分 由AMP ∠=600,AP=BF=2得
AM tan 603AP =
=o
,-------------------------------------12分 又AD AE AM DE ?=?
得23
AD =,
解得AD =
AD =时,平面CDEF 与平面ADE 所成的锐二面角为60o .----14分】
19.解:(1)设),(y x P ,则有),(1y c x P F +=,),(2y c x P F -=-------------1分
[]a a x c x a
a c y x PF PF ,,1122
2
22
2
2
21-∈-+-=-+=? -----------------2分 由12PF PF ?uuu r uuu r 最小值为0得21012
2=?=?=-a c c ,-------------------3分
∴椭圆C 的方程为12
22
=+y x .---------------------------------------------4分 (2)①当直线12,l l 斜率存在时,设其方程为,y kx m y kx n =+=+--------------------5分
把1l 的方程代入椭圆方程得2
2
2
(12)4220k x mkx m +++-=
∵直线1l 与椭圆C 相切,∴2
2
2
2
164(12)(22)0k m k m ?=-+-=,化简得
2212m k =+-------------------------------------------------------------------------------------7分
同理,2
2
12n k =+-----------------------------------------------------------------------------8分 ∴2
2m n =,若m n =,则12,l l 重合,不合题意,∴m n =------------------------9分 设在x 轴上存在点(,0)B t ,点B 到直线12,l l 的距离之积为1,则
1=,即2222||1k t m k -=+,--------------------------------------10分 把2
2
12k m +=代入并去绝对值整理,
22(3)2k t -=或者22(1)0k t -=
前式显然不恒成立;而要使得后式对任意的k R ∈恒成立
则2
10t -=,解得1t =±;----------------------------------------------------------------------12分 ②当直线12,l l
斜率不存在时,其方程为x =
x =---------------------------13分
定点(1,0)-到直线12,l l
的距离之积为1)1=; 定点(1,0)到直线12,l l
的距离之积为1)1=;
综上所述,满足题意的定点B 为(1,0)-或(1,0) --------------------------------------------14分 20.解:(1)当1α=时,1()1n n n n
a a f a a +==
+,两边取倒数,得
111
1n n a a +-=,----2分 故数列1{
}n a 是以1
1
2a =为首项,1为公差的等差数列, 11n n a =+,11
n a n =+,*n N ∈.------------------------------------------------------------4分
(2)证法1:由(1)知1
1
n a n =
+,故对1,2,3...k = 121(1)(2)(3)k k k a a a k k k ++=
+++111
[]2(1)(2)(2)(3)
k k k k =-++++-------------6分
∴12323412......n n n a a a a a a a a a +++++
1111111[()()...]223343445(1)(2)(2)(3)n n n n =-+-++-????+?+++ 111[]223(2)(3)n n =-?++(5)12(2)(3)
n n n n +=++.----------------------------------------9分. [证法2:①当n=1时,等式左边11
23424
=
=
??,等式右边1(15)112(12)(13)24?+==?+?+,左边=右边,等式成立;-----------------------------------------------------------------5分 ②假设当(1)n k k =≥时等式成立,
即12323412(5)
......12(2)(3)
k k k k k a a a a a a a a a k k ++++++=++,
则当1n k =+时
12323412123(5)1
......12(2)(3)(2)(3)(4)
k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a k k k k k ++++++++++=
+
+++++32(5)(4)129201212(2)(3)(4)12(2)(3)(4)
k k k k k k k k k k k k ++++++==
++++++2(1)4(1)(23)(1)(2)(6)(1)[(1)5]12(2)(3)(4)12(2)(3)(4)12[(1)2][(1)3]
k k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++++++===++++++++++
这就是说当1n k =+时,等式成立,-------------------------------------------------------8分 综①②知对于*n N ?∈有:12323412(5)
......12(2)(3)
n n n n n a a a a a a a a a n n ++++++=
++.----9分]
(3)当2α=时,12
2()1n
n n n
a a f a a +==
+ 则122
21(1)11n n
n n n n n n n
a a a a a a a a a ++-=
-=-++,---------------------------------------------10分 ∵01n a <<, ∴2122
111(1)
()121n n n n
n n n n n n
a a a a a a a a a a +++-+-=-≤?++--------------------------------11分
211
4(1)2(1)2
n n n a a a +=
?+-++ 11
24121
n
n a a =
?
++-
+14≤
=--------------------13分 ∵1n n a a =-与2
11
n n a a +=
+不能同时成立,∴上式“=”不成立, 即对*n N ?∈
,11
8
n n a a +-<
.-----------------------------------------------------------14分 【证法二:当2α=时,12
2()1n
n n n
a a f a a +==
+, 则3
122
211n n n
n n n n n
a a a a a a a a +--=-=++----------------------------------------------------10分 又122
(0,1),1,1n n n n
a a a a +∈∴
=>+Q *11
,[,1),2n n n a a a n N +∴>∴∈∈------------------------------------------------------------------11分
令32
1
(),[,1),12
x x g x x x -=∈+则422241(),(1)x x g x x --+'=+------------------------------------12分 当1[,1),()0,2x g x '∈<所以函数()g x 在1[,1)2单调递减,
故当3
211()
13122[,1),(),121081()2
x g x -∈≤
=<+所以命题得证----------- ks5u ------------------14分】 【证法三:当2α=时,12
2()1n
n n n
a a f a a +==
+,*
11221(0,1),1,,[,1),12
n n n n n n n a a a a a n N a a ++∈∴
=>∴>∴∈∈+Q -------------------------11分 11112222
11
2212()11(1)(1)n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a --+-----=
-=?-++++ 1112211
124222()()1125(1)(1)22
n n n n n n a a a a a a ----?
-=-<-++
∴数列1{}n n a a +-单调递减,
12121
21312121081()2
n n a a a a +?
∴-≤-=
-=<+, 所以命题得证------------------------------------------------------------------------------------------14分】 21.解:(1)依题意得2
()ln g x x ax bx =++,则1
'()2g x ax b x
=
++ 由函数()g x 的图象在点(1,(1))g 处的切线平行于x 轴得:'(1)120g a b =++= ∴21b a =---------------------------------------------------------------------------3分
(2)由(1)得22(21)1'()ax a x g x x -++=(21)(1)
ax x x
--=
----------------------4分 ∵函数()g x 的定义域为(0,)+∞
∴当0a ≤时,210ax -<在(0,)+∞上恒成立,
由'()0g x >得01x <<,由'()0g x <得1x >,
即函数()g x 在(0,1)上单调递增,在(1,)+∞单调递减;-------------------------------5分 当0a >时,令'()0g x =得1x =或1
2x a
=, 若
112a <,即12a >时,由'()0g x >得1x >或102x a <<,由'()0g x <得1
12x a
<<,
即函数()g x 在1(0,)2a ,(1,)+∞上单调递增,在1
(,1)2a
单调递减;-----------------6分
若112a >,即102a <<时,由'()0g x >得12x a >或01x <<,由'()0g x <得112x a
<<, 即函数()g x 在(0,1),1(,)2a +∞上单调递增,在1
(1,)2a
单调递减;------------7分
若112a =,即12
a =时,在(0,)+∞上恒有'()0g x ≥, 即函数()g x 在(0,)+∞上单调递增,------------------------------------------------------------------8分
综上得:当0a ≤时,函数()g x 在(0,1)上单调递增,在(1,)+∞单调递减; 当102a <<时,函数()g x 在(0,1)单调递增,在1(1,)2a 单调递减;在1
(,)2a
+∞上单调递增; 当1
2a =
时,函数()g x 在(0,)+∞上单调递增, 当12a >时,函数()g x 在1(0,
)2a 上单调递增,在1
(,1)2a
单调递减;在(1,)+∞上单调递增. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------9分
(3)证法一:由(2)知当1a =时,函数2
()ln 3g x x x x =+-在(1,)+∞单调递增,
2ln 3(1)2x x x g ∴+-≥=-,即2ln 32(1)(2)x x x x x ≥-+-=---,------------11分
令*11,x n N n =+∈,则2111
ln(1)n n n +>-,-------------------------------------12分2222111111111111
ln(1)ln(1)ln(1)...ln(1)...123112233n n n ∴++++++++>-+-+-++-
2222111111111111
ln[(1)(1)(1)...(1)]...123112233n n n
∴++++++>-+-+-++-
即()2
11
ln 1n
i i n i
=-+>
∑---------------------------------------------- ks5u -----------------------------14分 【证法二:构造数列{}n a ,使其前n 项和ln(1)n T n =+, 则当2n ≥时,111
ln()ln(1)n n n n a T T n n
-+=-==+,------ks5u-----------------------11分 显然1ln 2a =也满足该式, 故只需证221
111
ln(1)n n n n n
-+>=---------------------------------------------------------12分 令1x n
=
,即证2ln(1)0x x x +-+>,记2
()ln(1)h x x x x =+-+,0x > 则11(21)
'()12120111x x h x x x x x x +=-+=-+=>+++,
()h x 在(0,)+∞上单调递增,故()(0)0h x h >=,
∴221111
ln(1)n n n n n -+>
=-成立,
2222111111111111
ln(1)ln(1)ln(1)...ln(1)...123112233n n n
∴++++++++>-+-+-++-
即()21
1
ln 1n
i i n i =-+>
∑.----------------------------------------------------------------------------14分】 【证法三:令2
11
()ln(1)i n
i i n n i ?==-=+-∑,
则2(1)()ln(2)ln(1)(1)n n n n n n ??+-=+-
-++2
111
ln(1)11(1)
n n n =+-++++----10分 令11,1x n =+
+则(1,2]x ∈,*1
1,,1
x n N n =-∈+ 记2
2
()ln (1)(1)ln 32h x x x x x x x =--+-=+-+-----------------------12分 ∵1(21)(1)()230x x h x x x x
--'=
+-=>∴函数()h x 在(1,2]单调递增, 又(1)0,(1,2],()0,h x h x =∴∈>当时即(1)()0n n ??+->, ∴数列()n ?单调递增,又(1)ln 20?=>,∴()21
1
ln 1n
i i n i =-+>
∑----------------------14分】高考模拟数学试卷
第I 卷(共50分)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集U R =,集合{}3|<=x x A ,{}0log |2<=x x B ,则=?B A
A .{}
13x x <<
B .{}
1 3x x < D .{} 10< 2.已知复数2z i =-,则z z ?的值为( ) A .5 B .5 C .3 D .3 3.下列命题的说法错误的是 A .命题“若2 320,x x -+= 则1=x ”的逆否命题为:“若1≠x , 则2320x x -+≠”. B .“1=x ”是“2320x x -+=”的充分不必要条件. C .对于命题:,p x R ?∈2 10,x x ++> 则:,p x R ??∈210.x x ++≤ D .若q p ∧为假命题,则q p ,均为假命题. 4.一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示,则其俯视图不可能为....①长方形;②正方形;③圆;④椭圆中的 A .①② B .②③ C .③④ D .①④ 5.已知x ,y 满足22y x x y z x y x a ≥?? +≤=+??≥? ,且的最大值是最小值的4倍,则a 的值是 A . 34 B . 14 C . 211 D .4 6.运行如图所示的程序框图,则输出的结果S 为 A .1008 B .2015 C .1007 D .1007- 7.已知函数()()2 1cos ,4 f x x x f x '= +是函数()f x 的导函数,则()f x '的图象大致是 8.已知函数()22,1, 22,1, x x f x x x -?≤-=?+>-?则满足()2f a ≥的实数a 的取值范围是 A .()(),20,-∞-?+∞ B .()1,0- C .()2,0- D .(][),10,-∞-?+∞ 9.在等腰三角形ABC 中,AB=AC ,D 在线段AC 上,AD=kAC (k 为常数,且01k <<),BD=l 为定长,则△ABC 的面积最大值为 A .2 2 1l k - B .2 1l k - C .() 2 2 21l k - D . () 2 21l k - 10.已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()y f x '=,当0x ≠时,()() 0f x f x x '+ >,若()1111,22,ln ln 2222a f b f c f ?????? = =--= ? ? ????? ?? ,则,,a b c 的大小关系正确的是 A .a c b << B .b c a << C .a b c << D .c a b << 第II 卷(共100分) 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分. 11.若双曲线()22 22103 x y a a -=>的离心率为2,则a =________. 12.设随机变量()()()2 ~,1=2=0.3N P P ξμσξξ<->,且,则()20=P ξ-<<____. 13.如图,在ABC ?中,若3 13=2 AB AC AB AC BC ==?=u u u r u u u r ,,,则________. 15.圆O 的半径为1,P 为圆周上一点,现将如图放置的边长为1的正方形(实线所示,正方形的顶点A 与点P 重合)沿圆周逆时针滚动,点A 第一次回到点P 的位置,则点A 走过的路径的长度为_________. 三、解答题:本大题共6小题,共75分. 16.(本小题满分12分) 已知函数()()22sin cos 23cos 30,0f x a x x x a ωωωω=+->>的最大值为2,且最小正周期为 π. (I )求函数()f x 的解析式及其对称轴方程; (II )若()4,sin 436f παα? ?= + ?? ?求的值. 17.(本小题满分12分) 在如图所示的空间几何体中,平面ACD ⊥平面ABC ,ACD ACB ??与是边长为2的等边三角形,BE=2, BE 和平面ABC 所成的角为60°,且点E 在平面ABC 上的射影落在ABC ∠的平分线上. (I )求证:DE//平面ABC ; (II )求二面角E BC A --的余弦值. 18.(本小题满分12分) 学校为测评班级学生对任课教师的满意度,采用“100分制”打分的方式来计分.现从某班学生中随 机抽取10名,以下茎叶图记录了他们对某教师的满意度分数(以十位数字为茎,个位数字为叶):规定若满意度不低于98分,测评价该教师为“优秀”. (I )求从这10人中随机选取3人,至多有1人评价该教师是“优秀”的概率; (II )以这10人的样本数据来估计整个班级的总体数据,若从该班任选3人,记ξ表示抽到评价该教师为“优秀”的人数,求ξ的分布列及数学期望. 19.(本小题满分12分) 已知数列{}n a 中,111 ,1,33,n n n a n n a a a n n +?+?==??-? 为奇数, 为偶数. (I )求证:数列232n a ? ?-???? 是等比数列; (II )若n S 是数列{}n a 的前n 项和,求满足0n S >的所有正整数n . 20.(本小题满分13分) 已知函数()()()cos ,2x f x x g x e f x π?? '=- =? ?? ? ,其中e 为自然对数的底数. (I )求曲线()y g x =在点()() 0,0g 处的切线方程; (II )若对任意,02x π?? ∈- ???? ,不等式()()g x x f x m ≥?+恒成立,求实数m 的取值范围; (III )试探究当,42x ππ?? ∈? ??? 时,方程()()g x x f x =?的解的个数,并说明理由. 21.(本小题满分14分) 已知椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>,其中12,F F 为左、右焦点,O 为坐标原点.直线l 与椭圆交于 ()()1122,,,P x y Q x y 两个不同点.当直线l 过椭圆C 右焦点F 2且倾斜角为 4 π 时,原点O 到直线l 的距离为 2 2 .又椭圆上的点到焦点F 231. (I )求椭圆C 的方程; (II )以OP ,OQ 为邻边做平行四边形OQNP ,当平行四边形OQNP 6时,求平行四边形OQNP 的对角线之积ON PQ ?的最大值; (III )若抛物线()22220C y px p F =>:以为焦点,在抛物线C 2上任取一点S (S 不是原点O ),以OS 为直径作圆,交抛物线C 2于另一点R ,求该圆面积最小时点S 的坐标. 理科数学试题 参考答案 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1-10DADBB DADCA 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分. 113 12.0.2 ; 137 ; 14.10 ; 15.(22)π 2 +. 三、解答题:本大题共6小题,共75分. 16.解析:(Ⅰ)x x a x f ωω2cos 32sin )(+=23sin(2)a x ω?=++, 由题意知:()f x 的周期为π,由 2π π2ω =,知1ω= ………………………2分 由)(x f 最大值为2,故232 =+a ,又0>a ,1=∴a ∴π ()2sin(2)3 f x x =+ ……………………………………………………………4分 令232 x k ππ π+=+,解得()f x 的对称轴为ππ()122k x k Z = +∈ …………………6分 (Ⅱ)由4 ()3 f α=知π42sin(2)33α+=,即π2sin(2)33α+=, ∴ππππsin 4sin 22cos226323ααα??? ?????+ =+-=-+ ? ? ???? ??????? ………………………10分 2 2π2112sin 212339α???? =-++=-+?=- ? ????? …………………………………………12分 17.解析:(Ⅰ)证明:由题意知,ABC ?,ACD ?都是边长为2的等边三角形,取AC 中点O ,连接,BO DO , 则BO AC ⊥,DO AC ⊥, 又∵平面ACD ⊥平面ABC ,∴DO ⊥平面ABC ,作EF ⊥平面ABC , 那么//EF DO ,根据题意,点F 落在BO 上, ∴60EBF ∠=?,易求得 3EF DO ==, ∴四边形DEFO 是平行四边形,∴//DE OF ,∴//DE 平面ABC …………6分 (Ⅱ)建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -,可知平面ABC 的一个法向量为 1(0,0,1)n =u r ,(0,3,0)B ,(1,0,0)C -,(0,31,3)E -, 设平面BCE 的一个法向量为2(,,)n x y z =u u r , 则,220 n BC n BE ??=???=??u u r u u u r u u r u u u r 可求得2(3,3,1)n =-u u r .………………9分 所以12121213 cos ,13 ||||n n n n n n ?<>==?u r u u r u r u u r u r u u r , 又由图知,所求二面角的平面角是锐角, 所以二面角E BC A --的余弦值为 13 13 .……12分 18.解:(Ⅰ)设i A 表示所取3人中有i 个人评价该教师为“优秀”,至多有1人评价该教师为“优秀”记 为事件A ,则312 7370133 10109849 ()()()12060 C C C P A P A P A C C =+=+==………6分 (Ⅱ)ξ的可能取值为0、1、2、3 , 37343(0)( )101000P ξ=== ; 12337441(1)()10101000P C ξ==??=; 22337189(2)()10101000P C ξ==??= ; 3327 (3)()101000 P ξ===. 分布列为 ……………10分 34344118927 01230.91000100010001000 E ξ=? +?+?+?=. ………12分 注:用二项分布直接求解也可以. 19.解:(Ⅰ)设23 2 n n b a =-, 因为 21221221 33(21)3223322n n n n n n a n a b b a a +++++-- = =--=2213(6)(21)3232n n a n n a -++--=2211132332n n a a - =-, 所以数列23{}2n a -是以232a -即16-为首项,以1 3 为公比的等比数列. ……… 5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得1 23111126323n n n n b a -?? ??=-=-?=-? ? ??? ??,即2113 232 n n a ??=-?+ ???, 由2211(21)3n n a a n -= +-,得12121115 33(21)()6232 n n n a a n n --=--=-?-+, 所以12121111[()()]692()692333n n n n n a a n n --+=-?+-+=-?-+, 21234212()()()n n n S a a a a a a -=++++++L 2111 2[()()]6(12)9333n n n =-+++-++++L L 11[1()] (1)3 32691213 n n n n -+=-?-?+-2211()136()3(1)233n n n n n =--+=--+ 10分 显然当n N *∈时,2{}n S 单调递减, 又当1n =时,273S = >0,当2n =时,48 9S =-<0,所以当2n ≥时,2n S <0; 22122315 ()36232 n n n n S S a n n -=-=?--+, 同理,当且仅当1n =时,21n S ->0, 综上,满足0n S >的所有正整数n 为1和2.…………………………………… 12分 20.解:(Ⅰ)依题意得,