输油管的布置

承诺书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C

我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：

所属学校（请填写完整的全名）：贵州省毕节学院

参赛队员(打印并签名) ：1. 高显国

2. 李希

3. 马永坤

指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：数学建模教研组

日期： 2010 年 9 月12日

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

编号专用页

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

输油管的布置

摘要：该模型主要研究两家炼油厂管道的铺设总费用的最省问题，根据问题的条件，

通过图解法对问题进行分析，把所用总费用作为目标函数，建立非线性规划模型，利用MATLAB和C++进行求解，综合两软件所得结果分析，得出所用总费用的最小值，从而找到最佳铺设方案。

问题一针对两炼油厂到铁路距离和两炼油厂间距离的各种不同情况，首先；模型从一般情况出发，考虑了公用管道与不公用管道两种情况；其次，还考虑了两炼油厂的水平距离等于0的特殊情况，和大于0以及两炼油厂到铁路的垂直距离相等的特殊情况；建立了不同的方案，通过对共用管线和不共用管线的总费用进行比较，分析得出在哪种情况下用哪种方案最节约费用。

问题二考虑到拆迁和工程补偿附加费用，由于三家工程咨询公司资质不同，所给的补偿费用也有差异，所以模型就运用权重赋值的方法，由公司资质的大小确定权重系数的大小，从而给予权重系数合理赋值，计算得到附加费用，然后以铺设管线和拆迁等附加的总费用之和为目标函数，建立非线性规划模型，利用MATLAB和C++进行求解，综合两软件所得结果分析，得出所用总费用的最小值，从而找到最佳铺设方案。

问题三是基于问题二的基础上进行求解，只是每段管线铺设费用不同，只需把各段管线的费用代入问题二的目标函数，即可得到总费用最小值和公共管线的长度，从而得到最佳管线铺设方案。

论文的末尾给出了模型的优缺点的分析和评价，并提出了模型的改进方向。当考虑到不在同一平面时，模型可以建立三维或者N维坐标图形进行求解，再去完善模型，结果会更加精确。

关键字：图解法目标函数非线性规划权重赋值

一、问题重述

某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来

运送成品油，要求建立铺设管线费用最省的数学模型及方法。现要研究问题如下：

1. 在两厂到铁路线距离和两厂之间距离的各种不同情形下，要求建立费用最省的数学模型；在共用管线的条件下，考虑共用管线与不共用管线费用相同和不同的情况。

2. 两炼油厂的具体位置由附图所示，其中A厂位于郊区（图中的I区域），B厂位于城区（图中的II区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示。图中各字母表示的

距离（单位：千米）分别为a = 5，b = 8，c = 15，l = 20。

所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元，并且位于城区的铺设管线还需增加拆迁

和工程补偿等附加费用，现在三家工程咨询公司（公司一具有甲级资质，公司二和公司

三具有乙级资质）对附加费用进行估算，估算结果如下表所示：

3. 在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。这时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米5.6万元，输送B 厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，拆迁等附加费用同上。

要求建立管线最佳布置方案和求出相应的费用。

二、问题分析

第一问考虑到两炼油厂到铁路距离和两炼油厂间距离的各种不同情况，把A厂，B 厂和车站看成是在同一个平面内的三个不固定点，由于问题中没有任何数据的限制。首先假设两厂之间的水平距离为0的情况，即A厂，B厂和车站在同一条直线上，再由各段管线的铺设费用，就可以分别计算出共管和不共管的总费用，根据共管和不共管总费用的大小，选出最佳铺设方案；其次：假设两厂之间的水平距离为大于0的情况，即A 厂，B厂和车站不在同一条直线上，但在同一平面内，分别算出共管和不共管时的费用，进行比较大小选出最佳铺设方案。

第二问考虑所有管线铺设费用一样，A厂和B厂分为两个区域，其中，A厂在郊区，B厂在城区，B厂除了铺设管线费用外，还要增加在城市的拆迁和工程补偿等附加费用。由于三家工程咨询公司对附加费用的估值不一样，根据公司的资质高低给予权重赋值，求出最终附加费用。问题的目的是要使得所用费用最小，所以把铺设管线和拆迁等附加的费用之和为目标函数，建立非线性规划模型，计算出目标函数的最小值，根据目标函数取得最小值时的条件得出管线的布置方案。

第三问考虑到各段铺设管线费用不同，对第二问中的目标函数给予相应的改变，用同样的方法进行求解，即可得到最佳方案。

三、模型假设

1．假设A,B两厂和铁路都在同一平面内。

2．假设各段管线的铺设都为直线。

3．忽略两段管线间的接口所产生的费用。

4．假设在铺设过程中不存在安全隐患。

5．假设在求解过程中，只考虑费用单一变量。

6．假设在铺设过程中，只考虑管线的铺设费与拆迁和工程补偿费。

7．假设A,B两厂铺设管线相互独立，相互之间没有影响（除铺设共用管线）。

四、符号说明

a:A厂到铁路的垂直距离；

b：B厂到铁路的垂直距离；

l：A，B两厂之间的水平距离；

x：车站E到C点的距离;

y：A,B两厂共用管线的长度；

F：所有管线的总长；

G：建立管线中所用总费用;

n：输送A厂成品油每千米的费用；

1

n：输送B厂成品油每千米的费用；

2

n：共用管线输送成品油每千米的费用；

3

φ：公司一权重系数；

1

φ：公司二和公司三权重系数。

2

五、模型建立与求解

问题一：

针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，由于两油厂都在铁路线上的一侧，分别记为A和B，车站记为E，联系实际情况，作出如下图一所示的模型进行分析。

图一

根据不同的情况，做出以下几种假设：

（1）当A,B的水平距离l=0，这时油厂A与油厂B在同一条垂直于铁路的直线上，为了更节约成本则车站应建在A,B的延长线上与铁路的交点处，即三点共线，这样E,C,D 共点，如图二所示。

图二

a.当不共用管线时，总费用G 的表达式为：

12G a n b n =?+? (1-1) b.当共用管线时，总费用G 的表达式为：

23()G b a n a n =-?+? (1-2)

c.当铺设共用管线与不共用管线费用相同，即23n n =

2G b n =? (1-3) 由(1-1)与(1-2)比较可得：

当321n n n -=时，费用相同，即用共线管与不用共线管一样，可以任选一方案实行。 当321n n n ->时，共用管线比不共用管线费用要高，为了使得费用较低，应选择方案a 不共管的情况。

当321n n n -<时，共用管线费用比不共用管线低，为了节约费用，应选择方案b 共用管线的情况。

再用(1-1)与(1-3)比较可得，铺设共用管线费用较低，同理用(1-2)与(1-3)比较铺设共用管线费用较低，所以应选择共用管线的方案。

（2）当A,B 的水平距离l >0，共用管线y >0时，根据图一求出各个管线的长度，

AF 管线长度为：BF 管线长度为：线EF=y ，于是，求出总费用G 为：

123G n n n y =? (1-4)

当铺设共用管线与不共用管线费用相同，即123n n n ==

1)G n y = (1-5)

（3）当A,B 的水平距离l >0，共用管线y =0，这时A 和B 没有共用管线，如图三所示：

图三

根据图三求出各个管线的长度，AE 管线长度为：BE 管线长度为：

0。于是，求出总费用G 为：

G=12n n (1-6)

在图三的这种情况中，如果各个管线的输送成品油每千米的费用相等；即12n n =，这时总费用与管线的长度成正比，要使得总费用最小，必须是管线总长最短，作A 的投影'A ,连结'A B 交铁路于点E ，这时车站应建立在E 处，这样'A BE 三点共线，总长度达到最小，如图四所示：

图四

这时'A BE G 为：

G=1n (1-7) 现在用（2）中的(1-4)式和（3）中的(1-6)式进行比较可得以下结论：

当123n n n y +?=?时，共管和不共管费用一样，所以选择方案（2）和方案（3）均可；

当123n n n y +?>?时，不共管费用比共管费用要大，为了使得费用较低，应选择方案（2）共管的情况；

当123n n n y +?

问题二：

由于A,B 两家炼油厂分别位于郊区和城区，现厂A 只需考虑铺设管线费用，而位于城区的厂B 除了铺设管线费用外，铺设在城区的部分管线还需要拆迁和工程补偿等附加费用，作出图四进行分析，其中Ⅰ区Ⅱ区分别表示郊区和城区，AF 表示厂A 单独管线，BMF 表示厂B 单独管线，FE 表示厂A 和厂B 共用管线，在Ⅰ中，只有铺设管线费用，在Ⅱ中，BM 段管线除了铺设费用外，还要增加拆迁和工程补偿等附加费用，图中E 为车站，F 为共用管线交接处，设MH= z ，如图四所示：

图四

首先，计算管道的总长为：

F y = (2-1)

其次，对附加费用进行估值，由于三家工程咨询公司资质不同，公司一具有甲级资质，而公司二和公司三具有乙级资质，这样我们应运用权重来衡量最终估计值，设公司一权重系数为1φ，公司二和公司三权重系数为2φ，则必有1φ>1φ，查阅资料，经数据分析，分别给权重系数赋值1φ=0.4，2φ=0.3，于是最终拆迁和工程补偿等附加费用为;

21?0.4+24?0.3+20?0.3=21.6

再次，表述总共所需的费用为：

7.221.6G F =?+ (2-2)

要使得总费用G

最小，因此，建立非线性规划模型，得到目标函数为：

7.221.6MinG F =?+ (2-3)

.s t ：581520

00a b c l x a b

=??=?

?=?=???

??

?≤≤c ≤y ≤0≤z ≤ (2-4)

求解方法一：

利用MATLAB编辑程序（程序见附录一）将上式求解得：

G=283.2013

x=5.4475

y=1.8549

z=7.3701

求解方法二

利用C++编辑程序（程序见附录二）求解，求解得：

G=283.2046

x=5.4010

y=1.9010

z=7.4010

对上面两种结果进行比较，结果相差不大，由此可得：当共用管道长为1.9千米，车站与A厂的水平距离为5.4千米，铺设管道与城乡交界线的交点与铁路的垂直距离为7.4千米时，所用的总费用最少为283.20万元；该方案为最佳布置方案。

问题三：

关于问题三是建立在问题二的基础上，为进一步节省费用，根据炼油厂的生产能力不同，选用不同的油管，这时的管线铺设费用将分别降为输送厂A成品油的每千米5.6万元，输送厂B成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，拆迁等附加费用与第二问是一样的，因此建立模型的目标函数为:

Min G

5.6

6.0 6.0

7.2y

=?

21.6

+(3-1)

.s t：

5

8

15

20

a

b

c

l

x

y a

z b

=

?

?=

?

?=

?

=

?

?

?

?

?

?

≤≤c

0≤≤

0≤≤

(3-2)

求解方法一

利用MATLAB编辑程序（程序见附录三）：

G=252.4737

x=6.7331

y=0.1392

z=7.2822

求解方法二

利用C++编辑程序（程序见附录四）求解，求解得：

G=252.475592

x=6.7010

y=0.1010

z=7.3010

对上面两种结果进行比较，结果相差不大，由此可得：当共用管道长为0.10千米，车站与A厂的水平距离为6.7010千米，铺设管道与城乡交界线的交点与铁路的垂直距离为7.3千米时，所用的总费用最少为252.47万元；该方案为最佳布置方案。

六、模型的评价

模型的优点：

1.该模型实用性很高，能直观地描述现实中的铺设管道问题，可以推广到现实生中去应用，对实际生产有重要的理论和现实意义；

2.该模型直观，这有利于对模型中问题的分析与求解，

3. 该模型在不固定点的情况下建立非线性优化目标函数，根据约束条件可用MATLAB求得最优解，具有一定的价值。

模型的缺点：

1.该模型关于两家炼油厂只考虑了在铁路的一侧，而没有考虑到两炼油厂在铁路上或者在铁路的两侧，这使得在实际生产中考虑不够全面，还需拓展开讨论；

2.该模型忽略了很多因素，在除了拆迁和工程附加费用外，可能还产生其他费用等；

3.该模型太过于理想化，在模型中，只考虑在同一平面内，而在现实中，两厂与铁路不一定在同一平面内。

七、模型的改进

此模型只实用于同一平面内的问题，过于理想化，而在现实生活中，面临很多不在同一平面内的问题，这用平面坐标图形方法不能求解，这就需要建立一个三维坐标图形或者n维坐标图形进行求解。

八、参考文献

[1] 梁炼《数学建模》华南理工大学出版社2005.3

[2] 叶其孝《大学生数学建模竞赛辅导教材》湖南教育出版社，2008.3

[3] 徐金明《MATLAB实用教程》清华大学出版社.北京交通大学出版社2003

[4] 赵东方《数学模型与计算机》科学出版社2007.2

[5] 姜启源谢金星等《大学数学实验》清华大学出版社2005.2

[6] 任韩《图论》上海科技教育出版社 2010. 10

附录

附录一

其中x= x(1)，y= x(2)，z= x(3)

function z=myfun(x)

z=7.2*(sqrt(x(1)^2+(5-x(2))^2)+sqrt((15-x(1))^2+(x(3)-x(2))^2)+sqrt((8-x(3))^2+25)+x(2))+ 21.6*sqrt((8-x(3))^2+25)

end

clc

clear

x=[0;0 ; 0];

A=[-1 0 0;1 0 0;0 -1 0;0 1 0;0 0 -1; 0 0 1];

b=[0 15 0 15 0 8];

[x,fval]=fmincon(@myfun,x,A,b)

附录二

#include

#include

double fun(double x,double y,double z)

{

return

7.2*sqrt(pow(x,2)+pow((5-y),2))+7.2*sqrt(pow((15-x),2)+pow((z-y),2))+7.2*sqrt(pow((8-z), 2)+25)+7.2*y+21.6*sqrt(pow((8-z),2)+25);

}

void main()

{

double min,x,y,z,x0,y0,z0;

min=fun(1,2,4);

for(x=0.001;x<=15;x=x+0.1)

for(y=0.001;y<=5;y=y+0.1)

for(z=0.001;z<=8;z=z+0.1)

if(fun(x,y,z)

{min=fun(x,y,z);

x0=x;y0=y;z0=z;

}

printf("min=%f\nx=%f\ny=%f\nz=%f\n",min,x0,y0,z0);

}

附录三

function f=fun(x)

f=5.6*sqrt(x(1)^2+(5-x(2))^2)+6.0*sqrt((15-x(1))^2+(x(3)-x(2))^2)+6.0*sqrt((8-x(3))^2+25) +7.2*x(2)+21.6*sqrt((8-x(3))^2+25)

x0=[1,2,4]

x=fminunc('fun',x0)

附录四

#include

#include

double fun(double x,double y,double z)

{

return

5.6*sqrt(pow(x,2)+pow((5-y),2))+

6.0*sqrt(pow((15-x),2)+pow((z-y),2))+6.0*sqrt(pow((8-z),2)+25)+

7.2*y +21.6*sqrt(pow((8-z),2)+25);

}

void main()

{

double min,x,y,z,x0,y0,z0;

min=fun(1,2,4);

for(x=0.001;x<=15;x=x+0.1)

for(y=0.001;y<=5;y=y+0.1)

for(z=0.001;z<=8;z=z+0.1)

if(fun(x,y,z)

{min=fun(x,y,z);

x0=x;y0=y;z0=z;

}

printf("min=%f\nx=%f\ny=%f\nz=%f\n",min,x0,y0,z0);

}