2020高考模拟综合试题带答案
2020年高考模拟试题
理科数学
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1、若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为( )
A.5
B.4
C.3
D.2
2、复数在复平面上对应的点位于( )
A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限
3、小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点
到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书.则小波周末不在家看书的概率为( )
A. 14
17B.13
16
C.15
16
D. 9
13
4、函数的部分图象如图示，则将的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为( )
A. B. C. D.
5、已知，，，则A. B. C. D.
6、函数的最小正周期是
A.π
B. π
2
C. π
4
D.2π
7、函数y=的图象大致是
A．B．C．D．
8、已知数列为等比数列，是是它的前n项和,若，且与2的等差中项为，则
A.35
B.33
C.31
D.29
9、某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一年级的乘坐方式共有
A.24种
B.18种
C.48种
D.36种
10如图，在矩形OABC中，点E、F分别在线段AB、BC
上，且满足，，若
（），则
A.2
3
B . 3
2
C. 1
2
D.3
4
11、如图，F1，F2分别是双曲线C：(a，b＞0)的左
右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交
于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M ，若|MF 2|＝|F 1F 2|，则C 的离心率是 A.
B.
C. D.
12、函数f （x ）＝2x |log 0.5x|－1的零点个数为
A.1
B.2
C.3
D.4
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上
13、设θ为第二象限角，若，则sin θ＋cos θ＝__________
14、(a+x ）4的展开式中x 3的系数等于8，则实数a=_________
15、已知曲线在点 处的切线与曲线 相切,则a =
16、若
4
2
x π
π
<<
，则函数3tan 2tan y x x =的最大值为
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生依据要求作答. 17、已知数列
的前项和为，且
，对任意
N ，都有
.
（1）求数列的通项公式； （2）若数列满足
，求数列
的前项和
.
18、如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，BC ＝CD ＝2，AC ＝4，∠ACB ＝∠ACD ＝，F 为PC 的中点，AF ⊥PB 。 （1）求PA 的长；
（2）求二面角B －AF －D 的正弦值。
19、销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t 亏损300元，根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示，经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品，以X （单位：t,100≤X ≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T （单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润。
（1）将T 表示为X 的函数；
（2）根据直方图估计利润T 不少于57 000元的概率；
（3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若需求量X ∈[100,110），则取X ＝105，且X ＝105的概率等于需求量落入[100,110）的频率），求T 的数学期望。
20、设点O 为坐标原点，椭圆E ：22
221x y a b
+=（a ≥b ＞0）的右顶点为A ，上顶点为B ，
ln y x x =+()1,1()2
21y ax a x =+++
过点O 且斜率为1
6的直线与直线AB 相交M ，且13MA BM =u u u r u u u u r ．
（1）求椭圆E 的离心率e ；
（2）PQ 是圆C ：（x －2）2＋（y －1）2＝5的一条直径，若椭圆E 经过P ，Q 两点，求椭圆E 的方程．
21、设函数2()()ln f x x ax x a =+-∈R ． （1）若1a =，求函数()f x 的单调区间．
（2）若函数()f x 在区间(0,1]上是减函数，求实数a 的取值范围．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22、在直接坐标系中，直线的方程为，曲线的参数方程为
（为参数）。
（1）已知在极坐标（与直角坐标系
取相同的长度单位，且以原点为极点，以
轴正半轴为极轴）中，点的极坐标为（4，），判断点与直线的位置关系； （2）设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最小值。
23、已知关于x 的不等式
（其中）。
（1）当a=4时，求不等式的解集； （2）若不等式有解，求实数a 的取值范围。
2020年高考模拟试题 理科数学参考答案
选择题：
1、C ，由已知，得{z|z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B}＝{－1,1,3}，所以集合{z|z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B}中的元素的个数为3.
2、A ，本题考查复数的运算及几何意义
，所以点（位于第一象限
3、B 方法一：不在家看书的概率=
方法二：不在家看书的概率=1—在家看书的概率=1—
4、D ，由图像知A=1,
,
,由
得
，则图像向右平移
个单位后得到的图像解析式为
，故选D 。
5、D
6、A,根据三角恒等变换化简可得
7、D，解：当x＞0时，y=xlnx，y′=1+lnx，即0＜x＜时，函数y单调递减，当x＞，函数y单调递增，因此函数y为偶函数，
8、C,设{}的公比为，则由等比数列的性质知，，即。
由与2的等差中项为知，，。
∴，即。，，.
9、A，分类讨论，有2种情形：
孪生姐妹乘坐甲车：则有孪生姐妹不乘坐甲车：则有所以共有24种，
10、B，以为坐标原点，如图建立直角坐标系．
设，则∵，，∴．
∵（），∴，
∴即两式相加，得解得．
11、B，如图：|OB|＝b，|O F1|＝c，∴k PQ＝，k MN＝﹣。
直线PQ为：y＝(x＋c)，两条渐近线为：y＝x，由，得：Q(，)；由，
得：P(，)，∴直线MN为：y－＝﹣(x－)，
令y＝0得：x M＝，又∵|MF2|＝|F1F2|＝2c，∴3c＝x M＝，解之得：，即e＝。
12、函数f（x）＝2x|log0.5x|－1的零点也就是方程2x|log0.5x|－1＝0的根，即2x|log0.5x|＝1，整理得|log0.5x|＝
.令g（x）＝|log0.5x|，h（x）＝，作g（x），h（x）的图象如图所示，因为
两个函数图象有两个交点，所以f（x）有两个零点。
填空题
13、由，得tan θ＝，即sin θ＝cos θ.
将其代入sin2θ＋cos2θ＝1，得.因为θ为第二象限角，所以cos θ＝，sin θ＝，sin
θ＋cos θ＝
14、(a+x）4的展开式的通项公式为T r+1= a4﹣r x r，
令r=3可得（a+x）4的展开式中x3的系数等于×a=8，解得a=2
15、曲线在点处的切线斜率为2，故切线方程为，与
联立得，显然，所以由
16:
设tan,
x t=1
42
x t
ππ
<<∴>
Q,
44
3
22
2
422
2tan2222
tan2tan8
111111
1tan1()
244
x t
y x x
x t
t t t
∴=====≤=-
------
解答题
17、1）解法1：当时，，，
ln
y x x
=+()1,121
y x
=-
()
221
y ax a x
=+++220
ax ax
++=0
a≠2808
a a a
?=-=?=
两式相减得，
即，得.
当时，，即.
∴数列是以为首项，公差为的等差数列。
∴.
解法2：由，得，
整理得，，两边同除以得，.
∴数列是以为首项，公差为的等差数列。∴.∴. 当时，.又适合上式，
∴数列的通项公式为.
（2）解法1：∵，∴.
∴，①
，②
①②得.
∴.
解法2：∵，∴.
∴. 由，两边对取导数得，
.令，得
.∴.
18、（1）
如图，连接BD交AC于O，因为BC＝CD，即△BCD为等腰三角形，又AC平分∠
BCD，故AC⊥BD。以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z
轴的正方向，建立空间直角坐标系O－xyz，则OC＝CD＝1，而AC＝4，得
AO＝AC－OC＝3，又OD＝CD＝，故A（0，－3,0），B（，0,0），C
（0,1,0），D（，0,0）。因PA⊥底面ABCD，可设P（0，－3，z），由F为PC边中点，F.又＝，＝（，3，－z），因AF⊥PB，故·＝0，
即6－＝0，（舍去），所以||＝.
(2）由（1）知＝（，3,0），＝（，3,0），＝（0,2，），设平面FAD的法向量为n1＝（x1，y1，z1），平面FAB的法向量为n2＝（x2，y2，z2），由n1·＝0，n1·＝0，得
因此可取n1＝（3，，－2）。由n2·＝0，n2·＝0，
得故可取n2＝（3，，2）。从而法向量n1，n2的夹角的余弦值为
cos〈n1，n2〉＝，故二面角B－AF－D的正弦值为
19、（1）当X∈[100,130）时，T＝500X－300（130－X）＝800X－39 000，
当X∈[130,150]时，T＝500×130＝65 000.
所以
（2）由（1）知利润T 不少于57 000元当且仅当120≤X ≤150.
（3）依题意可得T 的分布列为
所以ET ＝45 000×0.1＋53 000×0.2＋61 000×0.3＋65 000×0.4＝59 400
20、（1）∵A（a，0），B（0，b），，所以M（，）．∴，解得a＝2b，
于是，∴椭圆E的离心率e为．
（2）由（1）知a＝2b，∴椭圆E的方程为即x2＋4y2＝4b2（1）
依题意，圆心C（2，1）是线段PQ的中点，且．
由对称性可知，PQ与x轴不垂直，设其直线方程为y＝k（x－2）＋1，代入（1）得：
（1＋4k）x－8k（2k－1）x＋4（2k－1）－4b＝0
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，
由得，解得．从而x1x2＝8－2b2．于是
．
解得：b2＝4，a2＝16，∴椭圆E的方程为．
1(21)(1)
x x
-+
∵当1
0,
2
x
??
∈ ?
??
，()0
f x'<，()
f x为单调减函数．当
1
,
2
x
??
∈+∞
?
??
，()0
f x'>，()
f x为单调增函数．
∴()
f x的单调减区间为1
0,
2
??
?
??
，()
f x的单调增区间为1,
2
??
+∞
?
??
．
（2）∵1
()2
f x x a
x
'=+-，()
f x在区间(0,1]上是减函数，∴()0
f x
'≤对任意(0,1]
x∈恒成立，
即1
20
x a
x
+-≤对任意(0,1]
x∈恒成立．令
1
()2
g x x
x
=-，
min
()
a g x
≤．易知()
g x在(0,1]上单调递减，
∴
min
()(1)1
g x g
==-．∴1
a-
≤．
22、(1）把极坐标系下的点化为直角坐标，得P（0，4）。
因为点P的直角坐标（0，4）满足直线的方程，
所以点P在直线上，
（2）因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为，
从而点Q到直线的距离为，
由此得，当时，d取得最小值，且最小值为。
23（1）当时，，时，，得
时，，得时，，此时不存
在
∴不等式的解集为（2）略