高中数学竞赛讲义+完美数学高考指导(一)
高中数学竞赛讲义+完美数学高考指导(一)
高中数学竞赛讲义（一）
──集合与简易逻辑
一、基础知识
定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素在集合A中，称属于A，记为，否则称不属于A，记作。例如，通常用N，Z，Q，B，Q+分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数
集，不含任何元素的集合称为空集，用来表示。集合分有限集和无限集两种。
集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，
如{1，2，3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。例如{有理数}，分别表示有理数集和正实数集。
定义2 子集：对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，则A叫做B
的子集，记为，例如。规定空集是任何集合的子集，如果A是B的子集，B也是A的子集，则称A与B相等。如果A是B的子集，而且B中存在元素不属于A，则A叫B的真子集。
定义3 交集，
定义4 并集，
定义5 补集，若称为A在I中的补集。
定义6 差集，。
定义7 集合记作开区间，集合
记作闭区间，R记作
定理1 集合的性质：对任意集合A，B，C，有：
（1）（2）；
（3）（4）
【证明】这里仅证（1）、（3），其余由读者自己完成。
（1）若，则，且或，所以或，即
；反之，，则或，即且
或，即且，即
（3）若，则或，所以或，所以，又，所以，即，反之也有
定理2 加法原理：做一件事有类办法，第一类办法中有种不同的方法，第二类办法中有种不
同的方法，…，第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事一共有种不同的方法。
定理3 乘法原理：做一件事分个步骤，第一步有种不同的方法，第二步有种不同的方法，…，
第步有种不同的方法，那么完成这件事一共有种不同的方法。
二、方法与例题
1．利用集合中元素的属性，检验元素是否属于集合。
例1 设，求证：
（1）；
（2）；
（3）若，则
[证明]（1）因为，且，所以
（2）假设，则存在，使，由于和有相同的奇偶性，所以是奇数或4的倍数，不可能等于，假设不成立，所以（3）设，则
（因为）。
2．利用子集的定义证明集合相等，先证，再证，则A=B。
例2 设A，B是两个集合，又设集合M满足
，求集合M（用A，B表示）。
【解】先证，若，因为，所以，所以
；
再证，若，则1）若，则；2）
若，则。所以
综上，
3．分类讨论思想的应用。
例3 ，若
，求
【解】依题设，，再由解得或，
因为，所以，所以，所以或2，所以或3。
因为，所以，若，则，即，若，则或，解得
综上所述，或；或。
4．计数原理的应用。
例4 集合A，B，C是I={1，2，3，4，5，6，7，8，9，0}的子集，（1）若，求有序集合对（A，B）的个数；（2）求I的非空真子集的个数。
【解】（1）集合I可划分为三个不相交的子集；A\B，B\A，中的每个元素恰属于其中一个子集，10个元素共有310种可能，每一种可能确定一个满足条件的集合对，所以集合对有310个。
（2）I的子集分三类：空集，非空真子集，集合I本身，确定一个子集分十步，第一步，1或者属于该子
集或者不属于，有两种；第二步，2也有两种，…，第10步，0也有两种，由乘法原理，子集共有
个，非空真子集有1022个。
5．配对方法。
例5 给定集合的个子集：，满足任何两个子集的交集非空，并且再添加I的任何一个其他子集后将不再具有该性质，求的值。
【解】将I的子集作如下配对：每个子集和它的补集为一对，共得对，每一对不能同在这个子集
中，因此，；其次，每一对中必有一个在这个子集中出现，否则，若有一对子集未出现，设为C1A 与A，并设，则，从而可以在个子集中再添加，与已知矛盾，所以。
综上，。
6．竞赛常用方法与例问题。
定理4 容斥原理；用表示集合A的元素个数，则
，需要xy此结论可以推广到个
集合的情况，即
定义8 集合的划分：若，且，则这些子集的全集叫I的一个-划分。
定理5 最小数原理：自然数集的任何非空子集必有最小数。
定理6 抽屉原理：将个元素放入个抽屉，必有一个抽屉放有不少于个元素，也必有一个抽屉放有不多于个元素；将无穷多个元素放入个抽屉必有一个抽屉放有无穷多个元素。
例6 求1，2，3，…，100中不能被2，3，5整除的数的个数。
【解】记，
，由容斥原理，
，所以不能被2，3，5整除的数有个。
例7 S是集合{1，2，…，2004}的子集，S中的任意两个数的差不等于4或7，问S中最多含有多少个元素？
【解】将任意连续的11个整数排成一圈如右图所示。由题目条件可知每相邻两个数至多有一个属于S，将这11个数按连续两个为一组，分成6组，其中一组只有一个数，若S含有这11个数中至少6个，则必有两个数在同一组，与已知矛盾，所以S至多含有其中5个数。又因为2004=182×11+2，所以S一共至多含有
182×5+2=912个元素，另一方面，当时，恰有，且S满足题目条件，所以最少含有912个元素。
例8求所有自然数，使得存在实数满足：
【解】当时，；当时，；当时，
。下证当时，不存在满足条件。
令，则
所以必存在某两个下标，使得，所以或，即，所以或，。
（ⅰ）若，考虑，有或，即，设，则，导致矛盾，故只有
考虑，有或，即，设，则
，推出矛盾，设，则，又推出矛盾，所以故当时，不存在满足条件的实数。
（ⅱ）若，考虑，有或，即，这时，推出矛盾，故。考虑，有或，即
=3，于是，矛盾。因此，所以，这又矛盾，所以
只有，所以。故当时，不存在满足条件的实数。
例9 设A={1，2，3，4，5，6}，B={7，8，9，……，n}，在A中取三个数，B中取两个数组成五个元
素的集合，求的最小值。
【解】
设B中每个数在所有中最多重复出现次，则必有。若不然，数出现次（），则
在出现的所有中，至少有一个A中的数出现3次，不妨设它是1，就有集合{1，
}，其中，为满足题意的集合。必各不相同，但只能是2，3，4，5，6这5个数，这不可能，所以
20个中，B中的数有40个，因此至少是10个不同的，所以。当时，如下20个集合满足要求：
{1，2，3，7，8}，{1，2，4，12，14}，{1，2，5，15，16}，{1，2，6，9，10}，
{1，3，4，10，11}，{1，3，5，13，14}，{1，3，6，12，15}，{1，4，5，7，9}，
{1，4，6，13，16}，{1，5，6，8，11}，{2，3，4，13，15}，{2，3，5，9，11}，
{2，3，6，14，16}，{2，4，5，8，10}，{2，4，6，7，11}，{2，5，6，12，13}，
{3，4，5，12，16}，{3，4，6，8，9}，{3，5，6，7，10}，{4，5，6，14，15}。
例10 集合{1，2，…，3n}可以划分成个互不相交的三元集合，其中，求满足条件的最小正整数
【解】设其中第个三元集为则1+2+…+
所以。当为偶数时，有，所以，当为奇数时，有，所以，
当时，集合{1，11，4}，{2，13，5}，{3，15，6}，{9，12，7}，{10，14，8}满足条件，所以的最小值为5。
三、基础训练题
1．给定三元集合，则实数的取值范围是___________。
2．若集合中只有一个元素，则=___________。
3．集合的非空真子集有___________个。
4．已知集合，若，则由满足条件的实数组成的集合P=___________。
5．已知，且，则常数的取值范围是___________。
6．若非空集合S满足，且若，则，那么符合要求的集合S有___________个。
7．集合之间的关系是___________。
8．若集合，其中，且，若，则A中元素之和是___________。
9．集合，且，则满足条件的值构成的集合为
___________。
10．集合，则
___________。
11．已知S是由实数构成的集合，且满足1））若，则。如果，S中至少含有多少个元素？说明理由。
12．已知，又C为单元素集合，求实数的取值范围。
四、高考水平训练题
1．已知集合，且A=B，则___________，___________。
2．
，则___________。
3．已知集合，当时，实数的取值范围是___________。
4．若实数为常数，且___________。
5．集合，若，则___________。
6．集合，则中的最小元素是___________。
7．集合，且A=B，则___________。
8．已知集合，且，则的取值范围是___________。
9．设集合，问：是否存在，使得，并证明你的结论。
10．集合A和B各含有12个元素，含有4个元素，试求同时满足下列条件的集合C的个数：1）且C中含有3个元素；2）。
11．判断以下命题是否正确：设A，B是平面上两个点集，，若对任何，
都有，则必有，证明你的结论。
五、联赛一试水平训练题
1．已知集合，则实数的取值范围是
___________。
2．集合的子集B满足：对任意的，则集合B中元素个数的最大值是___________。
3．已知集合，其中，且，若P=Q，则实数
___________。
4．已知集合，若是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则___________。
5．集合，集合，则集合M与N的关系是___________。
6．设集合，集合A满足：，且当时，，则A中元素最多有___________个。
7．非空集合，≤则使成立的所有的集合是___________。
8．已知集合A，B，aC（不必相异）的并集,则满足条件的有序三元组（A，B，C）个数是___________。
9．已知集合，问：当取何值时，为恰有2个元素的集合？说明理由，若改为3个元素集合，结论如何？
10．求集合B和C，使得，并且C的元素乘积等于B的元素和。
11．S是Q的子集且满足：若，则恰有一个成立，并且若，则
，试确定集合S。
12．集合S={1，2，3，4，5，6，7，8，9，0}的若干个五元子集满足：S中的任何两个元素至多出现在两个不同的五元子集中，问：至多有多少个五元子集？
六、联赛二试水平训练题
1．是三个非空整数集，已知对于1，2，3的任意一个排列，如果，，则
。求证：中必有两个相等。
2．求证：集合{1，2，…，1989}可以划分为117个互不相交的子集，使得（1）每个
恰有17个元素；（2）每个中各元素之和相同。
3．某人写了封信，同时写了个信封，然后将信任意装入信封，问：每封信都装错的情况有多少种？
4．设是20个两两不同的整数，且整合中有201个不同的元素，
求集合中不同元素个数的最小可能值。
5．设S是由个人组成的集合。求证：其中必定有两个人，他们的公共朋友的个数为偶数。
6．对于整数，求出最小的整数，使得对于任何正整数，集合的任一个元子集中，均有至少3个两两互质的元素。
7．设集合S={1，2，…，50}，求最小自然数，使S的任意一个元子集中都存在两个不同的数a和b，满足。
8．集合，试作出X的三元子集族&，满足：
（1）X的任意一个二元子集至少被族&中的一个三元子集包含；
（2）。
9．设集合，求最小的正整数，使得对A的任意一个14-分划，一定存在某个集合，在中有两个元素a和b满足。
高中数学精神讲义（二）
──二次函数与命题
一、基础知识
1．二次函数：当0时，y=ax2+bx+c或f(x)=ax2+bx+c称为关于x的二次函数，其对称轴为直线x=-，另外配方可得f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，其中x0=-，下同。
2．二次函数的性质：当a>0时，f(x)的图象开口向上，在区间（-∞，x0]上随自变量x增大函数值减小（简称递减），在[x0, -∞）上随自变量增大函数值增大（简称递增）。当a<0时，情况相反。
3．当a>0时，方程f(x)=0即ax2+bx+c=0…①和不等式ax2+bx+c>0…②及ax2+bx+c<0…③与函数f(x)的关系如下（记△=b2-4ac）。
1）当△>0时，方程①有两个不等实根，设x1,x2(x1 2）当△=0时，方程①有两个相等的实根x1=x2=x0=,不等式②和不等式③的解集分别是{x|x}和空集，f(x)的图象与x轴有唯一公共点。 3）当△<0时，方程①无解，不等式②和不等式③的解集分别是R和.f(x)图象与x轴无公共点。 当a<0时，请读者自己分析。 4．二次函数的最值：若a>0，当x=x0时，f(x)取最小值f(x0)=,若a<0，则当x=x0=时，f(x)取最大值f(x0)=.对于给定区间[m,n]上的二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)，当x0∈[m, n]时，f(x)在[m, n] 上的最小值为f(x0); 当x0 定义1 能判断真假的语句叫命题，如“3>5”是命题，“萝卜好大”不是命题。不含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合命题。 注1 “p或q”复合命题只有当p，q同为假命题时为假，否则为真命题；“p且q”复合命题只有当p，q同时为真命题时为真，否则为假命题；p与“非p”即“p”恰好一真一假。 定义2 原命题：若p则q（p为条件，q为结论）；逆命题：若q则p；否命题：若非p则q；逆否命题：若非q则非p。 注2 原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。 注3 反证法的理论依据是矛盾的排中律，而未必是证明原命题的逆否命题。 定义3 如果命题“若p则q”为真，则记为p q否则记作p q.在命题“若p则q”中，如果已知p q,则p是q的充分条件；如果q p，则称p是q的必要条件；如果p q但q不p，则称p是q的充分非必要条件；如果p不q但p q，则p称为q的必要非充分条件；若p q且q p，则p是q的充要条件。 二、方法与例题 1．待定系数法。 例1 设方程x2-x+1=0的两根是α，β，求满足f(α)=β,f(β)=α,f(1)=1的二次函数f(x). 【解】设f(x)=ax2+bx+c(a0), 则由已知f(α)=β,f(β)=α相减并整理得（α-β）[（α+β）a+b+1]=0， 因为方程x2-x+1=0中△0， 所以αβ，所以(α+β)a+b+1=0. 又α+β=1,所以a+b+1=0. 又因为f(1)=a+b+c=1， 所以c-1=1，所以c=2. 又b=-(a+1)，所以f(x)=ax2-(a+1)x+2. 再由f(α)=β得aα2-(a+1)α+2=β, 所以aα2-aα+2=α+β=1，所以aα2-aα+1=0. 即a(α2-α+1)+1-a=0,即1-a=0， 所以a=1, 所以f(x)=x2-2x+2. 2．方程的思想。 例2 已知f(x)=ax2-c满足-4≤f(1)≤-1, -1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围。 【解】因为-4≤f(1)=a-c≤-1, 所以1≤-f(1)=c-a≤4. 又-1≤f(2)=4a-c≤5, f(3)=f(2)-f(1), 所以×(-1)+≤f(3)≤×5+×4, 所以-1≤f(3)≤20. 3．利用二次函数的性质。 例3 已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R, a0)，若方程f(x)=x无实根，求证：方程f(f(x))=x也无实根。 【证明】若a>0，因为f(x)=x无实根，所以二次函数g(x)=f(x)-x图象与x轴无公共点且开口向上，所以对任意的x∈R,f(x)-x>0即f(x)>x，从而f(f(x))>f(x)。 所以f(f(x))>x，所以方程f(f(x))=x无实根。 注：请读者思考例3的逆命题是否正确。 4．利用二次函数表达式解题。 例4 设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)，方程f(x)=x的两根x1, x2满足0 （Ⅰ）当x∈(0, x1)时，求证：x （Ⅱ）设函数f(x)的图象关于x=x0对称，求证：x0< 【证明】因为x1, x2是方程f(x)-x=0的两根，所以f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)， 即f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x. （Ⅰ）当x∈(0, x1)时，x-x1<0, x-x2<0, a>0，所以f(x)>x. 其次f(x)-x1=(x-x1)[a(x-x2)+1]=a(x-x1)[x-x2+]<0，所以f(x) 综上，x （Ⅱ）f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x=ax2+[1-a(x1+x2)]x+ax1x2, 所以x0=, 所以， 所以 5．构造二次函数解题。 例5 已知关于x的方程(ax+1)2=a2(a-x2), a>1，求证：方程的正根比1小，负根比-1大。 【证明】方程化为2a2x2+2ax+1-a2=0. 构造f(x)=2a2x2+2ax+1-a2, f(1)=(a+1)2>0, f(-1)=(a-1)2>0, f(0)=1-a2<0, 即△>0， 所以f(x)在区间（-1,0）和（0，1）上各有一根。 即方程的正根比1小，负根比-1大。 6．定义在区间上的二次函数的最值。 例6 当x取何值时，函数y=取最小值？求出这个最小值。 【解】y=1-,令u,则0 y=5u2-u+1=5, 且当即x=3时，y m in=. 例7 设变量x满足x2+bx≤-x(b<-1)，并且x2+bx的最小值是，求b的值。 【解】由x2+bx≤-x(b<-1)，得0≤x≤-(b+1). ⅰ)-≤-(b+1)，即b≤-2时，x2+bx的最小值为-，所以b2=2，所以（舍去）。ⅱ) ->-(b+1)，即b>-2时，x2+bx在[0，-(b+1)]上是减函数， 所以x2+bx的最小值为b+1,b+1=-,b=-. 综上，b=-. 7.一元二次不等式问题的解法。 例8 已知不等式组①②的整数解恰好有两个，求a的取值范围。 【解】因为方程x2-x+a-a2=0的两根为x1=a, x2=1-a, 若a≤0，则x1 因为1-2a≥1-a，所以a≤0,所以不等式组无解。 若a>0，ⅰ）当0 因为0 ⅱ）当a=时，a=1-a，①无解。 ⅲ）当a>时，a>1-a，由②得x>1-2a， 所以不等式组的解集为1-a 又不等式组的整数解恰有2个， 所以a-(1-a)>1且a-(1-a)≤3， 所以1 综上，a的取值范围是1 8．充分性与必要性。 例9 设定数A，B，C使得不等式 A(x-y)(x-z)+B(y-z)(y-x)+C(z-x)(z-y)≥0 ① 对一切实数x,y,z都成立，问A，B，C应满足怎样的条件？（要求写出充分必要条件，而且限定用只涉及A，B，C的等式或不等式表示条件） 【解】充要条件为A，B，C≥0且A2+B2+C2≤2(AB+BC+CA). 先证必要性，①可改写为A(x-y)2-(B-A-C)(y-z)(x-y)+C(y-z)2≥0 ② 若A=0，则由②对一切x,y,z∈R成立，则只有B=C，再由①知B=C=0，若A0，则因为②恒成立，所以A>0，△=(B-A-C)2(y-z)2-4AC(y-z)2≤0恒成立，所以(B-A-C)2-4AC≤0，即A2+B2+C2≤2(AB+BC+CA) 同理有B≥0，C≥0，所以必要性成立。 再证充分性，若A≥0，B≥0，C≥0且A2+B2+C2≤2(AB+BC+CA)， 1）若A=0，则由B2+C2≤2BC得(B-C)2≤0，所以B=C，所以△=0，所以②成立，①成立。 2）若A>0，则由③知△≤0，所以②成立，所以①成立。 综上，充分性得证。 9．常用结论。 定理1 若a, b∈R, |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|. 【证明】因为-|a|≤a≤|a|,-|b|≤b≤|b|，所以-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|, 所以|a+b|≤|a|+|b|（注：若m>0，则-m≤x≤m等价于|x|≤m）. 又|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|-b|, 即|a|-|b|≤|a+b|.综上定理1得证。 定理2 若a,b∈R, 则a2+b2≥2ab；若x,y∈R+,则x+y≥ (证略) 注定理2可以推广到n个正数的情况，在不等式证明一章中详细论证。 三、基础训练题 1．下列四个命题中属于真命题的是________，①“若x+y=0，则x、y互为相反数”的逆命题；②“两个全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2+x+q=0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题。 2．由上列各组命题构成“p或q”，“p且q”，“非p”形式的复合命题中，p或q为真，p且q为假，非p为真的是_________.①p；3是偶数，q：4是奇数；②p:3+2=6,q:③p:a∈(a,b),q:{a}{a,b}; ④p: Q R, q: N=Z. 3. 当|x-2| 4. 不等式ax2+(ab+1)x+b>0的解是1 5. x1且x2是x-1的__________条件，而-2 6.命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的逆命题是_________. 7.若S={x|m x2+5x+2=0}的子集至多有2个，则m的取值范围是_________. 8. R为全集，A={x|3-x≥4}, B=, 则(C R A)∩B=_________. 9. 设a, b是整数，集合A={(x,y)|(x-a)2+3b≤6y}，点（2，1）∈A，但点（1，0）A，（3，2）A则a,b 的值是_________. 10．设集合A={x||x|<4}, B={x|x2-4x+3>0}，则集合{x|x∈A且x A∩B}=_________. 11. 求使不等式ax2+4x-1≥-2x2-a对任意实数x恒成立的a的取值范围。 12．对任意x∈[0,1],有①②成立，求k的取值范围。 四、高考水平训练题 1．若不等式|x-a| 2．使不等式x2+(x-6)x+9>0当|a|≤1时恒成立的x的取值范围是_________. 3．若不等式-x2+kx-4<0的解集为R，则实数k的取值范围是_________. 4．若集合A={x||x+7|>10}, B={x||x-5| 5．设a1、a2, b1、b2, c1、c2均为非零实数，不等式a1x2+b1x+c1>0和a2x2+b2x+c2>0解集分别为M和N， 那么“”是“M=N”的_________条件。 6．若下列三个方程x2+4ax-4a+3=0, x2+(a-1)x+a2=0, x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是_________. 7．已知p, q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，则r是q的_________条件。 8．已知p: |1-|≤2, q: x2-2x+1-m2≤0(m>0)，若非p是非q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是_________. 9．已知a>0，f(x)=ax2+bx+c，对任意x∈R有f(x+2)=f(2-x)，若f(1-2x2) 10．已知a, b, c∈R, f(x)=ax2+bx+c, g(x)=ax+b, 当|x|≤1时，|f(x)|≤1, (1)求证：|c|≤1; (2)求证：当|x|≤1时，|g(x)|≤2; (3)当a>0且|x|≤1时，g(x)最大值为2，求f(x). 11.设实数a,b,c,m满足条件：=0，且a≥0,m>0，求证：方程ax2+bx+c=0有一根x0 满足0 五、联赛一试水平训练题 1．不等式|x|3-2x2-4|x|+3<0的解集是_________. 2．如果实数x, y满足：，那么|x|-|y|的最小值是_________. 3．已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象经过点（1，1），（3，5），f(0)>0，当函数的最小值取最大值时，a+b2+c3=_________. 4. 已知f(x)=|1-2x|, x∈[0,1]，方程f(f(f)(x)))=x有_________个实根。 5．若关于x的方程4x2-4x+m=0在[-1，1]上至少有一个实根，则m取值范围是_________. 6．若f(x)=x4+px3+qx2+x对一切x∈R都有f(x)≥x且f(1)=1，则p+q2=_________. 7. 对一切x∈R，f(x)=ax2+bx+c(a 8．函数f(x)=ax2+bx+c的图象如图，且=b-2ac. 那么b2-4ac_________4. （填>、=、<） 9．若a 10．某人解二次方程时作如下练习：他每解完一个方程，如果方程有两个实根，他就给出下一个二次方程：它的常数项等于前一个方程较大的根，x的系数等于较小的根，二次项系数都是1。证明：这种练习不可能无限次继续下去，并求最多能延续的次数。 11．已知f(x)=ax2+bx+c在[0，1]上满足|f(x)|≤1,试求|a|+|b|+|c|的最大值。 六、联赛二试水平训练题 1．设f(x)=ax2+bx+c，a,b,c∈R, a>100，试问满足|f(x)|≤50的整数x最多有几个？ 2．设函数f(x)=ax2+8x+3(a<0)，对于给定的负数a，有一个最大的正数l(a)，使得在整个区间[0，l(a)]上，不等式|f(x)|≤5都成立。求l(a)的最大值及相应a的值。 3．设x1,x2,…,x n∈[a, a+1]，且设x=, y=, 求f=y-x2的最大值。 4．F(x)=ax2+bx+c，a,b,c∈R, 且|F(0)|≤1,|F(1)|≤1,|F(-1)|≤1,则对于|x|≤1，求|F(x)|的最大值。 5．已知f(x)=x2+ax+b，若存在实数m，使得|f(m)|≤,|f(m+1)|≤,求△=a2-4b的最大值和最小值。 6．设二次函数f(x)=ax2+bx+c (a,b,c∈R, a0)满足下列条件： 1）当x∈R时，f(x-4)=f(2-x)，且f(x)≥x； 2）当x∈(0, 2)时，f(x)≤; 3）f(x)在R上最小值为0。 求最大的m(m>1)，使得存在t∈R，只要x∈[1, m]就有f(x+t)≤x. 7.求证：方程3ax2+2bx-(a+b)=0(b0)在(0,1)内至少有一个实根。 8．设a,b,A,B∈R+, a 9．设a,b,c为实数，g(x)=ax2+bx+c, |x|≤1，求使下列条件同时满足的a, b, c的值： （ⅰ）=381; （ⅱ）g(x)m ax=444; （ⅲ）g(x)m in=364. 高中数学竞赛讲义（三） ──函数 一、基础知识 定义1 映射，对于任意两个集合A，B，依对应法则f，若对A中的任意一个元素x，在B中都有唯一一个元素与之对应，则称f: A→B为一个映射。 定义2 单射，若f: A→B是一个映射且对任意x, y∈A, x y, 都有f(x)f(y)则称之为单射。 定义3 满射，若f: A→B是映射且对任意y∈B，都有一个x∈A使得f(x)=y，则称f: A→B是A到B上的满射。 定义4 一一映射，若f: A→B既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即从B 到A由相反的对应法则f-1构成的映射，记作f-1: A→B。 定义5 函数，映射f: A→B中，若A，B都是非空数集，则这个映射为函数。A称为它的定义域，若x∈A, y∈B，且f(x)=y（即x对应B中的y），则y叫做x的象，x叫y的原象。集合{f(x)|x∈A}叫函数的值域。 通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数y=3-1的定义域为{x|x≥0,x∈R}. 定义6 反函数，若函数f: A→B（通常记作y=f(x)）是一一映射，则它的逆映射f-1: A→B叫原函数的反函数，通常写作y=f-1(x). 这里求反函数的过程是：在解析式y=f(x)中反解x得x=f-1(y)，然后将x, y互换得y=f-1(x)， 最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如：函数y=的反函数是y=1-(x0). 定理1 互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称。 定理2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。 定义7 函数的性质。 （1）单调性：设函数f(x)在区间I上满足对任意的x1, x2∈I并且x1< x2，总有f(x1) （2）奇偶性：设函数y=f(x)的定义域为D，且D是关于原点对称的数集，若对于任意的x∈D，都有 f(-x)=-f(x)，则称f(x)是奇函数；若对任意的x∈D，都有f(-x)=f(x)，则称f(x)是偶函数。奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。 （3）周期性：对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内每一个数时，f(x+T)=f(x)总成立，则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期，如果周期中存在最小的正数T0，则这个正数叫做函数f(x)的最小正周期。 定义8 如果实数a 定义9 函数的图象，点集{(x,y)|y=f(x), x∈D}称为函数y=f(x)的图象，其中D为f(x)的定义域。通过画图不难得出函数y=f(x)的图象与其他函数图象之间的关系(a,b>0)；（1）向右平移a个单位得到y=f(x-a)的图象；（2）向左平移a个单位得到y=f(x+a)的图象；（3）向下平移b个单位得到y=f(x)-b的图象；（4）与函数y=f(-x)的图象关于y轴对称；（5）与函数y=-f(-x)的图象关于原点成中心对称；（6）与函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称；（7）与函数y=-f(x)的图象关于x轴对称。 定理3 复合函数y=f[g(x)]的单调性，记住四个字：“同增异减”。例如y=, u=2-x在（-∞,2）上是 减函数，y=在（0，+∞）上是减函数，所以y=在（-∞,2）上是增函数。 注：复合函数单调性的判断方法为同增异减。这里不做严格论证，求导之后是显然的。 二、方法与例题 1．数形结合法。 例1 求方程|x-1|=的正根的个数. 【解】分别画出y=|x-1|和y=的图象，由图象可知两者有唯一交点，所以方程有一个正根。 例2 求函数f(x)=的最大值。 【解】f(x)=，记点P(x, x?2)，A（3，2），B（0，1），则f(x)表示动点P到点A和B距离的差。 因为|PA|-|PA|≤|AB|=,当且仅当P为AB延长线与抛物线y=x2的交点时等号成立。 所以f(x)m ax= 2.函数性质的应用。 例3 设x, y∈R，且满足，求x+y. 【解】设f(t)=t3+1997t，先证f(t)在（-∞，+∞）上递增。事实上，若a f(b)-f(a)=b3-a3+1997(b-a)=(b-a)(b2+ba+a2+1997)>0，所以f(t)递增。 由题设f(x-1)=-1=f(1-y)，所以x-1=1-y，所以x+y=2. 例4 奇函数f(x)在定义域（-1，1）内是减函数，又f(1-a)+f(1-a2)<0，求a的取值范围。 【解】因为f(x) 是奇函数，所以f(1-a2)=-f(a2-1)，由题设f(1-a) 又f(x)在定义域（-1，1）上递减，所以-1<1-a 例5 设f(x)是定义在（-∞，+∞）上以2为周期的函数，对k∈Z, 用I k表示区间(2k-1, 2k+1]，已知当x ∈I0时，f(x)=x2，求f(x)在I k上的解析式。 【解】设x∈I k，则2k-1 所以f(x-2k)=(x-2k)2. 又因为f(x)是以2为周期的函数， 所以当x∈I k时，f(x)=f(x-2k)=(x-2k)2. 例6 解方程：(3x-1)()+(2x-3)(+1)=0. 【解】令m=3x-1, n=2x-3，方程化为 m(+1)+n(+1)=0. ① 若m=0，则由①得n=0，但m, n不同时为0，所以m0, n0. ⅰ)若m>0，则由①得n<0，设f(t)=t(+1),则f(t)在（0，+∞）上是增函数。又f(m)=f(-n)，所以 m=-n，所以3x-1+2x-3=0，所以x= ⅱ)若m<0，且n>0。同理有m+n=0,x=,但与m<0矛盾。 综上，方程有唯一实数解x= 3.配方法。 例7 求函数y=x+的值域。 【解】y=x+=[2x+1+2+1]-1 =(+1)-1≥-1=-. 当x=-时，y取最小值-，所以函数值域是[-，+∞）。 4．换元法。 例8 求函数y=(++2)(+1),x∈[0,1]的值域。 【解】令+=u，因为x∈[0,1]，所以2≤u2=2+2≤4,所以≤u≤2,所以≤ ≤2，1≤≤2，所以y=,u2∈[+2，8]。 所以该函数值域为[2+，8]。 5．判别式法。 例9 求函数y=的值域。 【解】由函数解析式得(y-1)x2+3(y+1)x+4y-4=0. ① 当y1时，①式是关于x的方程有实根。 所以△=9(y+1)2-16(y-1)2≥0，解得≤y≤1. 又当y=1时，存在x=0使解析式成立， 所以函数值域为[，7]。 6．关于反函数。 例10 若函数y=f(x)定义域、值域均为R，且存在反函数。若f(x)在(-∞,+ ∞)上递增，求证：y=f-1(x)在(-∞,+ ∞)上也是增函数。 【证明】设x1 即y=f-1(x)在(-∞,+ ∞)递增。 例11 设函数f(x)=，解方程：f(x)=f-1(x). 【解】首先f(x)定义域为（-∞，-）∪[-，+∞）；其次，设x1, x2是定义域内变量，且x1 =>0, 所以f(x)在（-∞，-）上递增，同理f(x)在[-，+∞）上递增。 在方程f(x)=f-1(x)中，记f(x)=f-1(x)=y，则y≥0，又由f-1(x)=y得f(y)=x，所以x≥0,所以x,y∈[-，+∞）. 若x y，设x 同理若x>y也可得出矛盾。所以x=y. 即f(x)=x，化简得3x5+2x4-4x-1=0, 即(x-1)(3x4+5x3+5x2+5x+1)=0, 因为x≥0，所以3x4+5x3+5x2+5x+1>0，所以x=1. 三、基础训练题 1．已知X={-1, 0, 1}, Y={-2, -1, 0, 1, 2}，映射f：X→Y满足：对任意的x∈X，它在Y中的象f(x)使得x+f(x)为偶数，这样的映射有_______个。 2．给定A={1，2，3}，B={-1，0，1}和映射f：X→Y，若f为单射，则f有_______个；若f为满射，则f 有_______个；满足f[f(x)] =f(x)的映射有_______个。 3．若直线y=k(x-2)与函数y=x2+2x图象相交于点（-1，-1），则图象与直线一共有_______个交点。 4．函数y=f(x)的值域为[]，则函数g(x)=f(x)+的值域为_______。 5．已知f(x)=，则函数g(x)=f[f(x)]的值域为_______。 6．已知f(x)=|x+a|，当x≥3时f(x)为增函数，则a的取值范围是_______。 7．设y=f(x)在定义域（，2）内是增函数，则y=f(x2-1)的单调递减区间为_______。 8．若函数y=(x)存在反函数y=-1(x)，则y=-1(x)的图象与y=-(-x)的图象关于直线_______对称。 9．函数f(x)满足=1-，则f()=_______。 10. 函数y=, x∈(1, +∞)的反函数是_______。 11．求下列函数的值域：（1）y=; (2)y=; (3)y=x+2; (4) y= 12. 已知定义在R上，对任意x∈R, f(x)=f(x+2)，且f(x)是偶函数，又当x∈[2,3]时，f(x)=x，则当x∈[-2,0]时，求f(x)的解析式。 四、高考水平训练题 1．已知a∈, f(x)定义域是（0,1]，则g(x)=f(x+a)+f(x-a)+f(x)的定义域为_______。 2．设0≤a<1时，f(x)=(a-1)x2-6ax+a+1恒为正值。则f(x)定义域为_______。 3．映射f: {a, b, c, d}→{1，2，3}满足10 4．设函数y=f(x)(x∈R)的值域为R，且为增函数，若方程f(x)=x解集为P，f[f(x)]=x解集为Q，则P，Q 的关系为：P_______Q（填=、、）。 5．下列函数是否为奇函数：（1）f(x)=(x-1)；（2）g(x)=|2x+1|-|2x-1| ; (3) (x)=； （4）y= 6. 设函数y=f(x)(x∈R且x0)，对任意非零实数x1, x2满足f(x1x2)=f(x1)+f(x2)，又f(x)在（0，+∞）是增函数，则不等式f(x)+f(x-)≤0的解集为_______。 7．函数f(x)=，其中P，M为R的两个非空子集，又规定f(P)={y|y=f(x), x∈P}, f(M)={y|y=f(x), x∈M}，给出如下判断：①若P∩M=，则f(P) ∩f(M)=；②若P∩M，则f(P) ∩f(M)；③若P∪M=R, 则f(P) ∪f(M)=R；④若P∪M R，则f(P) ∪f(M)R. 其中正确的判断是_______。 8．函数y=f(x+1)的反函数是y=f-1(x+1)，并且f(1)=3997，则f(1998)= _______。 9．已知y=f(x)是定义域为[-6，6]的奇函数，且当x∈[0，3]时是一次函数，当x∈[3，6]时是二次函数，又f(6)=2，当x∈[3，6]时，f(x)≤f(5)=3。求f(x)的解析式。 10．设a>0，函数f(x)定义域为R，且f(x+a)=，求证：f(x)为周期函数。 11．设关于x的方程2x2-tx-2=0的两根为α，β（α<β），已知函数f(x)=,（1）求f(α)、f(β)；（2）求证：f(x)在[α，β]上是增函数；（3）对任意正数x1, x2，求证：<2|α-β|. 五、联赛一试水平训练题 1．奇函数f(x)存在函数f-1(x)，若把y=f(x)的图象向上平移3个单位，然后向右平移2个单位后，再关于直线y=-x对称，得到的曲线所对应的函数是________. 2．若a>0，a1,F(x)是奇函数，则G(x)=F(x)是________（奇偶性）. 3．若=x，则下列等式中正确的有________.①F(-2-x)=-2-F(x)；②F(-x)= ；③ F(x-1)=F(x)；④F(F(x))=-x. 4.设函数f：R→R满足f(0)=1，且对任意x,y∈R，都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2，则f(x)=________. 5．已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1，且对任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5, f(x+1) ≤f(x)+1。若 g(x)=f(x)+1-x，则g(2002)= ________. 6. 函数f(x)=的单调递增区间是________. 7. 函数f(x)=的奇偶性是：________奇函数，________偶函数（填是，非）。 8. 函数y=x+的值域为________. 9．设f(x)=, 对任意的a∈R，记V(a)=m ax{f(x)-ax|x∈[1, 3]}-m in{f(x)-ax|x∈[1, 3]}，试求V(a)的最小值。 10．解方程组：（在实数范围内） 11．设k∈N+, f: N+→N+满足：（1）f(x)严格递增；（2）对任意n∈N+, 有f[f(n)]=kn，求证：对任意n∈N+, 都有n≤f(n)≤ 六、联赛二试水平训练题 1．求证：恰有一个定义在所有非零实数上的函数f，满足：（1）对任意x≠0, f(x)=x·f；（2）对所有的x≠-y且xy≠0，有f(x)+f(y)=1+f(x+y). 2.设f(x)对一切x>0有定义，且满足：（ⅰ）f(x)在（0，+∞）是增函数；(ⅱ)任意x>0, f(x)f=1，试求f(1). 3. f:[0,1]→R满足：（1）任意x∈[0, 1], f(x)≥0；（2）f(1)=1；（3）当x, y, x+y∈[0, 1]时，f(x)+f(y)≤f(x+y)，试求最小常数c，对满足（1），（2），（3）的函数f(x)都有f(x)≤cx. 4. 试求f(x,y)=6(x2+y2)(x+y)-4(x2+xy+y2)-3(x+y)+5(x>0, y>0)的最小值。 5．对给定的正数p,q∈(0, 1)，有p+q>1≥p2+q2，试求f(x)=(1-x)+在[1-q,p]上的最大值。 6．已知f: (0,1)→R且f(x)=. 当x∈时，试求f(x)的最大值。 7．函数f(x)定义在整数集上，且满足f(n)=，求f(100)的值。 8．函数y=f(x)定义在整个实轴上，它的图象在围绕坐标原点旋转角后不变。（1）求证：方程f(x)=x 恰有一个解；（2）试给出一个具有上述性质的函数。 9．设Q+是正有理数的集合，试构造一个函数f: Q+→Q+，满足这样的条件：f(xf(y))=x, y∈Q+. 高中数学竞赛讲义（四） ──几个初等函数的性质 一、基础知识 1．指数函数及其性质：形如y=a x(a>0, a1)的函数叫做指数函数，其定义域为R，值域为（0，+∞），当0 2．分数指数幂：。 3．对数函数及其性质：形如y=log a x(a>0, a1)的函数叫做对数函数，其定义域为（0，+∞），值域为R，图象过定点（1，0）。当0 4．对数的性质（M>0, N>0）； 1）a x=M x=log a M(a>0, a1)； 2）log a(M N)= log a M+ log a N； 3）log a（）= log a M- log a N；4）log a M n=n log a M；， 5）log a=log a M；6）a loga M=M; 7) log a b=(a,b,c>0, a, c1). 5. 函数y=x+（a>0）的单调递增区间是和，单调递减区间为和。（请读者自己用定义证明） 6．连续函数的性质：若a 二、方法与例题 1．构造函数解题。 例1 已知a, b, c∈(-1, 1)，求证：ab+bc+ca+1>0. 【证明】设f(x)=(b+c)x+bc+1 (x∈(-1, 1))，则f(x)是关于x的一次函数。 所以要证原不等式成立，只需证f(-1)>0且f(1)>0（因为-1 因为f(-1)=-(b+c)+bc+1=(1-b)(1-c)>0， f(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)>0， 所以f(a)>0，即ab+bc+ca+1>0. 例2 （柯西不等式）若a1, a2,…,a n是不全为0的实数，b1, b2,…,b n∈R，则（）·（）≥()2，等号当且仅当存在R，使a i=, i=1, 2, …, n时成立。 【证明】令f(x)= （）x2-2()x+=, 因为>0，且对任意x∈R, f(x)≥0， 所以△=4()-4（）()≤0. 展开得（）()≥()2。 等号成立等价于f(x)=0有实根，即存在，使a i=, i=1, 2, …, n。 例3 设x, y∈R+, x+y=c, c为常数且c∈(0, 2]，求u=的最小值。 【解】u==xy+≥xy++2· =xy++2. 令xy=t，则0 因为0 所以f(t)m in=f()=+，所以u≥++2. 当x=y=时，等号成立. 所以u的最小值为++2. 2．指数和对数的运算技巧。 例4 设p, q∈R+且满足log9p= log12q= log16(p+q)，求的值。 【解】令log9p= log12q= log16(p+q)=t，则p=9t , q=12t , p+q=16t， 所以9t +12t =16t，即1+ 记x=，则1+x=x2，解得 又>0，所以= 例5 对于正整数a, b, c(a≤b≤c)和实数x, y, z, w，若a x=b y=c z=70w，且，求证：a+b=c. 【证明】由a x=b y=c z=70w取常用对数得xlga=ylgb=zlgc=wlg70. 所以lga=lg70, lgb=lg70, lgc=lg70， 相加得(lga+lgb+lgc)=lg70，由题设， 所以lga+lgb+lgc=lg70，所以lgabc=lg70. 所以abc=70=2×5×7. 若a=1，则因为xlga=wlg70，所以w=0与题设矛盾，所以a>1. 又a≤b≤c，且a, b, c为70的正约数，所以只有a=2, b=5, c=7. 所以a+b=c. 例6 已知x1, ac1, a1, c 1. 且log a x+log c x=2log b x，求证c2=(ac)logab. 【证明】由题设log a x+log c x=2log b x，化为以a为底的对数，得 ， 因为ac>0, ac1，所以log a b=log ac c2，所以c2=(ac)logab. 注：指数与对数式互化，取对数，换元，换底公式往往是解题的桥梁。 3．指数与对数方程的解法。 解此类方程的主要思想是通过指对数的运算和换元等进行化简求解。值得注意的是函数单调性的应用和未知数范围的讨论。 1 第三章 函数 一、基础知识 定义1 映射，对于任意两个集合A ，B ，依对应法则f ，若对A 中的任意一个元素x ，在B 中都有唯一一个元素与之对应，则称f : A →B 为一个映射。 定义2 单射，若f : A →B 是一个映射且对任意x , y ∈A , x ≠y , 都有f (x )≠f (y )则称之为单射。 定义3 满射，若f : A →B 是映射且对任意y ∈B ，都有一个x ∈A 使得f (x )=y ，则称f : A →B 是A 到B 上的满射。 定义4 一一映射，若f : A →B 既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即从B 到A 由相反的对应法则f -1构成的映射，记作f -1: A →B 。 定义5 函数，映射f : A →B 中，若A ，B 都是非空数集，则这个映射为函数。A 称为它的定义域，若x ∈A , y ∈B ，且f (x )=y （即x 对应B 中的y ），则y 叫做x 的象，x 叫y 的原象。集合{f (x )|x ∈A }叫函数的值域。通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数y =3x -1的定义域为{x |x ≥0,x ∈R}. 定义6 反函数，若函数f : A →B （通常记作y =f (x )）是一一映射，则它的逆映射f -1: A →B 叫原函数的反函数，通常写作y =f -1(x ). 这里求反函数的过程是：在解析式y =f (x )中反解x 得x =f -1(y )，然后将x , y 互换得y =f -1(x )，最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如：函数y =x -11的反函数是y =1-x 1(x ≠0). 定理1 互为反函数的两个函数的图象关于直线y =x 对称。 定理2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。 定义7 函数的性质。 （1）单调性：设函数f (x )在区间I 上满足对任意的x 1, x 2∈I 并且x 1< x 2，总有f (x 1) 1 复数 一、基础知识 1．复数的定义：设i 为方程x 2=-1的根，i 称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除 等运算。便产生形如a+bi （a,b ∈R ）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C 来表示。 2．复数的几种形式。对任意复数z=a+bi （a,b ∈R ），a 称实部记作Re(z),b 称虚部记作Im(z). z=ai 称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z 与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x 轴称为实轴，y 轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z 又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z 对应复平面内的点Z ，见图15-1，连接OZ ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r ，则a=rcos θ,b=rsin θ,所以z=r(cos θ+isin θ)，这种形式叫做三角形式。若z=r(cos θ+isin θ)，则θ称为z 的辐角。若0≤θ<2π，则θ称为z 的辐角主值，记作θ=Arg(z). r 称为z 的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=2 2b a +.如果用e i θ表示cos θ+isin θ，则z=re i θ，称为复数的指数形式。 3．共轭与模，若z=a+bi ，（a,b ∈R ）,则=z a-bi 称为z 的共轭复数。模与共轭的性质有： （1）2121z z z z ±=±；（2）2121z z z z ?=?；（3）2||z z z =?；（4）2121z z z z =???? ??；（5）||||||2121z z z z ?=?；（6）|||||| 2121z z z z =；（7）||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|；（8）|z 1+z 2|2+|z 1-z 2|2=2|z 1|2+2|z 2|2；（9）若|z|=1，则z z 1=。 4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满足平行四边形和三角形法则；（3）按三角形式，若z 1=r 1(cos θ1+isin θ1), z 2=r 2(cos θ2+isin θ2)，则z 1??z 2=r 1r 2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若2 1212,0r r z z z =≠[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]，用指数形式记为z 1z 2=r 1r 2e i(θ1+θ2),.)(2 12121θθ-=i e r r z z 5.棣莫弗定理：[r(cos θ+isin θ)]n =r n (cosn θ+isinn θ). 6.开方：若=n w r(cos θ+isin θ)，则)2s i n 2(c o s n k i n k r w n πθπθ+++=，k=0,1,2,…,n-1。 7．单位根：若w n =1，则称w 为1的一个n 次单位根，简称单位根，记Z 1=n i n ππ2sin 2cos +，则全部单位根可表示为1,1Z ,1121,,-n Z Z .单位根的基本性质有（这里记k k Z Z 1=， 高中数学竞赛讲义（十六） ──平面几何 一、常用定理（仅给出定理，证明请读者完成） 梅涅劳斯定理设分别是ΔABC的三边BC，CA，AB或其延长线上的点，若三点共线，则 梅涅劳斯定理的逆定理条件同上，若 则三点共线。 塞瓦定理设分别是ΔABC的三边BC，CA，AB或其延长线上的点，若三线平行或共点， 则 塞瓦定理的逆定理设分别是ΔABC的三边 BC，CA，AB或其延长线上的点，若则三线共点或互相平行。 角元形式的塞瓦定理分别是ΔABC的三边BC，CA，AB所在直线上的点，则平行或共点 的充要条件是 广义托勒密定理设ABCD为任意凸四边形，则AB?CD+BC?AD≥AC?BD，当且仅当A，B，C，D四点共圆时取等号。 斯特瓦特定理设P为ΔABC的边BC上任意一点，P不同于B，C，则有 AP2=AB2?+AC2?-BP?PC. 西姆松定理过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。 西姆松定理的逆定理若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在三角形的外接圆上。 九点圆定理三角形三条高的垂足、三边的中点以及垂心与顶点的三条连线段的中点，这九点共圆。 蒙日定理三条根轴交于一点或互相平行。（到两圆的幂（即切线长）相等的点构成集合为一条直线，这条直线称根轴）欧拉定理ΔABC的外心O，垂心H，重心G三点共线，且 二、方法与例题 1．同一法。即不直接去证明，而是作出满足条件的图形或点，然后证明它与已知图形或点重合。 例1 在ΔABC中，∠ABC=700，∠ACB=300，P，Q为ΔABC内部两点，∠QBC=∠QCB=100，∠PBQ=∠PCB=200，求证：A，P，Q三点共线。 [证明] 设直线CP交AQ于P1，直线BP交AQ于P2，因为∠ACP= ∠PCQ=100，所以，①在ΔABP，ΔBPQ，ΔABC中由正弦定理有 §23抽屉原理 在数学问题中有一类与“存在性”有关的问题，例如：“13个人中至少有两个人出生在相同月份”；“某校400名学生中，一定存在两名学生，他们在同一天过生日”；“2003个人任意分成200个小组，一定存在一组，其成员数不少于11”；“把[0，1]内的全部有理数放到100个集合中，一定存在一个集合，它里面有无限多个有理数”。这类存在性问题中，“存在”的含义是“至少有一个”。在解决这类问题时，只要求指明存在，一般并不需要指出哪一个，也不需要确定通过什么方式把这个存在的东西找出来。这类问题相对来说涉及到的运算较少，依据的理论也不复杂，我们把这些理论称之为“抽屉原理”。 “抽屉原理”最先是由19世纪的德国数学家迪里赫莱（Dirichlet）运用于解决数学问题的，所以又称“迪里赫莱原理”，也有称“鸽巢原理”的。这个原理可以简单地叙述为“把10个苹果，任意分放在9个抽屉里，则至少有一个抽屉里含有两个或两个以上的苹果”。这个道理是非常明显的，但应用它却可以解决许多有趣的问题，并且常常得到一些令人惊异的结果。抽屉原理是国际国内各级各类数学竞赛中的重要内容，本讲就来学习它的有关知识及其应用。 （一）抽屉原理的基本形式 定理1、如果把n+1个元素分成n个集合，那么不管怎么分，都存在一个集合，其中至少有两个元素。 证明：（用反证法）若不存在至少有两个元素的集合，则每个集合至多1个元素，从而n 个集合至多有n个元素，此与共有n+1个元素矛盾，故命题成立。 在定理1的叙述中，可以把“元素”改为“物件”，把“集合”改成“抽屉”，抽屉原理正是由此得名。 同样，可以把“元素”改成“鸽子”，把“分成n个集合”改成“飞进n个鸽笼中”。“鸽笼原理”由此得名。 例题讲解 1．已知在边长为1的等边三角形内（包括边界）有任意五个点（图1）。证明：至少有两个点之间的距离不大于 2．从1-100的自然数中，任意取出51个数，证明其中一定有两个数，它们中的一个是另一个的整数倍。 第五章 数列 一、基础知识 定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n ，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{a n }的一般形式通常记作a 1, a 2, a 3,…，a n 或a 1, a 2, a 3,…，a n …。其中a 1叫做数列的首项，a n 是关于n 的具体表达式，称为数列的通项。 定理1 若S n 表示{a n }的前n 项和，则S 1=a 1, 当n >1时，a n =S n -S n -1. 定义2 等差数列，如果对任意的正整数n ，都有a n +1-a n =d （常数），则{a n }称为等差数列，d 叫做公差。若三个数a , b , c 成等差数列，即2b =a +c ，则称b 为a 和c 的等差中项，若公差为d, 则a =b -d, c =b +d. 定理2 等差数列的性质：1）通项公式a n =a 1+(n -1)d ；2）前n 项和公式： S n =d n n na a a n n 2 )1(2)(11-+=+；3）a n -a m =(n -m)d ，其中n , m 为正整数；4）若n +m=p +q ，则a n +a m =a p +a q ；5）对任意正整数p , q ，恒有a p -a q =(p -q )(a 2-a 1)；6）若A ，B 至少有一个不为零，则{a n }是等差数列的充要条件是S n =An 2+Bn . 定义3 等比数列，若对任意的正整数n ，都有 q a a n n =+1，则{a n }称为等比数列，q 叫做公比。 定理3 等比数列的性质：1）a n =a 1q n -1 ；2）前n 项和S n ，当q ≠1时，S n =q q a n --1)1(1；当q =1时，S n =na 1；3）如果a , b , c 成等比数列，即b 2=ac (b ≠0)，则b 叫做a , c 的等比中项；4）若m+n =p +q ，则a m a n =a p a q 。 定义4 极限，给定数列{a n }和实数A ，若对任意的ε>0，存在M ，对任意的n >M(n ∈N ),都有|a n -A |<ε，则称A 为n →+∞时数列{a n }的极限，记作.lim A a n n =∞ → 定义5 无穷递缩等比数列，若等比数列{a n }的公比q 满足|q |<1，则称之为无穷递增等比数列，其前n 项和S n 的极限（即其所有项的和）为q a -11（由极限的定义可得）。 定理3 第一数学归纳法：给定命题p (n )，若：（1）p (n 0)成立；（2）当p (n )时n =k 成立时能推出p (n )对n =k +1成立，则由（1），（2）可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。 竞赛常用定理 定理4 第二数学归纳法：给定命题p (n )，若：（1）p (n 0)成立；（2）当p (n )对一切n ≤k 的自然数n 都成立时（k ≥n 0）可推出p (k +1)成立，则由（1），（2）可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。 定理5 对于齐次二阶线性递归数列x n =ax n -1+bx n -2，设它的特征方程x 2=ax +b 的两个根为α,β:(1)若α≠β，则x n =c 1a n -1+c 2βn -1，其中c 1, c 2由初始条件x 1, x 2的值确定；(2)若α=β，则x n =(c 1n +c 2) αn -1，其中c 1, c 2的值由x 1, x 2的值确定。 二、方法与例题 1．不完全归纳法。 这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊→猜想→数学归纳法证明。 例1 试给出以下几个数列的通项（不要求证明）；1）0，3，8，15，24，35，…；2）1，5，19，65，…；3）-1，0，3，8，15，…。 【解】1）a n =n 2-1；2）a n =3n -2n ；3）a n =n 2-2n . 例2 已知数列{a n }满足a 1= 21,a 1+a 2+…+a n =n 2a n , n ≥1，求通项a n . 【解】 因为a 1= 2 1,又a 1+a 2=22·a 2, 三角函数 一、基础知识 定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。 定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的绝对值|α|=r L ,其中r 是圆的半径。 定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x ,y ），到原点的距离为r,则正 弦函数s in α= r y ,余弦函数co s α=r x ,正切函数tan α=x y ，余切函数cot α=y x ，正割函数se c α=x r ,余割函数c s c α=.y r 定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan α=αcot 1,s in α=αcsc 1，co s α=α sec 1；商数关系：tan α=αααααsin cos cot ,cos sin =；乘积关系：tan α×co s α=s in α,cot α×s in α=co s α；平方关系：s in 2α+co s 2α=1, tan 2α+1=se c 2α, cot 2α+1=c s c 2α. 定理2 诱导公式（Ⅰ）s in (α+π)=-s in α, co s(π+α)=-co s α, tan (π+α)=tan α, cot (π+α)=cot α;（Ⅱ）s in (-α)=-s in α, co s(-α)=co s α, tan (-α)=-tan α, cot (-α)=cot α; （Ⅲ）s in (π-α)=s in α, co s(π-α)=-co s α, tan =(π-α)=-tan α, cot (π-α)=-cot α; （Ⅳ）s in ??? ??-απ2=co s α, co s ??? ??-απ2=s in α, tan ?? ? ??-απ2=cot α（奇变偶不变，符号看象限）。 定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y =s inx （x ∈R ）的性质如下。单调区间：在区间 ?? ????+-22,22ππππk k 上为增函数，在区间??????++ππππ232,22k k 上为减函数，最小正周期为2π. 奇偶数. 有界性：当且仅当x =2kx +2π时，y 取最大值1，当且仅当x =3k π-2 π时, y 取最小值-1。对称性：直线x =k π+2 π均为其对称轴，点（k π, 0）均为其对称中心，值域为[-1，1]。这里k ∈Z . 定理4 余弦函数的性质，根据图象可得y =co s x (x ∈R )的性质。单调区间：在区间[2k π, 2k π+π]上单调递减，在区间[2k π-π, 2k π]上单调递增。最小正周期为2π。奇偶性：偶函数。对称性：直线x =k π均为其对称轴，点?? ? ?? +0,2ππk 均为其对称中心。有界性：当且仅当x =2k π时，y 取最大值1；当且仅当x =2k π-π时，y 取最小值-1。值域为[-1，1]。这里k ∈Z . 定理5 正切函数的性质：由图象知奇函数y =tanx (x ≠k π+ 2π)在开区间(k π-2π, k π+2π)上为增函数, 最小正周期为π，值域为（-∞，+∞），点（k π，0），（k π+2π ，0）均为其对称中心。 定理6 两角和与差的基本关系式：co s(α±β)=co s αco s β s in αs in β,s in (α±β)=s in αco s β±co s αs in β; tan (α±β)= .) tan tan 1()tan (tan βαβα ± 数列 一、基础知识 定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n ，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{a n }的一般形式通常记作a 1, a 2, a 3,…，a n 或a 1, a 2, a 3,…，a n …。其中a 1叫做数列的首项，a n 是关于n 的具体表达式，称为数列的通项。 定理1 若S n 表示{a n }的前n 项和，则S 1=a 1, 当n >1时，a n =S n -S n -1. 定义2 等差数列，如果对任意的正整数n ，都有a n +1-a n =d （常数），则{a n }称为等差数列，d 叫做公差。若三个数a , b , c 成等差数列，即2b =a +c ，则称b 为a 和c 的等差中项，若公差为d, 则a =b -d, c =b +d. 定理2 等差数列的性质：1）通项公式a n =a 1+(n -1)d ；2）前n 项和公式： S n =d n n na a a n n 2 )1(2)(11-+=+；3）a n -a m =(n -m)d ，其中n , m 为正整数；4）若n +m=p +q ，则a n +a m =a p +a q ；5）对任意正整数p , q ，恒有a p -a q =(p -q )(a 2-a 1)；6）若A ，B 至少有一个不为零，则{a n }是等差数列的充要条件是S n =An 2+Bn . 定义3 等比数列，若对任意的正整数n ，都有 q a a n n =+1，则{a n }称为等比数列，q 叫做公比。 定理3 等比数列的性质：1）a n =a 1q n -1 ；2）前n 项和S n ，当q ≠1时，S n =q q a n --1)1(1；当q =1时，S n =na 1；3）如果a , b , c 成等比数列，即b 2=ac (b ≠0)，则b 叫做a , c 的等比中项；4）若m+n =p +q ，则a m a n =a p a q 。 定义4 极限，给定数列{a n }和实数A ，若对任意的ε>0，存在M ，对任意的n >M(n ∈N ),都有|a n -A |<ε，则称A 为n →+∞时数列{a n }的极限，记作.lim A a n n =∞ → 定义5 无穷递缩等比数列，若等比数列{a n }的公比q 满足|q |<1，则称之为无穷递增等比数列，其前n 项和S n 的极限（即其所有项的和）为q a -11（由极限的定义可得）。 定理3 第一数学归纳法：给定命题p (n )，若：（1）p (n 0)成立；（2）当p (n )时n =k 成立时能推出p (n )对n =k +1成立，则由（1），（2）可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。 竞赛常用定理 定理4 第二数学归纳法：给定命题p (n )，若：（1）p (n 0)成立；（2）当p (n )对一切n ≤k 的自然数n 都成立时（k ≥n 0）可推出p (k +1)成立，则由（1），（2）可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。 定理5 对于齐次二阶线性递归数列x n =ax n -1+bx n -2，设它的特征方程x 2=ax +b 的两个根为α,β:(1)若α≠β，则x n =c 1a n -1+c 2βn -1，其中c 1, c 2由初始条件x 1, x 2的值确定；(2)若α=β，则x n =(c 1n +c 2) αn -1，其中c 1, c 2的值由x 1, x 2的值确定。 二、方法与例题 1．不完全归纳法。 这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊→猜想→数学归纳法证明。 例1 试给出以下几个数列的通项（不要求证明）；1）0，3，8，15，24，35，…；2）1，5，19，65，…；3）-1，0，3，8，15，…。 【解】1）a n =n 2-1；2）a n =3n -2n ；3）a n =n 2-2n . 例2 已知数列{a n }满足a 1= 21,a 1+a 2+…+a n =n 2a n , n ≥1，求通项a n . 【解】 因为a 1= 2 1,又a 1+a 2=22·a 2, 第三章 函数 一、基础知识 定义1 映射，对于任意两个集合A ，B ，依对应法则f ，若对A 中的任意一个元素x ，在B 中都有唯一一个元素与之对应，则称f : A →B 为一个映射． 定义2 单射，若f : A →B 是一个映射且对任意x ， y ∈A ， x ≠y ， 都有f (x )≠f (y )则称之为单射． 定义3 满射，若f : A →B 是映射且对任意y ∈B ，都有一个x ∈A 使得f (x )=y ，则称f : A →B 是A 到B 上的满射． 定义4 一一映射，若f : A →B 既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆 映射，即从B 到A 由相反的对应法则f -1构成的映射，记作f -1 : A →B ． 定义5 函数，映射f : A →B 中，若A ，B 都是非空数集，则这个映射为函数．A 称为它的定义域，若x ∈A ， y ∈B ，且f (x )=y （即x 对应B 中的y 则y 叫做x 的象，x 叫y 的原象．集合{f (x )|x ∈A }叫函数的值域．通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数y =3x -1的定义域为{x |x ≥0，x ∈R}. 定义6 反函数，若函数f : A →B （通常记作y =f (x )）是一一映射，则它的逆映射f -1 : A →B 叫原函数的反函数，通常写作y =f -1(x ). 这里求反函数的过程是：在解析式y =f (x )中反解x 得x =f -1(y )，然后将x ， y 互换得y =f -1(x )，最后指出反函数的定义域即原函数的值域．例如：函数y = x -11的反函数是y =1-x 1 (x ≠0). 定理1 互为反函数的两个函数的图象关于直线y =x 对称． 定理2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数． 定义7 函数的性质． （1）单调性：设函数f (x )在区间I 上满足对任意的x 1， x 2∈I 并且x 1< x 2，总有 f (x 1) 高中数学竞赛标准讲义----排列组合与概率 一、基础知识 1．加法原理：做一件事有n 类办法，在第1类办法中有m 1种不同的方法，在第2类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m 1+m 2+…+m n 种不同的方法。 2．乘法原理：做一件事，完成它需要分n 个步骤，第1步有m 1种不同的方法，第2步有m 2种不同的方法，……，第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m 1×m 2×…×m n 种不同的方法。 3．排列与排列数：从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列，从n 个不同元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用m n A 表示，m n A =n(n-1)…(n-m+1)= )! (! m n n -,其中m,n ∈N,m ≤n, 注：一般地0n A =1，0！=1，n n A =n!。 4．N 个不同元素的圆周排列数为n A n n =(n-1)!。 5．组合与组合数：一般地，从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合，即从n 个不同元素中不计顺序地取出m 个构成原集合的一个子集。从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用m n C 表示： .)! (!! !)1()1(m n m n m m n n n C m n -=+--= 6．组合数的基本性质：（1）m n n m n C C -=；（2）11--+=n n m n m n C C C ；（3）k n k n C C k n =--11；（4）n n k k n n n n n C C C C 20 10==+++∑= ；（5）111++++-=+++k m k k m k k k k k C C C C ；（6）k n m n m k k n C C C --=。 7．定理1：不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的正整数解的个数为11--n r C 。 [证明]将r 个相同的小球装入n 个不同的盒子的装法构成的集合为A ，不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的正整数解构成的集合为B ，A 的每个装法对应B 的唯一一个解，因而构成映射，不同的装法对应的解也不同，因此为单射。反之B 中每一个解(x 1,x 2,…,x n ),将x i 作为第i 个盒子中球的个数，i=1,2,…,n ，便得到A 的一个装法，因此为满射，所以是一一映射，将r 个小球从左到右排成一列，每种装法相当于从r-1个空格中选n-1个，将球分n 份，共有11--n r C 种。故定理得证。 推论1 不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的非负整数解的个数为.1r r n C -+ 高中数学竞赛标准教材 函数 一、基础知识 定义1 映射，对于任意两个集合A ，B ，依对应法则f ，若对A 中的任意一个元素x ，在B 中都有唯一一个元素与之对应，则称f : A →B 为一个映射。 定义2 单射，若f : A →B 是一个映射且对任意x , y ∈A , x ≠y , 都有f (x )≠f (y )则称之为单射。 定义3 满射，若f : A →B 是映射且对任意y ∈B ，都有一个x ∈A 使得f (x )=y ，则称f : A →B 是A 到B 上的满射。 定义4 一一映射，若f : A →B 既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即从B 到A 由相反的对应法则f -1构成的映射，记作f -1: A →B 。 定义5 函数，映射f : A →B 中，若A ，B 都是非空数集，则这个映射为函数。A 称为它的定义域，若x ∈A , y ∈B ，且f (x )=y （即x 对应B 中的y ），则y 叫做x 的象，x 叫y 的原象。集合{f (x )|x ∈A }叫函数的值域。通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数y =3x -1的定义域为{x |x ≥0,x ∈R}. 定义6 反函数，若函数f : A →B （通常记作y =f (x )）是一一映射，则它的逆映射f -1: A →B 叫原函数的反函数，通常写作y =f -1(x ). 这里求反函数的过程是：在解析式y =f (x )中反解x 得x =f -1(y )，然后将x , y 互换得y =f -1(x )，最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如：函数y =x -11的反函数是y =1-x 1(x ≠0). 定理1 互为反函数的两个函数的图象关于直线y =x 对称。 定理2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。 定义7 函数的性质。 （1）单调性：设函数f (x )在区间I 上满足对任意的x 1, x 2∈I 并且x 1< x 2，总有f (x 1) 复数 一、基础知识 1．复数的定义：设i 为方程x 2 =-1的根，i 称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除等运算。便产生形如a+bi （a,b ∈R ）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C 来表示。 2．复数的几种形式。对任意复数z=a+bi （a,b ∈R ），a 称实部记作Re(z),b 称虚部记作Im(z). z=ai 称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z 与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x 轴称为实轴，y 轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z 又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z 对应复平面内的点Z ，见图15-1，连接OZ ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r ，则a=rcos θ,b=rsin θ,所以z=r(cos θ+isin θ)，这种形式叫做三角形式。若z=r(cos θ+isin θ)，则θ称为z 的辐角。若0≤θ<2π，则θ称为z 的辐角主值，记作θ=Arg(z). r 称为z 的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=22b a +.如果用e i θ 表示cos θ+isin θ，则z=re i θ ，称为复数的指数形 式。 3．共轭与模，若z=a+bi ，（a,b ∈R ）,则=z a-bi 称为z 的共轭复数。模与共轭的性质有：（1）2121z z z z ±=±；（2）2121z z z z ?=?；（3）2||z z z =?；（4）2 1 21z z z z =???? ??；（5）||||||2121z z z z ?=?； （6）| || |||2121z z z z = ；（7）||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|；（8）|z 1+z 2|2 +|z 1-z 2|2 =2|z 1|2 +2|z 2|2 ；（9）若|z|=1，则z z 1= 。 4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满足平行四边形和三角形法则；（3）按三角形式，若z 1=r 1(cos θ1+isin θ1), z 2=r 2(cos θ2+isin θ2)，则z 1??z 2=r 1r 2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若2 1 212, 0r r z z z = ≠[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]，用指数形式记为z 1z 2=r 1r 2e i(θ1+θ2) , .) (2 12121θθ-=i e r r z z 5.棣莫弗定理：[r(cos θ+isin θ)]n =r n (cosn θ+isinn θ). 6.开方：若=n w r(cos θ+isin θ)，则)2s i n 2(c o s n k i n k r w n π θπ θ+++= ， k=0,1,2,…,n-1。 7．单位根：若w n =1，则称w 为1的一个n 次单位根，简称单位根，记Z 1=n i n π π2sin 2cos +，则全部单位根可表示为1,1Z ,1 1 21,,-n Z Z .单位根的基本性质有（这里记k k Z Z 1=， 高中数学竞赛资料 一、高中数学竞赛大纲 全国高中数学联赛 全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。 全国高中数学联赛加试 全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是： 1.平面几何 几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。几何不等式。几何极值问题。几何中的变换：对称、平移、旋转。圆的幂和根轴。面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。 2.代数 周期函数，带绝对值的函数。三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。 第二数学归纳法。平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。 复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。 n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。 函数迭代，简单的函数方程* 3.初等数论 同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。 4.组合问题 圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。组合计数，组合几何。抽屉原理。容斥原理。极端原理。图论问题。集合的划分。覆盖。平面凸集、凸包及应用*。 注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。 二、初中数学竞赛大纲 1、数 整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。 2、代数式 综合除法、余式定理；因式分解；拆项、添项、配方、待定系数法；对称式和轮换对称式；整式、分工、根式的恒等变形；恒等式的证明。 3、方程和不等式 含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的解法，一元二次方程根的分布；含绝对值的一元一次方程、一元二次方程的解法；含字母系数的一元一次不等式的解法，一元二次不等式的解法；含绝对值的一元一次不等式；简单的多元方程组；简单的不定方程（组）。 4、函数 二次函数在给定区间上的最值，简单分工函数的最值；含字母系数的二次函数。 5、几何 三角形中的边角之间的不等关系；面积及等积变换；三角形中的边角之间的不等关系；面积及等积变换；三角形的心（内心、外心、垂心、重心）及其性质；相似形的概念和性质；圆，四点共圆，圆幂定理；四种命题及其关系。 6、逻辑推理问题 抽屉原理及其简单应用；简单的组合问题简单的逻辑推理问题，反证法； 高中数学竞赛讲义（十五） ──复数 一、基础知识 1．复数的定义：设i为方程x2=-1的根，i称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除等运算。便产生形如a+bi（a,b∈R）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C来表示。 2．复数的几种形式。对任意复数z=a+bi（a,b∈R），a称实部记作Re(z),b称虚部记作Im(z). z=ai称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x轴称为实轴，y轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z对应复平面内的点Z，见图15-1，连接OZ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r，则a=rcosθ,b=rsinθ,所以z=r(cosθ+isinθ)，这种形式叫做三角形式。若z=r(cosθ+isinθ)，则θ称为z的辐角。若0≤θ<2π，则θ称为z的辐角主值，记作θ=Arg(z). r称为z的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=.如果用e iθ表示cosθ+isin θ，则z=re iθ，称为复数的指数形式。 3．共轭与模，若z=a+bi，（a,b∈R）,则a-bi称为z的共轭复数。模与共轭的性质有：（1）；（2）； （3）；（4）；（5）；（6）；（7）||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|；（8） |z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2；（9）若|z|=1，则。 4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满足平行四边形和三角形法则；（3）按三角形式，若z1=r1(cosθ1+isinθ1), z2=r2(cosθ2+isinθ2)， 则z1??z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若[cos(θθ2)+isin(θ1-θ2)]，用指数形式记为z1z2=r1r2e i(θ1+θ1- 2), 5.棣莫弗定理：[r(cosθ+isinθ)]n=r n(cosnθ+isinnθ). 6.开方：若r(cosθ+isinθ)，则 ，k=0,1,2,…,n-1。 7．单位根：若w n=1，则称w为1的一个n次单位根，简称单位根，记Z1=，则全部单位根可表示为1,,.单位根的基本性质有（这里记，k=1,2,…,n-1）：（1）对任意整数k，若k=nq+r,q∈Z,0≤r≤n-1，有Z nq+r=Z r；（2）对任意整数m，当n≥2时，有=特别1+Z1+Z2+…+Z n-1=0；（3）x n-1+x n-2+…+x+1=(x-Z1)(x-Z2)…(x-Z n-1)=(x-Z1)(x-)…(x-).高中数学竞赛_函数【讲义】
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