中考数学系列专题19分式方程
专题19 分式方程
聚焦考点☆温习理解
1、分式方程
分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
2、分式方程的一般方法
解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是：
（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母
（2）解所得的整式方程
（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。
3、分式方程的特殊解法
换元法：
换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。
名师点睛☆典例分类
考点典例一、判断方程为分式方程
【例1】下列各式中，是分式方程的是（）
A．x+y=5 B．
222
53
x y
+-
=C．
1
6
5
x
=
+
D．
1
x
【答案】C．
【解析】
D、不是方程，是分式．故选C．
考点：分式方程的定义．
【点睛】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．
【举一反三】
下列各式中为分式方程的是（ ）
A ．x+1x
B ．11123x x =+-
C ．253x +=
D ．10x π
+= 【答案】B ．
【解析】
考点：分式方程的定义．
考点典例二、分式方程的解及增根
【例2】（2015凉山州）分式方程
233x x
=-的解是 ． 【答案】9x =．
【解析】
试题分析：方程的两边同乘(3)x x -，得：23(3)x x =-，解得9x =．检验：把9x =代入(3)540x x -=≠．∴原方程的解为：9x =．故答案为：9x =．
考点：解分式方程．
【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
【举一反三】
1.（2016广东广州第14题）方程12
＝
2x
x－3的解是 .
【答案】x=-1.
【解析】
试题分析：方程两边同乘以2x（x-3）得，x-3=4x，解得x=-1，经检验x=-1是原方程的解.
考点：解分式方程.
2.若分式方程2
11
x m
x x
-=
--
有增根，则这个增根是
【答案】x=1．
【解析】
考点：分式方程的增根．
考点典例三、解分式方程
【例3】（2016浙江台州第18题）解方程：2
7
1
7
=
-
-
-x
x
x
．
【答案】x=15．
【解析】
试题分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
试题解析：去分母得：x+1=2x﹣14，解得：x=15，经检验x=15是分式方程的解．
考点：解分式方程．
【点睛】本题考查解分式方程的能力，注意：
（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要验根．
【举一反三】
1.（2016海南省第7题）解分式方程
1
x－1
+1=0，正确的结果是（）
A．x=0 B．x=1 C．x=2 D．无解
【答案】A.
【解析】 试题分析：1x －1
+1=0，1+x-1=0，x=0，经检验：x=0是原方程的根，故选A. 考点：解分式方程.
2. （2016内蒙古呼伦贝尔市、兴安盟第19题）解方程：233011
x x x +-=--． 【答案】x=0．
【解析】
考点：解分式方程．
考点典例四、分式方程的应用
【例3】（2016湖南岳阳第20题）我市某学校开展“远是君山，磨砺意志，保护江豚，爱鸟护鸟”为主题的远足活动．已知学校与君山岛相距24千米，远足服务人员骑自行车，学生步行，服务人员骑自行车的平均速度是学生步行平均速度的2.5倍，服务人员与学生同时从学校出发，到达君山岛时，服务人员所花时间比学生少用了3.6小时，求学生步行的平均速度是多少千米/小时．
【答案】3.
【解析】
试题分析：设学生步行的平均速度是每小时x 千米，服务人员骑自行车的平均速度是每小时2.5x 千米，根据学校与君山岛距离为24千米，服务人员所花时间比学生少用了3.6小时，可列方程求解．
试题解析：设学生步行的平均速度是每小时x 千米．
服务人员骑自行车的平均速度是每小时2.5x 千米，
根据题意：6.35.22424=-x
x ， 解得：x=3，
经检验，x=3是所列方程的解，且符合题意．
答：学生步行的平均速度是每小时3千米．
考点：分式方程的应用.
【点睛】此题考查分式方程的应用，找出题目蕴含的数量关系，列出方程解决问题．
【举一反三】
1. （2016山东淄博第16题）某快递公司的分拣工小王和小李，在分拣同一类物件时，小王分拣60个物件所用的时间与小李分拣45个物件所用的时间相同．已知小王每小时比小李多分拣8个物件，设小李每小时分拣x 个物件，根据题意列出的方程是 ．
【答案】x x 458
60=+． 【解析】
考点：分式方程的应用.
2. （2016山东滨州第14题）甲、乙二人做某种机械零件，已知甲是技术能手每小时比乙多做3个，甲做30个所用的时间与乙做20个所用的时间相等，那么甲每小时做 个零件．
【答案】9.
【解析】
试题分析：设甲每小时做x 个零件，乙每小时做(x-3)个零件，根据题意得32030-=x x
，解得x=9，经检验，x=9是原方程的解.
考点：分式方程的应用.
课时作业☆能力提升
一、选择题
1. （2016湖北宜昌第8题）分式方程
=1的解为（ ）
A ．x=﹣1
B ．x=
C ．x=1
D ．x=2
【答案】A.
【解析】
试题分析：去分母得：2x ﹣1=x ﹣2，解得：x=﹣1，经检验x=﹣1是分式方程的解，所以分式方程的解为x=﹣1．故答案选A ．
考点：分式方程的解法．
2. （2016湖北十堰第7题）用换元法解方程x x 122-﹣122-x x =3时，设x
x 122-=y ，则原方程可化为（ ） A ．y=y 1﹣3=0 B ．y ﹣y 4﹣3=0 C ．y ﹣y 1+3=0 D ．y ﹣y
4+3=0 【答案】B ．
【解析】
试题分析：∵设x
x 122-=y ，则122-x x =y 1，原方程可转化为：y ﹣y 4=3，即y ﹣y 4﹣3=0．故答案选B ． 考点：换元法解分式方程．
3. (2016山东潍坊第10题)若关于x 的方程
333x m m x x ++--=3的解为正数，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＜92B ．m ＜92且m≠C．m ＞﹣D ．m ＞﹣且m≠﹣34
【答案】B.
【解析】
考点：分式方程的解．
4. （2016新疆第9题）两个小组同时从甲地出发，匀速步行到乙地，甲乙两地相距7500米，第一组的步行速度是第二组的1.2倍，并且比第二组早15分钟到达乙地．设第二组的步行速度为x 千米/小时，根据题意可列方程是（ ）
A ． 152.175007500
=-x x
B ．412.175007500=-x x
C ．152.15.75
.7=-x x D ．4
12.15.75.7=-x x
【答案】D.
【解析】
考点：分式方程的应用.
5.若关于x 的分式方程
2233x m x x
++=--有增根，则m 的值是( ). A ．1m =- B ．0m = C ．3m = D ．0m =或=3m 【答案】A.
【解析】
考点：1.解分式方程；2.增根的意义.
6. （2016青海第18题）穿越青海境内的兰新高铁极大地改善了沿线人民的经济文化生活，该铁路沿线甲，乙两城市相距480km ，乘坐高铁列车比乘坐普通快车能提前4h 到达，已知高铁列车的平均行驶速度比普通列车快160km/h ，设普通列车的平均行驶速度为xkm/h ，依题意，下面所列方程正确的是（ ）
A.4804804160x x -=+
B.4804804160x x -=+
C.4804804160x x -=-
D.4804804160
x x -=- 【答案】B ．
【解析】
试题分析：设普通列车的平均行驶速度为xkm/h ，则高铁列车的平均速度为（x+160）km/h ，根据题意，可得：480480
4160x x -=+，故选B ．
考点：由实际问题抽象出分式方程．
7. （2016辽宁葫芦岛第8题）A ，B 两种机器人都被用来搬运化工原料，A 型机器人比B 型机器人每小时多搬运40千克，A 型机器人搬运1200千克所用时间与B 型机器人搬运800千克所用时间相等．设B 型机器人每小时搬运化工原料x 千克，根据题意可列方程为（ ）
A.120080040x x =+
B.120080040x x =-
C.120080040x x =-
D.120080040x x =+
【答案】A ． 【解析】
考点：由实际问题抽象出分式方程．
二、填空题
8. （2016江苏苏州第12题）当x= 时，分式x －2
2x ＋5的值为0．
【答案】2.
【解析】
试题分析：∵x －22x ＋5
的值为0，∴x-2=0且2x+5≠0，解得x=2. 考点：分式.
9. （2016贵州铜仁第13题）方程
5302x x -=-的解为 ． 【答案】x =﹣3． 【解析】
试题分析：去分母，得：5x ﹣3（x ﹣2）=0，整理，得：2x +6=0，解得：x =﹣3，经检验：x =﹣3是原分式方程的解，故答案为：x =﹣3．
考点：解分式方程．
10. （2016江苏盐城第15题）方程21x x
-
=的正根为 ． 【答案】x =2．
【解析】
试题分析：去分母得22x x -=，整理得220x x --=，解得12x =，21x =-，经检验12x =，21x =-都是分式方程的解，所以原方程的正根为x =2．故答案为：x =2．
考点：分式方程的解．
三、解答题
11．（2016浙江台州第18题）解方程：2717=---x
x x ． 【答案】x =15．
【解析】 试题分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．
试题解析：去分母得：x +1=2x ﹣14，解得：x =15，经检验x =15是分式方程的解．
考点：解分式方程．
12. （2016福建南平第18题）解分式方程：
341x x
=+． 【答案】x =3．
【解析】
考点：解分式方程．
13. （2016湖南岳阳第20题）我市某学校开展“远是君山，磨砺意志，保护江豚，爱鸟护鸟”为主题的远足活动．已知学校与君山岛相距24千米，远足服务人员骑自行车，学生步行，服务人员骑自行车的平均速度是学生步行平均速度的2.5倍，服务人员与学生同时从学校出发，到达君山岛时，服务人员所花时间比学生少用了3.6小时，求学生步行的平均速度是多少千米/小时．
【答案】3.
【解析】
试题分析：设学生步行的平均速度是每小时x 千米，服务人员骑自行车的平均速度是每小时2.5x 千米，根据学校与君山岛距离为24千米，服务人员所花时间比学生少用了3.6小时，可列方程求解．
试题解析：设学生步行的平均速度是每小时x 千米．
服务人员骑自行车的平均速度是每小时2.5x 千米，
根据题意：6.35.22424=-x
x ， 解得：x=3，
经检验，x=3是所列方程的解，且符合题意．
答：学生步行的平均速度是每小时3千米．
考点：分式方程的应用.
14.（2016山东威海第20题）某校进行期末体育达标测试，甲、乙两班的学生数相同，甲班有48人达标，乙班有45人达标，甲班的达标率比乙班高6%，求乙班的达标率．
【答案】乙班的达标率为90%．
【解析】
考点：分式方程的应用.
15.（2016新疆生产建设兵团第17题）某学校为绿化环境，计划种植600棵树，实际劳动中每小时植树的数量比原计划多20%，结果提前2小时完成任务，求原计划每小时种植多少棵树？
【答案】原计划每小时种植50棵树．
【解析】
试题分析：设原计划每小时种植x棵树，则实际劳动中每小时植树的数量是120%x棵，根据“结果提前2
小时完成任务”列出方程并求解．
试题解析：设原计划每小时种植x棵树，
考点：分式方程的应用.