二元函数极值问题

浅谈二元函数的极值问题

摘 要：本文首先给出二元函数极值的定义，实例分析了二元函数极值存在的必要条件和充分条件，并通过实例解析了求二元函数极值的步骤.

关键词：二元函数; 极值;必要条件;充分条件

To discuss the extreme-value problem of the binary

function shallowly

Abstract : In this paper, the definition and conditions of the extreme of binary function are firstly given, on the basis, steps of finding the extreme value are discussed, and specific examples of relevant to this are given to expound them.

Key words: binary function; extreme; necessary condition; sufficient condition

前言

函数极值在数学、工程、金融风险管理等多领域都有广泛应用，本文以二元函数为例，讨论函数极值的若干方面问题.

1. 预备知识

定义 设函数f 在点00(,)x y 0p 的某领域0()U p 内有定义，若对于任意点

0(,)()p x y U p ∈，成立不等式

0()()f p f p ≤ （或0()()f p f p ≥）

， 则称函数f 在点0p 取得极大（或极小）值，点0p 称为f 的极大（或极小）值点，极大值、极小值统称极值，极大值点、极小值点统称极值点. 注意：这里所讨论的极值点仅限于定义域的内点.

2. 二元函数存在极值的实例分析

例1 二元函数2243y x z +=在点)0,0(处存在极小值.

因为点)0,0(的任一邻域内异于)0,0(的点的函数值都为正,而在点()0,0处的函数值为零.从几何上看这是显然的,因为点)0,0,0(是开口朝上的椭圆抛物面2243y x z +=的顶点 .

例2 二元函数22y x z +-=在点)0,0(处存在极大值.

因为点)0,0(是位于xoy 面下方的锥面22y x z +-=的顶点,所以二元函数

22y x z +-=在点)0,0(处存在极大值 .

3. 极值的条件

3.1极值的必要条件

若函数f 在点00(,)x y 0p 存在偏导数，且在0p 取得极值，则有

00(,)0x f x y =，00(,)0y f x y =. （1）

反之，若函数f 在点0p 满足（1），则称0p 为f 的稳定点.上述极值的必要条件指出：若f 存在偏导，则其极值点必为稳定点，但稳定点并不都是极值点，例如函数(,)h x y xy =，原点为其稳定点，但它在原点并不取得极值点. 此外，函数在偏导数不存在的点仍然可能有极值，例如：

,0

,0x x z x x ≥?=?

-

， 它是交于Y 轴的两个平面.显然，凡0x =的点都是函数的极小值点.但是，

0x >时，

1,z x ?=? 0x <时，1z

x

?=-?. 因此在0x =时偏导数不存在. 由此可见，函数的极值点必为f x ??及f

y

??同时为零或至少有一个偏导数不存在的点.

3.2极值的充分条件

设函数),(y x f z =在点的某个邻域内连续且有二阶连续偏导数,又

0),(00'

=y x f x 且0),(00'=y x fy ,记二阶连续偏导数为

A y x f

xx =),(00'

,B y x f

xy

=),(00'

,C y x f

yy

=),(00'

,AC B -=?2,则

函数),(y x f z =在),(00y x 点处是否取得极值的条件如下: (1) 当0A 时,函数),(y x f z =在点),(00y x 处取得极小值; (3) 当0>?时,函数),(y x f z =在点),(00y x 处不取得极值;

(4) 当0=?时,函数),(y x f z =在点),(00y x 处可能取得极值,也可能不取得极值.

4. 求二元函数的极值的步骤

要求函数的极值，首先要求出所有使函数的偏导数等于零或偏导数不存在的点，然后讨论该点周围函数的变化情形，以进一步判断是否有极值，为此我们讨论f ?，若(,)f x y 的一切二阶导数连续，则由泰勒公式并注意到在极值点必须0x y f f ==，就有

222

000000200001

(,)(,)((,)22(,)(,))

x xy y f f x x y y f x y f x x y y x f x x y y x y f x x y y y θθθθθθ?=+?+?-=+?+??++?+???++?+??.

由于(,)f x y 的一切二阶偏导数在00(,)x y 连续，记200(,)x A f x y =，

00(,)xy B f x y =，200(,)y C f x y =，那就有

200(,),0(0,0)x f x x y y A x y θθαα+?+?=+→?→?→ 00(,),0(0,0)xy f x x y y B x y θθββ+?+?=+→?→?→

200(,),0(0,0)y f x x y y C x y θθγγ+?+?=+→?→?→

于是

222211

[2][2]22

f A x B x y C y x x y y αβγ?=?+??+?+?+??+?.

当二次形式222kf A x B x y C y =?+??+?不为零时，注意到0,0x y ?→?→时，

,,αβγ都是无穷小量，所以存在点000(,)M x y 的一个领域，使得在这个领域内，f ?的符号与kf 的符号相同，而当0kf =时，f ?的符号取决于

222x x y y αβγ?+??+?的符号了.

对于二次型 222kf A x B x y C y =?+??+? 它的判别式为 2AB

H AC B BC

==-. 那就有以下结论：

这是因为当0H >而0A <时，二次型kf 为负定的，故0kf <，从而0f ?<；当0H >而0A >时，二次型kf 为正定的，故0kf >，从而0f ?>；当0H <时，二次型为不定的.所以f ?亦可正可负的，于是函数无极值；当0H =时，二次型kf 在某些,x y ??值上将等于零，于是f ?的符号就必须进一步判断了.

5. 求极值的相关例题

例1 证明具有已知周长的三角形中，等边三角形有最大面积. 证明: 设三角形的边长为,,x y z ，周长

2x y z p ++=，

于是

2z p x y =--.

三角形的面积S 有如下公式： 2(,)()()()()()()f x y S p p x p y p z p p x p y x

y p ==

---=--+-.

由 ()(22)0,()(22)0,f

p p y p x y x

f

p p x p x y y

?=---=??=---=?

解得(,)f x y 的稳定点：

(0,)p ， (,)p p ， (,0)p ， 22

(,)33

p p .

事实上，(,)f x y 的定义域是D （如下图阴影部分）：

0x p <<, 0y p <<, x y p +>. (,)f x y 在D 上一定有最大值， 在D 内有唯一稳定点22

(,)33

p p ，

4221111(,)***3333327

f p p p p p p p ==, (,)f x y 在D ?上取值为零，因此(,)f x y 一定在22

(,)33

p p 取到D 内的最大值，

即

23x p =

, 23y p =, 23

z p =. 时，三角型有最大值.

例2 设通过观测或实验得到一列点(,)i i x y ，1,2,....i n = 它们大体上在一条直线上，即大体上可用直线方程来反映变量x 与y 之间的对应关系，现要确

定一直线与这n 个点的偏差平方和最小. 解: 设所求直线方程为

y ax b =+，

所测得的n 个点为(,)i i x y (1,2...)i n =，现要确定,,a b 使得

21(,)()n

i i i f a b ax b y ==+-∑

为最小，为此

1

12()0,2()0

n

a i i i i n

b i i

i f x ax b y f ax b y ==?

=+-=????=+-=??

∑∑ 把这组关于,a b 的线性方程加以整理，得

2

111

.1

1,n n n

i i i i i i i n n

i i i i a x b x x y a x bn y =====?+=????+=??∑∑∑∑∑ 求此方程组的解，即得(,)f a b 的稳定点

1

1

12

2

111()()

n

n

n

i i i i

n

i i i i n n

i i i i i n x y x y a y n x x ======-=

-∑∑∑∑∑∑ ,

2

1

1

11

22

1

1

()()()()

()n

n

n

n

i i i i i i i i i n n

i i i i x y x y x b n x x ======-=

-∑∑∑∑∑∑.

为了进一步确定该点是极小值点，我们计算得

21

20n

aa i i A f x ===>∑, 1

20n

ab i i B f x ===>∑,

2bb C f n ==, 2

221

1

44()0n n

i i i i D AC B n x x ===-=->∑∑

由极值的充要条件知，(,)f a b 在点(,)D a b 取得极小值，由实际问题知这极

小值为最小值.

结束语

多元函数的极值问题在多元函数微分学上有重要应用,在这里利用偏导讨论二元函数极值问题可以帮助我们更好的学习极值问题的求解.

参考文献：

[1]廖可人, 李正元. 数学分析[M]. 北京：高等教育出版社, 1986.

[2] 陈传璋, 金福临, 朱学炎, 欧阳光中. 数学分析[M].北京：高等教育出版社, 1983.

[3] 高尚华. 数学分析[M].北京：高等教育出版社,2001.