必修(一)零点3-1.2
课题：§3.1.2用二分法求方程的近似解
教学目标：
知识与技能：通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用。
过程与方法：能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备。
情感、态度、价值观：体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一。
教学重点：
重点：通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识。
难点：恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解。教学程序与环节设计：
创设情境组织探究探索发现尝试练习作业回馈课外活动由二分查找及高次多项式方程的求问题引入。
二分法的意义、算法思想及方法步骤。
体会函数零点的意义，明确二分法的适用范围。
二分法的算法思想及方法步骤，初步应用二分法解决简单问题。
二分法应用于实际。
1．二分法为什么可以逼近零点的再分析；
2．追寻阿贝尔和伽罗瓦。
教学过程与操作设计：
环节教学内容设计师生双边互动
创设情境材料一：二分查找(binary-search)
（第六届全国青少年信息学（计算机）奥林匹
克分区联赛提高组初赛试题第15题）某数列
有1000个各不相同的单元，由低至高按序排
列；现要对该数列进行二分法检索
(binary-search)，在最坏的情况下，需检索（）
个单元。
A．1000 B．10 C．100 D．500
二分法检索（二分查找或折半查找）演示。
材料二：高次多项式方程公式解的探索史料
由于实际问题的需要，我们经常需要寻求函数
)
(x
f
y=的零点（即0
)
(=
x
f的根），对于)
(x
f
为一次或二次函数，我们有熟知的公式解法
（二次时，称为求根公式）。
在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根
公式，但对于高于4次的函数，类似的努力却
一直没有成功，到了十九世纪，根据阿贝尔
（Abel）和伽罗瓦（Galois）的研究，人们认
识到高于4次的代数方程不存在求根公式，亦
即，不存在用四则运算及根号表示的一般的公
式解。同时，即使对于3次和4次的代数方程，
其公式解的表示也相当复杂，一般来讲并不适
宜作具体计算。因此对于高次多项式函数及其
它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的
方法，这是一个在计算数学中十分重要的课
题。
师：从学生感兴趣的计
算机编程问题，引导学
生分析二分法的算法
思想与方法，引入课
题。
生：体会二分查找的思
想与方法。
师：从高次代数方程的
解的探索历程，引导学
生认识引入二分法的
意义。
组织探究二分法及步骤：
对于在区间a[，]b上连续不断，且满足
)
(a
f·)
(b
f0
<的函数)
(x
f
y=，通过不断地
把函数)
(x
f的零点所在的区间一分为二，使
区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点
近似值的方法叫做二分法。
给定精度ε，用二分法求函数)
(x
f的零点近
似值的步骤如下：
1．确定区间a[，]b，验证)
(a
f·)
(b
f0
<，给
师：阐述二分法的逼近
原理，引导学生理解二
分法的算法思想，明确
二分法求函数近似零
点的具体步骤。
分析条件
“)
(a
f·)
(b
f0
<”、“精
度ε”、“区间中点”及
“ε
<
-|
|b
a”的意义。
定精度ε；
2．求区间a (，)b 的中点1x ； 3．计算)(1x f ：
组 织 探 究
①若)(1x f =0，则1x 就是函数的零点；
②若)(a f ·)(1x f <0，则令b =1x （此时零
点),(10x a x ∈）；
③若)(1x f ·)(b f <0，则令a =1x （此时零
点),(10b x x ∈）；
4．判断是否达到精度ε； 即若ε<-||b a ，则得到零点零点值a （或
b ）；否则重复步骤2~4。
生：结合引例“二分查找”理解二分法的算法
思想与计算原理。 师：引导学生分析理解
求区间a (，)b 的中点
的方法2
1b
a x +=。
例题解析：
例1．求函数22)(3--+=x x x x f 的一个正数零点（精确到1.0）。 分析：首先利用函数性质或借助计算机、计算器画出函数图象，确定函数零点大致所在的区间，然后利用二分法逐步计算解答。 解：（略）。 注意：
①第一步确定零点所在的大致区间a (，)b ，可
利用函数性质，也可借助计算机或计算器，但尽量取端点为整数的区间，尽量缩短区间长度，通常可确定一个长度为1的区间； ②建议列表样式如下： 零点所在区间 中点函数值
区间长
度
[1，2] )5.1(f >0 1 [1，1.5] )25.1(f <0 0.5 [1.25，1.5]
)375.1(f <0
0.25
如此列表的优势：计算步数明确，区间长度小于精度时，即为计算的最后一步。
师：引导学生利用二分法逐步寻求函数零点的近似值，注意规范方法、步骤与书写格式。 生：根据二分法的思想与步骤独立完成解答，并进行交流、讨论、评析。 师：引导学生应用函数单调性确定方程解的个数。 生：认真思考，运用所学知识寻求确定方程解的个数的方法，并进行、讨论、交流、归纳、
例2．借助计算器或计算机用二分法求方程
7
3
2=
+x
x的近似解（精确到1.0）。
解：（略）。
思考：本例除借助计算器或计算机确定方程解
所在的大致区间和解的个数外，你是否还可以
想到有什么方法确定方程的根的个数？
结论：图象在闭区间a[，]b上连续的单调函
数)
(x
f，在a(，)b上至多有一个零点。
概括、评析形成结论。
探究与发现
1）函数零点的性质
从“数”的角度看：即是使0
)
(=
x
f的实数；
从“形”的角度看：即是函数)
(x
f的图象与x轴
交点的横坐标；
若函数)
(x
f的图象在
x
x=处与x轴相切，则
零点
x通常称为不变号零点；
若函数)
(x
f的图象在
x
x=处与x轴相交，则
零点
x通常称为变号零点。
2）用二分法求函数的变号零点
二分法的条件)
(a
f·)
(b
f0
<表明用二分法求
函数的近似零点都是指变号零点。
师：引导学生从“数”
和“形”两个角度去体
会函数零点的意义，掌
握常见函数零点的求
法，明确二分法的适用
范围。
尝试练习1）教材P106练习1、2题；
2）教材P108习题3．1（A组）第1、2题；
3）求方程3
log
3
=
+x
x的解的个数及其大致所在区间；
4）求方程0
21
2
9.0=
-x
x的实数解的个数；
5）探究函数x
y3.0
=与函数x
y
3.0
log
=
的图象有无交点，如有交点，求出交点，或给出一个与交点距离不超过1.0的点。
作业回馈1）教材P108习题3．1（A组）第3~6题、（B组）第4题；
2）提高作业：
○1已知函数
1
2
4
)1
(2
)
(2-
+
+
+
=m
mx
x
m
x
f．
（1）m为何值时，函数的图象与x轴有两个交点？
（2）如果函数的一个零点在原点，求m的值．
○2借助于计算机或计算器，用二分法求函数
2
)
(3-
=x
x
f的零点（精确到01
.0）；○3用二分法求33的近似值（精确到01
.0）．
环节呈现教学材料师生互动设计
课外活动
查找有关系资料或利用internet查找有关高次代数方程的解的研究史料，追寻阿贝尔（Abel）和伽罗瓦（Galois），增强探索精神，培养创新意识．
收获与体会
说说方程的根与函数的零点的关系，并给出判定方程在某个区间存在根的基本步骤，及方程根的个数的判定方法；
谈谈通过学习求函数的零点和求方程的近似解，对数学有了哪些新的认识？
数学必修一零点题型总结
数学必修一零点题型总 结 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
第三章 第一节 函数与方程 一、函数的零点 1、实例：填表 2、函数零点的定义：____________________________叫做函数的零点 （注意：________________________） 题型一 求函数的零点 1．y ＝x －2的图象与x 轴的交点坐标及其零点分别是( ) A ．2；2 B ．(2,0)；2 C ．－2；－2 D ．(－2,0)；－2 2．函数f(x)＝x 2＋4x ＋a 没有零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．a<4 B ．a>4 C ．a ≤4 D ．a ≥4 3．函数f(x)＝ax 2＋2ax ＋c(a ≠0)的一个零点是－3，则它的另一个零点是( ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2 4．函数f(x)＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，求函数g(x)＝bx 2－ax －1的零点． 5、求下列函数的零点 （1）9 127)(-=x x f （2）)1(log 2)(3+-=x x f 二、零点定理 1、方程的根与函数零点的关系： 方程f(x)=0的根?函数f(x)的零点?函数与x 轴交点的横坐标 2、零点定理：
如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是连续不间断的一条曲线，并且有()()0f a f b ?<那么函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点，即存在(,)c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的实数根。 问题1：去掉“连续不断”可以吗 问题2：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是连续不间断的一条曲线，并且有()()0f a f b ?<那么函数()y f x =在区间(,)a b 内有一个零点，对不对 问题3：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是连续不间断的一条曲线，并且有0)()(>b f a f 那么函数()y f x =在区间(,)a b 上无零点，对不对 题型二、判断区间内有无零点 1．函数y ＝f (x )在区间(－2,2)上的图象是连续的，且方程f (x )＝0在(－2,2)上仅有一个实根0，则f (－1)·f (1)的值( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．等于0 D ．无法确定 2． 函数2()ln f x x x =- 的零点所在的大致区间是（ ） A ．（1，2） B ．（2，3） C ．1(1,)e 和（3，4） D ．(,)e +∞ 3．设函数f(x)=2x -x 2-2x ，则在下列区间中不存在．．．零点的是（ ） A.（-3，0） B.（0，3） C.（3，6） D.（6，9） 4、方程521=+-x x 在下列哪个区间内一定有根（ ） A 、（0，1） B 、（1，2） C 、（2，3） D 、（3，4） 5、根据表格中的数据，可以判定方程20x e x --=的一个根所在的区间为( ) (1,2) D ．(2,3) 三、判断零点的个数 方法①：转化为判断方程f(x)=0的根的个数，解方程
人教版数学必修一函数与方程练习题
人教版数学必修一函数与方程练习题 重点：掌握零点定理的内容及应用 二次函数方程根的分布 学会利用图像进行零点分布的分析 1． 下列函数中，不能用二分法求零点的是（ ） 2． 如果二次函数 )3(2+++=m mx x y 有两个不同的零点，则m 的取值范围是（ ） 3． A.()6,2- B.[]6,2- C.{}6,2- D.( )(),26,-∞-+∞ 4． 已知函数22)(m mx x x f --=，则)(x f （ ） A ．有一个零点 B ．有两个零点 C ．有一个或两个零点 D ．无零点 5． 已知函数)(x f 的图象是连续不间断的，有如下的)(,x f x 对应值表 x 1 2 3 4 5 6
函数)(x f 在区间]6,1[上的零点至少有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 6． 若方程0=--a x a x 有两个根，则a 的取值范围是（ ） A ．)1(∞+ B ．)1,0( C ．),0(+∞ D ．? 7． 设函数???>≤++=,0,3,0,)(2x x c bx x x f 若2)2(),0()4(-=-=-f f f ，则函数 x x f y -=)(的零点的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8． 无论m 取哪个实数值，函数)2 3(232--+-=x m x x y 的零点个数都是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．不确定 9． 已知函数).0(42)(2>++=a ax ax x f 若0,2121=+
高中数学 2.4.1函数的零点课时作业 新人教A版必修1
高中数学 2.4.1函数的零点课时作业新人教A版必修1 2．4.1 函数的零点 课时目标 1.能够结合二次函数的图象判断一元二次方程根的存在性及根的个数，理解二次函数的图象与x轴的交点和相应的一元二次方程根的关系. 2.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的联系. 3.掌握函数零点的存在性定理．
1．零点的定义： 一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即________，则α叫做这个函数的______． 2．二次函数零点的个数：对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，有 (1)当Δ＝b2－4ac>0时，方程ax2＋bx＋c＝0有__________的实数根，这时说二次函数y＝ax2＋bx＋c有________零点； (2)当Δ＝b2－4ac＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0有__________的实数根(重根)，这时说二次函数y＝ax2＋bx＋c有____________零点或者说有______零点； (3)当Δ＝b2－4ac<0时，方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，这时说二次函数y＝ax2＋bx ＋c没有零点． 3．二次函数零点的性质： (1)当函数的图象通过零点且穿过x轴时，__________________. (2)相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)任意函数，只要它的图象是不间断的，上述性质同样成立． 一、选择题 1．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数的零点个数是( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．无法确定 2．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法正确的
是( ) A ．若f (a )f (b )>0，不存在实数c ∈(a ，b )使得f (c )＝0 B ．若f (a )f (b )<0，存在且只存在一个实数c ∈(a ，b )使得f (c )＝0 C ．若f (a )f (b )>0，有可能存在实数c ∈(a ，b )使得f (c )＝0 D ．若f (a )f (b )<0，有可能不存在实数c ∈(a ，b )使得f (c )＝0 3．若函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)有一个零点为2，那么函数g (x )＝bx 2 －ax 的零点是( ) A ．0，－12 B ．0，1 2 C ．0,2 D ．2，－1 2 4．已知f (x )是定义域为R 的奇函数，且在(0，＋∞)内的零点有1 003个，则f (x )的零点的个数为( ) A ．1 003 B ．1 004 C ．2 006 D ．2 007 5．若二次函数f (x )＝ax 2 ＋bx ＋c 满足f (1)＝0，且a >b >c ，则该函数的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．0 D ．不能确定 6．函数f (x )＝3ax －2a ＋1在[－1,1]上存在一个零点，则a 的取值范围是( ) A ．a ≥1 5 B ．a ≤1 C ．－1≤a ≤15 D ．a ≥1 5 或a ≤－1 二、填空题 7．已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有__________个零点，这几个零点的和等于______． 8．已知一次函数f (x )＝2mx ＋4，若在[－2,0]上存在x 0使f (x 0)＝0，则实数m 的取值范围是________． 9．若函数f (x )＝x 2 ＋ax ＋b 的零点是2和－4，则a ＝________，b ＝________. 三、解答题 10．证明：方程x 4 －4x －2＝0在区间[－1,2]内至少有两个实数解． 11．关于x 的方程mx 2 ＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围．
人教版数学高一-必修一训练方程的根与函数的零点(教师版)
(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！) 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．函数f (x )＝x －4 x 的零点有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无数个 解析： 令f (x )＝0，即x －4 x ＝0. ∴x ＝±2.故f (x )的零点有2个，选C. 答案： C 2．函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋c (a ≠0)的一个零点是－3，则它的另一个零点是( ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2 解析： 由根与系数的关系得 －3＋x ＝－2a a ，∴x ＝1. 即另一个零点是1，故选B. 答案： B 3．设函数f (x )＝x 3－????1 2x －2的零点为x 0，则x 0所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4) 解析： 方法一：令f (x )＝x 3－????1 2x －2， 则f (0)＝0－????1 2－2＝－4<0， f (1)＝1－????1 2－2＝－1<0， f (2)＝23－????1 20＝7>0， f (3)＝27－????1 21＝261 2>0， f (4)＝43－????1 22＝633 4>0，
∴f (1)·f (2)<0， 故x 0所在的区间是(1,2)． 方法二：数形结合法，如图所示． 答案： B 4．已知x 0是函数f (x )＝2x ＋1 1－x 的一个零点．若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则( ) A ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜0 B ．f (x 1)＜0，f (x 2)＞0 C ．f (x 1)＞0，f (x 2)＜0 D ．f (x 1)＞0，f (x 2)＞0 解析： y ＝2x 在(1，＋∞)上是增函数 y ＝1 1－x 在(1，＋∞)上是增函数 ∴f (x )＝2x ＋1 1－x 在(1，＋∞)上是增函数． ∴y ＝f (x )只有x 0一个零点 ∴x 1
苏教版高中数学必修一函数的零点教案
2.5.1函数的零点 教学目标： 1．理解函数的零点的概念，了解函数的零点与方程根的联系． 2．理解“在函数的零点两侧函数值乘积小于0”这一结论的实质，并运用其解决有关一元二次方程根的分布问题． 3．通过函数零点内容的学习，分析解决对一元二次方程根的分布的有关问题，转变学生对数学学习的态度，加强学生对数形结合、分类讨论等数学思想的进一步认识． 教学重点： 函数零点存在性的判断． 教学难点： 数形结合思想，转化化归思想的培养与应用． 教学方法： 在相对熟悉的问题情境中，通过学生自主探究，在合作交流中完成学习任务．尝试指导与自主学习相结合． 教学过程： 一、问题情境 1．情境：在第2.3.1节中，我们利用对数求出了方程0.84x＝0.5的近似解； 2．问题：利用函数的图象能求出方程0.84x＝0.5的近似解吗？ 二、学生活动 1．如图1，一次函数y＝kx＋b的图象与x轴交于点(－2，0)，试根据图象填空： （1）k0，b0； （2）方程kx＋b＝0的解是； （3）不等式kx＋b＜0的解集； x y O －2 图1
2．如果二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于点(－3，0)和(1，0)，且开口方向向下，试画出图象，并根据图象填空： （1）方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解是 ； （2）不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为 ； ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为 ． 三、建构数学 1．函数y ＝f (x )零点的定义； 2．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象之间关系： △＝b 2－4ac △＞0 △＝0 △＜0 ax 2＋bx ＋c ＝0的根 y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象 y ＝ax 2＋bx ＋c 的零点 3．函数零点存在的条件：函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上不间断，且f (a )·f (b )＜0，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有零点． 四、数学运用 例1 函数y ＝f (x )(x [－5，3])的图象如图所示 ，根据图象，写出函数f (x ) 的零点及不等式f (x )＞0与f (x )＜0的解集． 例2 求证：二次函数y ＝2x 2＋3x －7有两个不同的零点． 例3 判断函数f (x )＝x 2－2x －1在区间(2，3)上是否存在零点？ 例4 求证：函数f (x )＝x 3＋x 2＋1在区间(－2，－1)上存在零点． 练习：（1）函数f (x )＝2x 2－5x ＋2的零点是_______ ． O x 1 x 2 x y O x 1＝x 2 x y O x y y x O －5 －3 －1 1 3
高中数学人教B版必修一第二章2.4.1《函数的零点》 教学设计
《函数的零点》课堂教学设计 一．教学内容 本课内容选自经全国中小学教材审定委员会2004年初审通过的人教版普通高中课程标准试验教科书，数学必修①，B 版第二单元《函数》中的《函数的零点》，新授课，第一课时。 1．知识背景 2．4节《函数与方程》作为新课程改革试验教材中的新增内容，其课程目标是想 通过对本节的学习，使学生学会用二分法求函数零点近似解的方法，从中体会函数与方程之间的联系，同时达到“方法构建、技术运用、算法渗透”这一隐性的教学目标。建立实际问题的函数模型，利用已知函数模型解决问题，作为一条主线贯穿了全章的始终，而方程的根与函数的零点的关系、用二分法求函数零点的近似解，是在建立和运用函数模型的大背景下展开的。方程的根与函数的零点的关系、用二分法求函数零点的近似解中均蕴涵了“函数与方程的思想”，这也是本章渗透的主要数学思想． 2．本节内容 《函数的零点》通过对二次函数图像的绘制、分析，得到零点的概念，从而进一步 探索一般函数零点存在性的判定，这些活动就是想让学生在了解初等函数的基础上，对函数图像进行全新的认识，在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值。 二．教学目标 知识与技能:（1）通过对二次函数增图像的描绘，理解函数零点的概念，体会我们在 研究和解决问题过程的一般思维方法。 （2）通过对一般函数图像的描绘分析，领会函数零点与相应方程之间的 关系，掌握零点存在的判定条件。 （3）培养学生对事物的观察、归纳能力和探究能力。 过程与方法: 通过画函数图像，分析零点的存在性。 情感态度与价值观: 使学生再次领略“数形”的有机结合，渗透由抽象到具体的思想, 理解动与静的辨证关系,体会数学知识之间的紧密联系。 三．教学重点 重点：理解零点的概念，判定二次函数零点的个数，会求函数的零点． 具体流程设计 一、创设情境 画函数322--=x x y 的图像，并观察其图象与其对应的一元二次方程0322=--x x [师生互动] 师：引导学生通过配方，画函数图象，分析方程的根与图象和x 轴交点坐标的关系。
数学必修一零点题型总结
第三章 第一节 函数与方程 一、函数的零点 1、实例：填表 2、函数零点的定义：____________________________叫做函数的零点 （注意：________________________） 题型一 求函数的零点 1．y ＝x －2的图象与x 轴的交点坐标及其零点分别是( ) A ．2；2 B ．(2,0)；2 C ．－2；－2 D ．(－2,0)；－2 2．函数f(x)＝x 2＋4x ＋a 没有零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．a<4 B ．a>4 C ．a ≤4 D ．a ≥4 3．函数f(x)＝ax 2＋2ax ＋c(a ≠0)的一个零点是－3，则它的另一个零点是( ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2 4．函数f(x)＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，求函数g(x)＝bx 2－ax －1的零点． 5、求下列函数的零点 （1）9 1 27)(-=x x f （2）)1(log 2)(3+-=x x f
二、零点定理 1、方程的根与函数零点的关系： 方程f(x)=0的根?函数f(x)的零点?函数与x 轴交点的横坐标 2、零点定理： 如果函数 () y f x =在区间[,]a b 上的图象是连续不间断的一条曲线，并且有 ()()0f a f b ?<那么函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点，即存在(,)c a b ∈，使得 ()0f c =，这个 c 也就是方程()0f x =的实数根。 问题1：去掉“连续不断”可以吗？ 问题2：如果函数 ()y f x =在区间[,]a b 上的图象是连续不间断的一条曲线，并且有 ()()0f a f b ?<那么函数()y f x =在区间(,)a b 内有一个零点，对不对？ 问题3：如果函数 ()y f x =在区间[,]a b 上的图象是连续不间断的一条曲线，并且有 0)()(>b f a f 那么函数()y f x =在区间(,)a b 上无零点，对不对？ 题型二、判断区间内有无零点 1．函数y ＝f (x )在区间(－2,2)上的图象是连续的，且方程f (x )＝0在(－2,2)上仅有一个实根0，则f (－1)·f (1)的值( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．等于0 D ．无法确定 2． 函数2 ()ln f x x x =- 的零点所在的大致区间是（ ） A ．（1，2） B ．（2，3） C ．1 (1,)e 和（3，4） D ．(,)e +∞ 3．设函数f(x)=2x -x 2 -2x ，则在下列区间中不存在．．．零点的是（ ） A.（-3，0） B.（0，3） C.（3，6） D.（6，9） 4、方程521 =+-x x 在下列哪个区间内一定有根？（ ） A 、（0，1） B 、（1，2） C 、（2，3） D 、（3，4） 5、根据表格中的数据，可以判定方程20x e x --=的一个根所在的区间为( ) D ．(2,3)
人教新课标版数学高一-必修一练习方程的根与函数的零点
1．函数f (x )＝2x 2－3x ＋1的零点是( ) A ．－12，－1 B.12 ，1 C.12，－1 D ．－12 ，1 解析：方程2x 2－3x ＋1＝0的两根分别为x 1＝1，x 2＝12 ，所以函数f (x )＝2x 2－3x ＋1的零点是12 ，1. 答案：B 2．下列各图象表示的函数中没有零点的是( ) 解析：函数没有零点?函数的图象与x 轴没有交点． 答案：D 3．函数f (x )＝x ＋ln x 的零点所在的区间为( ) A ．(－1,0) B ．(0,1) C ．(1,2) D ．(1，e) 解析：法一：∵x >0，∴A 错.又因为f (x )＝x ＋ln x 在(0，＋∞)上为增函数,f (1)＝1>0，所以f (x )＝x ＋ln x 在(1,2),(1，e)上均有f (x )>0，故C 、D 不对． 法二：取x ＝1e ∈(0,1)，因为f (1e )＝1e －1<0，f (1)＝1>0，所以f (x )＝x ＋ln x 的零点所在的区间为(0,1)． 答案：B 4．若函数f (x )唯一的零点同时在区间(0,16)，(0,8)，(0,4)，(0,2)上，那么下列命题中正确的是( ) A ．函数f (x )在区间(0,1)内有零点 B ．函数f (x )在区间(0,1)或(1,2)内有零点
C．函数f(x)在区间[2,16)内无零点 D．函数f(x)在区间(1,16)内无零点 解析：由题意可知函数f(x)的零点必在区间(0,2)内． 答案：C 5．方程ln x＝8－2x的实数根x∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝__________. 解析：令f(x)＝ln x＋2x－8，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增. ∵f(3)＝ln 3－2<0，f(4)＝ln 4>0， ∴零点在(3,4)上，∴k＝3. 答案：3 6．函数f(x)＝(x2－1)(x＋2)2(x2－2x－3)的零点个数是________． 解析：f(x)＝(x＋1)(x－1)(x＋2)2(x－3)(x＋1) ＝(x＋1)2(x－1)(x＋2)2(x－3)． 可知零点为±1，－2,3，共4个． 答案：4 7．判断下列函数在给定区间上是否存在零点． (1)f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]； (2)f(x)＝x3－x－1，x∈[－1,2]； (3)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]． 解：(1)法一：∵f(1)＝－20<0，f(8)＝22>0， ∴f(1)·f(8)<0.故f(x)＝x2－3x－18在[1,8]上存在零点． 法二：令x2－3x－18＝0，解得x＝－3或x＝6， ∴函数f(x)＝x2－3x－18在[1,8]上存在零点． (2)∵f(－1)＝－1<0，f(2)＝5>0， ∴f(－1)·f(2)<0. ∴f(x)＝x3－x－1在[－1,2]上存在零点． (3)∵f(1)＝log2(1＋2)－1>log22－1＝0， f(3)＝log2(3＋2)－3 【知识要点】 一、方程的根与函数的零点 (1）定义：对于函数()y f x =（x D ∈），把使f(x)=0成立的实数x 叫做函数()y f x =（x D ∈）的零点.函数的零点不是一个点的坐标，而是一个数，类似的有截距和极值点等. （2）函数零点的意义:函数()y f x =的零点就是方程f(x)=0的实数根，亦即函数()y f x =的图像与x 轴的交点的横坐标,即：方程f(x)=0有实数根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点. （3）零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有0)()( ？ -2 13x y O 【课前练习】 1.函数 12-=x y 的零点是 2. 2.函数 x y 2log = 的零点是 3.函数 12-=x y 的零点是 4.函数 12 ++=x x y 的零点个数是 5.函数 232)(2 --=x x x f 的零点个数是 6.函数y=f( x)的图象如右图，则其零点为 思考： （1）怎样求函数lnx+2x －6=0的零点呢？零点个数呢？ （2）怎样求函数 ()243f x x x =-+的零点呢？零点个数呢？ 这节课将学习这类问题，首先介绍一下图象变换 问题1： 怎样由函数)(x f y =的图象得到函数)(a x f y ±=的图象？ 怎样由函数)(x f y =的图象得到函数a x f y ±=)(的图象？ 课题 §函数图象变换与函数零点 课型 复习 学习目标 ①掌握函数图象平移、对称、翻折变换法则 ②会画出一些基本函数图象，并进行平移、对称、翻折变换 ③会在同一坐标系中画出两个函数图象，并通过交点个数判断函数零点个数 ④能说出函数零点，方程根，图象交点的关系。 重点 会根据图象变换法则，画出相应函数图象 难点 会在同一坐标系中画出两个函数图象，并通过交点个数判断函数零点个数 平 移 变 换 翻 折 变 换 练习2：作出函数2 2- =x y的图象 【典例分析】 【课后巩固练习】 1. 函数零点所在区间为（ ） A. )0,1(- B. )1,0( C. )2,1( D. )3,2( 2、【2015高考安徽，文4】下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） （A ）y =lnx （B ）2 1y x =+ （C ）y =sinx （D ）y =cosx 3 、函数 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，得数据如下： 那么方程的一个最接近的近似根为（ ） A ． B ． C ． D ． 4、【2015高考湖南】若函数()|22|x f x b =--有两个零点，则实数b 的取值范围是 . 5、(07湖南)函数()???>+-≤-=1,341 ,442x x x x x x f 的图象和函数()x x g 2log =的图象的交 点个数是（ ） A.4 B.3 C.2 D.1 2()2x f x e x =+- 2014年高中数学 函数的零点学案 新人教B 版必修1 知识与技能：结合二次函数的图象，理解函数的零点概念，领会函数零点与相应方程根的 关系； 过程与方法：掌握求函数零点的方法，并能简单应用； 情感态度与价值观：通过学习，体会数形结合的思想从特殊到一般的思考问题的方法。 二、学习重、难点： 函数的零点的概念及求法和性质。 学法指导：认真阅读教材P70—P71，通过对教材中的例题的研究，完成学习目标 。 1、问题情景 已知函数322 --=x x y ，指出x 取哪些值时，0=y ？ 2、 问题解决 问题1、二次方程0322 =--x x 实根在二次函数322 --=x x y 中有什么意义？ 问题2、从图形上看二次方程0322 =--x x 的实根有什么意义？ 问题3、根据以上讨论，完成下列表格（0>a ） ac b 42-=? 0>? 0=? 0 方程f (x )＝0 ?函数y ＝f (x )的图象 ?函数y ＝f (x ) 。 例1：求函数222 3 +--=x x x y 的零点，并画出它的图象。 由上例函数值大于０，小于０，等于０时自变量取值范围分别是什么？ 请思考求函数零点对作函数简图有什么作用？ 例2．函数1)(2 --=x ax x f 仅有一个零点，求实数a 的取值范围。 例 3.关于x 的二次方程01222 =+++m mx x ，若方程式有两根，其中一根在区间 )0,1(-内，另一根在(1,2)内，求m 的范围。 总结提升：函数零点的性质： （１）二次方程02 =++c bx ax 若有两个相等的实数根（重根），这是说二次函数 c bx ax y ++=2有_____个______的零点或说有______零点； （2）当函数图像通过零点且穿过x 轴时，函数值 ． （3）在相邻的两个零点之间所有 ． l ．函数y ＝x －1的零点是 ( ) A ．(1,0) B ．(0,1) C ．0 D ．1 2．函数f (x )＝x 2 －3x －4的零点是________ 3．若函数f (x )＝x 2 ＋2x ＋a 没有零点，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．a <1 B ．a >1 C ．a ≤1 D ．a ≥1 4．已知函数f (x )为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于 ( ) 典型例题剖析 巩固所学知识 加深问题理解 课堂跟踪训练 完善知识体系 巩固补漏提升 3.1.1 函数零点 一、内容与解析 （一）内容：函数零点 （二）解析：函数的零点是高中新教材人教A版必修①第三章3.1.1的内容。在上一章中学了几种基本 f x的零点，是中学数学的一个重要概念，从函数值与自变量对应的角度看，就是使函数值为初等函数，() 0的实数x；从方程的角度看，即为相应方程()0 f x 的实数根；从函数的图像角度看，函数的零点就是 f x与x轴交点的横坐标.函数的零点从不同的角度，将函数与方程，数与形有机的联系在一起，体现函数() 的是函数知识的应用． 学习函数零点存在性定理可为二次函数实根分布打下基础，并为下一节内容《二分法求方程近似解》提供理论支持．因此本节课是本学科的重点内容，有着承前启后的作用。教学的重点是函数零点的形成与求解及其基本应用，在讲授本节内容时更多要渗透函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合的思想方法.本科计划两课时。 二、教学目标及解析 目标：1、理解函数（结合二次函数）零点的概念，能判断二次函数零点的存在性，会求简单函数的零点，了解函数零点与方程的关系。 2、体验函数零点概念的形成过程，引导学生会用转化与数形结合的思想方法研究问题，提高数学知识的综合应用能力。 解析：1、目标1是指学生体会到使函数值为0的解； 2、目标2是指学生体会到函数与方程思想，转化与化归思想、数形结合的思想方法.； 三、问题诊断分析 本节课的教学中，学生可能出现如下几个问题： ①为什么要研究函数的零点？什么叫函数的零点？怎样去求函数的零点？一元二次方程的根与二次函 数图像之间的关系？ ②函数零点是不是一个点？零点一定是实根吗？那存不存在非实根？ 学生出现这几个问题的原因是抓不住函数零点的本质，对函数零点的概念理解不透彻，另外现实生活中遇到的零点问题，更多的是没有认真去研究。解决这些问题的关键是需要感受从特殊到一般过程，找出其共同点和规律，另外在应用时应以方程和图像的眼光来看待函数的零点，对应图象和定义，找出方程与函数的关系。 四、教学条件支持 本节课的教学中需要用到几何画板，因为使用几何画板有利于更直观的展示方程的根与函数零点的联系 五、教学过程 1、自学（大约8分钟） 问题1：函数零点是如何得到的？ 问题2：函数零点内容是什么？ 问题3：函数零点能解决什么问题？ 2、互学导学（大约32分钟） 问题1：如何定义函数的零点以及函数零点概念是如何形成的？ 设计意图：单刀直入，从学生熟悉的二次函数与二次方程入手，通过对图象的观察获得二次函数的零点与一元二次方程根的关系，给学生搭自然类比引出概念．零点知识是陈述性知识，关键不在于让学生提出这个概念，而在于理解提出零点概念的作用——沟通函数与方程的关系．引入函数的零点的概念一是突出这一转化的思想，二是表述起来更方便。 师生活动：引导学生通过配方，画函数图象，分析方程的根与图象和x轴交点坐标的关系。 小问题1：已知函数223 =--，当x为何值时，Y=0 ? y x x §2.4 函数与方程 2．4.1 函数的零点 一、基础过关 1．函数f (x )＝x －4 x 的零点个数为 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．无数个 2．若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法正确的是( ) A ．若f (a )f (b )>0，不存在实数c ∈(a ，b )使得f (c )＝0 B ．若f (a )f (b )<0，存在且只存在一个实数c ∈(a ，b )使得f (c )＝0 C ．若f (a )f (b )>0，有可能存在实数c ∈(a ，b )使得f (c )＝0 D ．若f (a )f (b )<0，有可能不存在实数c ∈(a ，b )使得f (c )＝0 3．若函数f (x )＝mx 2＋8mx ＋21，当f (x )<0时，－7 《函数的零点与方程的根》专题复习 知识点梳理 函数的零点：对于函数)(x f y =，把使0)(=x f 的实数x 叫做函数)(x f y =的零点。 零点存在性定理：如果函数 )(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()( 1 第三章 函数的应用 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。 2、函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。 即：方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象与x 轴有交点?函数)(x f y =有零点． 3、函数零点的求法： ○ 1 （代数法）求方程0)(=x f 的实数根； ○ 2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 4、基本初等函数的零点： ①正比例函数(0)y kx k =≠仅有一个零点。 ②反比例函数(0)k y k x = ≠没有零点。 ③一次函数(0)y kx b k =+≠仅有一个零点。 ④二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ． （1）△＞０，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点． （2）△＝０，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两相等实根，二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点． （3）△＜０，方程20(0)ax bx c a ++=≠无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点． ⑤指数函数(0,1)x y a a a =>≠且没有零点。 ⑥对数函数log (0,1)a y x a a =>≠且仅有一个零点1. ⑦幂函数y x α=，当0n >时，仅有一个零点0，当0n ≤时，没有零点。 5、非基本初等函数（不可直接求出零点的较复杂的函数），函数先把()f x 转化成()0f x =，再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数12,y y （基本初等函数），这另 个函数图像的交点个数就是函数()f x 零点的个数。 6、选择题判断区间(),a b 上是否含有零点，只需满足()()0f a f b <。 7、确定零点在某区间(),a b 个数是唯一的条件是:①()f x 在区间上 连续，且()()0f a f b <②在区间(),a b 上单调。 8、函数零点的性质： 从“数”的角度看：即是使0)(=x f 的实数； 从“形”的角度看：即是函数)(x f 的图象与x 轴交点的横坐标； 2.4.1 函数的零点 教案 教学目标： 1、知识目标：理解函数零点的意义，能判断二次函数零点的存在性，会求简单函数的零点，了解函数的零点与方程根的关系 . 2、能力目标：体验函数零点概念的形成过程，引导学生学会用转化与数形结合思想方法研究问题，提高数学知识的综合应用能力. 3、情感目标：让学生初步体会事物间相互转化以及特殊到一般的辨证思想. 重点、难点： 教学过程： 一．自主达标 1．如果函数ｙ＝ｆ（ｘ）在实数处的值等于零，即ｆ（ｘ）＝０，则ｘ叫做 ． ２．把一个函数的图像与 叫做这个函数的零点． ３．二次函数ｙ＝ａ2x ＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０），当 Δ＝2b －４ａｃ＞０时，二次函数有 个零点； Δ＝2b －４ａｃ＝０时，二次函数有 个零点； Δ＝2b －４ａｃ＜０时，二次函数有 个零点． ４．二次函数零点的性质： （１）二次函数的图像是连续的，当它通过零点时（不是二重零点）， ． （２）在相邻的两个零点之间所有 ． 二。典例解析 例１．若函数ｆ（ｘ）＝2x ＋ａｘ＋ｂ的两个零点是２和－４，求ａ，ｂ的值． 例1、解：函数ｆ（ｘ）＝2x ＋ａｘ＋ｂ的两个零点是２和－４，也就是方程2x ＋ａｘ＋ｂ＝０的两个根是２和－４，由根与系数的关系可知? ? ?=-?-=-+b a )4(2)4(2得ａ＝２，ｂ＝－８． 评析：反常的根与函数零点的关系以及反常的根与系数的关系是本体解决关键． 例２．求证：方程５2x －７ｘ－１＝０的一个根在（－１，０）上，另一个根在（１，２）上． 例2、证明：设ｆ（ｘ）＝５2x －７ｘ－１，则ｆ（－１）ｆ（０）＝－１１＜０，ｆ（１）（２）＝－１５＜０．而二次函数ｆ（ｘ）＝５2x －７ｘ－１是连续的．所以，ｆ（ｘ）在（－１，０）和（１，２）上分别有零点． 即方程５2x －７ｘ－１＝０的根一个在（－１，０）上，另一个（１，２）在上． 目录 幂函数与函数零点 (2) 模块一：幂函数 (2) 考点1：幂函数的图像与性质 (3) 模块二：函数的零点 (3) 考点2：函数的零点判断 (4) 课后作业： (5) 幂函数与函数零点 模块一：幂函数 1.幂函数：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数． 2.幂函数的图象 当分别为，，，，时，幂函数图象如下图： 3.幂函数的性质 ⑴所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点； ⑵如果，则幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数； ⑶如果，则幂函数在区间上是减函数.在第一象限内，当从右边趋向于原点时，图象在轴右方无限地逼近轴．当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴． ⑷幂函数的奇偶性决定幂函数过的象限．奇函数过一、三象限；偶函数过一、二象限；非奇 非偶函数只过第一象限． ⑸ 当为负奇数时，幂函数为奇函数，图象在第一、三象限，但不过原点； ⑹ 当为正分数时，设为（，是互质的正整数）． ①如果， 都是奇数，幂函数为奇函数，图象过第一、三象限及原点； 如 ②如果是偶数，为奇数，幂函数为非奇非偶函数，图象在第一象限及过原点； ()y x αα=∈R αα1-1 2 123(0)+∞， ()11，0α>[0)+∞， 0α<(0)+∞， x y y x +∞x x ααn m m n m n 53 y x ==m n 如 ③如果为奇数，为偶数，幂函数为偶函数，图象过第一、二象限及原点． 如是偶函数，图象为： ⑺ 当为负分数时，设为（，是互质的正整数）． ①如果，都是奇数，幂函数为奇函数，图象在第一、三象限； ②如果为偶数，为奇数，幂函数的图象只在第一象限； ③如果为奇数，为偶数，幂函数为偶函数，图象在第一、二象限． 如是偶函数，图象为 考点1：幂函数的图像与性质 例1.（1）已知是幂函数，求的值 . 模块二：函数的零点 1.函数的零点 （1）一般地，如果函数()y f x =在实数α处的值等于零，即()0f α=，则a 叫做这个函数的零点. 要点诠释： ①函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零； ②函数的零点也就是函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标； 34 y x ==m n 23 y x ==αn m - m n m n m n m n 23 y x -== ()2 1 2 1 2223m y m m x n -=+-+-m n ，【新教材】新人教A版必修一 函数的零点个数问题 教案
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