2019届高考数学大一轮复习第三章导数及其应用第2讲第2课时导数与函数的极值最值配套练习文北师大版2
第2课时 导数与函数的极值、最值
一、选择题
1．下列函数中，既是奇函数又存在极值的是
( )
A ．y ＝x 3
B ．y ＝ln(－x )
C ．y ＝x e －x
D ．y ＝x ＋2
x
解析 由题可知，B ，C 选项中的函数不是奇函数，A 选项中，函数y ＝x 3
单调递增(无极值)，D 选项中的函数既为奇函数又存在极值． 答案 D
2．(2017·石家庄质检)若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3
－ax 2
－2bx ＋2在x ＝1处有极值，若t ＝ab ，则t 的最大值为
( )
A ．2
B ．3
C ．6
D ．9
解析 f ′(x )＝12x 2
－2ax －2b ，则f ′(1)＝12－2a －2b ＝0，则a ＋b ＝6， 又a >0，b >0，则t ＝ab ≤? ??
??a ＋b 22＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号．
答案 D
3．已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax ? ??
??a >12，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a 的值等于
( )
A.14
B.13
C.1
2
D ．1 解析 由题意知，当x ∈(0,2)时，f (x )的最大值为－1. 令f ′(x )＝1x －a ＝0，得x ＝1a
，
当0
a
时，f ′(x )<0.
∴f (x )max ＝f ? ??
??1a
＝－ln a －1＝－1，解得a ＝1. 答案 D
4．已知函数f (x )＝x 3
＋ax 2
＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是
( )
A ．(－1,2)
B ．(－∞，－3)∪(6，＋∞)
C ．(－3,6)
D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
解析 ∵f ′(x )＝3x 2
＋2ax ＋(a ＋6)， 由已知可得f ′(x )＝0有两个不相等的实根， ∴Δ＝4a 2
－4×3×(a ＋6)>0，即a 2
－3a －18>0， ∴a >6或a <－3. 答案 B
5．设函数f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )，若x ＝－1为函数f (x )e x
的一个极值点，则下列图像不可能为y ＝f (x )图像的是
( )
解析 因为[f (x )e x
]′＝f ′(x )e x
＋f (x )(e x
)′＝[f (x )＋f ′(x )]e x
，且x ＝－1为函数
f (x )e x 的一个极值点，所以f (－1)＋f ′(－1)＝0；选项D 中，f (－1)＞0，f ′(－1)
＞0，不满足f ′(－1)＋f (－1)＝0. 答案 D 二、填空题
6．(2017·咸阳模拟)已知函数f (x )＝x 3
＋ax 2
＋3x －9，若x ＝－3是函数f (x )的一个极值点，则实数a ＝________. 解析 f ′(x )＝3x 2
＋2ax ＋3. 依题意知，－3是方程f ′(x )＝0的根 所以3×(－3)2
＋2a ×(－3)＋3＝0，解得a ＝5. 经检验，a ＝5时，f (x )在x ＝－3处取得极值． 答案 5
7．(2016·北京卷改编)设函数f (x )＝?
??
??
x 3
－3x ，x ≤0，－2x ，x >0，则f (x )的最大值为________．
解析 当x >0时，f (x )＝－2x <0；
当x ≤0时，f ′(x )＝3x 2
－3＝3(x －1)(x ＋1)，当x <－1时，f ′(x )>0，f (x )是增函数，当－1 8．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点，则实数a 的取值范围是________． 解析 ∵y ＝e x ＋ax ，∴y ′＝e x ＋a . ∵函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点， 则方程y ′＝e x ＋a ＝0有大于零的解， ∵x >0时，－e x <－1，∴a ＝－e x <－1. 答案 (－∞，－1) 三、解答题 9．(2015·安徽卷)已知函数f (x )＝ ax x ＋r 2 (a >0，r >0)． (1)求f (x )的定义域，并讨论f (x )的单调性； (2)若a r ＝400，求f (x )在(0，＋∞)内的极值． 解 (1)由题意可知x ≠－r ，所求的定义域为(－∞，－r )∪(－r ，＋∞)． f (x )＝ ax x ＋r 2 ＝ ax x 2 ＋2rx ＋r 2 ， f ′(x )＝a x 2＋2rx ＋r 2－ax 2x ＋2r x 2＋2rx ＋r 22 ＝a r －x x ＋r x ＋r 4 . 所以当x <－r 或x >r 时，f ′(x )<0； 当－r 因此，f (x )的单调递减区间为(－∞，－r )，(r ，＋∞)； f (x )的单调递增区间为(－r ，r )． (2)由(1)的解答可知f ′(r )＝0，f (x )在(0，r )上单调递增，在(r ，＋∞)上单调递减． 因此，x ＝r 是f (x )的极大值点， 所以f (x )在(0，＋∞)内的极大值为f (r )＝ar 2r 2 ＝a 4r ＝400 4 ＝100，f (x )在(0，＋∞)内无极小值； 综上，f (x )在(0，＋∞)内极大值为100，无极小值． 10．(2017·衡水中学二调)已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝(－x 2 ＋ax －3)e x (a 为实数)． (1)当a ＝5时，求函数y ＝g (x )在x ＝1处的切线方程； (2)求f (x )在区间[t ，t ＋2](t >0)上的最小值． 解 (1)当a ＝5时，g (x )＝(－x 2 ＋5x －3)e x ，g (1)＝e. 又g ′(x )＝(－x 2 ＋3x ＋2)e x ， 故切线的斜率为g ′(1)＝4e. 所以切线方程为y －e ＝4e(x －1)，即y ＝4e x －3e. (2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1， 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： x ? ?? ??0，1e 1 e ? ?? ??1e ，＋∞ f ′(x ) － 0 ＋ f (x ) 极小值 ①当t ≥e 时，在区间[t ，t ＋2]上f (x )为增函数， 所以f (x )min ＝f (t )＝t ln t . ②当0 ??1e ＝－1e . 11．(2017·广州调研)若函数f (x )＝x 3 ＋ax 2 ＋bx (a ，b ∈R )的图像与x 轴相切于一点 A (m,0)(m ≠0)，且f (x )的极大值为12 ，则m 的值为 ( ) A ．－2 3 B ．－32 C.23 D.32 解析 由题意可得f (m )＝m 3 ＋am 2 ＋bm ＝0，m ≠0，则m 2 ＋am ＋b ＝0 ①，且f ′(m )＝3m 2 ＋2am ＋b ＝0 ②，①－②化简得m ＝－a 2 . f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b 的两根为－a 2 和－a 6 ， 则b ＝a 2 4，f ? ????－a 6＝1 2，解得a ＝－3，m ＝32. 答案 D 12．(2015·安徽卷)函数f (x )＝ax 3 ＋bx 2 ＋cx ＋d 的图像如图所示，则下列结论成立的是 ( ) A ．a >0，b <0，c >0，d >0 B ．a >0，b <0，c <0，d >0 C ．a <0，b <0，c >0，d >0 D ．a >0，b >0，c >0，d <0 解析 由函数y ＝f (x )的图像知，a >0，f (0)＝d >0. 又x 1，x 2是函数f (x )的极值点， 且f ′(x )＝3ax 2 ＋2bx ＋c ＝0， ∴x 1，x 2是方程3ax 2 ＋2bx ＋c ＝0的两根． 由图像知，x 1>0，x 2>0， ∴????? x 1 ＋x 2 ＝－2b 3a >0，x 1x 2 ＝c 3a >0. 因此b <0，且c >0. 答案 A 13．(2015·陕西卷)函数y ＝x e x 在其极值点处的切线方程为________． 解析 由y ＝x e x 可得y ′＝e x ＋x e x ＝e x (x ＋1)，从而可得y ＝x e x 在(－∞，－1)上递减，在(－1，＋∞)上递增，所以当x ＝－1时，y ＝x e x 取得极小值－e －1 ，因为y ′|x ＝－1＝0，故切线方程为y ＝－e －1 ，即y ＝－1e . 答案 y ＝－1 e 14．(2016·山东卷改编)设f (x )＝x ln x －ax 2 ＋(2a －1)x (常数a >0) (1)令g (x )＝f ′(x )，求g (x )的单调区间； (2)已知f (x )在x ＝1处取得极大值．求实数a 的取值范围． (1)解 由f ′(x )＝ln x －2ax ＋2a ， 可得g (x )＝ln x －2ax ＋2a ，x ∈(0，＋∞)． 所以g ′(x )＝1x －2a ＝1－2ax x . 又a >0， 当x ∈? ?? ??0，12a 时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增， 当x ∈? ?? ??12a ，＋∞时，g ′(x )<0，函数g (x )单调递减． ∴函数y ＝g (x )的单调增区间为? ????0，12a ，单调减区间为? ????12a ，＋∞. (2)由(1)知，f ′(1)＝0. ??0，12a 内单调递增，可得当x ∈(0,1)时， f ′(x )<0，当x ∈? ? ? ?? 1，12a 时，f ′(x )>0. 所以f (x )在(0,1)内单调递减，在? ????1，12a 内单调递增． 所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意． ②当a ＝12时，1 2a ＝1，f ′(x )在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减，所以当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减，不合题意． ③当a >12时，0<12a <1，当x ∈? ????12a ，1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减． 所以f (x )在x ＝1处取极大值，符合题意． 综上可知，实数a 的取值范围为? ?? ??12，＋∞.