(整理)工科数学分析ii期末复习提纲

《工科数学分析II 》期末考试复习提纲

第16章 重积分

二重积分、三重积分的定义以及性质；重积分的计算方法：化为累次积分或换元法；重积分的物理应用：计算重心坐标、转动惯量以及万有引力。

重点：1、正确交换积分顺序；2、灵活选择换元变量。第10、13题为典型题。

典型例题

1. 计算二重积分

(,)D

f x y dxdy 蝌

，其中2

[0,]D π=， cos() (,) 1 , x y x y f x y x y -≥?=?

. 解：将重积分化为累次积分即可。

2. 通过交换积分次序计算累次积分(1)

211

0y

x dx e dy ??

,(2)8

2

dx ?. 解：可用作图法或不等式法交换积分顺序。例，01,1x x y ≤≤≤≤等价于

01,0y x y ≤≤≤≤。

3. 计算二重积分

cos()D

x xy dxdy

??,

2||

x D

xy e dxdy ??, 其中

{(,)||D x y x y

=+≤. 提示：关于y 轴的对称性。见223页注。

4. 通过换元计算椭圆盘2221ax bxy cy ++≤的面积. (其中20b ac -<) 提示：单位特征向量是一组标准正交基。

5.

计算二重积分

2222

4x y ππ≤+≤??

,

22x y Rx

+≤??

.

6.

计算二重积分D

??

,其中2222{(,)|1,0,0}x y D x y x y a b =+≤≥≥.

提示： 。

7. 计算二重积分()sin()D

x y x y dxdy -+??,其中{(,)|||||}D x y x y π=+≤.

提示：u=x-y, v=x+y 。 8. 计

算

二

重

积

分

2

2()D

x

y dxdy

+??,其中D 由

22221,2,1,2x y x y xy xy -=-===所围而成。提示： 。

9. 设(,)f x y 为一连续函数, 求极限222

2

01

lim (,)r x y r f x y dxdy r π→++≤??

.

提示：216页积分中值定理。

10.计算三重积分V

xyzdxdydz ???,其中V 由曲面222,0,,1z x y z y x y =+===所

围而成. 解：积分区域由如下不等式确定： 。称它为一个x-y-z 型区域，即先对z 积分，再对y ，最后对x 。以此顺序则表达式最为简洁。

11.计算三重积分2

z dxdydz Ω

???，其中Ω为椭球222

2221x y z a b c ++≤。参考第6题。

12.计算三重积分222

222

l n (1)

1z x y z d x d y d z x y z Ω

++++++???，其中Ω为椭球222

2221x y z a b c

++≤.提示：积分区间关于xy 平面对称，积分函数是z 的奇函数，因此积分为0。

13.计算三重积分22()I x y dxdydz Ω

=+???，其中Ω

由曲面z =，1z =，

2z =所围而成。提示：积分区域及函数是xy-z 型区域，即先在圆盘上重积分（不妨用极坐标），再对z 积分。 14.计算三重积分2I z dxdydz Ω

=???，其中Ω

由曲面z =

和曲面

z =围成。提示：同上，对z 积分时注意分段。

15.设密度为1的平面薄板由(sin )(1cos )

x a t t y a t =-??=-?,(02)t π≤≤与x 轴围成，求它绕

x 轴旋转的转动惯量。

16.设薄片所占的闭区域D 是介于两个圆cos ,cos r a r b θθ==之间的闭区域，求均匀薄片的重心.

17.求密度为1的均匀球锥体（即锥体被球面截下的部分）对于在其顶点为

以单位质量的质点的吸引力，设球的半径为R ，而轴截面的扇形的角等

于

2

π.

第17章，向量场的曲线积分与Green 公式

第一型曲线积分的概念，性质与计算，第二型曲线积分的概念，性质与计算，Green 公式，积分与路径无关的四个等价条件，判断全微分并求其原函数，曲线积分的物理应用。

全微分求原函数以7-12题为例。

典型例题

1． 求第一型曲线积分22()C

x y ds +?，其中C 为曲线(cos sin )

x a t t t =+，(sin cos )y a t t t =-(02t π≤≤).见262页。第3、5题同理。

2． 求第一型曲线积分||C

y ds ?，其中C 为双扭线22222()()x y a x y +=-.

解：双扭线的极坐标方程为 ，因此 。利用对称性，原式=4

。

3． 求第一形曲线积分2C

y ds ?，其中C 为旋轮线(sin ),(1cos )

x a t t y a t =-=-的一拱.

4． 求螺线cos ,sin ,2h

x a t y a t z t π

===

（02t π≤≤）对x 轴的转动惯量. 5． 求第二型曲线积分222()2C

y z dx yzdy x dz -+-?，其中曲线C 为依参数增

加的方向行进的曲线23,,x t y t z t ===（01t ≤≤）. 6． 计算

?Γ

-+-+-z y x y x z x z y d )(d )(d )(222222,Γ为球面片1222=++z y x ，0≥x ，0≥y ，0≥z 的边界，方向是从)0,0,1(到

)0,1,0(到)1,0,0(再回到)0,0,1(.

提示：由对称性，原式=3?Γ

-x z y d )(22=3?Γ

-dy x x y 22d =6?Γ

x y d 2

7． 计算曲线积分(sin )(cos )x x AmO

e y my dx e y m dy -+-?

，其中AmO 为由点

(,0)A a 至点(0,0)O 的上半圆周22x y ax +=.

提示：sin (cos )x x e ydx e y m dy +-是全微分；AmO mydx ?可用极坐标求出。

8． 计算第二型曲线积分22

2L xdy ydx

x y -+?，其中L 为一条包围原点的曲线.

提示：

22

2xdy ydx

x y

-+。 9． 利用格林公式计算星形线2223

3

3

x y a +=所围区域的面积。

解：（重要公式） 。再代入 。 10．

计算第二型曲线积分(5,12)

(3,4)

?

是全微分。

11．

计算第二型曲线积分2(2,)

2(1,)

(1cos )(sin cos )y y y y y

dx dy x x x x x

ππ-++?

.

解：全微分求原函数：先将Pdx 积分得sin y

x y x

+，再看Q 中哪些项与x 无关。 12．

求原函数43224(4)(65)du x xy dx x y y dy =++-.

解：同上。

第18章，向量场的曲面积分与场论初步

第一型曲面积分的概念，性质与计算，第二型曲面积分的概念，性质与计算，Gauss 公式，Stokes 公式，积分与路径无关的四个等价条件，判断全微分并求其原函数。梯度场，散度场，旋度场的概念以及保守场、有势场及无旋场之间的关系。

重要公式：291页（18.2.3），隐函数情形见例题1。

典型例题

1．计算∑

??

,其中∑为椭球面222

2221x y z a b c ++=.

解：dS =

，原式化为2222

4442()c x y z dxdy z a b c ∑

++??，再用极

坐标变换cos ,sin ,x ar y br z θθ===

2．计算2z dS ∑

??，其中∑为圆锥面z =被z a =截下来的那一部分.

解：dS =。

3．计算第二型曲面积分yzdzdx ∑

??，其中∑是球面2222x y z a ++=的上半部

分，取上侧.

解：建议将底面补全再用Gauss 公式。 4．计算

()()(),,d d 2,,d z d x ,,f x y z x y z f x y z y f x y z z

d x d y ∑

+++++?

???????????

??,其中(),,f x y z 为连续函数, ∑为平面1x y z -+=在第四卦限部分,取下侧.

5．

6．使用高斯公式计算

222d d d d d d x y z y z x z x y ∑

++??，其中∑为球面()(

)()2

22

2x a y b z c R

-+-+-=,取外侧.提示：Gauss 公式后再利用对称性。 7．

8．使用高斯公式计算

(2)x z d y d z z d x d y ∑

++

??，其中∑为曲面22

z x y =+（01z ≤≤）,曲面的法向量与z 轴正方向成锐角. 解：计算出

(2)D

x z d y d z z d x d y ++??

后再用Gauss 公式，其中

22{1,1}D x y z =+≤=，此时0dy =。

9． 10．

使用Stokes 公式计算

L

ydx zdy xdz ++?

，其中L 是球面

222x y z a ++=与平面0x y z ++=的交线，

从x 轴正向看去，是逆时针方向.

解：考虑曲面2222x y z a ++=， ，以外侧为正方向。它的边界从x 轴正向看去是顺时针。由Stokes 公式将其化为 ，

由对称性得原式即 。将半球投影到xy 平面得一椭圆，椭圆面积为 。因此结果为 。

11．

使用Stokes 公式计算222222()(2)(3)L

y z dx z x dy x y dz -+-+-?，其中

L 是平面1x y z ++=与柱面||||1x y +=的交线.

解：Stokes 公式后，不妨再作坐标变换u=x-y, v=x+y 。 12． 13． 计算(6,1,1)(1,2,3)

yzdx xzdy xydz ++?

.提示：此为全微分。

14． 求全微分()()()222222dw x yz dx y xz dy z yx dz =-+-+-的原函数. 15．

16． 求向量场()222,,A x yz xy z xyz =的散度与旋度. 17． 求向量场221(1,,)y x x xy

F y z z y z

=-

++-的势函数. 18．

如何下面积分与路径无关，求()(),f x x Φ

()()()()()2

22L x y x f x y dx f x y x dy zdz 禳轾镲F 镲犏轾+-++F +睚臌犏镲镲臌铪

ò

解：首先看出z 为独立变元，因此问题简化为使22()((()))(()())2

x y x f x y dx f x y x dy F +-++F

成为全微分。由定理17.4.2得微分方程：

2()()()()f x y x x y x f x ''+Φ=Φ+-，

即2()(),()()f x x x x f x ''=ΦΦ=-。

解得2()cos sin 2,()sin cos 2f x a x b x x x a x b x x =++-Φ=-++。