(完整)初中数学专题训练--二次根式--最简二次根式.docx

典型例题一

例 01．下列各式中属于最简二次根式的是（

）

A ．

x 2

1

B ． x y

C ． 12

D ． 1

1

x

2

分析

因 x

y x 12

3 4

2 3.

x

xy ,

x

1

1

3 6

2

2

2

解答

A

说明 最简二次根式必须满足两个条件：

（ 1）被开方数因数是整数，因式是整式； （ 2）

被开方数不能含有开得尽方的因数或因式

.

典型例题二

例 02．在二次根式中

45 ， 2x 3 ，

x ， m 2 n 2 ， 11 ，最简二次根式的个数

4

是（

）

A ． 1 个

B ． 2 个

C ． 3 个

D ． 4 个

分析

因为

45 3 5 ， 2x

3

x 2x ， x

x

都不是最简二次根式， 所以最简

4

2

二次根式有 2 个 .

解答 B

说明

最简二次根被开方数中因数次数只能小于

2，且不能含有分母 .

典型例题三

例 03．在根式

6 ， ( x y) 2

z ， a 2b ， 1

x ，

y y 2

， 8ab ，

，

， x 2

x 2 x

x 3 中，最简二次根式的个数为（

） .

A ． 2

B ． 3

C ． 4

D ． 5

分 析

1

的 被 开 方 数 是 分 式 ，

x

的 被 开 方 数 中 含 有 分 数 因 数

1

，

x

2

2

22 2ab 3 x 22

所以这几个二次根式都不是最简二次根式.

解答C

说明考查最简二次根式的意义.

只要全面了解了最简二次根式的定义，这样的题目就能迎刃而解. 读者可以自行编拟类似的判断题等，互相检查对二次根式的了解情况.

典型例题四

例 04．化简

a3222, ()______.

a b a a b ab a b

分析原式 =

a(222)

a a a a

b b

b

a a

b

a( a b) 2

a

a a

b a

b

因 a b ， a b0 ， a b(a b)

故原式 =a a

解答a a

说明化简时，把能开得尽方的因式移到根号外，但一定要根据其取值范围，将算术平方根移到根号外. 如果将要移出因式是多项式，必须添上括号.

典型例题五

例 05．（1）化简：4x5______;

1

________ .

（ 2）a

a

分析（1）因4x50 ，则x0 ，

故4x52x 2x2x2x

（ 2）因1

0 ， a0，a

故 a 1a a

a a a

a

a

a2

解答 2 x2x ；a

说明在（ 1）中隐含4x50 ，即x0 的条件；在（2）中隐含1

0 ，即 a0 . a

典型例题六

例 06．化简a21

2 (0 a 1)

a 2

解答∵ 0 a1，∴a 11

， a0 .

a a

∴ a21

2(a 1 )2 a2a

a1

a

1

(a)

2

1a

说明本题中 a 与1

的大小关系，是以隐含的形式给出的. a

被开方数可以写成两项差的平方的形式，从而可以利用本节所学公式.

典型例题七

例 07．化简：( y x)

x( x y)

22xy y 2

x

解答 1：∵x y ，∴x y0，

原式 = ( y x)

x y x

x

y x

x y) 2x y x

x

(x y

解答 2：∵x y ，∴y x0，

原式 = (x y)

x( x y)2x x

y) 2( x y) 2

( x

说明可将被开方数的分母写成两项差的平方的形式移出根号，也可将根号外的因式移入根号内 .

典型例题八例 08．把下列二次根式化成最简二次根式：

（ 1）17

；（ 2）4a5b3(a0,b 0, m0)

；259m

（ 3）a b

（ 4）

x 21 a b xy y

解答（1）原式 =3242 242

25525

（ 2）原式 =22 a4b2 ab 2 a2b ab =2a2b abm

32 m3m3m

（ 3）原式 =(a b)( a b)1a2b2

(a b) 2a b

（ 4）原式 =(x1)( x1)x11

( x

1

xy y y(x 1)y

=

y

1) y

y

说明考查二次根式的化简

（1）被开方数是带分数时，首先要将它化为假分数；（ 2）被开方数分解因数或因式后，若分子、分母有公因数（式），应先约去公因数（式），使运算简便 .

典型例题九

例 09．化简下列根式：

（1）(a 1)

a 1；（ 2）x x 1；（3）25a3b(

b 0) 1x2

解答（1）由被开方式

1

0知 a10 a1

∴原式 =(1 a)

11

a

(1a)21

a

1a

1

（ 2）由根式有意义知x10

即 x1 x0

∴原式 =( x)x1(x) 2 ( x1)

(x 1)x 1 x2x2

b0 3b a 0

∴原式 =52a2ab=5a ab

说明考查根式的化简方法.

化简根式时，常要将某些代数式移出或移入根号，但一定要注意字母的取值范围，必须保证移出或移入前后根式中符号（正负）性质不变.

典型例题十

例 10．当x4时，求 x22x 1 的值.

51

分析

4

，分母有理化后，有 x51.因为 x

51

又 x22x 1 ( x1) 2 2 ，

把 x51代入，得

原式 = ( 5 1 1) 22 3 .

说明一般而言，对于求值的题都不能把字母的取值代入原始式子进行运算，而是必

须先化简再注值 . 本题多项式已经化简了，故就应把x

4代入，但考虑到x 的值是个

51

无理数，又是分母上有根号，就应把它分母有理化以后再代入，也就是说把x 5 1代入代数式就显得比较简单 .同时，尽管多项式已经很简了，如果我们稍作变换，能使代入运算

更加方便，也就是的式化为( x 1)2 2 ，运算更简.

如果把字母的取值不分青红皂白代入原式，就可能运算很繁，导致错误.第一要把字母的取值化简，第二要把代数式化简再根据代数式的特点，适当作一点变换，就能简捷地求出代数式的值 .

典型例题十一

例 11．已知2a 3 b 4 ，化简：

（ 1）a22a 1 ；（ 3）b28b 16

解答∵ 2a 3 b 4 ，即 2a 3 4 b

∴ 2a 3 0 且 4b0

即 a 3

， b4 2

∴（ 1）22 1(1)211

a a a a a

（ 2）2816(4)24 4 .

b b b b b

说明注意到所求的根式的被开方数是一个完全平方数，开方之后得到绝对值，显然

需要 a， b 的范围 . 这一点可由已知条件利用被开方数非负得到.

分析问题往往从结论入手，才想到如何更好地利用已知. 本例容易陷入误区情形有：①

想求 a，b 的具体值；②想不到隐含条件2a 30 ；③不注意变形条件为2a 3 4 b ；

④看不到被开方数是完全平方数 .

选择题

1．选择题

（ 1）把1

化为最简二次根式为（）32

（A ）32 32（ B ）1

32（ C）

1

2（D ）

1 1 32842

（ 2）下列各式中是最简二次根式的是（）

（A ）12 x（B）x 9（C）（ 3）下列各式中不是最简二次根式的是（）a b（ D）5x3y b

（A ）70（ B）a29（ C）x3x2（D ）2x

4

（ 4）二次根式2a3，a2b2，4x ，20 ，30 ，3，

x22xy y2中最

2

简二次根式的个数是（）

（A ） 1（ B） 2（C） 3（ D） 4

（ 5）下列二次式中最简二次根式是（）

（A ）12（ B） a b（ C）x29（D ）6 5

a

（ 6）化简11

）2

得最简二次根式为（

3

初中数学

（A ） 1

30

（ B ） 6 30

（C ）

1

5 （ D ）

6 5

6

6

2．选择题

（ 1）若 x 0 且 y

0 ，则 x 2 y 3

xy y 成立的条件是

（A ） x 0, y 0 （ B ） x 0, y 0

（C ） x 0, y

（D ） x 0, y 0

（ 2）当 x

0, y 0 时，下列等式中成立的是

（A ） x 2 y x y

（ B ）

xy 2

y x

（C ）

4x 3 y

2x xy

（ D ） 9 x 4 y

3x y

（ 3）下列化简中正确的是

（A ）

b 1 b （ B ） 3

2b

2b

2a 2 2a

3

（C ）

b a (

1 1

) b a

a 2

b 2

a

b

（D ）

9(a b)2 (a b)

3( a b) a

b

（ 4）下列化简中错误的是

（A ）

5c 1

5ac

（ B ）

3a

1

3ay

9a 5b 2

3a 3b

10xy

50x 2 y

（C ） 4

4

2

10

（ D ）

a

b a b （ a

b ）

9

3

a b

（ 5）若 a

0 ，把

4a

化成最简二次根式为

b

（A ）

（C ）

2 ab

（ B ）

2 ab b

2

b

ab （ D ） 2b ab

b

3．选择题

（ 1）已知

（A ）

x

a ，则 2x

a 2 a 3 化简得（

）

x

5

x

6

2

x a

（ B ） 2a

x a

x

x 2

（C）2ax4x a（D ）2a

x a

（ 2）化简下列各式，出现错误的是（x

）

（A ）8a 22a 2

（ 0 a b ）

(a b) 2 a b

（B ）18x2y3x3y （ x0 ）（C）( x9)5( x9) 2 x9

（D ）b( x y)2x y

y, a0）2a22a（ x

（ 3）若x3，二次根式 m2x 25x 7的值为 5 ，则 m 等于（）

（A ）2（ B）

2

（ C）

5

（D ）5

5

2

参考答案：

1．（ 1） C（2） B（ 3） C（ 4） B（5） C（ 6） A 2．（ 1） C（2） C（ 3） D（4） B（ 5） C

3．（ 1） B（2） D（ 3）B

填空题

1．填空题

（ 1）化简：48 ______，1

________. 5

（2）化简：a2b3c _________.

（3）把3b

化成最简分式得 _________. 4a

（ 4）二次根式①12 ，②15 ，③ 111

3x ，⑥28x ，⑦

11，④，⑤

x

，2a y

⑧3 3 中最简二次根式为_________.

参考答案：（ 1）4 3 ，5

（ 3）

3ab

（ 2）ab bc（ 4）②⑤⑧

解答题

1．化最简二次根式

（1）216

（3）2

1

12

（ 5）

64a2b4

27c

（ 7）1

2 a27a

2．化简

（ 2）172132

c （4）3108a

2b

（ 6）a

1

1

a

2a b （ 8）

2ab

2a

（ 1）12 1

（ 2）35 236

（ 3）3270（ 4）72

3

（ 5）16a332a2（ 6）4x6 y212x4 y3

（ 7）

b 27a2

3．求代数式b24ac 的值

2a

（ 1）a 3, b7, c 1 ；（ 2）a3,b 3 7, c 12

4．已知10 3.162 ，求98

的值 .（精确到0.01）5

参考答案：

1．（ 1）6 6 （2） 2 30（ 3）53 （4）3bc

（5）8ab23c（6）a21

66ab9c 6a a

（7）（ 8）

9a2a

517

6 （5）4a a2（ 6）2x2y x23y

2（． 1） 2 （2） 5 （3）9 30（4）

223

（7）

3b

9a

3．（ 1）

37

（ 2）

13 62

4．4.43 [提示：原式化为7

10 ]

5

解答题

1．设直角三角形的两条直角边分别为 a 、b，斜边为 c .（ 1）已知a6,b8 ，求 c ；

（ 2）已知a24, c26 ，求b；

（ 3）已知a0.8,b 1.5，求 c ；

（ 4）已知b 2.8, c 3.5，求 a

2．化简

（ 1）x2

25

2 （ x 5 ）（2）

a 1

1（ a1）5x aa32a2a

3．求值：已知x b b24ac

2a

（ 1）当a1, b10, c15 时，求 x ；

（ 2）a1,b3,c 6 时，求 x .（精确到0.01）

参考答案：

1．（ 1） 10（ 2） 10（3）1.7（4）2.1

2．（ 1）x5

5x

a 5x

（ 2）

a2

3．（ 1）5210（ 2）3.46