编码理论基础

编码理论基础

包括群、域、本原多项式、伽罗华域算术。 1． 群

令G 是一个集合。现规定G 上的二元运算“*”的规则：

对G 中的每一对元素a 和b ，在G 中指定一个唯一确定的第三个元素c=a *b 。当这样的二元运算“*”定义在G 上时，我们就称在“*”运算下G 是封闭的。若对G 中的任意元素a 、b 、c 有

则称G 上的二元运算“*”是结合的。

定义1.1 设G 是非空集合。并在G 上定义了一种运算“*”，如果满足以下条件就称做群：

（1） 满足封闭性。若a 和b 为集合G 中的任意元素，即a ∈G ，b ∈G ，恒有

（2） 结合律成立，对任意a ∈G ，b ∈G ，c ∈G ，

（3） G 中存在一个恒等元e ，对任意a ∈G ，有

其中a -1∈G ，且称为a 的逆元素。

例如，整数中，任意两个整数相加还是一个整数，因此满足封闭性；显然也满足结合律；任意一个非零整数Z 的逆元素是-Z ，Z+（-Z ）=0，所以恒等元是0。则整数在实数加法下是一个群。但整数在实数乘法下就不能构成一个群。

若群G 中，a ∈G ，b ∈G ，有

则称群为可交换群或阿贝尔群。

定理1.1 群G 的恒等元是唯一的，每个元素的逆元素也是唯一的。

定理1.2 令H 是G 的非空子集。若H 在G 的群运算下是封闭的且满足群的所有条件，就称H 为G 的子群。

例如，偶数是整数的一个非空子集。同样可以证明偶数在实数加法下也是一个群，所以偶数是整数的一个子群。

定理1.3 群中元素的个数称为群的阶。

2． 域

域就是一个集合，在其中可以进行加、减、乘、除而不会超出该集合。加法和乘法都必须满足交换律、结合律和分配律，正式定义：

定义2.1 令F 是一个集合，其上定义了两个二元运算，称做加法“+”和乘法“·?”。满足下述条件时，就称集F 和两个运算“+”和“·”是域：

c

b a

c b a **=**)()(G

c b a ∈=*c

b a

c b a **=**)()(e

a a =*-1a

b b a *=*

（1）F 关于加法运算构成阿贝尔群；

（2）F 中的非零元素在乘法下构成阿贝尔群，其恒等元素以1表示； （3）对加法和乘法分配律成立

a ?·（b+c ）＝a ·b+a ·c

根据定义可得出，一个域至少由两个元素即加法恒等元素和乘法恒等元素组成。域中元素的个数叫做域的阶。有限个元素的域叫做有限域。在域中，元素a 的加法逆元用-a 表示，乘法逆元用a -1表示。域的一些基本性质可以从域的定义导出。

性质1：对域中的每个元素a ·0=0·a=0。

性质2：对域中任意两个非零元素a 和b ，a ·b ≠0。 性质3：a ·b=0且a ≠0，这意味着b=0。

性质4：对域中任意两个元素a 和b ，-（a ·b ）=（-a ）·b=a ·（-b ） 性质5：对a ≠0，a ·b = a ·c ，可推出b=c 。 一个重要的概念——素域。

令P 为素数，不难证明，整数集{0,1,2,……p-1}在模p 加法下是阿贝尔群，非零集合{1,2,……p-1}在模p 乘法下也构成阿贝尔群，由于模p 加法和模p 乘法是可分配的，所以集合{0,1,2,……p-1}是阶为p 的域。由于这个域由素数p 构成，故称为素域并以GF （p ）表示。对于p=2，我们得到二元域GF （2）。例如p=7，模7加法和模7乘法由表1和表2给出。整数集合{0,1,2,3,4,5,6}在模7加法和模7乘法下是一个有7个元素的域,以GF （7）表示。

表1 表2

对于任何素数p 都存在一个有p 个元素的有限域。对于任何正整数m ，可以将素域GF （p ）扩展成有p m 个元素的域，称它为GF （p ）的扩域，并以GF （p m ）表示。而且已证明，任意有限域的阶是素数的幂次。有限域以其发现者命名为伽罗华域。大部分代数编码理论，码的构造和译码是围绕有限域建立的。

研究q 个元素的有限域GF （q ）。因为在加法下域是封闭的，两个元素之和也是域中的元素，即必存在两个正整数m 和n ，m

则可得 。所以，必存在一个最小正整数λ（读lamuda ）使 。这一整数

λ叫做域GF （q ）的特征。二元域GF （2）的特征是2，1+1=0。素域GF （p ）的特征是p ，因为1?k

定理2.1：有限域的特征λ是素数.

∑∑===m i n

i 1

1

1

1∑-==m n i 1

01∑

==λ

101i ∑∑===≠=p

i k i k 1

1

101且

定理2.2：令a 是有限域GF （q ）中的非零元素，则a q-1

=1。

定理2.3：令a 是有限域GF （q ）中的非零元素，令n 是a 的阶，则q-1能被n 除尽。 在有限域GF （q ）中，若非零元素a 的阶是q-1，就称a 是本原的。所以，本原元素的各次幂生成GF （q ）的所有非零元素，每个有限域都有本原元素。若在群中存在一个这样的元素，其各次幂构成整个群，就称该群是循环的。若a 为循环群中的本原元素，使a n =e 的最小整数n 为循环群的级。

有限循环群的性质。

性质1：若a ∈G 是n 级元素，则a m

=e 的充要条件是m 可以被n 除尽。

性质2：若a 是n 级元素，则元素a k

的级为n /（k, n ）。[（k, n ）表示k 除以n 后的余数]。

3． 伽罗华域算术

在数字通信系统中用到的伽罗华域通常是二元域GF （2）及其扩域GF （2m ），所以这里仅限于讨论二元域及扩域。

定义3.1 不能分解因式的多项式称为既约多项式。若GF （2）上的m 次多项式f （x ）不能被GF （2）上任何次数小于m ，但大于零的多项式除尽，就称它是GF （2）上的既约多项式。首先我们来分析域上多项式。

例1 x 3+x+1=0，由模m 加法可得x 3=x+1，x= x 3+1，若a 是多项式的根，则a 的所有幂次为：

以上分析可知，a 的所有幂次共有七个非零元素，再加上0元素，构成了含有八个元素的域GF （23），它是GF （2）的三次扩域。可见，x 3+x+1是既约多项式。那么，是不是凡是二元域上的既约多项式的根都能构成m 次扩域GF （2m ）。为了说明这个问题，再看一个例子。

如：x 4+x 3+x 2+x+1

a

a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a

a a a a a a a a a a a =?=?==++=+=+?=?=+=+++=++=++?=?=++=+=+=?=+=+?=?=+====111)1(1

1)1(1)()1(1

10001000178326722232562232452343210010

001101111110011100010001对应三位二进制数对应三位二进制数对应三位二进制数对应三位二进制数对应三位二进制数对应三位二进制数对应三位二进制数对应三位二进制数对应三位二进制数0010

00011111111000

0100001000011652343

210?=?=?+++=???=?=a a a a a a a a a a a

我们发现，a 的所有幂次仅有五个元素，加上零元素共有6个，而不是24个，所以x 4+x 3+x 2+x+1不能构成GF （24）扩域。

由GF （2）构造GF （2m ）的过程。

例2：令m=4，多项式p （x ）=x 4+x+1，是GF （2）上的本原多项式。设p （α）=α4+α+1=0，则α4=α+1。利用此式可构造GF （24）。

GF （24）中的元素列如下表3.1。

可见α是x 4+x+1的根,它的所有幂次构成了GF(24)中所有非零元素，加上零元素共有16个元表，α的幂次构成了乘群，且是循环群，α的级是（24-1）。所以α是扩域GF （24）的本原元素。

此外，215=1表明α还是x 15+1的根，因此，既约多项式x 4+x+1能够被多项式x 15+1整除，而不能被其它次数小于15的多项式整除。

归纳：GF （2m ）上的m 次既约多项式有两大类，一类是能被x n +1整除,但不能被x 5+1整除，其中n=2m -1，s

4． 伽罗华域GF （2m

）的基本性质

在普通代数中我们经常看到，实系数多项式的根不在实数域中，而是在含实数域作为子域的复数域中。例如，多项式x 2+6x+25在实数域中没有根，但有两个复共轭根：-3+4i 和-3-4i ，共中 。系数取自GF （2）的多项式也一样。在此情况下，系数取自GF （2）的多项式可以没有GF （2）中的根，但在GF （2）的扩域中有根。

例如：x 4+x 3+1在GF （2）是上既约的，所以根不是GF （2）中的元素。它有取自GF （24）的4个根。 如果我们将上例中给出的GF （24）中的元素代入x 4+x 3+1， 就会发现， α7、α11、α13及α14是x 4+x 3+1的根，可以证实：

(=α

14

·α

14

+α

14

·α7+1逐步展开)

1-=i 0

1)()1(11)()(:2323212837477=+++++=++=++ααααααααα

也可以证实α11、α13、α14三个根。由于α7、α11、α13、α14是x 4+x 3+1的全部根，则（x+α7）（x+α11）（x+α13）（x+α14）≡x 4+x 3+1。（可以用GF （24）元素进行验算）。

令f （x ）是系数GF （2）上的多项式。若GF （2m ）中的元素β是f （x ）的一个根，则多项式f （x ）就可能有其它根在GF （2m ）中。这些根是哪些元素呢？下面的定理可给出回答。

定理4.1 令f （x ）是系数取自GF （2）的多项式，令β是GF(2)扩域中的元素.若β

是f （x ）的根，则对任何

，β2也是f （x ）的根。 证明：

重复展开上述方程，最终得到：

由于 ，因此有：

从上式得出，对任意

将β代入上式得：

元素 称为β的共轭元。 证毕。

定理4.1说明，若GF （2m

）中的元素β是GF(2)上的多项式f （x ）的根，则β的所有不

相同的共轭元(也在GF （2m ）中)也是f （x ）的根。如，多项式f （x ）=x 6+x 5+x 4+x 3

+1以前例

（表3.1）GF （24）中的元素α4为根，为了证实这一点，利用α15

=1很容易证明：

0≥l []

2

22120222122102210202

22102

102)()()

()()()()(n n n n n n n n n n n n x f x f x f f x f x f x f x f x f x f f x f x f x f f f x f x f x f f x f x f f x f ++++=+++++++?++++?+=++++=+++= 2

22221202)()()()(n n x f x f x f f x f ++++= i

i i f f f ==2

,10或)

()()()(222222102x f x f x f x f f x f n n =++++= 0≥l []

)

()(22l

l

x f x f =[])

()(22

l

l

f f ββ=.

)(,0)(,0)(22的根也是因x f f f l

l

βββ∴==l

2β

α4的共轭元是：

注意 ，由定理4.1得出，α8、α、α2也必是f （x ）=x 6+x 5+x 4+x 3+1的根。可以检验，α5和它的共轭元α10也是f （x ）的根。

令β是域GF （2m ）中的非零元素，由定理2.2得：

两边同加1，得 。

这就是说β是多项式 的根。因此GF （2m ）中的每个非零元素都是 的

根。由于 的次数为2m -1，GF （2m ）中的2m -1 个非零元素就形成 的所有

根。由此得到下一个定理。

定理4.2 GF （2m ）中的2m -1个非零元素形成 的全部根。由于GF （2m ）中的零

元素“0”是x 的根，故定理4.2有下述系。

系4.2.1 GF （2m ）中的元素形成 的所有根。

由于GF （2m ）中的任何元素β都是多项式 的根，β就可能是GF （2）上次数小于2m 的多项式的根。令Φ（x ）是GF （2）上使Φ（β）=0的最低次多项式。(不难证明Φ（x ）是唯一的)。多项式Φ（x ）称作是β的最小多项式。例如，GF （2m ）的零元素“0”的最小多项式是x ，单位元素“1”的最小多项式是x+1。下面导出最小多项式的一些性质。

定理4.3：域元素β的最小多项式Φ（x ）是既约的。（证明略）

定理4.4：令f （x ）是GF （2）上的多项式。令Φ（x ）是域元素β的最小多项式。若β是f （x ）的根，则f （x ）可被Φ（x ）除尽。（证明略）

由系4.2.1和定理4.4可得出下述结果：

定理4.5：GF （2m

）中元素β的最小多项式Φ（x ）除尽

。 这个定理说明，Φ（x ）的所有根都在GF （2m ）中，那么Φ（x ）的根是什么？下面的两个定理将给出回答。

定理4.6：令f （x ）是GF （2）上的既约多项式。令β是GF （2m

）中的元素。令Φ（x ）是β的最小多项式。若f （β）=0，则Φ（x ）= f （x ）。

证明：由定理4.4得到，Φ（x ）除尽f （x ）。由于Φ（x ）≠1且f （x ）是既约的，必有Φ（x ）= f （x ）。证毕。

定理4.6说明，若一既约多项式有β为根，它就是β的最小多项式Φ（x ）。由定理4.1

得出，β及其共轭 是Φ（x ）的根。令e 是使 最小整数，则 就是β的所有不同共轭元。由于 ，故e ?m 。 定理4.7：令β是GF （2m ）中的元素，并令e 是使 的最小非负整数，则

1)1()()(1

11

)()()()()(2323125912162024434445464=+++++++++=++++=++++=++++=αααααααααααααααααααααf (将前三项折成a 15?a i 其中α15=1)

2

322416

248

2

43

2

)(,)(,)(αααααααα=====464244

)(ααα==1

1

2

=-m

β0112=+-m

β11

2+-m

x 11

2+-m x 112+-m x 112+-m x 112+-m x x x m

+2)]

1([1

2

2

+=+-m m

x x x x 即x x m +2x x m +2

,,,2222e βββββ=e 2

1

2222,,-e βββ ββ=m 2ββ=e

2

上的既约多项式

是∏+=-=1

02)2()

()(e i i

GF x x f β

证明：

因 ，则

式－b

令 ，其中f 0=1。展开

式－b

由以上2式（式－a ，式－b ）可得到：

则对0?i ?e ，我们必有

这仅当f i =0或1时才成立。所以。f （x ）的系数取自GF （2）。现假设f （x ）在GF （2）上不是既约的且f （x ）=a （x ）b （x ）。由于f (β)=0，∴a （β）=0或b (β)=0。若a （β）

=0，则a （x ）有 为根，因此a （x ）次数为e 且a （x ）= f （x ）。类似地，若b （β）=0，则b （x ）= f （x ）。所以，f （x ）必是既约的。 证毕。

定理4.6和定理4.7可得到定理4.8。

定理4.8：Φ（x ）是GF （2m

）中元素β的最小多项式。令e 是使 的最小整数，则

[]∏∏-=-=+=??

????+=1

02

22

1022

)()()(e i e i i i x x x f ββ1

1

2

22

22222)(+++=+++=+i i i i i

x x x x x βββββ因[]

)()()

()()(2211221

221

22

2

1

e

i i

i x x x x x f e i e

i e i ββββ

+??

????+=+=+=∏∏∏-==-=+ββ=e

2[]

)

()()(21

22

2

x f x x f e i i

=+=∏-=βe

e x

f x f f x f +++= 10)([])

()11()()(0

22000

22

2

102j i x f x f f x f x f x f f x f e

i i

i e

i e

i e

j j

i j i i

i e e ≠=++=+++=∑∑∑∑====+ ∑∑===e

i e

i i

i i

i x f x

f 0

2222

i i f f =1

22,,-e βββ ββ=e

2∏-=+=Φ1

2)

()(e i i

x x β

例3 前面表3.1给出伽罗华域GF （24）。令β=α3。β的共轭元是

的最小多项式则为：

借助于（表3.1例子）GF （24）列表3.1，将上式乘出可得：

另一种求域元素的最小多项式的方法，用例子说明。

例4：假设我们要决定GF （24）的γ=α7的最小多项式Φ（x ）。γ的不同共轭元是

因此Φ（x ）为4次式，且必有下述形式：

将γ代入Φ（x ）中，

式中γ，γ2，γ3和γ

4

采用多项式表示时可得到

为了使上式等号成立，必须使系数为零。

解线性方程可得出， 。

∴γ=α7的最小多项式为

39915924212262,)(,,3

2αβααααα

βαβαβ==??====)

)()()(()(91263αααα++++=Φx x x x x [][]

1

)()()()

)(()()()(2341581729106382468292221

91229632++++=++++++++=++++=++++++=Φx x x x x x x x x x x x x x x x x αααααααααααααααααα11

56213

28

214

23

2

,,ααγ

αα

γ

αγ=====4

332210)(x x a x a x a a x ++++=Φ0

)(4332210=++++=Φγγγγγa a a a 0

)1()()1()1(2332332310=++++++++++αααααααa a a a 0

)1()1()1(3123231012=++++++++++αααa a a a a a a a ??

?

???

?=+++=+==+++0101001321312

10a a a a a a a a 1,0,13210====a a a a

GF （24）中所有元素的最小多项式在表4.1中给出。 表4.1 p （x ）=x 4+x+1的GF （24）中元素的最小多项式

定理4.9：令Φ（x ）是GF （2m

）中元素β的最小多项式。令e 是Φ（x ）的次数，则e 是使β2

=β的最小整数，而e ≤m 。

特别指出，GF （2m ）中任一元素的最小多项式的次数除尽m 。上表中表明，GF （24）中每一元素的最小多项式的次数除尽4。

在伽华罗域GF （2m ）的构造中，应用m 次本原多项式p （x ），并要求元素α是p （x ）的根，由于α的幂生成GF （2m ）中所有非零元素，所以α是本原元素。实际上，α的所有共轭元都是GF （2m ）的本原元素。

定理4.10：若β是GF （2m

）的本原元素，则它的所有共轭元

也是GF （2m ）的本原元素。

例：考察域GF （24），β=α7的幂是

显然，β=α7的幂生成GF （24）的所有非零元素，故β=α7是GF （27）的本原元素。β=α7的共轭元是：

不难验证它们都是GF （2m ）的本原元素。

定理4.11：若β是GF （2m

）中的一个n 阶元素，则它的所有共轭元有同样阶数n 。（定理4.11是定理4.10的更一般形式）

例5：考察GF （24）中元素α5。由于 ，故α5的共轭元只有α10。α5和α10的阶数都是3。α5和α10的最小多项式是x 2+x+1。其次是m=4的因子。α3的共轭元是α6，α9和α12，它们的阶数都是n=5。

例：求GF （24）中元素α5的最小多项式：

由于 ，所以α5的共轭元只有α10。

解：γ=α5

1

)(34++=Φx x x ,,222ββ.

1,,,,,,,,,,,,,,,11051589814911398412277111070103639115684497124265355132846213142710=============================αβααβααβααβααβααβααβααβααβααβααβααβααβαβαββ)

1(,,1511

21321423

2====ααβαβαβ 5

20252)(ααα==520252)(ααα==)(2

2

210++=Φx a x a a x （标准形式）

为了使等式两边相等，必须使左边的各项系数为0。

最小多项式：

5． 用于伽华罗域GF （2m ）算术的计算

研究GF （24）上的下述线性方程：

将α3乘②式，可得

将②’+①，可得到

将Y=α4代入①式，可得到

∴方程的解为x=α9，Y=α4

例6 假设要解GF （24）上的方程

48122

7ααααα=+=+y x y

x ①

②

2

7711αααα=+=+y x y x ②’ ①

)()()(00)1()(0

2212120222212102

22

10102510=+++++=+++++=+++++=++ααααααααααααa a a a a a a a a a a a a a a a a a

1

1

.321025++=+=αααααα查表??

?

??=+=+=+000212120

a a a a a a 1

2102

120===∴==a a a a a a a 12

++x x 4

12

87

2117)(ααααααα==+=+Y Y Y 12

23272

282117231137111ααααααααααααααααααα?+++=+??+=+++?++?已知

247ααα=?+x 9

α=x

为了得到此解，可以通过GF （24）中所有元素代替x 后找到。试探性做，发现f （α6）=0和 f （α10）=0 ，因为

因此，α6和α10是f （x ）的根，且

。 上述计算在译BCH 分组码所需要的计算中是典型的，而且可以很容易在通用计算机上编制程序。

5．矢量空间

令v 是元素的集合，在其上定义了一个称作是加法“+”的二元运算。令F 是域。在域F 中的元素和v 中的元素之间还定义了一个以“· ”表示的乘法运算。若集合v 满足下述条件，就称它为域F 上的矢量空间：

I. v 是加法下的可交换群。

II. 对F 中的任意元素a 和V 中任意元素V ，a ·v 是v 中的元素。 III. （分配律）对v 中的任意元素u 和v ，和F 中的任意元素a 和b 。

IV. （结合律）对v 中任意v 和F 中任意a 和b 。

V. 令“1”是F 的单位元，则对v 中任意v ，1·v=v 。

v 中的元素称为矢量，域F 中的元素称为标量。V 上的加法称作矢量加法，F 中的标量和v 中的矢量结合成v 中矢量的乘法看作是数乘（或积）。V 的加法恒元以0表示。

域F 上的矢量空间v 的一些基本性质可由上述定义导出。 性质Ⅰ：令0是域F 中的零元。对v 中任意矢量v ，0·v=0。 性质Ⅱ：对F 中任意标量c ，c ·0=0。

性质Ⅲ：对F 中任何标量c 和v 中任何矢量v ，

这就是说（-c ）·v 或c ·（-v ）是矢量c ·v 的加法逆元。

下面介绍非常有用的，在编码理论中起着中心作用的GF （2）上的矢量空间。研究n 个分量的有序序列。

其中每个分量a i 是二元域GF （2）上中的元素（即a i =0或1）。这个序列一般称作GF （2）

)(72=++=ααx x x f 0

)()(0)()(2510721010131267266=++=+?+==++=+?+=ααααααααααααααααf f )

0(22=+++=αααα))(()(10

6αα++=x x x f v

b v a v b a v a u a v u a ?+?=?+?+?=+?)()()

()(v b a v b a ??=??))

()()(v c v c v c ?-=-?=?-)

,,(110-n a a a

上的n —重。由于每个a i 有两种选择，我们可以构造2n 个不同的n —重。令v n 表示2n 个不同n —重的集合。现在，我们在v n 上定义一个加法：对v n 中任何u=（u 0，u 1，… u n-1）和 v=（v 0，v 1，… v n-1），

其中u i +v i 按模—2进行相加。显然u+v 也是GF （2）上的n —重。因此v n 在（5-1）式所定义的加法下是封闭的。容易证明，v n 在（5-1）式定义的加法下是可交换群。

下面定义以GF （2）中元素a 数乘v n 中一个n —重v 为：

其中a ·v i 按模2乘法进行。显然， 也是v n 中的n —重。若a=1，则：

容易证明，式（5-1）和（5-2）定义的矢量加法和数乘分别满足分配律和结合律。所以，GF （2）上所有n —重的集合v n 形成GF （2）上的一个矢量空间。

例5-1 令n=5。GF （2）上所有5—重的矢量空间由下述32个矢量组成。 （00000），（00001），……（11111） （10111）和（11001）的矢量和是

（10111）+（11001）=（1+1，0+1，1+0，1+0，1+1）=（01110） 利用（5-2）定义的数乘规则，有 0·（11010）=（0·1，0·1，0·0，0·1，0·0）=（00000） 1·（11010）=（1·1，1·1，1·0，1·1，1·0）=（11010）

任意域F 上的所有n —重的矢量空间可用类似的方法构造。但在这里，我们仅关心GF （2）或GF （2m ）上的所有n —重的矢量空间。

V 是域F 上的一个矢量空间。可以会碰到v 的一个子集s 也是F 上的一个矢量空间，这种子集称作是v 的子空间。

定理5.1 令s 是域F 上矢量空间v 的一个非空子集，则当s 满足下述条件时它是v 的一个子空间：

i) 对s 中的任意两个矢量u 和v ，u+v 也是s 中的矢量。

ii) 对F 中的任意元素a 和s 中的任意矢量v ，a ·u 也在s 中。

证明：条件i ）和ii ）是说在v 的矢量加和数乘下s 是封闭的。条件ii ）保证对s 中任意矢量v ，其加法逆元（-1）·v 也在s 中。于是v+（-1）v=0也在s 中。所以s 是v 的子群。由于s 的矢量也是v 的矢量，s 必满足结合律和分配律。因此，s 是F 上的矢量空间，且是v 的一个子空间。证毕。

例5-2 研究例5-1给出的GF （2）上所有5—重的矢量空间v 5。集{（00000），（00111），（11010），（11101）}满足定理5.1的两个条件，故它是v 5的一个子空间。

令 是域F 上矢量空间v 中的k 个矢量。令 是F 中的k 个标量。和

)

,,(111100--+++=+n n v u v u v u v u （5-1） )

,,(),,(110110--???=?n n v a v a v a v v v a （5-2）

),

,(1

1

-?n v v v a )

,,()1,1,1(),,(1110110110---=???=?n n n v v v v v v v v v k

k v a v a v a +++ 2211k v v v ,,,21 k a a a ,,,21

称作是 的线性组合。显然， 的两个线性组合的和为

也是 的线性组合。F 中的标量c 和 的线性组合的乘积

也是 的线性组合。

定理5-2 令 是域F 上矢量空间v 的k 个矢量，则 的所有

线性组合构成v 的一个子空间。

例5-3 分析例5-1给定的GF （2）中所有5—重的矢量空间v 5。（00111）和（11101）的线性组合是：

这四个矢量构成例5-2给出的同一子空间。

域F 上矢量空间v 中的一组矢量 称作是线性相关的，当且仅当在F 中存

在k 个不都为零的标量使得

若一组矢量 不是线性相关的，就称作是线性独立的，除非 否则

例5-4 矢量（10110），（01001）和（11111）是线性相关的，因为

但是（10110），（01001）和（11011）是线性独立的。这3个矢量的所有8种线性组合如下：

k v v v ,,,21 k v v v ,,,21 k

k k k k k k v b a v b a v b a v b v b v b v a v a v a )()()()()(22211122112111++++++=+++++++ k v v v ,,,21 k v v v

,,,21 k

k k k v a c v a c v a c v a v a v a c )()()()(22112211?+?+?=+++? k v v v ,,,21 k v v v ,,,21 k v v v ,,,21 )

11010()11101(1)00111(1)00111()11101(0)00111(1)11101()11101(1)00111(0)00000()11101(0)00111(0=?+?=?+?=?+?=?+?k v v v ,,,21 0

2211=+++k k v a v a v a k v v v ,,,21 021====k a a a 0

2211≠+++k k v a v a v a )

2(),00000()11111(1)01001(1)10110(1加模=?+?+?

我们称矢量集合张成一矢量空间v ，若v 中每个矢量都是该集合中矢量的线性组合。在任何矢量空间或子空间中，都至少存在一个线性独立的矢量的集合B ，它张成该空间。这个集合称作矢量空间的基底（或基）。矢量空间基底中矢量的数目称作矢量空间的维数。（注意：任意两个基底中矢量的数目相同）

研究GF （2）上所有n —重构成的矢量空间v n0 我们作下述n 个n —重：

其中n —重e i 仅在第i 位上有一个非零分量，则v n 中每个n —重 可以表示成 的线性组合：

所以 张成GF （2）所有n —重的矢量空间。从上述方程可以看出 是线性独立的。因此，它们构成v n 的基底，且v n 的维数是n ，若k

的线性组合构成v n 的一个k 一维子空间S 。由于每个c i 有两个可能的取值0或1，故有2k 个可能不相同的 的线性组合。因此，S 由2k 个矢量组成且为v n 的一个k 一维子空间。

令 和 是v n 中的两个n —重。这里定义u 和v

的内积（或点积）为

其中 和 按模2乘法和加法进行。因而内积 是GF （2）中的标

量。若 ，就称u 和v 彼此正交，内积有下述性质：

)

00100()11011(1)01001(1)10110(1)11111()11011(0)01001(1)10110(1)01101()11011(1)01001(0)10110(1)10110()11011(0)01001(0)10110(1)10010()11011(1)01001(1)10110(0)01001()11011(0)01001(1)10110(0)11011()11011(1)01001(0)10110(0)00000()11011(0)01001(0)10110(0=?+?+?=?+?+?=?+?+?=?+?+?=?+?+?=?+?+?=?+?+?=?+?+?)

1,0,0,0,0()0,,0,0,1,0()0,,0,0,0,1(1

10

===-n e e

e “1”每次右移一位

)

,,,(110-n a a a 112211001210),,,,(---++++=n n n e a e a e a e a a a a a )

,,,(110-n e e e 110,,,-n e e e 110,,,-n e e e k v v v ,,,21 k v v v ,,,21 k

k v c v c v c u +++= 2211),,,(110-=n u u u u ),,,(110-=n v v v v k v v v ,,,21 1

11100--?++?+?=?n n v u v u v u v u （5-3）

i i v u ?11++?+?i i i i v u v u v u ?0=?v u

i)

ii)

iii) （内积的概念可以推广到任意伽罗华域）

令S 是v n 的k 维子空间，并令S d 是v n 中这样的矢量集合：对S 中的任意u 和S d 中的任

意v 有 。集合S d 至少包含全零n —重，0=（0，0，…，0），因为对S 中的任一u 有 。因此S d 是非空的。对GF （2）中任一元素a 和S d 中任一v ，

所以 也在S d 中。令v 和w 是S d 中任意两个矢量。对S 中任意u ， 。这就是说，若v 和w 正交于u ，则矢量v+w 也与u 正交。因而，v+w 也是S d 中一个矢量。由定理5.1得出， S d 也是v n 的一个子空间。这个子空间S d 称作是S 的零化（或对偶）空间。反之，S 也是S d 的零化空间。S d 的维数由定理5.3给定。

定理5.3 令S 是GF （2）上所有n —重的矢量空间中的一个k 一维子空间，则其零化空间S d 的维数为n-k 。换句话说，dim （s ）+dim （s d ）= n 。

例5-5 分析例5-1给定的GF （2）上所有5-重的矢量空间v 5。下述8个矢量构成v 5的一个3-维子空间S ，

S 的零化空间由以下4个矢量组成：

S d 由线性独立的（10101）和（01110）张成。因此，S d 的维数是2。

本节给出的所有结果都可直接地推广到GF （q ）上所有 n —重 的矢量空间，其中q 是一素数幂。

6． 矩阵

GF （2）上（或任意其他域上）k ×n 阶矩阵是一个有k 行和n 列的长方阵：

其中每个个元素 ， ，都是取自二元域GF （2）中的元素。第一个下标i 表示行，第2个下标j 表示列。有时以符号 来简化表示矩阵（6-1）式。从（6-1）式中看可出，G 的每一行都是GF （2）的一个n —重，每一列都是GF （2）上的一个k —重。矩阵G 也可用它的k 行 表示如下： v v u ?=?w u v u w v u ?+?=+?)()

()(v u a v au ?=?0=?v u 00=?u ?

?===?1

0a v a v a 若若v a ?000)(=+=?+?=+?w u v u w v u )

00111(),11011(),01101(),10110()10001(),01010(),11100(),00000()

11011(),01110(),10101(),00000(??

?

????

??

???=-------1,12

,11

,10

,11,1121110

1,0020100n k k k k n n g g g g g g g g g g g g G

ij g n j k i <≤<≤00和][ij g （6-1）

110,,,-

k g g g

若G 的k 行（k ?n ）是线性独立的，则这些行的2k 个线性组合形成GF （2）上所有n

—重的矢量空间v n 的k 一维子空间。这个子空间称为G 的行空间，我们可以交换G 中任意两行或将一行加到另一行。这些称作是初等行运算。对G 进行初等行运算我们得到GF （2）上的另一个矩阵G ˊ。但是，G 和G ˊ都给出同一行空间。

例6-1 分析GF （2）上一个3×6阶矩阵G ，

第三行加到第一行，且第二行和第三行交换，可得到下列矩阵，

G 和G ˊ都给出如下的行空间，

这是GF （2）上所有6—重矢量空间v 6的一个3—维子空间。

令S 是GF （2）上一个k ×n 阶矩阵G 的行空间，其k 行 线性独立。令S d 是S 的零化空间，则S d 的维数是n-k 。令 是S d 中n-k 个线性独立矢量。显然，这些矢量张成S d 。我们可以用 作为行构成一个（n-k ）×n 阶矩阵H ，

H 的行空间是S d 。由于G 的每一行

是 s 中的矢量，且H 的每一行h i 是S d 中的矢量，则g i 和h I 的内积必是零 。由于G 的行空间S 是H 的行空间S d 的零化空间，故我们称S 是H 的零化（或对偶）空间。综合以上结果可得到：

定理6.1 对GF （2）上有k 个线性独立行的任意k ×n 阶矩阵，都存在一个有（n-k ）个线性独立行的（n-k ）×n 阶矩阵，使得对G 中任一行 和H 中任意行 有 。G 的行空间是H 的零化空间，反之亦然。

???

??

???????=-110k g g g G ??

??

?

?????=110010011100011011G ??

??

?

?????='011100110010101001G )

111000(),011101(),101011(),110110()001110(),010011(),100101(),000000(110,,,-k g g g 110,,,--k n h h h 1

10,,,--k n h h h ?

?

?

??????

???=????????????=-----------1,11

,10

,11,111

10

1,00100

110n k n k n k n n n k n h h h h h h

h h h h h h H

i g )0(=?i i h g 即i g j h 0=?j i h g

例6-2 研究下述GF （2）上的3×6阶矩阵。

这一矩阵的行空间是 的零化空间。

我们容易验证G 的每一行都和H 的每一行正交。

若两个矩阵有相同的行数和相同的列数，它们就可以相加。两个k ×n 阶矩阵

和 相加，我们简单地将它们的相应元素 和 相加如下：

因此，得到的矩阵也是k ×n 阶矩阵。两个矩阵只要第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数就可以相乘。k ×n 阶矩阵 乘以 阶矩阵 的积 是 阶矩阵，其元素 等于A 中第i 行 和B 中第j 列 的内积，即

令G 是GF （2）上一个k ×n 阶矩阵，用G T 表示G 的转置，它是一个n ×k 阶矩阵。它的各行是G 的各列，而它的各列是G 的各行。一个k ×k 阶矩阵。若在主对角线上都为1而其它处为0。就称作是恒等矩阵。这一矩阵通常用1k 表示。矩阵G 的子阵是由除去G 的给定行或列所得到的矩阵。

??

??

?

?????=110010011100011011G ??

?

???????=100011010110001101H []

ij a A =[]

ij b B =ij a ij b [][][]

ij

ij

ij

ij

b a

b a +=+[]ij a A =[]

ij b

B =l n ?[]

ij

c B A C =?=l k ?ij c i a i b ∑-=?=?=1

n i ij

ij j i ij b a b a c