高度的测量--教学设计

华东师大版九年级上册

高度的测量

一、内容和内容解析

1.内容

综合数学或其它学科知识形成高度的测量方案

2.内容解析

本节课是华东师范大学出版社九年级《数学》上册第24章《解直角三角形》章末“综合与实践”.这一章是学生在充分学习相似三角形、解直角三角形的基础上，从测量入手，创设学习情景，研究直角三角形的边角关系及其实际应用.在本节课的前面我们已经学习了构造相似三角形、借助平行投影、运用勾股定理及锐角三角函数知识解决一些实际测量问题.

通过本节课高度测量方案的探究，渗透着数学识模和建模的思想，能极大提高学生解决实际问题的能力，增强应用意识，培养学生的创新精神和实践能力，引导学生去发现问题、提出问题，使学生能够利用所学知识去分析现实生活中的问题，从而解决问题.

本节课先用2016年国庆天安门广场升国旗仪式引入，再用学生所熟知的学校旗杆为具体问题情境设置具体问题，体现了数学来源于生活和课堂德育的功能；然后让学生以小组为单位合作学习、自主探究，引导学生综合运用数学知识和其它学科知识设计解决问题方案，积累数学活动经验；鼓励学生展示、讲解自己的高度测量方案，合作交流、反思质疑；再设情境河对岸铁塔高度的测量这一具体情境，合作交流，应用探究，质疑解惑；最后课堂小结，肯定学生综合运用知识解决问题的方法，表扬学生们学以致用，大胆创新的表现，更要引导学生体会学科知识融合在实际生活中的应用.

基于以上分析，确定本节课的教学重点是：运用勾股定理、相似三角形、三角函数等数学知识和其它学科知识，设计高度的测量的方案．

二、目标和目标解析

1.目标

（1）激发学生对数学的好奇心和求知欲，体验数学的价值，促进科学态度的形成。

（2）综合运用数学知识或其它学科知识设计高度的测量方案，积累数学活动经验.

（3）发展合情推理和演绎推理能力，体会数学的基本思想和思维方式。

（4）增强应用意识、提高实践能力，尝试评价和反思。

2.目标解析

（1）通过具体问题情境设计，在小组合作学习，讨论探究过程中，激发学生对数学的好奇心和求知欲；在小组合作探究运用数学知识或其它学科知识设计解决问题方案的过程中，体会数学的价值；在小组讨论、方案展示过程中发表自己想法、勇敢创新，在大胆质疑中形成良好的学习习惯和严谨求实的科学态度.

（2）综合运用勾股定理、相似三角形、解直角三角形等数学知识建立数学模型，合理利用物理、体育、信息技术等学科知识，设计紧贴实际情境的旗杆高度的测量方法，进一步掌握图形与几何的基础知识和基本技能，积累数学活动经验，发展学生的应用意识和能力.

（3）在小组合作学习，自主探究设计高度测量方案的过程中，发展合情推理和演绎推理能力，清晰的表达自己的测量方案，学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式.

（4）探索、分析、设计高度的测量方案的有效方法，增强应用意识、提高实践能力，在小组合作学习中与他人合作交流解决问题的过程，尝试解释自己的思考过程，学会与他人合作交流；在小组间交流成果过程中了解解决问题方法的多样性，尝试评价和反思.

三、教学问题诊断分析

学生已经完成了初中各科课程，本节课给出情景问题，让学生去解决，需要学生建立抽象的数学模型去解决问题，另外本节课方法众多，使用同一方法设计测量方案，不同学生思路也不尽相同，特别是构造直角三角形，使用三角函数综合数学学科知识设计的测量方案，方法有难度，应用很广泛，因此在本节课的学习环节，可能遇到的问题有：

1.课堂预设的由易到难、由特殊到一般的方案顺序与课堂实际中学生展示顺序的不可控之间的矛盾.

2.实际测量过程中，学生根据实际情境建立的方案往往能紧贴实际，选用最易操作的方法，不会考虑较复杂的实际测量情境.

在学习勾股定理、相似三角、解直角三角形的时候，学生已经尝试过不同的方法测量高度，因此在这一部分的学习中，学生很容易想到多种不同的方法设计测量方案，本节课着重于学生学习兴趣、数学经验的积累，可不拘泥于由易到难，由特殊到一般的展示顺序.本节学生对于旗杆高度的测量不会刻意去选择综合学科知识的测量方法.

基于以上分析，确定本节课的教学难点是：学会分析实际问题，构造直角三角形，利用三角函数建立数学模型解决问题．

四、教学支持条件分析

根据本节课教学内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，先让小组代表通过实物展台展示方案，再用ppt动画演示，设计必要的板书让学生的思维与教学过程同步，让学生更好地的把握教学内容.

五、教学过程分析

数学课程标准综合与实践要求：结合实际情景，经历设计解决具体问题方案，并加以实施的过程，体验建立模型、解决问题的过程，并在此过程中，尝试发现

和提出问题.为此我设计了如下探究过程：

（一）、创设问题情景，提出具体问题

（播放2016年国庆天安门广场升国旗仪式）

同学们，听到雄壮的国歌声奏响，看着鲜艳的五星红旗冉冉升起，我们心中无比骄傲与自豪.在升国旗中，升旗手恰好在48秒国歌声中将国旗升至最高点，升旗手需要根据旗杆的高度来确定升旗的速度，旗杆的高度是多少呢?你会测量旗杆的高度吗？就让我们以校园旗杆为例，用所学的知识和已有的经验来研究高度的测量？

（板书标题：高度的测量.幻灯片展示升旗广场图片.）

相信同学们一定能灵活运用我们所学过的数学知识或其它学科知识，设计出高度测量方案.

请同学们以小组为单位，在导学案中设计出具体的测量方案.

【设计意图：以生动的2016年国庆节天安门广场升国旗仪式视频引入课题，创设探索氛围，极大地激发学生的学习热情，以学生熟知的升国旗为具体情境，提出问题，即发挥了课堂的德育功能，又仅激发学生兴趣，促进学生积极参与教学活动，提高学习热情.结合提出的问题，在学案中制定了五个探究步骤，目的是为了指导学生学会如何进行探究活动，怎样形成解决问题的报告.】

（二）、小组合作探究，形成测量方案

（以组间同质、组内异质的的四人学习小组为单位，学生间分工协作交流探究.我们是这样进行小组合作学习：

1、一号组长负责组织组内讨论、确定方案；

2、二号副组长负责方案书写；

3、三号、四号复习协助方案计算、绘图，准备发言.

老师积极参与到小组探究中，鼓励学生大胆设想，表扬学生独到见解，了解不同小组的方案设计，及时帮助引导.）

AB BE = CD DF

【设计意图：小组合作学习能极大的激发学生的学习热情，在小组内明确责任分工的前提下，小组成员间分工协作，调动每一个成员的主观能动.通过小组活动让学生自主的由知识到实践展开丰富的想象，再利用成果展示让学生体验成功的感受，同时又在交流中开阔眼界，取长补短，学会如何运用所学知识解决问题，并借助学生的成果有重点地提炼出数学方法.教师在此过程中深入学生中间，给予学生具体的指导，也在与学生交流中发现闪光点，明确下一环节交流思路.】（三）、交流成果，小组代表使用多媒体展示方案

课程标准要求学生在探索交流中，引导学生获得数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，促进学生主动的、富有个性的学习，这也是完成数学知识技能、数学思考、问题解决、情感态度四维目标的需要

为此，在本环节中，首先鼓励学生以小组为单位，小组代表通过多媒体展示本组制定的方案，介绍工具、原理、测量方法、所需数据等.（学生展示过程中可能出现的不同方案，如后附“预设方案”,点评不作演示）

预设方案一：

利用平行投影测量高度

一、用什么测量方法？

如上图所示：平行投影下，同一时刻，所有物体的影子朝同

一方向，且物体与影长之比皆相等.

二、这种测量方法需要哪些测量工具？

标杆、卷尺.

三、应测量得到哪些有关数据？

上图所示标杆CD的长度，影长DF、BE.

代入数据进行计算

四、测量过程主要分哪些步骤完成？

①测量标杆CD的长度；

②将标杆垂直立于地面，测量出影长DF；

③测量出旗杆的影长BE.

五、如何计算测量的结果？

预设方案二：

构造相似三角形测量高度

一、用什么测量方法？

如上图所示：镜子的入射角和反射角相等，构造ΔABG ∽ΔCDG. 二、这种测量方法需要哪些测量工具？ 镜子、卷尺. 三、应测量得到哪些有关数据？ 上图所示线段BG 、GD 、CD 的长度. 四、测量过程主要分哪些步骤完成？ ①测量员垂直于地面站立，测量出测量员眼睛与地面的高度，即CD 的长； ②将镜子放置在水平的篮球场上； ③测量员在直线BE 上移动，直到通过镜子观测到旗杆顶端停止； ④在镜子上标记出反射点G ； ⑤测量出线段GD 、BG 的长. 五、如何计算测量的结果？ 预设方案三：

学科知识融合方案 一、用什么测量方法？ 如右图所示，我校标准化篮球场，南北长度是28米（即上图中线段CD 的长）.用测角仪测量出∠ADB 和∠ACB 的度数. B A D C AB tan =BD BD=tan AB tan =BD BC=tan =2828tan tan 2811tan tan ADB AB ADB ACB AB ACB BC BD CD AB AB ACB ADB AB ACB ADB ∴∴-=∴-==-∠∠∠∠∠∠则∠∠

二、这种测量方法需要哪些测量工具？ 测角仪,计算机excel 三、应测量得到哪些有关数据？ ∠ADB 和∠ACB 的度数 四、测量过程主要分哪些步骤完成？ ①用测角仪，在篮球场最南端地面测量出旗杆顶端仰角∠ACB 的度数； ②用测角仪，在篮球场最南端地面测量出旗杆顶端仰角∠ADB 的度数； ③使用Excel ，设计计算公式，输入测量数据进行计算. 五、如何计算测量的结果？ 预设方案四：

利用勾股定理测量高度 一、用什么测量方法？ 绳子垂下后，超过旗杆的长度（线段BC 的长），右图绳子拉直后绳端C ’与旗杆底部的距离（线段BC ’的长度）. 在Rt △ABC 中，AB 2+BC'2=AC 2 AB 2+ B C'2=(AB'+B'C')2 二、这种测量方法需要哪些测量工具？ 卷尺. 三、应测量得到哪些有关数据？ 线段BC ，BC ’的长度. 四、测量过程主要分哪些步骤完成？ ①将绳子垂下后在旗杆底端固定； ②将多余绳子拉直，如左图，测出线段BC 的长； ③拉紧绳子一端，沿水平面将绳子拉直，如右图，测出旗杆底端与绳端C ’的距离，即图中线段BC ’的长度. 五、如何计算测量的结果？ B'

B A B A

预设方案五：

利用三角函数

一、用什么测量方法？ 在Rt △CEB 中

CE=BE tan ∠2

在Rt △AEC 中 AE=CE ·tan ∠1 =BE tan ∠2 tan ∠1 =BE ·tan ∠1tan ∠2

∴AB=AE+BE

= BE ·tan ∠1tan ∠2 +BE

= tan ∠1tan ∠2 +1

二、这种测量方法需要哪些测量工具？

高度为1米的测角仪.

三、应测量得到哪些有关数据？

仰角∠1，俯角∠2.

四、测量过程主要分哪些步骤完成？

①将高度为1米的测角仪CD ，垂直放置在旗杆底端B 的

同一水平面上；

②测得旗杆顶端A 的仰角∠1；

③测得旗杆底端B 的俯角∠2；.

五、如何计算测量的结果？

预设方案六：

数学学科知识综合方案

一、用什么测量方法？

在Rt △ABD 和Rt △ABC 中

tan tan tan tan 11tan tan AB AB CD AB CD CD AB αββα

βα=∴-==-则

B D

C A

二、这种测量方法需要哪些测量工具？

测角仪、卷尺.

三、应测量得到哪些有关数据？

仰角∠α，仰角∠β.

四、测量过程主要分哪些步骤完成？

①用测角仪在点D 测得旗杆顶端仰角α；

②用测角仪在点C 测得旗杆顶端仰角β.

五、如何计算测量的结果？

其它预设：学生在探索过程中可能提出其它方案，比如，

使用氢气球、借助旁边教学楼等.

【设计意图：在学生独立思考、讨论探究之后，运用日常生活经验和以前所学知识使问题得以解决.本环节，通过让学生讲解自己设计的方案，锻炼学生的语言表达能力，使学生了解解决问题方法的多样性，尝试评价和反思，培养学生合作交流意识和创新精神.】

（四）、再设情境，拓展探究

下面有这样一个实际问题：

小明家，住在河边一幢大楼里.假期，小明在楼前运动场锻炼身体，他观察到河对岸新建了一座铁塔.小明想测量铁塔的高度，特意作了现场考察.他发现：

1、在楼前广场不同地方都可以看到塔的顶部.

2、在平坦的楼顶不同地方也可以观测到塔的顶部.

3、在楼顶边缘处能同时看到塔的顶部和底部.

4、在小明家阳台也能同时看到塔的顶部和底部.

请根据小明提供的信息，帮助小明设计出测量塔高的方法.在导学案后面画出草图，和你的同伴交流一下吧.

【设计意图：通过实景图片抽象后引入问题情境，结合引导语指引学生快速认识具体的问题，也是给学生思考探究适当点拨，使学生你能够迅速想到用刚刚学过的解直角三角形的知识，多侧面、多角度来思考解决问题的方法.教师通过板书B A A

静态体现知识的联系，有利于知识的系统化，将知识纳入已有知识体系.】

（五）、总结反思、提升认识

刚才同学们能运用所学知识大胆创新、积极探索，我们得到了很多测量物体高度的方法，我相信还会有其它一些测量物体高度的方法，请同学们课后收集整理，继续探究.

通过本节课的学习你有哪些收获呢？

同学们能根据老师提出的具体问题情境，积极参与到小组合作探究中来，认真思考、积极发言，灵活运用基本方法，设计了很多种不同的测量方法，综合运用数形结合思想、建模思想、方程思想；更可喜的是遇到复杂问题，同学们能创造条件，转化为基本图形来进行问题解决.

【设计意图：课程标准综合与实践要求：通过对有关问题的的探讨，了解所学过的知识（包括其他学科知识）之间的联系，进一步理解有关知识，发展应用意识和能力.在此环节，肯定学生综合运用知识解决问题的表现，表扬学生们学以致用，大胆创新，更要引导学生体会学科知识融合在实际生活中的应用】（六）、学以致用、课外实践

课程标准综合与实践要求：会反思参与活动的全过程，将研究过程和结果形成报告和小论文，并能进行交流，进一步获得数学活动的经验.

在本环节中，创设同类问题情景，鼓励学生在测量高度活动的经验基础上，通过已有经验，再进行探究，形成新的测量方案报告，为此提出以下情景问题：生活中有很多需要测量的实际问题，相信你一定能类比高度的测量方法解决下面一个问题：（展示南阳市温凉河改造后美景图片）

南阳市2016年要继续开展内河治理工作，在梅溪河综合改造规划中，要在我校旁边梅溪河上新建一座景观拦水坝，需要测量拦水坝所在位置河的宽度，你能帮忙设计一个具体测量方案吗?

本节课同学们都能积极探索、大胆创新，学习状态和学习氛围非常好，希望同学们带着这种激情、带着这种睿智刻苦学习，相信同学们一定能心想事成！谢谢家！

八、板书设计

优美清晰、图像规范，色彩艳丽的幻灯片，不能代替规范的板书.它从静态体现知识的联系，有利于知识的系统化.故而设计板书如下：