异面直线所成角习题集答案

一．选择题

1.没有公共点的两条直线的位置关系是( )

(A)平行 (B)异面 (C)平行或异面 (D)不能确定 2.分别在两相交平面内的两条直线的位置关系是( )

(A)异面 (B)平行 (C)平行或异面 (D)平行或异面或相交 3.两条异面直线指的是( )

(A)在空间不相交的两条直线(B)某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线 (C)分别位于两个不同平面的两条直线 (D)不同在任一平面内的两条直线 4.a 、b 是异面直线，b 、c 也是异面直线，那么a 、c 的位置是( )

(A)异面 (B)异面或平行 (C)异面或相交 (D)相交、平行或异面 5.说出正方体中各对线段的位置关系： (1) AB 和CC 1； (2)A 1C 和BD 1； (3)A 1A 和CB 1；

(4)A 1C 1和CB 1； (5)A 1B 1和DC ； (6)BD 1和DC.

答案：1(C)；2(D)；3(D)；4(D)．5．(2)相交，(5)平行，其余异面；

6.在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是( ) 3

1032()

()

()2

A B C D

答案：(D)，取AB 中点M ，CC 1中点N ，连B 1E 和B 1F ； 7.如图，A 1B 1C 1—ABC 是直

三棱柱(三侧面为矩形)，∠BCA=90°，点D 1、F 1 分别是A 1B 1、A 1C 1的中点若BC=CA=CC 1，则 BD 1与AF 1所成角的余弦值是( ) 3013015()

()

A B C D 答案：(A)，延长B 1A 1至M ，使A 1M ＝A 1D 1，连MA ，取AB 中点N ． 8.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与AC

(A)相交且垂直 (B)相交但不垂直 (C)异面且垂直 (D)异面但不垂直 9.设a 、b 、c 是空间中的三条直线，下面给出四个命题： ①如果a⊥b、b⊥c，则a∥c；

②如果a 和b 相交，b 和c 相交，则a 和c 也相交；

③如果a 、b 是异面直线，c 、b 是异面直线，则a 、c 也是异面直线； ④如果a 和b 共面，b 和c 共面，则a 和c 也共面在上述四个命题中，真命题的个数是( )

(A)4 (B)3 (C)2 (D)1 (E)0 10.如果直线l 和n 是异面直线，那么和直线l 、n 都垂直的直线

B 1

(第6题)

A 1

C 1

D 1

D (第7题) F 1

C D 1 C 1

A 1

B 1

(第6题)

A 1

B C 1 D 1

D M N

(A)不一定存在 (B)总共只有一条 (C)总共可能有一条，也可能有两条 (D)有无穷多条 11.如图，四面体SABC 的各棱长都相等，如果

E 、

F 分别为SC 、AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于

(A )90° (B)60° (C)45° (D)30°

答案：8(D)；9(E)；10(D)；11(C)；

三．如图，四面体ABCD 中，AC ⊥BD,且AC ＝4，BD ＝3，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，求MN 和BD 所成角的正切值

四.如图，四面体ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ⊥BD ，BC ⊥CD ，且AB ＝BC ＝6，BD ＝8，

E 是AD 中点，求BE 与CD 所成角的余弦值

五.如图，正三棱柱的九条棱都相等，三个侧面都是正方体，

M 、N 分别是BC 和A 1C 1的中点求MN 与CC 1所成角的余弦值。六.如图，四面体ABCD 中，E 为AD 中点，若AC ＝CD ＝DA ＝8，AB ＝BD ＝5，BC ＝7，求BE 与CD 所成角的余弦值。

答案；三．3

，取AD 中点E ，则∠MEN＝90°；四．

，取AC 中点F ，连EF 、BF ，求得BE ＝21AD ＝5，BF ＝21AC ＝32；

五．

2，分别取AC 、B 1C 1的中点P 、Q ，则PMQN 是矩形，设CC 1＝MQ ＝a ，则MP ＝

a ；六．6

1，取AC 中点F ，连EF 、BF ，则EF ＝4，BE ＝BF ＝3 如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！

(第11题)

D M (第三题) N

4 3 A

(第四题) E

(第五题) M

N C 1

A 1

B 1

8 A B

(第六题) 7 8 5

异面直线所成的角练习题

A B C S E F A B C D D 1 C 1 B 1 A 1 M N N M F E D C B A 高二数学练习（二）一、选择题 1．分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是（）（A ）不平行的直线（B ）不相交的直线（C ）相交直线或平行直线（D ）既不相交又不平行直线 2．已知EF 是异面直线a 、b 的共垂线，直线l ∥EF ，则l 与a 、b 交点的个数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）0或1 （D ）0，1或2 3．两条异面直线的距离是（）（A ）和两条异面直线都垂直相交的直线（B ）和两条异面直线都垂直的直线（C ）它们的公垂线夹在垂足间的线段的长（D ）两条直线上任意两点间的距离 4．设a, b, c 是空间的三条直线，下面给出三个命题：① 如果a, b 是异面直线，b, c 是异面直线，则a, c 是异面直线；② 如果a, b 相交，b, c 也相交，则a, c 相交；③ 如果a, b 共面，b, c 也共面，则a, c 共面．上述命题中，真命题的个数是（）（A ）3个（B ）2个（C ）1个（D ）0个 5．异面直线a 、b 成60°，直线c ⊥a ，则直线b 与c 所成的角的范围为（）（A ）[30°，90°] （B ）[60°，90°] （C ）[30°，60°] （D ）[60°，120°] 6．如图:正四面体S －ABC 中，如果E ，F 分别是SC ，AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于（）（A ）90°（B ）45°（C ）60°（D ）30° 7．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是（）（A ）23（B ）1010（C ）5 3（D ）54 8．右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中， ①BM 与ED 平行； ②CN 与BE 是异面直线； ②③CN 与BM 成ο60角；④DM 与BN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是（）（A ）①②③ （B ）②④ （C ）③④ （D ）②③④ 9．梯形ABCD 中AB//CD ，AB ?平面α，CD ?平面α，则直线CD 与平面α内的直线的位置关系只能是（）（A ）平行（B ）平行和异面（C ）平行和相交（D ）异面和相交 10．在空间四边形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、AD 上的点，且AE ：EF ＝AF ：FD ＝1 ：4，又H 、G 分别为BC 、CD 的中点，则（）（A ）BD//平面EFGH 且EFGH 是矩形（B ）EF//平面BCD 且EFGH 是梯形（C ）HG//平面ABD 且EFGH 是菱形（D ）HE//平面ADC 且EFGH 是平行四边形二、填空题 11．如图，在正三角形ABC 中，D 、E 、F G ，H ，I ，J 分别为AF ，AD ，BE ，DE DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 12．在四面体ABCD 中，若AC 与BD 成60°角，且AC ＝BD ＝a ，则连接AB 、BC 、CD 、DA 的中点的四边形面积为．

异面直线所成的角的求法

异面直线所成的角的求法法一：平移法在正方体 ABCD A i B i C i D i 中，求下列各对异面直线所成的角。恵，求直线AB 与CD 所成的角。习题1?在空间四边形ABCD 中，AD = BC = 2, E, F 分别为AB 、CD 的中点，EF =为, 求AD 、BC 所成角的大小. 例1: (1) AA 1 与 BC ; (2) DD 1 与 AB ; (3) A i B 与 A C 。法二：例2: 求直线AB 与MN 所成的角。中位线在空间四边形 ABCD 中，AB = CD ，且AB CD ，点M 、N 分别为BC 、AD 的中点, 变式：在空间四边形 ABCD 中，点M 、N 分别为 BC 、AD 的中点，AB = CD = 2,且 MN =

正 ABC 的边长为a , S 为 ABC 所在平面外的一点，SA = SB = SC = a, E , F 分别是SC 和AB 的中点.求异面直线 SA 和EF 所成角. S 是正三角形 ABC 所在平面外的一点，如图 SA = SB = SC ,且 ASB = BSC = CSA = - , M 、N 分别是AB 和SC 的中点.求异面直线 SM 与BN 所成的角的余弦值. 如图，在直三棱柱 ABC — A i B i C i 中，/ BCA = 90° M 、N 分别是 A i B i 和A i C i 的中点，若BC = CA = CC i ，求BM 与AN 所成的角. 5.如图1 — 28的正方体中，E 是A D 勺中点 (1) 图中哪些棱所在的直线与直线 BA 成异面直线？ (2) 求直线 (3) 求直线 (4) 求直线 2. 3. 4 . BA 和CC 所成的角的大小； AE 和CC 所成的角的正切值; AE 和BA 所成的角的余弦值 B A （图 1— 28）

异面直线所成角练习

1．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A D 与1BC 所成的角为 A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 【答案】D 【解析】试题分析：如图所示，连接B 1C ，则B 1C ∥A 1D ，B 1C ⊥BC 1，∴A 1D ⊥BC 1，∴A 1D 与BC 1所成的角为90°．故选：D ．考点：异面直线及其所成的角 2．已知平行六面体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为1的正方形，AA 1＝2，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°，则异面直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值（） A ． 3 ．7 C ．5 D ．5 【答案】B 【解析】试题分析：设向量 1,,AB a AD b AA c === ，则11 ,AC a b c AD b c =++=- ，11AC A D ∴== 111111cos ,AC A D AC A D AC A D ?<>== 。考点：空间向量的集合运算及数量积运算。 3．正方体1111ABCD A BC D -中，,,,E F G H 分别是1AA , AB ,1BB ,11B C 的中点，则直线EF 与GH 所成的角是（） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°

【答案】C 【解析】试题分析：由三角形中位线可知11,EF A B GH BC ，所以异面直线所成角为11A BC ∠，大小为60° 考点：异面直线所成角 4．在正方体1111ABCD A BC D -中，E 是11B C 的中点，则异面直线1DC 与BE 所成角的余弦值为（） A ． 5 ．5．5 10 - D ．5- 【答案】B 【解析】试题分析：取BC 中点F ，连结1,FD FC ，则1 D CF ∠为异面直线所成角，设边长为2 ，11C F DC DF ∴== 1cos 5 DC F ∴∠= 考点：异面直线所成角 5．如图，正四棱柱ABCD A B C D ''''-中（底面是正方形，侧棱垂直于底面），3AA AB '=，则异面直线A B '与AD '所成角的余弦值为（） A 、910 B 、45 C 、710 D 、3 5 【答案】A 【解析】试题分析：连结'BC ，异面直线所成角为''A BC ∠，设1AB = ,在'' A BC ?中 ''''AC A B BC ===''9 cos 10 A BC ∴∠= 考点：异面直线所成角 6．点P 在正方形ABCD 所在平面外，PA ⊥平面ABCD ，AB PA =，则PB 与AC 所成的角是 A ．?60 B ．?90 C ．?45 D ．?30 【答案】A 【解析】试题分析：作出空间几何体如下图所示：设正方形的边长为2，

补充构造异面直线所成角的几种方法

一. 异面直线所成角的求法 1、正确理解概念（1）在异面直线所成角的定义中，空间中的点O 是任意选取的，异面直线a 和b 所成角的大小，与点O 的位置无关。（2）异面直线所成角的取值范围是（0°，] 90? 2、熟练掌握求法（1）求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，进而利用平面几何知识求解，整个求解过程可概括为：一作二证三计算。（2）求异面直线所成角的步骤： ①选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊点。 ②求相交直线所成的角，通常是在相应的三角形中进行计算。 ③因为异面直线所成的角θ的范围是0°＜θ≤90°，所以在三角形中求的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角。 3、“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。例1如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB =2，AD =1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线B 1E 与GF 所成角的余弦是。 E F 1 A 1 B 1 C 1 D A B C D G E F 1 A 1 B 1 C 1 D A B C D G

例 2 已知 S 是正三角形ABC所在平面外的一点，如图SA＝SB＝SC，且∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝ 2 π ，M、N分别是AB和SC的中点．求异面直线SM与BN所成的角的余弦值．例3长方体ABCD—A1B1C1D1中，若AB=BC=3，AA1=4，求异面直线B1D与BC1所成角的大小。 B M A N C S B M A N C S B M A N C S

异面直线及其所成的角

异面直线及其所成的角填空题基础题1.doc 参考答案与试题解析一．填空题（共30小题） 1．（2015?松江区一模）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，BC1与平面ABCD所成的角为60°，则BC1与AC所成的角为arccos（结果用反三角函数表示）．来源：2015年上海市松江区高考数学一模试卷（文科）难度：0.80 考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；空间位置关系与距离；空间角．分析：连接A1C1，A1B，则AC∥A1C1，∠BC1A1即为BC1与AC所成的角．由于CC1⊥平面ABCD，则∠C1BC=60°，设正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中的底面边长为a，侧棱长为b，即b=a，再由余弦定理，即可得到．解答：解：连接A1C1，A1B，则AC∥A1C1，∠BC1A1即为BC1与AC所成的角．设正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中的底面边长为a，侧棱长为b，则由于CC1⊥平面ABCD，则∠C1BC=60°，

即有tan60°=，即b=a，在△BA1C1中，BC1=BA1==2a，A1C1=a， cos∠BC1A1==．则BC1与AC所成的角为arccos．故答案为：arccos．点评：本题考查空间的直线和平面所成的角，异面直线所成的角的求法，考查运算能力，属于基础题． 2．（2015?浦东新区一模）如图，已知PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC=2，∠CBA=30°，D、E分别是BC、AP的中点．求异面直线AC与ED所成的角的大小为arccos．来源：2015年上海市浦东新区高考数学一模试卷难度：0.80 考点：异面直线及其所成的角．

异面直线所成的角求法-答案

异面直线所成的角的两种求法初学立几的同学,遇到的第一个难点往往便是求异面直线所成的角。难在何处？不会作！下面介绍两种求法一．传统求法--------找、作、证、求解。求异面直线所成的角，关键是平移点的选择及平移面的确定。平移点的选择：一般在其中一条直线上的特殊位置，但有时选在空间适当位置会更简便。平移面的确定：一般是过两异面直线中某一条直线的一个平面，有时还要根据平面基本性质将直观图中的部分平面进行必要的伸展，有时还用“补形”的办法寻找平移面。例1 设空间四边形ABCD ，E 、F 、G 、H 分别是AC 、BC 、DB 、DA 的中点，若AB ＝122，CD ＝4 2，且四边形EFGH 的面积为12 3，求AB 和CD 所成的角. 解由三角形中位线的性质知，HG∥AB，HE∥CD，∴ ∠EHG 就是异面直线AB 和CD 所成的角. ∵ EFGH 是平行四边形，HG ＝2 1 AB ＝62， HE ＝ 2 1 ，CD ＝23， ∴ S EFGH ＝HG·HE·sin∠EHG＝126 sin∠EHG,∴ 12 6sin∠EHG＝123. ∴ sin∠EHG＝ 2 2 ,故∠EHG＝45°. ∴ AB 和CD 所成的角为45° 注：本例两异面直线所成角在图中已给，只需指出即可。例2.点A 是BCD 所在平面外一点，AD=BC ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，且EF=2 2 AD ，求异面直线AD 和BC 所成的角。（如图）解：设G 是AC 中点，连接DG 、FG 。因D 、F 分别是AB 、CD 中点，故EG∥BC 且EG= 21 BC ，FG∥AD，且FG= 2 1 AD ，由异面直线所成角定义可知EG 与FG 所成锐角或直角为异面直线AD 、BC 所成角，即∠EGF 为所求。由BC=AD 知EG=GF= 2 1 AD ，又EF=AD ，由余弦定理可得cos∠EGF=0，即∠EGF=90°。注：本题的平移点是AC 中点G ，按定义过G 分别作出了两条异面直线的平行线，然后在△EFG 中求角。通常在出现线段中点时，常取另一线段中点，以构成中位线，既可用平行关系，又可用线段的倍半关系。例3.已知空间四边形ABCD 中，AB=BC=CD=DA=DB=AC,M 、N 分别为BC 、AD 的中点。求：AM 与CN 所成的角的余弦值； H G F E D C B A A B C G F E D

如何求异面直线所成的角

3 3 如何求异面直线所成的角立体几何在中学数学中有着重要的地位，求异面直线所成的角是其中重的内容之一，也是高考的热点，求异面直线所成的角常分为三个步骤：作证求。其中“作”是关键，那么如何作两条异面直线所成的角呢？本文就如何求异面直线所成的角提出了最常见的几种处理方法。 I 、用平移法作两条异面直线所成的角、端点平移法例1、在直三棱柱 ABC A 1B 1C 1中， CBA 900 ,点D , F 分别是 AQ , A ,B i 的中点，若 AB BC CC i ,求CD 与AF 所成的角的余弦值。解：取BC 的中点E ，连结EF ，DF ， QDF//EC 且 DF EC 四边形DFEC 为平行四边形 EF // DC EFA （或它的补角）为CD 与AF 所成的角。设 AB 2,则 EF 76，AF 730 arccos 10 、中点平移法例2、在正四面体ABCD 中, 解：连结MD ，取MD 的中点0，连结NO ， Q O 、N 分别MD 、AD 为的中点， NO 为DAM 的中位线， NO//AM ， ONC （或它的补角）为AM 与CN 所成的角。広 J 7 设正四面体ABCD 的棱长为2，则有NO —，CN 73, CO — 2 2 皿 NO 2 CN 2 CO 2 故 cos ONC ----------------- 2NOgCN 2 ONC arccos-故EFA EF 2 FA 2 EA 2 2EFgFA 730 10 75，EA 45 M , N 分别是BC, AD 的中点，求AM 与CN 所成的角的余弦值。 EFA A l A D

异面直线及其夹角

异面直线及其夹角教学目标：：知识目标：1、掌握异面直线的概念，会画空间两条异面直线的图形，会判断两直线是否为异面直线。 2、掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较简单的异面直线所成的角能力目标：在问题解决过程中，培养学生的实验观察能力、空间想能力象、逻辑思维能力、分析问题、解决问题的能力。教学重点、难点: 重点：异面直线所成角的概念, 能求出一些较简单的异面直线所成的角。难点：异面直线所成角的定义, 如何作出异面直线所成的角。教学准备：多媒体课件教学课时：二课时教学过程：第一课时一、导入新课 1．引导学生观察立交桥上的车辆为什么能畅通无阻？两条道路所在的直线不在同一平面内。它们既不平行也不相交，这样的两条直线有什么特点呢？ 2．请学生做一个小实验，拿两支笔在空间中你能摆出几种位置关系？有3种：平行、相交、不平行也不相交的两条直线（对于这样的两条直线以前我们没有学习过，那么它们之间有什么特点和关系呢？）。（板书课题）二、新课讲解前面我们学习过平行线，相交线，它们是同一平面内两条直线的位置关系，通过前面的实验和动画的观察，在空间还存在另一种两条直线的位置关系（不平行也不相交）。我们给它一个新的名称“异面直线”。 1 异面直线的定义：不同在任何．．一个平面内的两条直线叫异面直线。 2．两条异面直线的性质：既不平行，也不相交。（如前面我们所说的两个例子，同学们还能找出具有这种性质的两条直线吗？）找两位学生说说他们所找的情况。 3.空间两条异面直线的画法。如何用图形来表示两条异面直线，通常怎么样画？（老师板演，同时让学生总结其特点）这三种表示方法有一个共同的特点，就是用平面来衬托，离开平面的衬托，不同在任何一个平面的特征难以体现。（今后我们也可以不用平面来衬托）同学们想一想如果这样表示两条异面直线行吗？为什么？ a b a b b a

高中数学：异面直线所成的角求法(汇总大全)

异面直线所成的角一、平移法：常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。直角平移法： 1．在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别为AB 、CD 的中点，EF ＝3，求AD 、BC 所成角的大小．解：设BD 的中点G ，连接FG ，EG 。在△EFG 中 EF ＝ 3 FG ＝EG ＝1 ∴∠EGF ＝120° ∴AD 与BC 成60°的角。 2．正?ABC 的边长为a ，S 为?ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ＝a ，E ，F 分别是SC 和AB 的中点．求异面直线SA 和EF 所成角．正确答案：45° 3．S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝ 2 π ，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值．证明：连结CM ，设Q 为CM 的中点，连结QN ，则QN ∥SM ∴∠QNB 是SM 与BN 所成的角或其补角连结BQ ，设SC ＝a ，在△BQN 中 BN ＝ a 2 5 NQ ＝21SM ＝ 4 2a BQ ＝ a 4 14 ∴COS ∠QNB ＝ 5 10 2222= ?-+NQ BN BQ NQ BN 4．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M 、N 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC ＝CA ＝CC 1，求BM 与AN 所成的角．解：连接MN ，作NG ∥BM 交BC 于G ，连接AG ，易证∠GNA 是BM 与AN 所成的角．设：BC ＝CA ＝CC 1＝2，则AG ＝AN ＝5，GN ＝BM ＝6， cos ∠GNA ＝10 305 62556=??-+。 B M A N C S

异面直线所成角的计算

第二节异面直线所成角的计算 1.定义：直线a 、b 是异面直线，经过空间一交O ，分别a ?范围：例1 如图,正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成60ο角,求异面直线AD 与BF 所成角的余弦值. 分析:1.求异面直线所成的角常作出所成角的平面图形. 作法有: ①平移法:在异面直线的一条上选择“特殊点”,作另一条直线平行线或利用中位线.②补形法: 把空间图形补成熟悉的几何体, 其目的在于容易发现两条异面直线的关系. 2.解立几计算题要先作出所求的角,并要有严格的推理论证过程,还要有合理的步骤. 小结：求异面直线所成角的方法：变式一：已知四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，各侧棱与底面边长相等，求异面直线PD 与AC 所成角的余弦值。变式二：如图，点M 是正方形ABCD 所在平面外的一点，且MA=MB=MC=MD=AB 2，求异面直线MC 与BD 所成角的余弦值。例2 设M 、N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE ⊥AB 于E (如图)．现将△ADE 沿DE 折起，使二面角AEB ∠=45°，此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ，则M 、N 的连线与AE 所成角的大小等于_________．例3 空间四边形ABCD 中，对角线8AC =，6BD =，,M N 分别为,AB CD 的中点，且5MN =，求异面直线,AC BD 所成的角。变式：在空间四边形ABCD 中，4BD =，6AC =，且AC BD ⊥，,M N 分别为,AB CD 的中点，求MN 及MN 与BD 所成角的正切值。 1、两条直线,与平面α所成的角相等,则直线a ,b 的位置关系是 (A)平行 (B)相交 (C)异面 (D) 以上均有可能. 2、设棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为AA 1和BB 1的中点，则直线CM 和D 1N 所成角的正弦值为 . 3、已知a 、b 是一对异面直线，且a 、b 成60o 角，则在过空间任意点P 的所有直线中，与a 、b 均成60o 角的直线有条. 4、异面直线a 、b 互相垂直，c 与a 成30o 角，则c 与b 所成角的范围是 . 5、.如图,ABCD 是正方形,PD ⊥平面ABCD,PD=AD,则PA 与BD 所成的角的度数为 6、长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB=AA 1=2cm ，AD=1cm ，（1）求异面直线A 1C 1与BD 1所成的角的余弦值。（2）若M 、N 分别是BC 、11C A 的中点，求异面直线M A 1与CN 所成角的余弦值。 A C B D A B M D A C B F E 1 A 1

文科高考中异面直线所成角的常考题型

异面直线所成的角一．例题与课堂练习题1．在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别为AB 、CD 的中点，EF ＝3 ，求AD 、BC 所成角的大小．题2．S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝2 π，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值．题3．正?ABC 的边长为a ，S 为?ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ＝a ，E ，F 分别是SC 和AB 的中点．求异面直线SA 和EF 所成角．题4．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA＝90°，M 、N 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC ＝CA ＝CC 1，求NM 与AN 所成的角．题5．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是1BB 、CD 的中点．求AE 与F D 1所成的角。题6．如图1—28的正方体中，E 是A′D′的中点 (1)图中哪些棱所在的直线与直线BA′成异面直线? (2)求直线BA′和CC′所成的角的大小； (3)求直线AE 和CC′所成的角的正切值； (4)求直线AE 和BA′所成的角的余弦值【说明】(1)如图1—29，单独画出△A?BF，使图中线段与角的数量关系较直观图中清楚，使计算更为方便和准确，这是立体几何中常用的重要方法； (2)解法中用余弦定理求cos∠A?BF,其实有更简单方法，请找出简单方法 (3)如果用余弦定理求出角的余弦值为负数，应如何写答案? B M A N C S A C B N M A C B B? (图 1－ A? A B C? D? C D F E

异面直线所成角练习

- 总 1．如图，在正方体1111ABCD A B C D 中，异面直线1A D 与1BC 所成的角为 A ．30 B ．45 C ．60 D ．90 【答案】D 【解析】试题分析：如图所示，连接B 1C ，则B 1C ∥A 1D ，B 1C ⊥BC 1，∴A 1D ⊥BC 1，∴A 1D 与BC 1所成的角为90°．故选：D ．考点：异面直线及其所成的角 2．已知平行六面体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为1的正方形，AA 1＝2，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°，则异面直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值（） A 6 B 14 C 15 D 10【答案】B 【解析】试题分析：设向量1,,AB a AD b AA c ===，则11,AC a b c A D b c =++=-， 112,7AC A D ∴==， 11111114 cos ,7 AC A D AC A D AC A D ?<>= =。考点：空间向量的集合运算及数量积运算。 3．正方体1111ABCD A B C D -中，,,,E F G H 分别是1AA ,AB ,1BB ,11B C 的中点，则直线EF 与GH 所成的角是（）

A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 【答案】C 【解析】试题分析：由三角形中位线可知11,EF A B GH BC ，所以异面直线所成角为11A BC ∠，大小为60° 考点：异面直线所成角 4．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是11B C 的中点，则异面直线1DC 与BE 所成角的余弦值为（） A B C ．5 10- D ．【答案】B 【解析】试题分析：取BC 中点F ，连结1,FD FC ，则1DC F ∠为异面直线所成角，设边长为2 ， 11C F DC DF ∴== =1cos 5 DC F ∴∠= 考点：异面直线所成角 5．如图，正四棱柱ABCD A B C D ''''-中（底面是正方形，侧棱垂直于底面），3AA AB '=，则异面直线A B '与AD '所成角的余弦值为（） A 、910 B 、45 C 、710 D 、3 5 【答案】A 【解析】试题分析：连结'BC ，异面直线所成角为''A BC ∠，设1AB = ,在'' A BC ?中''''AC A B BC ===''9 cos 10 A BC ∴∠= 考点：异面直线所成角 6．点P 在正方形ABCD 所在平面外，PA ⊥平面ABCD ，AB PA =，则PB 与AC 所成的角是 A ．?60 B ．?90 C ．?45 D ．?30 【答案】A 【解析】

异面直线所成角习题集答案

一．选择题 1.没有公共点的两条直线的位置关系是( ) (A)平行 (B)异面 (C)平行或异面 (D)不能确定 2.分别在两相交平面内的两条直线的位置关系是( ) (A)异面 (B)平行 (C)平行或异面 (D)平行或异面或相交 3.两条异面直线指的是( ) (A)在空间不相交的两条直线(B)某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线 (C)分别位于两个不同平面的两条直线 (D)不同在任一平面内的两条直线 4.a 、b 是异面直线，b 、c 也是异面直线，那么a 、c 的位置是( ) (A)异面 (B)异面或平行 (C)异面或相交 (D)相交、平行或异面 5.说出正方体中各对线段的位置关系： (1) AB 和CC 1； (2)A 1C 和BD 1； (3)A 1A 和CB 1； (4)A 1C 1和CB 1； (5)A 1B 1和DC ； (6)BD 1和DC. 答案：1(C)；2(D)；3(D)；4(D)．5．(2)相交，(5)平行，其余异面； 6.在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是( ) 3 1032() () () ()2 10 5 5 A B C D 答案：(D)，取AB 中点M ，CC 1中点N ，连B 1E 和B 1F ； 7.如图，A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱(三侧面为矩形)，∠BCA=90°，点D 1、F 1 分别是A 1B 1、A 1C 1的中点若BC=CA=CC 1，则 BD 1与AF 1所成角的余弦值是( ) 3013015() () () () 2 A B C D 答案：(A)，延长B 1A 1至M ，使A 1M ＝A 1D 1，连MA ，取AB 中点N ． 8.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与AC (A)相交且垂直 (B)相交但不垂直 (C)异面且垂直 (D)异面但不垂直 9.设a 、b 、c 是空间中的三条直线，下面给出四个命题： ①如果a⊥b、b⊥c，则a∥c； ②如果a 和b 相交，b 和c 相交，则a 和c 也相交； ③如果a 、b 是异面直线，c 、b 是异面直线，则a 、c 也是异面直线； ④如果a 和b 共面，b 和c 共面，则a 和c 也共面在上述四个命题中，真命题的个数是( ) (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 (E)0 10.如果直线l 和n 是异面直线，那么和直线l 、n 都垂直的直线 B 1 (第6题) A 1 C 1 D 1 C D (第7题) F 1 A B C D 1 C 1 A 1 B 1 B 1 (第6题) A 1 A B C 1 D 1 C D M N

高考数学考点30异面直线所成的角试题解读与变式

考点30：异面直线所成的角【考纲要求】 1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题. 2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用. 【命题规律】异面直线的知识是高考的热点问题，选择、填空、解答题都有可能进行考查.预计2018年的高考对本知识的考查空间向量的应用，仍然是以简单几何体为载体解决线线问题．【典型高考试题变式】（一）空间直线与直线夹角的问题例1.【2017全国3卷（理）】a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB 与a 成60角时，AB 与b 成30角； ②当直线AB 与a 成60角时，AB 与b 成60角； ③直线AB 与a 所称角的最小值为45； ④直线AB 与a 所称角的最小值为60；其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）【答案】② ③ 【解析】由题意知，a ，b ，AC 三条直线两两相互垂直，画出图形如图．不妨设图中所示正方体边长为1，故1AC =，2AB = 边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，则A 点保持不变，B 点的运动轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆．以C 为坐标原点，以CD 为x 轴正方向，CB 为y 轴正方向， CA 为z 轴正方向建立空间直角坐标系．则(1,0,0)D ，(0,0,1)A ，直线a 的方向单位向量(0,1,0)=a ，1=a ．B 点起始坐标为(0,1,0)，直线b 的方向单位向量(1,0,0)=b ，1=b ．设B 点在运动过程中的坐标()cos ,sin ,0B θθ'，

异面直线的夹角,线面角(含答案).doc

空间角 1、异面直线所成角的求法一是几何法，二是向量法。异面直线所成的角的范围：(0, ] 2 几何法求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，进而利用平面几何知识求解。基本思路是选择合适的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位置的点。常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。例 1 在正方体ABCD A B C D 中，E是AB的中点， // （1）求 BA与 CC夹角的度数 . // （2）求 BA与 CB夹角的度数． (3)求 A/ E 与 CB/夹角的余弦值．例 2：长方体 ABCD— A1B1C1D1中，若 AB=BC=3， AA1=4，求异面直线 B1D 与 BC1所成角的余弦值。直接平移：常见的利用其中一个直线 a 和另一个直线 b 上的一个已知点，构成一个平面，在此平面内做直线 a 的平行线。解法一：如图④，过B1点作 BE∥ BC1交 CB的延长线于 E 点。则∠ DBE 就是异面直线DB 与 BC 所成角，连结 DE交 AB于 M， DE=2DM=3 5， 1 1 1 1 7 34 cos ∠DBE= 170 解法二：如图⑤，在平面D1DBB1中过 B 点作 BE∥ DB1交 D1B1的延长线于E，则∠ C1BE就是异面直线DB1与 BC1所成的角，连结 C1E，在△ B1C1E 中， ∠ C1B1E=135°， C1E=3 5 7 34 ， cos ∠C1BE= 170 课堂思考： 1. 如图， PA矩形ABCD，已知PA=AB=8，BC=10，求AD与PC所成角的余切值为。

异面直线所成角教案设计

课题：异面直线所成的角教材：中等职业教育课程改革国家规划新教材《数学》（基础模块）下册（修订本）（语文出版社）一、教材分析 1.教学内容 “异面直线所成的角”是中等职业教育课程改革国家规划新教材，语文出版社《数学》（基础模块）下册（修订本）第九单元第二节第2部分，“直线与直线所成的角”，主要的内容是认识异面直线以及掌握异面直线夹角的定义和求解方法. 2.地位与作用（1）空间想象能力的培养.异面直线及其夹角是立体几何教学的重点内容之一，也是难点之一.对发展学生的空间想象能力、培养学生优良数学思维品质是非常必要的；（2）“转化”思想.即将“三维”的问题降低维度来研究（三维到二维），空间问题平面化，不仅是这节课的重要思想，也是立体几何学习的核心思想. （3）示范模式作用.立体几何是对空间位置关系作研究，前面都主要是定性研究，从本节课开始，要求我们对空间位置关系作出量化（量化研究）；异面直线夹角的概念、求法为以后求线面角和面面角提供了一种模式，起着承上启下的重要作用. 二、学情分析 1.知识基础：由于学生刚刚接触立体几何不久，立体感还没有完全形成，虽然已经具备了一定的归纳、猜想能力，但在分析推理能力、空间想象能力方面比较欠缺。空间意识还不够，还没有解决空间问题的思路、方法和基本技能，作图时学生往往会把不同平面的直线看成是在同一个平面. 2.认知水平与能力：高二的学生已经具备了一定的归纳、猜想能力，能够借

助一些实物、多媒体辅助教学以及老师的良好引导来理解和掌握一些知识，但在数学的应用意识与应用能力方面尚需进一步培养. 3、任教班级学生特点：我所任班级是2014级计算机平面设计班，学生数学基础知识薄弱，班里个别学生思维较活跃，大部分学生需要教师引导、鼓励，在合作交流中解决一些问题。三、目标分析根据教材内容和学生的认知特点，本节课设置的教学目标为： 1.教学目标知识目标：①记住异面直线的概念； ②理解异面直线夹角的概念，并掌握其求法. 能力目标：①培养学生作图能力； ②培养学生把空间问题转化为平面问题的化归思想； ③培养学生的空间想象能力和分析、解决问题的能力；情感目标：①通过让学生积极参与探究，投入到课堂教学双边活动中，培养学生的合作意识. ②通过让学生体验成功，享受发现的乐趣，培养学生学习数学的自信心. 2.教学重、难点教学重点：①异面直线的概念； ②异面直线夹角的概念和求法，重点是平移法. 教学难点：如何将空间问题转化为平面问题，从而找出异面直线的夹角. 难点突破：本课在设计上采用了由感性到理性、从具体到抽象的教学策略，同时，借助于多媒体的直观动态演示帮助学生理解并掌握方法，并通过逐步深入的练习，交流互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点. 四、教法、学法分析根据教材及学情，本节课设置了如下教法学法： 1.教法设计：根据教材和学生情况分析，本课采用“学生合作----探索发现”的教学模式，引导学生在活动过程中去研究，教师给予多媒体辅助，将模型和课件动画以直观形象的方式展现给学生，便于学生理解和掌握。

异面直线所成的角求法答案

异面直线所成的角求法答案公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]

异面直线所成的角的两种求法初学立几的同学,遇到的第一个难点往往便是求异面直线所成的角。难在何处不会作！下面介绍两种求法一．传统求法--------找、作、证、求解。求异面直线所成的角，关键是平移点的选择及平移面的确定。平移点的选择：一般在其中一条直线上的特殊位置，但有时选在空间适当位置会更简便。平移面的确定：一般是过两异面直线中某一条直线的一个平面，有时还要根据平面基本性质将直观图中的部分平面进行必要的伸展，有时还用“补形”的办法寻找平移面。例1 设空间四边形ABCD ，E 、F 、G 、H 分别是AC 、BC 、DB 、DA 的中点，若AB ＝122，CD ＝4 2，且四边形EFGH 的面积为12 3，求AB 和CD 所成的角. 解由三角形中位线的性质知，HG∥AB，HE∥CD，∴ ∠EHG 就是异面直线AB 和CD 所成的角. ∵ EFGH 是平行四边形，HG ＝2 1 AB ＝62， HE ＝2 1 ，CD ＝23， ∴ S EFGH ＝HG·HE·sin∠EHG＝126 si n∠EHG,∴ 12 6sin∠EHG＝123. ∴ sin∠EHG＝ 2 2 ,故∠EHG＝45°. ∴ AB 和CD 所成的角为45° H G F E D C B A

注：本例两异面直线所成角在图中已给，只需指出即可。例2.点A 是BCD 所在平面外一点，AD=BC ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，且EF= 2 2 AD ，求异面直线AD 和BC 所成的角。（如图）解：设G 是AC 中点，连接DG 、FG 。因D 、F 分别是AB 、CD 中点，故EG∥BC 且EG=2 1 BC ，FG∥AD，且FG=2 1 AD ，由异面直线所成角定义可知EG 与FG 所成锐角或直角为异面直线AD 、BC 所成角，即∠EGF 为所求。由BC=AD 知EG=GF=2 1AD ，又EF=AD ，由余弦定理可得cos∠EGF=0，即∠EGF=90°。注：本题的平移点是AC 中点G ，按定义过G 分别作出了两条异面直线的平行线，然后在△EFG 中求角。通常在出现线段中点时，常取另一线段中点，以构成中位线，既可用平行关系，又可用线段的倍半关系。例3.已知空间四边形ABCD 中，AB=BC=CD=DA=DB=AC,M 、N 分别为BC 、AD 的中点。求：AM 与CN 所成的角的余弦值；解：(1)连接DM,过N 作NE∥AM 交DM 于E ，则∠CNE 为AM 与CN 所成的角。 ∵N 为AD 的中点, NE∥AM 省 ∴NE=2 1AM 且E 为MD 的中点。设正四面体的棱长为1，则NC=21· 23= 4 3且ME=2 1MD= 4 3 在Rt△MEC 中，CE 2=ME 2+CM 2= 163+41=16 7 A B C G F E D

异面直线所成角的几种求法

异面直线所成角的几种求法异面直线所成角的大小，是由空间一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的。因此，通常我们要求异面直线所成的角会要求学生通过平移直线，形成角，然后在某个三角形中求出角的方法来得到异面直线所成角的大小。在这一方法中，平移直线是求异面直线所成角的关键，而如何平移直线要求学生有良好的空间观和作图能力。一、向量法求异面直线所成的角例1：如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是相邻两侧面BCC 1B 1及CDD 1C 1的中心。求A 1E 和B 1F 所成的角的大小。解法一：（作图法）作图关键是平移直线，可平移其中一条直线，也可平移两条直线到某个点上。作法：连结B 1E ，取B 1E 中点G 及A 1B 1中点H ，连结GH ，有GH//A 1E 。过F 作CD 的平行线RS ，分别交CC 1、DD 1于点R 、S ，连结SH ，连结GS 。由B 1H//C 1D 1//FS ，B 1H=FS ，可得B 1F//SH 。在△GHS 中，设正方体边长为a 。 GH=46a （作直线GQ//BC 交BB 1于点Q ，连QH ，可知△GQH 为直角三角形）， HS=2 6a （连A 1S ，可知△HA 1S 为直角三角形）， GS=426a （作直线GP 交BC 于点P ，连PD ，可知四边形GPDS 为直角梯形）。 ∴Cos ∠GHS=6 1。所以直线A 1E 与直线B 1F 所成的角的余弦值为61。解法二：（向量法）分析：因为给出的立体图形是一个正方体，所以可以在空间建立直角坐标系，从而可以利用点的坐标表示出空间中每一个向量，从而可以用向量的方法来求出两条直线间的夹角。以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，BB 1为z 轴，设BC 长度为2。 B A C D F E B 1 A 1 D 1 C 1 G H S R P Q 1

求异面直线所成角一个公式

求异面直线所成角的一个公式江苏省姜堰中学张圣官（225500）求两条异面直线所成的角，一般都用“引平行线作角，再解三角形”这一思路。本文通过对一道课本习题的变形、分析，得出求异面直线所成的角的一个公式，简单易记且便于使用。如图1，AB 和平面α所成的角是θ1，AC 在平面α内，AC 和AB 在α上的射影AB ’所成的角为θ2，设∠BAC=θ，则有cos θ=cos θ1·cos θ2（证明略）。我们把该题作如下变形：在平面α内作一条平行于AC 的直线l ，显然l 与AB 异面，当θ2为锐角时，∠BAC 的大小θ即为异面直线l 与AB 所成的角。如图2，设a 、b 是两条异面直线，b ?α，a 为平面α上的射影记为c 。若a 与α所成的角为θ1，b 与c 所成的角为θ2，两条异面直线a 和b 所成的角为θ，则cos θ=cos θ1·cos θ2(*)。使用公式(*)时首先要确定θ1和θ2，而它们都与射影c 有关。因此，如何恰当选择α，以便于作出a 在α上的射影c 就成了关键，下面以几道高考题为例。 [例1]（1992年全国高考题）如图3所示，在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为A 1B 1、BB 1的中点，那么AM 与CN 所成角的余弦值是（）（A ）23 （B ）10 10 （C ）53 （D ）52 [解析]选平面AB 1为公式中的α，显然CN 、AM 、BB 1就是公式中的a 、b 、c 。 ∵5 52cos cos ,55cos cos 121=∠==∠=AM A CNB θθ ∴52cos cos cos 21= ?=θθθ ∴选D. [例2]（1990年全国高考题）如图4，正三棱锥S —ABC 的侧棱与底面的边长相等，如果E 、F 分别为SC 、AB 的中点，那么异面直线EF 与 SA 所成的角等于（）（A ）900 （B ）600 （C ）450 （D ）300 [解析]选平面SCF 为公式中的α，∵AB ⊥平面SCF ，∴SF 为SA 在平面SCF 上的射影，SA 、EF 、SF 分别为公式中的a 、b 、c ，∵SFE ASF ∠==∠=cos cos ,2 3cos cos 21θθ