初中数学_二次函数和一元二次方程_习题及解析

初中数学_二次函数和一元二次方程_习

题及解析

一、选择题（共15小题）

1、（2011?山西）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（）

A、ac＞0

B、方程ax2+bx+c=0的两根是x1=﹣1，x2=3

C、2a﹣b=0

D、当x＞0时，y随x的增大而减小

2、（2010?梧州）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（）

A、ac＜0

B、a﹣b+c＞0

C、b=﹣4a

D、关于x的方程ax2+bx+c=0的根是x1=﹣1，x2=5

3、（2001?湖州）已知抛物线y=ax2+bx+c中，4a﹣b=0，a﹣b+c＞0，抛物线与x轴有两个不同的交点，且这两个交点之间的距离小于2，则下列判断错误的是（）

A、abc＜0

B、c＞0

C、4a＞c

D、a+b+c＞0

4、抛物线y=ax2+bx+c在x轴的下方，则所要满足的条件是（）

A、a＜0，b2﹣4ac＜0

B、a＜0，b2﹣4ac＞0

C、a＞0，b2﹣4ac＜0

D、a＞0，b2﹣4ac＞0

5、如图所示，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论：

①abc＞0；

②4a﹣2b+c＜0；

③2a﹣b＜0；

④b2+8a＞4ac．

其中正确的有（）

A、1个

B、2个

C、3个

D、4个

6、已知：a＞b＞c，且a+b+c=0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是下列图象中的（）

A、B、

C、D、

7、已知y1=a1x2+b1x+c1，y2=a2x2+b2x+c2且满足．则称抛物线y1，y2互为“友好抛物线”，则下列关于“友好抛物线”的说法不正确的是（）

A、y1，y2开口方向、开口大小不一定相同

B、因为y1，y2的对称轴相同

C、如果y2的最值为m，则y1的最值为km

D、如果y2与x轴的两交点间距离为d，则y1与x轴的两交点间距离为|k|d

8、已知二次函数的y=ax2+bx+c图象是由的图象经过平移而得到，若图象与x轴交于A、C （﹣1，0）两点，与y轴交于D（0，），顶点为B，则四边形ABCD的面积为（）

A、9

B、10

C、11

D、12

9、（2005?浙江）根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数）

A、3＜x＜3.23

B、3.23＜x＜3.24

C、3.24＜x＜3.25

D、3.25＜x＜3.26

10、根据下列表格的对应值：

判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（）

A、8＜x＜9

B、9＜x＜10

C、10＜x＜11

D、11＜x＜12

11、如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.6，x2=（）

A、﹣1.6

B、3.2

C、4.4

D、以上都不对

12、（2011?无锡）如图，抛物线y=x2+1与双曲线y=的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式+x2+1＜0的解集是（）

A、x＞1

B、x＜﹣1

C、0＜x＜1

D、﹣1＜x＜0

13、（2005?中原区）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的不等式bx+a＞0的解集是（）

A、x＜

B、x＜

C、x＞

D、x＞

14、方程7x2﹣（k+13）x+k2﹣k﹣2=0（k是实数）有两个实根α、β，且0＜α＜1，1＜β＜2，那么k的取值范围是（）

A、3＜k＜4

B、﹣2＜k＜﹣1

C、3＜k＜4或﹣2＜k＜﹣1

D、无解

15、对于整式x2和2x+3，请你判断下列说法正确的是（）

A、对于任意实数x，不等式x2＞2x+3都成立

B、对于任意实数x，不等式x2＜2x+3都成立

C、x＜3时，不等式x2＜2x+3成立

D、x＞3时，不等式x2＞2x+3成立

二、解答题（共7小题）

16、已知抛物线y=x2+2px+2p﹣2的顶点为M，

（1）求证抛物线与x轴必有两个不同交点；

（2）设抛物线与x轴的交点分别为A，B，求实数p的值使△ABM面积达到最小．

17、已知：二次函数y=（2m﹣1）x2﹣（5m+3）x+3m+5

（1）m为何值时，此抛物线必与x轴相交于两个不同的点；

（2）m为何值时，这两个交点在原点的左右两边；

（3）m为何值时，此抛物线的对称轴是y轴；

（4）m为何值时，这个二次函数有最大值．

18、已知下表：

（1）求a、b、c的值，并在表内空格处填入正确的数；

（2）请你根据上面的结果判断：

①是否存在实数x，使二次三项式ax2+bx+c的值为0？若存在，求出这个实数值；若不存在，请说明理由．

②画出函数y=ax2+bx+c的图象示意图，由图象确定，当x取什么实数时，ax2+bx+c＞0．

19、（2005?滨州）（Ⅰ）请将下表补充完整；

（Ⅱ）利用你在填上表时获得的结论，解不等式﹣x2﹣2x+3＜0；

（Ⅲ）利用你在填上表时获得的结论，试写出一个解集为全体实数的一元二次不等式；

（Ⅳ）试写出利用你在填上表时获得的结论解一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）时的解题步骤．

20、已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c均为实数且a≠0）满足条件：对任意实数x都有y≥2x；且当0＜x＜2时，总有y≤成立．

（1）求a+b+c的值；

（2）求a﹣b+c的取值范围．

21、（2007?贵阳）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程ax2+bx+c=0的两个根；

（2）写出不等式ax2+bx+c＞0的解集；

（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；

（4）若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．

22、阅读材料，解答问题．

例．用图象法解一元二次不等式：x2﹣2x﹣3＞0．

解：设y=x2﹣2x﹣3，则y是x的二次函数．∵a=1＞0，∴抛物线开口向上．

又∵当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3．∴由此得抛物线y=x2﹣2x﹣3的大致图象如图所示．观察函数图象可知：当x＜﹣1或x＞3时，y＞0．∴x2﹣2x﹣3＞0的解集是：x ＜﹣1或x＞3．

（1）观察图象，直接写出一元二次不等式：x2﹣2x﹣3＜0的解集是_________ ；

（2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：x2﹣5x+6＜0．（画出大致图象）．

三、填空题（共4小题）

23、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程ax2+bx+c=0的两个根．x1= _________ ，x2= _________ ；

（2）写出不等式ax2+bx+c＞0的解集．_________ ；

（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围．_________ ；

（4）若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．_________ ．

24、（2010?日照）如图是抛物线y=ax2+bx+c的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为B（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集是

_________ ．

25、二次函数y=ax2+bx+c和一次函数y=mx+n的图象如图所示，则ax2+bx+c≤mx+n时，x的取值范围是_________ ．

26、如图，已知函数y=ax2+bx+c与y=﹣的图象交于A（﹣4，1）、B（2，﹣2）、C（1，﹣4）三点，根据图象可求得关于x的不等式ax2+bx+c＜﹣的解集为_________ ．

答案与评分标准

一、选择题（共15小题）

1、（2011?山西）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（）

A、ac＞0

B、方程ax2+bx+c=0的两根是x1=﹣1，x2=3

C、2a﹣b=0

D、当x＞0时，y随x的增大而减小

考点：二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点。

专题：计算题。

分析：根据抛物线的开口方向，对称轴，与x轴、y轴的交点，逐一判断．

解答：解：A、∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，∴a＜0，c＞0，ac＜0，故本选项错误；

B、∵抛物线对称轴是x=1，与x轴交于（3，0），∴抛物线与x轴另一交点为（﹣1，0），即方程ax2+bx+c=0的两根是x1=﹣1，x2=3，故本选项正确；

C、∵抛物线对称轴为x=﹣=1，∴2a+b=0，故本选项错误；

D、∵抛物线对称轴为x=1，开口向下，∴当x＞1时，y随x的增大而减小，故本选项错误．故选B．

点评：本题考查了抛物线与二次函数系数之间的关系．关键是会利用对称轴的值求2a与b 的关系，对称轴与开口方向确定增减性，以及二次函数与方程之间的转换．

2、（2010?梧州）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（）

A、ac＜0

B、a﹣b+c＞0

C、b=﹣4a

D、关于x的方程ax2+bx+c=0的根是x1=﹣1，x2=5

考点：二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点。

分析：由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据抛物线与x轴交点及x=1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

解答：解：A、该二次函数开口向下，则a＜0；抛物线交y轴于正半轴，则c＞0；所以ac ＜0，正确；

B、由于抛物线过（﹣1，0），则有：a﹣b+c=0，错误；

C、由图象知：抛物线的对称轴为x=﹣=2，即b=﹣4a，正确；

D、抛物线与x轴的交点为（﹣1，0）、（5，0）；故方程ax2+bx+c=0的根是x1=﹣1，x2=5，正确；

故选B．

点评：由图象找出有关a，b，c的相关信息以及抛物线的交点坐标，会利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：y=a+b+c，y=a﹣b+c，然后根据图象判断其值．

3、（2001?湖州）已知抛物线y=ax2+bx+c中，4a﹣b=0，a﹣b+c＞0，抛物线与x轴有两个不同的交点，且这两个交点之间的距离小于2，则下列判断错误的是（）

A、abc＜0

B、c＞0

C、4a＞c

D、a+b+c＞0

考点：二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点。

分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

解答：解：∵4a﹣b=0，∴抛物线的对称轴为x==﹣2

∵a﹣b+c＞0，

∴当x=﹣1时，y＞0∵抛物线与x轴有两个不同的交点且这两个交点之间的距离小于2，∴抛物线与x轴的两个交点的横坐标位于﹣3与﹣1之间，b2﹣4ac＞0

∴16a2﹣4ac=4a（4a﹣c）＞0

据条件得图象：

∴a＞0，b＞0，c＞0，

∴abc＞0，4a﹣c＞0，

∴4a＞c

当x=1时，y=a+b+c＞0

故选A．

点评：此题考查了二次函数各系数与函数图象的关系，解题的关键是注意数形结合思想的应用．

4、抛物线y=ax2+bx+c在x轴的下方，则所要满足的条件是（）

A、a＜0，b2﹣4ac＜0

B、a＜0，b2﹣4ac＞0

C、a＞0，b2﹣4ac＜0

D、a＞0，b2﹣4ac＞0

考点：二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点。

分析：抛物线在x轴下方，即可知开口向下，a＜0，且与x轴没有交点，△＜0．

解答：解：∵抛物线y=ax2+bx+c在x轴的下方，

∴由二次函数图象与系数关系知a＜0，且与x轴没有交点，即所对应二次方程没有解，∴△=b2﹣4ac＜0，

故选A．

点评：本题考查了二次函数图象与系数关系，即与一元二次方程关系．

5、如图所示，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论：

①abc＞0；

②4a﹣2b+c＜0；

③2a﹣b＜0；

④b2+8a＞4ac．

其中正确的有（）

A、1个

B、2个

C、3个

D、4个

考点：二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点。

解答：解：①当x=﹣2时，y=4a﹣2b+c＜0，正确；

②根据题意得，对称轴﹣1＜x=﹣＜0，∴2a﹣b＜0，正确；

③根据题意知：（1）a﹣b+c=2，（2）4a﹣2b+c＜0，（3）a+b+c＜0，

由（1）（2）消去b可得，（4）2a﹣c＜﹣4，

由（1）（3）消去b可得，（5）a+c＜1，

（4）+（5）消去c可得，3a＜﹣3，

所以a＜﹣1，正确；

④∵＞2，a＜0，

∴4ac﹣b2＜8a，

即b2+8a＞4ac，正确．

故选D．

点评：本题考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．

6、已知：a＞b＞c，且a+b+c=0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是下列图象中的（）

A、B、

C、D、

考点：二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点。专题：推理填空题。

分析：由a＞b＞c，且a+b+c=0，确定a＞0，c＜0，与x轴交点一个是（1，0），采取排除法即可选出所选答案．

解答：解：A、由图知a＞0，﹣=1，c＞o，即b＜0，

∵已知a＞b＞c，故本选项错误；

B、由图知a＜0，而已知a＞b＞c，且a+b+c=0，必须a＞0，故本选项错误；

C、图C中条件满足＞b＞c，且a+b+c=0，故本选项正确；

D、∵a+b+c=0，

即当x=1时a+b+c=0，与图中与X轴的交点不符，故本选项错误．

故选C．

点评：本题主要考查了二次函数的性质，点的坐标特点等知识点，灵活运用性质进行说理是解此题的关键．题型较好．

7、已知y1=a1x2+b1x+c1，y2=a2x2+b2x+c2且满足．则称抛物线y1，y2互为“友好抛物线”，则下列关于“友好抛物线”的说法不正确的是（）

A、y1，y2开口方向、开口大小不一定相同

B、因为y1，y2的对称轴相同

C、如果y2的最值为m，则y1的最值为km

D、如果y2与x轴的两交点间距离为d，则y1与x轴的两交点间距离为|k|d

考点：二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值；抛物线与x轴的交点。

专题：推理填空题；新定义。

分析：根据友好抛物线的条件，a1、a2的符号不一定相同，即可得到开口方向、开口大小不一定相同，代入对称轴﹣和即可判断B、C，根据根与系数的关系求出与X轴的两交点的距离|g﹣e|和|d﹣m|，即可判断D．

解答：解：由已知可知：a1=ka2，b1=kb2，c1=kc2，

A、根据友好抛物线的条件，a1、a2的符号不一定相同，所以开口方向、开口大小不一定相同，故本选项错误；

B、因为==k，代入﹣得到对称轴相同，故本选项错误；

C、因为如果y2的最值是m，则y1的最值是=k?=km，故本选项错误；

D、因为设直线y1于X轴的交点坐标是（e，f）（g，h），则e+g=﹣，eg=，直线y2于X轴的交点坐标是（m，n）（d，p），则m+d=﹣，md=，可求得：|g﹣e|=|d﹣m|，所以这种说法不对，故本选项正确．

故选D．

点评：本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线于X轴的交点，二次函数的最值等知识点解此题的关键是能根据友好抛物线的条件进行判断．

A、9

B、10

C、11

D、12

考点：待定系数法求二次函数解析式；抛物线与x轴的交点。

专题：综合题。

分析：由题意先得a=，然后把C（﹣1，0），D（0，）代入解析式得到b=3，则y=x2+3x+；令y=0，得，x2+3x+=0，得点坐标为（﹣5，0），AC=﹣1﹣（﹣5）=4；计算﹣=﹣3，=﹣2，得到顶点B的坐标为（﹣3，﹣2），所以S四边形ABCD=S△ACB+S△ACD，

即可得到四边形ABCD的面积．

解答：解：由题意得，a=，

∴y=x2+bx+c，

又∵抛物线过C（﹣1，0），D（0，），

∴﹣b+c=0，c=，

∴b=3，

∴y=x2+3x+；

则﹣=﹣3，=﹣2，所以顶点B的坐标为（﹣3，﹣2），；

令y=0，得，x2+3x+=0，解得x1=﹣1，x2=﹣5，则A点坐标为（﹣5，0），AC=﹣1﹣（﹣5）=4；

如图

S四边形ABCD=S△ACB+S△ACD=×4×2+×4×=9．

故选A．

点评：本题考查了用待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）．同时考查了求抛物线与x轴交点坐标的方法以及顶点的坐标；考查了在坐标系中求几何图形面积的方法．

9、（2005?浙江）根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数）一个解的范围是（）

A、3＜x＜3.23

B、3.23＜x＜3.24

C、3.24＜x＜3.25

D、3.25＜x＜3.26

考点：图象法求一元二次方程的近似根。

分析：根据函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根，再根据函数的增减性即可判断方程ax2+bx+c=0一个解的范围．

解答：解：函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根，

函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的纵坐标为0；

由表中数据可知：y=0在y=﹣0.02与y=0.03之间，

∴对应的x的值在3.24与3.25之间即3.24＜x＜3.25．

故选C．

点评：掌握函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点与方程ax2+bx+c=0的根的关系是解决此题的关键所在．

10、根据下列表格的对应值：

判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（）

A、8＜x＜9

B、9＜x＜10

C、10＜x＜11

D、11＜x＜12

考点：图象法求一元二次方程的近似根。

分析：根据表格知道8＜x＜12，y随x的增大而增大，而﹣0.38＜0＜1.2，由此即可推出方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围．

解答：解：依题意得当8＜x＜12，y随x的增大而增大，

而﹣0.38＜0＜1.2，

∴方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是10＜x＜11．

故选C．

点评：此题主要考查了抛物线的增减性，利用抛物线的增减来确定抛物线与x轴交点的坐标的可能位置．

11、如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.6，x2=（）

初三数学二次函数知识点总结

初三数学二次函数知识点总结一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数， 0a ≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质：上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质：左加右减。

4. ()2 y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，．

初三数学二次函数单元测试题及答案

远航教育初三寒假第一次诊断试题 (测试时间：120分钟，满分：150分) 姓名: 成绩：一、选择题(每题5分，共50分) 1. sin30°值为( ) A.1／3 B.1／2 C.1 D. 0 2. 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是() A. (1，-4) B.(-1，2) C. (1，2) D.(0，3) 3. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在() A. 第一象限 B. 第二象限 C. x轴上 D. y轴上 4. 抛物线的对称轴是() A. x=-2 B.x=2 C. x=-4 D. x=4 5. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是() A. ab>0，c>0 B. ab>0，c<0 C. ab<0，c>0 D. ab<0，c<0 7. 如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的横坐标是4，图象交x轴于点A(m，0)和点B，且m>4，那么AB的长是() A. 4+m B. m C. 2m-8 D. 8-2m 8. 若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx的图象只可能是()

9. 已知抛物线和直线在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线 x=-1，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是抛物线上的点，P 3(x 3，y 3)是直线上的点，且-1

初中数学一元二次方程知识点总结与练习

知识点总结：一元二次方程知识框架知识点、概念总结 1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 2.一元二次方程有四个特点： (1)含有一个未知数； (2)且未知数次数最高次数是2； (3)是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。如果能整理为 ax 2 +bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程； (4)将方程化为一般形式：ax 2 +bx+c=0时，应满足（a ≠0）； 3. 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，?都能化成如下形式ax 2 +bx+c=0（a ≠0）。一个一元二次方程经过整理化成ax 2 +bx+c=0（a ≠0）后，其中ax 2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。 4.一元二次方程的解法（1）直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x +是 b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。（2）配方法

配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式2 22)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有 222)(2b x b bx x ±=+±。配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2 =q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x=-p ±√q ；如果q ＜0,方程无实根．（3）公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的求根公式： )04(2422≥--±-=ac b a ac b b x （4）因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。5.一元二次方程根的判别式根的判别式：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“?”来表示，即ac b 42-=? 6.一元二次方程根与系数的关系如果方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x - =+21，a c x x =21。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。 7.分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程。 8.分式方程的一般解法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是：（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母（2）解所得的整式方程（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。知识点1.只含有一个未知数，并且含有未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。例题： 1、判别下列方程是不是一元二次方程，是的打“√”，不是的打“×”，并说明理由. (1)2x 2-x-3=0. (2) 4 y -y 2 =0. (3) t 2=0. (4) x 3-x 2=1. (5) x 2-2y-1=0. (6) 21 x -3=0.

二次函数压轴题专题及答案

2016年中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题面积类 1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M 的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m 的值；若不存在，说明理由．考点：二次函数综合题．专题：压轴题；数形结合．分析：（1）已知了抛物线上的三个点的坐标，直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式，已知点M的横坐标，代入直线BC、抛物线的解析式中，可得到M、N点的坐标，N、M纵坐标的差的绝对值即为MN的长．（3）设MN交x轴于D，那么△BNC的面积可表示为：S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN?OB，MN的表达式在（2）中已求得，OB的长易知，由此列出关于S△BNC、m的函数关系式，根据函数的性质即可判断出△BNC是否具有最大值．解答：解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则： a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1； ∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3．（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：

，解得；故直线BC的解析式：y=﹣x+3．已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）； ∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）．（3）如图； ∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN?OB， ∴S△BNC=（﹣m2+3m）?3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）； ∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为． 2．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C 点，已知B点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M 点的坐标．考点：二次函数综合题．. 专题：压轴题；转化思想．分析：（1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将B点坐标代入解析式中即可．

(完整版)初中数学二次函数综合题及答案

二次函数题选择题： 1、y=(m-2)x m2- m 是关于x 的二次函数，则m=（） A -1 B 2 C -1或2 D m 不存在 2、下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)模型的是（） A 在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系 B 我国人中自然增长率为1%，这样我国总人口数随年份变化的关系 C 矩形周长一定时，矩形面积和矩形边长之间的关系 D 圆的周长与半径之间的关系 4、将一抛物线向下向右各平移2个单位得到的抛物线是y=-x 2，则抛物线的解析式是（） A y=—（ x-2）2+2 B y=—（ x+2）2+2 C y=— （ x+2）2+2 D y=—（ x-2）2—2 5、抛物线y= 2 1 x 2 -6x+24的顶点坐标是（） A （—6，—6） B （—6，6） C （6，6） D （6，—6） 6、已知函数y=ax 2+bx+c,图象如图所示，则下列结论中正确的有（）个 ①abc 〈０ ②a ＋c 〈b ③ a+b+c 〉０ ④ ２c 〈３b A １ B ２ C ３ D ４ 7、函数y=ax 2-bx+c （a ≠0）的图象过点（-1，0），则 c b a + =c a b + =b a c + 的值是（） A -1 B 1 C 21 D -2 1 8、已知一次函数y= ax+c 与二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0），它们在同一坐标系内的大致图象是图中的（） A B C D 二填空题： 13、无论m 为任何实数，总在抛物线y=x 2＋2mx ＋m 上的点的坐标是————————————。 16、若抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的对称轴为直线x ＝２，最小值为－２，则关于方程ax 2+bx+c ＝－２的根为————————————。 17、抛物线y=（k+1）x 2+k 2-9开口向下，且经过原点，则k ＝————————— 解答题：（二次函数与三角形） 1、已知：二次函数y=x 2 +bx+c ，其图象对称轴为直线x=1，且经过点（2，﹣）．（1）求此二次函数的解析式．（2）设该图象与x 轴交于B 、C 两点（B 点在C 点的左侧），请在此二次函数x 轴下方的图象上确定一点E ，使△EBC 的面积最大，并求出最大面积． 1 —1 0 x y y x -1 x y y x y x y

初中数学二次函数基础测试题附答案

初中数学二次函数基础测试题附答案一、选择题 1．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象过点A （3，0），对称轴为直线x ＝1，给出以下结论：①abc ＜0；②3a +c ＝0；③ax 2+bx ≤a +b ；④若M （﹣0.5，y 1）、N （2.5，y 2）为函数图象上的两点，则y 1＜y 2．其中正确的是（） A ．①③④ B ．①②3④ C ．①②③ D ．②③④ 【答案】C 【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【详解】解：①由图象可知：a ＜0，c ＞0，由对称轴可知：2b a -＞0， ∴b ＞0， ∴abc ＜0，故①正确； ②由对称轴可知：2b a -＝1， ∴b ＝﹣2a ， ∵抛物线过点（3，0）， ∴0＝9a+3b+c ， ∴9a ﹣6a+c ＝0， ∴3a+c ＝0，故②正确； ③当x ＝1时，y 取最大值，y 的最大值为a+b+c ，当x 取全体实数时，ax 2+bx+c≤a+b+c ，即ax 2+bx≤a+b ，故③正确； ④（﹣0.5，y 1）关于对称轴x ＝1的对称点为（2.5，y 1）： ∴y 1＝y 2，故④错误；故选：C ．【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．

2．如图，抛物线2 119 y x = -与x 轴交于A B ，两点，D 是以点()0,4C 为圆心，1为半径的圆上的动点，E 是线段AD 的中点，连接,OE BD ，则线段OE 的最小值是（） A ．2 B ． 32 2 C ． 52 D ．3 【答案】A 【解析】【分析】根据抛物线解析式即可得出A 点与B 点坐标，结合题意进一步可以得出BC 长为5，利用三角形中位线性质可知OE=1 2 BD ，而BD 最小值即为BC 长减去圆的半径，据此进一步求解即可. 【详解】 ∵2 119 y x = -， ∴当0y =时，2 1019 x =-，解得：=3x ±， ∴A 点与B 点坐标分别为：(3-，0)，(3，0)，即：AO=BO=3， ∴O 点为AB 的中点，又∵圆心C 坐标为(0，4)， ∴OC=4， ∴BC 长度2205OB C +=， ∵O 点为AB 的中点，E 点为AD 的中点， ∴OE 为△ABD 的中位线，即：OE= 1 2 BD ， ∵D 点是圆上的动点，

初中数学一元二次方程的解法

解一元二次方程: 例1 x 2 -4-(2x+4)=0 （因式分解法）解：（x+2)(x-2)-2(x+2)=0 (x+2)[(x-2)-2]=0 (x+2)(x-4)=0 所以 x 1=-2 ， x 2=4. （配方法）解：x 2 -2x-8=0 X 2-2x=8 X 2 -2x+(-1)2 =8+(-1)2 即(x-1)2=9 X-1=±3 所以 x 1=4 , x 2=-2. （公式法）解：x 2 -2x-8=0 →Δ=(-2)2 -4×1×(-8) =36>0 所以 x 1,2=1 236)2--?±（即x 1=4 , x 2=-2. （“x 2 +(a+b)x+ab=0→(x+a)(x+b)=0”法）解：x 2-2x+(-4)2?=0 (X-4)(x+2)=0 所以 x 1=4 , x 2=-2. 1

例2 用配方法解下列一元二次方程： (1) x 2 -6x+5=0; (2) 2x 2 +4x-3=0; (3) 9x 2 +6x-1=0; (4) 4x 2-12x+m=0 (m 为任意实数）. 解：(1) x 2-6x=-5 X 2 -6x+(-3)2 =-5+(-3)2 即(x-3)2 =4 X-3=±2 所以 x 1=5 , x 2=1. (2) x 2 +2x=2 3 X 2 +2x+12 =2 3+12 (X+1)2 =2 5 X+1=± 210 所以 x 1=-1+ 2 10 , x 2=-1- 2 10 (3) (3x)2 +2×3x=1 (3x)2 +2×3x ×1+12 =1+12 (3x+1)2=2 3x+1=2± 所以x 1=32 1-+ ,x 2=-3 2 1+ . 2

2020年初三数学二次函数经典练习全集

1.一跳水运动员从米高台上跳下，他的高度h(单位：米)与所用的时间t(单位：秒)的关系为h=-5(t-2)(t+1),你能帮助该运动员计算一下他跳起来后多长时间达到最大高度？最大高度是多少米？ 2．篱笆墙长30m ，靠墙围成一个矩形花坛，写出花坛面积y(m 2 )与长x 之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围． 3.已知二次函数y=ax 2 ＋bx ＋c ，当 x=0时，y=0；x=1时，y=2；x=-1时，y=1．求a 、b 、c ，并写出函数解析式． 4.求经过A(0，-1)、B(-1，2)，C(1，-2)三点且对称轴平行于y 轴的抛物线的解析式． 5.已知二次函数为x ＝4时有最小值-3且它的图象与x 轴交点的横坐标为1，求此二次函数解析式． 6. 已知抛物线经过点(-1，1)和点(2，1)且与x 轴相切． (1)求二次函数的解析式； (2)当x 在什么范围时，y 随x 的增大而增大； (3)当x 在什么范围时，y 随x 的增大而减小． 7.已知122 12 ++-=x x y (1)把它配方成y ＝a(x-h)2 ＋k 形式； (2)写出它的开口方向、顶点M 的坐标、对称轴方程和最值； (3)求出图象与y 轴、x 轴的交点坐标； (4)作出函数图象； (5)x 取什么值时y ＞0，y ＜0； (6)设图象交x 轴于A ，B 两点，求△AMB 面积． 8．在长20cm ，宽15cm 的矩形木板的四角上各锯掉一个边长为xcm 的正方形，写出余下木板的面积y(cm 2 )与正方形边长x(cm)之间的函数关系，并注明自变量的取值范围． 9．已知二次函数y=4x 2 ＋5x ＋1，求当y=0时的x 的值． 10．已知二次函数y=x 2 -kx-15，当x=5时，y=0，求k ． 12．已知二次函数y=ax 2＋bx ＋c 中，当x=0时，y=2；当x=1时，y=1；当x=2时，y=-4，试求a 、b 、c 的值． 13.有一个半径为R 的圆的内接等腰梯形，其下底是圆的直径． (1)写出周长y 与腰长x 的函数关系及自变量x 的范围； (2)腰长为何值时周长最大，最大值是多少？ 14.二次函数的图象经过()()()4,2,4,0,0,4--C B A 三点： ① 求这个函数的解析式 ② 求函数图顶点的坐标 ③ 求抛物线与坐标轴的交点围成的三角形的面积。 15．如图，抛物线y=x 2 +bx+c 与x 轴的负半轴相交于A 、B 两点，与y 轴的正半轴相交于C 点，与双曲线y= x 6 的一个交点是(1，m)，且OA=OC.求抛物线的解析式． 16．如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12厘米，OB=6厘米．点P 从点O 开始沿OA 边向点A 以l 厘米／秒的速度移动；点Q 从点B 开始沿BO 边向点O 以l 厘米，秒的速度移动．如果P 、Q 同时出发，用t(秒)表示移动的时间(0≤t≤6)，那么 (1)设△POQ 的面积为y ，求y 关于t 的函数解析式； (2)当△POQ 的面积最大时，将△POQ 沿直线PQ 翻折后得到△PCQ，试判断点C 是否落在直线AB 上，并说明理由； (3)当t 为何值时，△POQ 与△AOB 相似． 17、水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克. 经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克.

初中数学第26章《二次函数》测试题(B卷)及答案

第26章二次函数检测题一．选择题（每小题4分，共40分） 1、抛物线y=x 2 -2x+1的对称轴是 ( ) (A)直线x=1 (B)直线x=-1 (C)直线x=2 (D)直线x=-2 2、（2008年武汉市）下列命题： ①若0a b c ++=，则240b ac -≥； ②若b a c >+，则一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根； ③若23b a c =+，则一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根； ④若240b ac ->，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3. 其中正确的是（）．Ａ.只有①②③ Ｂ．只有①③④ Ｃ．只有①④ Ｄ．只有②③④． 3、对于2)3(22 +-=x y 的图象下列叙述正确的是（） A 、顶点坐标为(－3，2) B 、对称轴为y=3 C 、当3≥x 时y 随x 增大而增大 D 、当3≥x 时y 随x 增大而减小 4、（2008年湖北省仙桃市潜江市江汉油田）如图，抛物线)0(2 >++=a c bx ax y 的对称轴是直线1=x ，且经过点P （3，0），则c b a +-的值为 A. 0 B. －1 C. 1 D. 2 5、函数y =ax 2 (a ≠0)的图象经过点(a ，8)，则a 的值为（） A.±2 B.－2 C.2 D.3 6、自由落体公式h = 2 1 gt 2 (g 为常量)，h 与t 之间的关系是（） A.正比例函数 B.一次函数 C.二次函数 D.以上答案都不对 7、下列结论正确的是（） –1 3 3 1

A.y =ax 2 是二次函数 B.二次函数自变量的取值范围是所有实数 C.二次方程是二次函数的特例 D.二次函数的取值范围是非零实数 8、下列函数关系中，可以看作二次函数c bx ax y ++=2 （0≠a ）模型的是（） A 、在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系 B.我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系 C.竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力） D.圆的周长与圆的半径之间的关系 9、对于任意实数m ，下列函数一定是二次函数的是（） A ．22)1(x m y -= B ．2 2)1(x m y += C ．2 2)1(x m y += D ．2 2)1(x m y -= 10、二次函数y=x 2 图象向右平移3个单位，得到新图象的函数表达式是（）Ａ.y=x 2+3 Ｂ.y=x 2 -3 Ｃ.y=（x+3）2 Ｄ.y=（x-3）2 第Ⅱ卷（非选择题，共80分）二、填空题（每小题4分，共40分） 11、某工厂第一年的利润是20万元，第三年的利润是y 万元，与平均年增长率x 之间的函数关系式是＿＿＿＿＿＿＿＿。 12、已知二次函数的图像关于直线y=3对称，最大值是0，在y 轴上的截距是－1，这个二次函数解析式为＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 13、某学校去年对实验器材投资为2万元，预计今明两年的投资总额为y 万元，年平均增长率为 x 。则y 与x 的函数解析式＿＿＿＿＿＿。 14、m 取＿＿＿时，函数)1()(2 2+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的二次函数. 15、（2006·浙江）如图1所示，二次函数y=ax 2 +bx+c 的图象开口向上，图象经过点（-1，2）和（1，0）且与y 轴交于负半轴. 第（1）问：给出四个结论：①a>0；②b>0;③c>0；④a+b+c=0，其中正确的结论的序号是＿＿＿第（2）问：给出四个结论：①abc<0；②2a+b>0;③a+c=1;④a>1.其中正确的结论的序号是＿＿＿＿. 16、杭州体博会期间，嘉年华游乐场投资150万元引进一项大型游乐设施，若不计维修

人教版初中数学二次函数解析

人教版初中数学二次函数解析一、选择题 1．若平面直角坐标系内的点M 满足横、纵坐标都为整数，则把点M 叫做“整点”．例如：P （1，0）、Q （2，﹣2）都是“整点”．抛物线y ＝mx 2﹣4mx +4m ﹣2（m ＞0）与x 轴交于点A 、B 两点，若该抛物线在A 、B 之间的部分与线段AB 所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，则m 的取值范围是（） A ．12≤m ＜1 B ．12＜m ≤1 C ．1＜m ≤2 D ．1＜m ＜2 【答案】B 【解析】【分析】画出图象，利用图象可得m 的取值范围【详解】 ∵y ＝mx 2﹣4mx +4m ﹣2＝m （x ﹣2）2﹣2且m ＞0， ∴该抛物线开口向上，顶点坐标为（2，﹣2），对称轴是直线x ＝2．由此可知点（2，0）、点（2，﹣1）、顶点（2，﹣2）符合题意． ①当该抛物线经过点（1，﹣1）和（3，﹣1）时（如答案图1），这两个点符合题意．将（1，﹣1）代入y ＝mx 2﹣4mx +4m ﹣2得到﹣1＝m ﹣4m +4m ﹣2．解得m ＝1．此时抛物线解析式为y ＝x 2﹣4x +2．由y ＝0得x 2﹣4x +2＝0．解得12120.622 3.42 x x ==- ≈+≈，． ∴x 轴上的点（1，0）、（2，0）、（3，0）符合题意．则当m ＝1时，恰好有（1，0）、（2，0）、（3，0）、（1，﹣1）、（3，﹣1）、（2，﹣1）、（2，﹣2）这7个整点符合题意． ∴m ≤1．【注：m 的值越大，抛物线的开口越小，m 的值越小，抛物线的开口越大】答案图1（m ＝1时）答案图2（ m ＝时） ②当该抛物线经过点（0，0）和点（4，0）时（如答案图2），这两个点符合题意．此时x 轴上的点（1，0）、（2，0）、（3，0）也符合题意．将（0，0）代入y ＝mx 2﹣4mx +4m ﹣2得到0＝0﹣4m +0﹣2．解得m ＝12 ．