复变函数综合测试题(1)(含参考解答).doc

复变函数综合测试题(-)

(解答〉

一、选择题(单选题)

复数z = ^-i 的幅角主值为(C ) 复数z = l — cos& + isin0，0<0<7T 的模为(A

(A)不连续 (B)连续且可导

(C)连续但处处不可导

满足|z-l| = |z + l|的点z 所组成的点集为(B )

(A)当〃 =1时为2加；当川工1时为0

(B) 0

(c)

(D)

2、 g

(A) 2sin —

(B) -2sin —

(D) 2cos 0 — 2 3、

1 + i — 设Z = ,则z 的指数表示为(

4、 5、

71 7t .. 71 /小、

z = cos ---- 1 sin — (D) 4 若血是方程z 3-l =

0的一个非零复数根，贝IJ1 + Q+血2=( (A) 0 (B) i (C) 0)2 (D) -0)

(A) z = cos- + zsin- 4 4 ? ￡

(B) z 二卢(C) ?7T

z-e 4

函数f(z) = z 在z 平而上(C ) (D)以上答案都不对

(A) Imz = 0 (B) Rez = 0 (C) Imz > 0

(D) Rez > 0

7、

函数/(Z ) = w + Z v 在区域D 内解析的充要条件是(D (A) du du dv du 册亠小亠、—亠都在Q 内连续 ox oy ox dy (B) 在"J 也=也，也"也 dx dy dy dx (C) dv

典典字，字都在D 内存在，且字醫晋一. dx dy dx oy ox dy dy ox

(D) 譽学学,7都在D 内连续,且=

ox oy ox dy

ox oy oy ox

J IT*

討血9>0)的值为(A ) (C) 2加 (D) 2〃加

(A)-

9^ J — dz = ( C )

8 Z 11

12、幕级数1 +工鼻的收敛半径为(A w=i H (A) +oo (B) 0 (C) 1 13、z = 0为

/(z) = z-sinz 的(D ) (A)极点 (B)非孤立奇点

(C)本性奇点

14^ 设 /(z)= 一-—,则 z = 0 是/(z)的(A ) e-1 (A) 1阶极点 (B) 2阶极点 (C)可去奇点 15、z 0/oo 是函数/(z)的可去奇点，则Res(f 9z 0)= ( B )

二、填空题(将正确的答案填在横线上》

2、函数/(z)在区域D 内解析是指 /(z)在区域D 内每一点可导

3、 | —-— dz — 0 o

-i|=i z + 3 -------

4、刘维尔定理是指

冇界整函数必为常数。

5、幕级数工耳的收敛半径/?=

1 ,收敛圆为|z|<2。

n=o 2

------------

6、函数.f(z)二——在z = 0处的幕级数展式为 /⑵二工z” 。

(A) f(z 0)

(B) 0 (C) 171

(D) 2加

复数z = (3 + Z)(2-Z )

(3-z)(2 + z)

的模|z| =

(A) 0

(B)-

(D) (2兀+砂仇=0丄2,…)

10、/(z)在复平面上解析且有界,

则/(z)在平面上为(B

(A) 0 (B)常数 (C) z

(D) z n (ne N)

11、复级数￡z”收敛的必要条件是(D )

n=l

(A)对一切 n , z n = 0 (B)存在一列自然数｛%｝，使得z 〃二0

(D) 2

(D) 3阶零点

(D)本性奇点

1 - z w=0

■

7、设/(z)二戶v，则Re$(/,》

l + z?

1亠=——e i o

三、判斷题(正确的打“ 错误的打“X”)

1、设Z|和Z2是两个不相等的复数，则Z|和Z?必可比较大小。(X )

2、/⑵在点d解析是指/⑵在点a可导。(X )

3、在复数范围内，z'= 1的充要条件是z = k ( X )

4、若/(z)在以围线C为边界的单连通区域D内解析，且在5 = P + C±连续，则

J〃z) dz = 0o(J )

5、若Re5(/,z o) = 6z,则Re5(/2,z0) = a2 o ( X )

四、计算题

1、将复数z = (l + cos0 + isin0)2 (Q<(p<7C)化为指数形式。

解：z = (1 + cos + z sin ^9)2 = 4 cos2—? e,(p (fi<(p<7C)

2、在复数范围内解方程Z“+G4=0(G>0)。

解：由原方程可得z4=—a4=。4?出

所以方程的解为k=0丄2；。

3、计算积分其中(1) C是从—1到1的直线段；(2) C是从-1至IJ1的上半单位圆

周：Z = 1 0

解：(1) C的参数方程为z = t (-1<^<1),所以

\\A dz=\ =2i tdt

c (2)因为在C上，；

-1 0

3=1,所以J 忖dz = J dz = 1-(-1) = 2 o

r z — 2

4、求]—其中C 是圆周：z =2o

c -z

5、求下列函数在z = 0处的鬲级数展开式

z,z 2+z 1z 2=2Re[z 1z 2]

工鹿訂(f_占)dz 訂?Zz_

Z — Z c Z Z — I c Z

----- dz = 4兀i 一 Mi - 2兀I o z-l

解:

(2)

1 (1-z)2

z 8戶几

8 异卄1

z| < 4-00 o

(2)

V =(r L )/

=(Z^/=Z^,

[1 — Z) L~ Z

n=0

n=l

6、求实积分[晋如

解：因f 竺巴字心二血了 -±-e \lx],而丄〒在上半平而内仅有一个一阶极点z = i, ± 1 + JT ± 1

+ JT 1 + 才且在实数范围内1 +才工0

4° 兀

Z 1

所以

[—— e ix dx = 2加Re$(—— d=i) = 2兀i ?一“ =兀小,

L l + x 2 l + z 2 2

故

j ^^dx = lml \ ^-e ix dx] = 7re \ i \ + x i 1 + JT

五、证明题

1、证明: ZZ

? 7 7

+ z,-z 2 =2(z, +z 2 ),并说明其几何意义。

证明：因

Z.+Z2

?二(Z| + z 2)(z t + z 2) = (z t + z 2)(z t + z 2) = |zj 2

+ Z 2

+牛2+牛2

解:

(1)

所以22

Zl+Z2 —Z|+Z2

▲—Z2=Z1+Z?「+2Re[Z] z]

同理可得‘-2Re[z 石

2 9 | o 2

两式相加得 IZj + zJ +|Z[ -乙2「=2(|Z|「+|z 2| )

它表明以Z|和z?为两邻边的平行四边形的对角线的平方和等于它的两邻边的平方和的两倍。

2、设u(x, y) = x 3 -3xy 2,证明:

(1)w(x, y)是Z 平面上的调和函数;

(2)求以u(x y y)为实部的解析函数/⑵,使得/(0) = i o

证明：(1)因単=3亍 _3yl

= 6兀，当=一6小，=-6x ox

dx^ dy dy r

字+瞥 6X + (—6X ) = 0 df d)厂

所以u (兀刃是z 平面上的调和函数。

所以/⑵= z' + c 。

乂由/(0) = i 可得c = i 9所以所求的解析函数为

/⑵二才+几

3、⑴证明订士妇。，其中C:|z| = l ； (2)利用(1)的结果证明]—

〃&二0。

o 5 + 4cos&

(1)证明：因为被积函数的不解析点z = -2幺z <1,所以由柯西积分定理得

(2)设所求的解析函数为/(z) = w + /v,因f\z)

du . du

---- 1 — dx dy

3x 2 -3y 2 +6xyi 3z 2

八 f 1

」r cos& + isin& “

} 2cos& + l + 2isin&

az- d0= dO

c z + 2 匕 2 + cos& + isin& 匕

5 + 4cos&

比较两边的实部和虚部得 f

do = 0

巳托 5 + 4cos&

再注意到被枳函数是偶函数得

j l + 2cos￡^ = 1 j l + 2￡2^^ = 0o

i 5 + 4cos& 2 Zr 5 + 4cos&

j 空叱l% + 2订 :5 + 4cos&

打 5 + 4cos&