福建省莆田市2019年质检数学卷及答案

2019年莆田市初中毕业班质量检查数学卷

(满分:150分；考试时间:120分钟)

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分 1.下列四个数中，最大的数是

A. －2

B.－1

C. 0

D.|－3| 2.下列几何体中，俯视图为三角形的是

3.下列式子中，可以表示为2－3的是

A. 22÷25

B.25÷22

C. 22×25

D.(－2)×(－2)×(－2) 4.将一把直尺和一块含30°的直角三角板ABC 按如图所示 的位置放置，若∠CDE=40°，则∠BAF 的大小为 A. 10° B.15° C. 20 ° D.25° 5.若4

A.23

B. 8

C. 23

D.

4+5

6.点E(m ，n)在平面直角坐标系中的位置如图所示， 则坐标(m+1，n －1)对应的点可能是

A. A 点

B. B 点

C. C 点

D. D 点

D

C

A

B

7.某排球队6名场上队员的身高(单位：cm)是:180、184、188、190、192、194现用一名身高为186cm 的队员换下场上身高为192cm 的队员，与换人前相比，场上队员的身高

A.平均数变小，中位数变小

B.平均数变小，中位数变大

C.平均数变大，中位数变小

D.平均数变大，中位数变大 8.下列直线与过(－2,0)，(0,3)的直线的交点在第一象限的是 A. x=－3 B. x=3 C. y=－3 D. y=3 9.如图，AB 、AC 均为⊙O 的切线，切点分别为B 、C ，点D

优弧BC 上一点，则下列关系式中，一定成立的是 A.∠A+∠D=180° B.∠A+2∠D=180° C.∠B+∠C=270

° D.∠B+2∠C=270°

10.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下， 可食用率p 与加工时间t ：(单位：分钟) p=at2+bt+c(a 、b 、c 是常数) 根据上述函数模型和实验数据，可得到最佳加工时间为 A.4.25分钟 B.4.00分钟 C.3.75分钟 D.3.50分钟

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分

11.莆田市政府推出“ You bike 微笑自行车”的社会公共服务项目，旨在发展全民健身，打造健康莆田，预计2019年年底将建设970个公共自行车租赁站点，投入自行

车31000辆。将31000写成科学记数法为________.

12.方程 组??

?=+=-422y x y x 的解是________.

13.如图，△ABC 中，AB+AC=6，BC 的垂直平分线DE 交AB 于 点D ，交BC 于点E ，则△ACD 的周长为________.

14.在一个不透明的袋子里，有2个黑球和1个白球，除了颜色外全部相同，任意摸出两个球，这两个球中有白球的概率是________.

15.尺规作图特有的魅力使无数人沉湎其中，传说拿破仑曾通过下列尺规作图将圆等分：

①将半径为r 的⊙O 六等分，依次得到A 、B 、C 、D 、E 、F

②分别以点A 、D 为圆心，AC 长为半径画弧，两弧相交于点G ③连接OG ，以OG 长为半径，从点A 刚好将圆等分，顺次连接这些等分点构成的多边形面积为16.如图，点P 为函数y=x 2

(x>0)图象上一点，过点P 作 x 轴、y 轴的平行线，分别与函数y=x 10

(x>0)的图象

交于点A 、B ，则△AOB 的面积为_______.

三、解答题：本大题共9小题，共86分 17.(本小题满分8分)

计算: π°－3

8+cos60°

18.(本小题满分8分)

求证：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

19.(本小题满分8分)

化简求值：

?

?

?

?

?

+

-

1

2

1

m

m

÷m

m2

1-

，其中m=2.

20.(本小题满分8分)

如图，△ABC中，AB=AC，∠A=80°，点D、E分别在边AB、AC上，且DA=DE=CE.

(1)求作点F，使得四边形BDEF为平行四边形；

(要求：尺规作图，保留痕迹，不写作法)

(2)连接CF，写出图中经过旋转可完全重合的两个

三角形，并指出旋转中心和旋转角.

21.(本小题满分8分)

我市“木兰溪左岸绿道”工程已全部建成并投入使用. 10公里的河堤便道铺满了彩色的透水沥青，堤岸旁的各类花草争奇斗艳，与木兰溪河滩上的特色花草相映成趣，

吸引着众多市民在此休闲锻炼、散步观光.

居民前往“木兰溪左岸绿道”锻炼的次数统计表

请你根据统计图表中的信息，解答下列问题： (1) a ＝________，b ＝________

(2)请计算扇形统计图中“3次”所对应扇形的圆心角的度数;

(3)若该小区共有2000名居民，根据调查结果，估计该小区居民在一周内前往 “木兰溪左岸绿道”锻炼“4次及以上”的人数.

22.(本小题满分10分)

如图，在⊙O 中，弦AC ⊥BD 于点E ，连接AB 、CD 、(1)求证:∠AOB+∠COD=180°；

4次

(2)若AB=8，CD=6，求⊙O 的直径.

23.(本小题满分10分)

直觉的误差：有一张8cm ×8cm 的正方形纸片，面积是64cm2. 把这些纸片按图1所示剪开成四小块，其中两块是三角形，另外两块是梯形. 把剪出的4个小块按图2所示重新拼合，这样就得到了一个13cm ×5cm 的长方形，面积是65cm2，面积多了1cm2.这是为什么?

小明给出如下证明：如图2，可知，tan ∠CEF=38，tan ∠EAB=25

∵tan ∠CEF>tan ∠EAB ，∠CEF>∠EAB ，

∵EF ∥AB ，∴∠EAB+∠AEF=180°，∴∠CEF+∠AEF>180°， 因此A 、E 、C 三点不共线，同理A 、G 、C 三点不共线. 所以拼合的长方形内部有空隙，故面积多了1cm2.

(1)小红给出的证明思路为：以B 为原点，BC 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，

证明三点不共线，请你帮小红完成她的证明；

(2)将13cm ×13cm 的正方形按上述方法剪开拼合，是否可以拼合成一个长方形，但面积少

了1cm2?如果能，求出剪开的三角形的短边长；如果不能，说明理由.

24.(本小题满分12分)

如图1，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=BC ，将△ABC 绕点A 逆时针旋转，得到△ADE ，旋转角为α(0°<α<90°)，连接BD 交CE 于点F.

(1)如图2，当α=45°时，求证：CF=EF ； (2)在旋转过程中

53

3

5

8图 1 图 2

C

F

①问(1)中的结论是否仍然成立?证明你的结论；

②连接CD ，当△CDF 为等腰直角三角形时，求tan 2

的值.

图1 图2

25.(本小题满分14分)

函数y1=kx2+ax+a 的图象与x 轴交于点A 、B(点A 在点B 的左侧)，函数y2=kx2+bx+b 的图象与x 轴交于点C 、D(点C 在点D 的左侧)，其中k ≠0，a ≠b. (1)求证：函数y1与y2的图象交点落在一条定直线上； (2)若AB=CD ，求a 、b 和k 应满足的关系式；

(3)是否存在函数y1与y2，使得B 、C 为线段AD 的三等分点?若存在，求b a

的值；

若不存在，说明理由.

参考答案

一、ACAAD CABBC 二、

11. 3.1×104 12.??

?==02y x 13.6 14. 32 15. 2r2 16. 24 三.

17.－21

18.

19. m 11，31

20.（1）作图如右所示； （2）

△DAE 绕点E 逆时针旋转100°得到△CFE

21.（1）a=17，b=20 （2）72° （3）约120人 22.

（1）∵AC ⊥BD

∴∠BAC+∠ABD=90°＝21

(BC+AD)= ∠BOC+∠AOD

∴∠AOB+∠COD=180°

（2）延长CO 交⊙O 于点F ，连接DF ，作OG ⊥CD 易证：△DOF ≌△AOB

∴DF ＝8，OG ＝4

DG ＝21

CD ＝3，OD ＝5

23.

（1）A(0，5)、E(5，3)、C(13，0)

AE 直线：k1=－52

CE 直线：k2=－83

k1≠k2 ∴A 、E 、C 三点不共线； 同理A 、G 、C 三点不共线. （2）能，作图如下

正方形面积＝169，长方形面积＝8×21＝168，短边长为8cm

图1 图2

5

8

5

13

13

8

24.

（1）连接AF ，

∵∠BAC=∠CAE ＝45°，AB ＝AD ，AC ＝AE ∴∠ABD ＝∠ACE ，且在线段AF 同侧， ∴A 、B 、C 、F 四点共圆， 又∠ABC ＝90° ∴∠AFC=90° ∴CF=EF ；

（2）连接AF ，

同理可证：∴A 、B 、C 、F 四点共圆， 又∠ABC ＝90° ∴∠AFC=90° ∴CF=EF ； （3）

①当CF ＝CD ，∠DCF ＝90°时， ∠CDB ＝∠DFE ＝135°

∠ADE+∠CDF ＝135° ∠ADE+∠CDF+∠CDB ＝270° ∠ADB+∠EDF ＝90°＝∠ABD+∠CDB 而∠ADB ＝∠ABD ∴∠EDF ＝∠CBD △DEF ∽△BCD

BD DF ＝BC DE

＝1

作CH ⊥BF ，则

CH ＝DH ＝31

BH

tan 2α＝tan ∠CBF ＝BH CH

＝31

②当DF ＝DC ，∠CDF ＝90°时，

作AH ⊥BD 于点H ，则BH ＝DH ， 由AB ＝BC ，可证： Rt △ABH ≌Rt △BCD

CD ＝BH ＝21

BD

tan 2α＝tan ∠CBF ＝BH CH

＝21

25. （1）

kx2+ax+a=kx2+bx+b

两抛物线的交点为(－1，k)，定直线为：x ＝－1

（2）AB ＝k

ak a 42-，CD ＝k

bk b 42-

当AB ＝CD 时，

a2－4ak= b2－4bk ， (a －b)( a+b －4k)=0 ∵a ≠b ，∴a+b －4k=0

∴a+b ＝4k.，此时△＝－ab>0，ab<0

（3）设A(x1，0)、B(x2，0)，C(x3，0)、D(x4，0)， 当B 、C 为线段AD 的三等分点时，

∴x1＝k ak a a 242---， x2＝k ak

a a 242-+-，

x3＝k bk b b 242---，x4＝k bk b b 242-+-

①若x1< x3

x3－x1＝k bk

b ak a b a 24422---+-， x2－x3＝k bk b ak a b a 24422-+-++-

则a －b ＝bk b 42

-＝ab -，

a2+b2＝ab ，

b a +a b

＝1，

设b a ＝ x ，则x +x 1

＝1无解

②若x1< x2

x2－x1＝x3－x2，且ak a 42-＝bk b 42

-

k ak a 2422-＝k bk

b ak a b a 24422----+-

化简得：4bk b 42

-＝－a+b ，

4ab -＝－a+b －16 ab ＝a2+b2－2ab ， a2+b2+14ab ＝0

(b a )2+14(b a

)+1

设b a

＝ x ，则x 2+14 x+1=0

x ＝－7±43

∴存在这样的函数，使得B 、C 三等分线段AD ，且b a

＝－7±43