D ．{x |5≤x ≤8}
[解析] 区间[5,8)表示的集合是{x |5≤x <8}，故选C ． 3．已知f (x )＝2x ＋1，则f (5)＝( C ) A ．3 B ．7 C ．11
D ．25
[解析] f (5)＝2×5＋1＝11，故选C ．
4．函数y ＝2x ＋1的定义域为__[－1
2，＋∞)__ .
[解析] 要使函数有意义，只须2x ＋1≥0， ∴x ≥－1
2
，
即定义域为[－1
2，＋∞)．
5．已知f (x )＝1
1＋x ，g (x )＝x 2＋2.
(1)求f (2)，g (2)的值； (2)求f [g (2)]的值； (3)求f [g (x )]的解析式．
[解析] (1)f (2)＝11＋2＝1
3，g (2)＝22＋2＝6.
(2)f [g (2)]＝
11＋g (2)＝11＋6＝1
7
.
(3)f [g (x )]＝11＋g (x )＝11＋x 2
＋2＝1
x 2＋3
.
H 互动探究解疑 u dong tan jiu jie yi
命题方向1 ?函数概念的理解
典例1 (1)下列对应或关系式中是A 到B 的函数的是( B )
A ．A ∈R ，
B ∈R ，x 2＋y 2＝1
B ．A ＝{1,2,3,4}，B ＝{0,1}，对应关系如图：
C ．A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝
1x －2
D ．A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝2x －1
(2)设M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，函数y ＝f (x )的定义域为M ，值域为N ，对于下列四个图象，不可作为函数y ＝f (x )的图象的是( C )
[思路分析] (1)如何利用函数定义．对于集合A 中的元素通过对应关系在集合B 中有唯一元素与之对应进行判断．
(2)当对应关系用图象表示时，怎样判断是否为函数关系．
[解析](1)对于A项，x2＋y2＝1可化为y＝±1－x2，显然对任x∈A，y值不唯一，故不符合．对于B项，符合函数的定义．对于C项，2∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合．对于D项，－1∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合．
(2)由函数定义可知，任意作一条直线x＝a，则与函数的图象至多有一个交点，结合选项可知C中图象不表示y是x的函数．
『规律方法』1．判断一个对应关系是否是函数，要从以下三个方面去判断，即A，B 必须是非空数集；A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应．
2．函数的定义中“任一x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”．
〔跟踪练习1〕
(1)下列对应是否为A到B的函数：
①A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|；
②A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2；
③A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x；
④A＝[－1,1]，B＝{0}，f：x→y＝0.
(2)(2016·甘肃兰州高一月考试题)如图所示，能够作为函数y＝f(x)的图象的有__①⑤__.
[解析](1)①A中的元素0在B中没有对应元素，故不是A到B的函数；
②对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2，在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与之对应，故是集合A到集合B的函数；
③A中元素负整数没有平方根，故在B中没有对应的元素，故此对应不是A到B的函数；
④对于集合A中一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0，在集合B中都有唯一一个确定的数0与之对应故是集合A到集合B的函数．
(2)根据函数的定义，一个函数图象与垂直于x轴的直线最多有一个交点，这是通过图象判断其是否构成函数的基本方法．
命题方向2?求函数的定义域
典例2 求下列函数的定义域：
(1)y ＝(x ＋2)0
|x |－x ；
(2)f (x )＝x 2－1
x －1
－4－x .
[思路分析] 观察函数解析式的特点→列不等式(组)→求自变量的取值范围
[解析] (1)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足????? x ＋2≠0，|x |－x ≠0，即?????
x ≠－2，|x |≠x ，
解得x <0，且x ≠－2.
故原函数的定义域为(－∞，－2)∪(－2,0)．
(2)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足????? 4－x ≥0，x －1≠0，即?
???
?
x ≤4，x ≠1.
故原函数的定义域为(－∞，1)∪(1,4]． 『规律方法』 求函数的定义域：
(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y ＝x 0要求x ≠0.
(2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．
(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．
〔跟踪练习2〕 求下列函数的定义域： (1)f (x )＝1
x ＋2；
(2)f (x )＝3x ＋2； (3)f (x )＝x ＋1＋
13－x
. [解析] (1)要使函数有意义，须使x ＋2≠0， ∴x ≠－2，∴定义域为{x |x ≠－2}．
(2)要使函数有意义，须使3x ＋2≥0，∴x ≥－2
3，
∴定义域为{x |x ≥－2
3
}．
(3)要使函数有意义，须使?
????
x ＋1≥0
3－x ≠0，∴x ≥－1且x ≠3，∴定义域为：{x |x ≥－1且x ≠3}．
命题方向3 ?求函数值
典例3 已知f (x )＝x 2
1＋x 2
，x ∈R .
(1)计算f (a )＋f (1
a
)的值；
(2)计算f (1)＋f (2)＋f (12)＋f (3)＋f (13)＋f (4)＋f (1
4
)的值．
[思路分析] (1)将函数的自变量代入计算即可，(2)可以分别将f (1)，f (2)，f (12)，f (3)，f (1
3)，
f (4)，f (1
4
)的函数值算出再相加，也可以根据待求式中数据的特征，结合(1)中所得结果求解．
[解析] (1)由于f (a )＝a 21＋a
2，f (1a )＝11＋a 2，所以f (a )＋f (1
a )＝1. (2)解法一：因为f (1)＝121＋12＝12，f (2)＝221＋22＝45，f (12)＝(12)2
1＋(12)
2＝15，f (3)＝321＋32＝9
10
，
f (13)＝(13)21＋(13
)2
＝1
10
， f (4)＝42
1＋42＝1617
，f (14)＝(14)21＋(14
)2
＝117，所以f (1)＋f (2)＋f (12)＋f (3)＋f (13)＋f (4)＋f (14)＝12＋4
5＋15＋910＋110＋1617＋117＝72
. 解法二：因为f (a )＋f (1a )＝1，从而f (2)＋f (12)＝f (3)＋f (13)＝f (4)＋f (14)＝1，即[f (2)＋f (1
2)]＋
[f (3)＋f (13)]＋[f (4)＋f (14)]＝3，而f (1)＝12，所以f (1)＋f (2)＋f (12)＋f (3)＋f (13)＋f (4)＋f (14)＝7
2
.
『规律方法』 解题时，(一)要注意审题，观察分析、发现规律．(二)要注意一题多问时，有时前面问题的结论可作为后面问题的条件使用．
〔跟踪练习3〕
已知函数f (x )＝x 2－1x 2＋1
，则f (1)＋f (2)f (12)＋…＋f (10)f (110)＝__－9__.
[解析] f (x )f (1x )＝x 2－1x 2＋11x 2－11x 2
＋1＝x 2－1
x 2＋11－x 21＋x 2
＝－1，∴f (2)f (12)＝f (3)f (13)＝…＝f (10)
f (110)＝－1，
又∵f (1)＝0，∴f (1)＋f (2)f (12)＋…＋f (10)
f (110)＝－9.
Y 易混易错警示
i hun yi cuo jing shi
求函数定义域时非等价化简解析式而致误
典例4 求函数y ＝x －2·x ＋2的定义域.
[错解] y ＝x －2·x ＋2＝x 2－4，由x 2－4≥0，得x ≥2或x ≤－2.∴函数的定义域为{x |x ≥2或x ≤－2}．
[错因分析] 事实上，函数y ＝x －2·x ＋2与y ＝x 2－4并不表示同一个函数，求函数定义域应根据原始条件的制约．
[正解] 由????? x －2≥0，x ＋2≥0，得?????
x ≥2，
x ≥－2，
即x ≥2.∴函数的定义域为{x |x ≥2}．
X 学科核心素养
ue ke he xin su yang 求函数值域的方法——转化与化归思想及数形结合思想的应
用
1．分离常数法
典例5 求函数y ＝3x ＋2
x －2
的值域.
[思路分析] 这种求函数值域的问题，我们常把它们化为y ＝a ＋c
x ＋b 的形式再求函数的
值域．
[解析] ∵y ＝3x ＋2x －2＝(3x －6)＋8x －2＝3＋8
x －2
，
又∵8
x －2≠0，∴y ≠3.∴函数y ＝3x ＋2x －2的值域是{y |y ∈R ，且y ≠3}．
『规律方法』 求y ＝ax ＋c
x ＋b
这种类型的函数的值域，应采用分离常数法，将函数化简为y ＝d ＋n
x ＋m
的形式．
2．配方法
典例6 求函数y ＝－x 2－2x ＋3(－5≤x ≤－2)的值域.
[思路分析] 这种题型，我们常利用配方法把它们化成y ＝a (x ＋b )2＋c 的形式来求函数的值域．
[解析] ∵y ＝－x 2－2x ＋3 ＝－(x ＋1)2＋4，x ∈[－5，－2]，
∴其图象是开口向下，顶点为(－1,4)，在x ∈[－5，－2]上对应的抛物线上的一段弧． 根据x ∈[－5，－2]时的抛物线上升，则
当x ＝－5时，y 取最小值，且y min ＝－12；当x ＝－2时，y 取最大值，且y max ＝3. 故y ＝－x 2－2x ＋3(－5≤x ≤－2)的值域是[－12,3]．
『规律方法』 遇到求解一般二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域时，应采用配方法，将函数化简为y ＝m (x ＋n )2＋d 的形式，从而求得函数的值域．
3．换元法
典例7 求函数y ＝x ＋2x －1的值域.
[思路分析] 忽略常数系数，则x 与2x －1隐含二次关系，若令2x －1＝t ，则x ＝1
2(t 2
＋1)，于是函数转化为以t 为自变量的二次函数，由于原函数的定义域由2x －1有意义确定，故t 的允许取值范围就是2x －1的取值范围．
[解析] 设u ＝2x －1(x ≥1
2)，则x ＝1＋u 22
(u ≥0)，
于是y ＝1＋u 22＋u ＝(u ＋1)22(u ≥0)．由u ≥0知(u ＋1)2≥1，则y ≥1
2.
故函数y ＝x ＋2x －1的值域为[1
2
，＋∞)．
『规律方法』 求解带根号且被开方式为一次式的函数的值域，直接求解很困难，既费时又费力，所以遇到这样的问题，我们要想到用一个字母代换掉带根号的式子．值得注意的是，在代换过程中，要注意根号下变量的取值范围．
K 课堂达标验收e tang da biao yan shou
1．下列表格中的x 与y 能构成函数的是( C ) A ．
x 非负数 非正数 y
1
－1
B ．
x 奇数 0 偶数 y
1
－1
C ．
x 有理数 无理数 y
1
－1
x 自然数 整数 有理数 y
1
－1
[解析] A 中，0既是非负数又是非正数；B 中，0又是偶数；D 中，自然数也是整数，也是有理数，故选C ．
2．下列图形中表示函数图象的是( C )
[解析] 作x 轴的垂线，只有图象C 与直线最多有一个交点，即为函数图象，故选C ． 3．下列各组函数中，表示相等函数的是( D ) A ．y ＝x －1和y ＝x 2－1
x ＋1
B ．y ＝x 0和y ＝1
C ．f (x )＝x 2和
g (x )＝(x ＋1)2
D ．f (x )＝(x )2x 和g (x )＝x
(x )2
[解析] 只有D 是相等的函数，A 与B 中定义域不同，C 是对应法则不同． 4．(2016·江苏卷，5)函数y ＝3－2x －x 2的定义域是__[－3,1]__. [解析] 3－2x －x 2≥0，解得－3≤x ≤1，因此定义域为[－3,1]．
5．已知函数f (x )＝2x ＋a ，g (x )＝1
4(x 2＋3)，若g [f (x )]＝x 2＋x ＋1，求a 的值.
[解析] ∵f (x )＝2x ＋a ，g (x )＝1
4(x 2＋3)，
∴g [f (x )]＝g (2x ＋a )＝1
4[(2x ＋a )2＋3]
＝x 2＋ax ＋1
4(a 2＋3)．
又∵g [f (x )]＝x 2＋x ＋1， ∴x 2＋ax ＋1
4(a 2＋3)＝x 2＋x ＋1，
故a ＝1.
A 级 基础巩固
一、选择题
1．下列四种说法中，不正确的是( B )
A ．在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应
B ．函数的定义域和值域一定是无限集合
C ．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了
D ．若函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素
2．下列函数中，与函数y ＝
1
3
x
3
有相同定义域的是( B )
A ．f (x )＝x
B ．f (x )＝1
x
C ．f (x )＝|x |
D ．f (x )＝3
x 3
[解析] y ＝
1
3
x 3
＝1
x ，∴x ≠0. ∴函数y ＝
1
3
x 3
的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故选B ．
3．函数y ＝2x ＋1，x ∈N *，且2≤x ≤4，则函数的值域是( C ) A ．(5,9) B ．[5,0] C ．{5,7,9}
D ．{5,6,7,8,9}
[解析] 由题意，函数的定义域为{2,3,4}，当x ＝2时，y ＝5；当x ＝3时，y ＝7；当x ＝4时，y ＝9，所以函数的值域为{5,7,9}．
4．集合A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |0≤y ≤2}，下列不表示从A 到B 的函数是( C ) A ．f x →y ＝1
2x
B ．f x →y ＝1
3x
C ．f x →y ＝2
3
x
D ．f x →y ＝x
[解析] 对于选项C ，当x ＝4时，y ＝8
3＞2不合题意．故选C ．
5．下列各组函数表示相等函数的是( C ) A ．y ＝x 2－9
x －3与y ＝x ＋3
B ．y ＝x 2－1与y ＝x －1
C ．y ＝x 0(x ≠0)与y ＝1(x ≠0)
D ．y ＝x ＋1，x ∈Z 与y ＝x －1，x ∈Z
[解析] A 项中y ＝x 2－9
x －3
可化为y ＝x ＋3(x ≠3)，
∴定义域不同；B 项中y ＝x 2－1＝|x |－1.∴定义域相同，但对应关系不同；D 项中定义域相同，但对应关系不同；C 项正确，故选C ．
6．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝m 的交点个数为( C ) A ．可能有无数个 B ．只有一个 C ．至多一个
D ．至少一个
[解析] 根据函数定义，一个自变量x 只能对应一个函数值y ，而y ＝f (x )的定义域中不一定含有m .
二、填空题
7．已知函数f (x )＝11＋x ，又知f (t )＝6，则t ＝__－5
6__.
[解析] f (t )＝1t ＋1＝6.∴t ＝－5
6.
8．用区间表示下列数集： (1){x |x ≥1}＝__[1，＋∞)__； (2){x |2＜x ≤4}＝__(2,4]__；
(3){x |x ＞－1且x ≠2}＝__(－1,2)∪(2，＋∞)__. 三、解答题
9．求下列函数的定义域，并用区间表示： (1)y ＝(x ＋1)2
x ＋1－1－x ；
(2)y ＝
5－x
|x |－3
. [解析] (1)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足????
?
x ＋1≠01－x ≥0，
解得x ≤1且x ≠－1，
即函数定义域为{x |x ≤1且x ≠－1}＝(－∞，－1)∪(－1,1]． (2)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足
?
???
?
5－x ≥0|x |－3≠0， 解得x ≤5，且x ≠±3，
即函数定义域为{x |x ≤5，且x ≠±3}＝(－∞，－3)∪(－3,3)∪(3,5]．
B 级 素养提升
一、选择题
1．下列函数中，不满足：f (2x )＝2f (x )的是( C ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1
D ．f (x )＝－x
[解析] f (x )＝kx 与f (x )＝k |x |均满足：f (2x )＝2f (x )得：A ，B ，D 满足条件．
2．A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |1≤y ≤2}，下列图形中能表示以A 为定义域，B 为值域的函数的是( B )
[解析] A 、C 、D 的值域都不是[1,2]，故选B ． 3．函数f (x )＝
1
1－2x
的定义域为M ，g (x )＝x ＋1的定义域为N ，则M ∩N ＝( B ) A ．[－1，＋∞) B ．[－1，1
2)
C ．(－1，1
2
)
D ．(－∞，1
2
)
4．已知两个函数f (x )和g (x )的定义域和值域都是集合{1,2,3}，其定义如下表：则方程g [f (x )]＝x 的解集为( C )
x 1 2 3 f (x )
2
3
1
x 1 2 3 g (x )
3
2 1
A ．{1} C ．{3}
D ．?
[解析] 由题意可知，当x ＝1时，g [f (1)]＝g (2)＝2，不满足方程； 当x ＝2时，g [f (2)]＝g (3)＝1，不满足方程； 当x ＝3时，g [f (3)]＝g (1)＝3，满足方程，故选C ． 二、填空题
5．若[a,3a －1]为一确定的区间，则a 的取值范围是__(1
2，＋∞)__.
[解析] 由题意得，3a －1>a ，∴a >1
2
.
6．若函数f (x )＝ax 2－1，a 为正常数，且f [f (－1)]＝－1，则a 的值是__1__.[解析] f (－1)＝a －1，∴f [f (－1)]＝f (a －1)＝a (a －1)2－1＝－1，
∴a (a －1)2＝0，
又∵a >0，∴(a －1)2＝0，∴a ＝1.
C 级 能力拔高
1．已知函数f (x )＝1＋x 2
1－x 2，
(1)求f (x )的定义域； (2)若f (a )＝2，求a 的值； (3)求证：f ????
1x ＝－f (x )．
[解析] (1)要使函数f (x )＝1＋x 21－x 2有意义，只需1－x 2≠0，解得x ≠±1，
所以函数的定义域为{x |x ≠±1}． (2)因为f (x )＝1＋x 21－x 2
，且f (a )＝2，
所以f (a )＝1＋a 21－a
2＝2，即a 2＝13，解得a ＝±3
3. (3)由已知得f ????
1x ＝1＋????1x 21－???
?1x 2＝x 2
＋1x 2－1， －f (x )＝－1＋x 21－x 2＝x 2＋1x 2－1，
∴f ????1x ＝－f (x )．
2．已知函数f (x )＝12x 2－x ＋3
2，是否存在实数m ，使得该函数在x ∈[1，m ]时，f (x )的取
值范围也是[1，m ](m >1)？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.
[解析] f (x )＝12x 2－x ＋32＝1
2(x －1)2＋1的图象是一条抛物线，它的对称轴为直线x ＝1，
顶点坐标为(1,1)，开口向上，若存在实数m ，使该函数在x ∈[1，m ]时，f (x )的取值范围也是[1，m ]，则需m >1，且f (m )＝m ，
即12m 2－m ＋3
2＝m ，即m 2－4m ＋3＝0， 解得m ＝3或m ＝1(舍去m ＝1)． 故存在实数m ＝3满足条件．
1.2.2 函数的表示法 第一课时 函数的表示法
Q 情景引入
ing jing yin ru
如果一个人极有才华，我们会用“才高八斗”来形容他；如果一个人兼有文武才能，我们会用“出将入相”来形容他；如果一个人是稀有而可贵的人才，我们会用“凤毛麟角”来形容他；如果一个人品行卓越，天下绝无仅有，我们会用“斗南一人”来形容他．那么对于函数，又有哪些不同的表示方法呢？
X 新知导学
in zhi dao xue
函数的表示法
表示法定义
解析法用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，这种表示方法叫做解析法，这个数学表达式叫做函数的解析式
图象法以自变量x的取值为横坐标，对应的函数值y为纵坐标，在平面直角坐标系中描出各个点，这些点构成了函数y＝f(x)的图象，这种用__图象__表示两个变量之间对应关系的方法叫做图象法
列表法列一个两行多列的表格，第一行是自变量的取值，第二行是对应的函数值，这种列出__表格__来表示两个变量之间对应关系的方法叫做列表法
[知识点拨]三种表示法的优缺点如下表：
表示法优点缺点
解析法简明、全面地概括了变量之间的关系，
且利用解析式可求任一自变量对应的函
数值
不够形象直观，而且并不是所有函数都
有解析式
图象法能形象直观地表示变量的变化情况只能近似地求出自变量所对应的函数值
列表法不需计算可以直接看出与自变量对应的
函数值
只能表示有限个数的自变量所对应的函
数值
Y
预习自测u xi zi ce
1．已知f(x)＝π(x∈R)，则f(π2)等于(B)
A．π2B．π
C．πD．不确定[解析]因为π2∈R，所以f(π2)＝π.
2．已知函数y＝f(x)的图象如图，则f(x)的定义域是(C)
A．(－∞，1)∪(1，＋∞) B．R
C．(－∞，0)∪(0，＋∞) D．(－1,0)
[解析]由图象，知x≠0，即x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)．
3．如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f[f(3)]的值等于__2__.
[解析]据图象，知f(3)＝1，所以f(f(3))＝f(1)＝2.
H 互动探究解疑
u dong tan jiu jie yi
命题方向1?函数的三种表示方法
典例1 某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来.
[思路分析]函数的定义域是{1,2,3，…，10}，值域是{3 000，6 000,9 000，…，30 000}，可直接列表、画图表示．分析题意得到表达y与x关系的解析式，注意定义域．[解析](1)列表法：
x(台)12345678910
y(元) 3 000 6 0009 00012
000
15
000
18
000
21
000
24
000
27
000
30
000
(3)解析法：y＝3 000x，x∈{1,2,3，…，10}．
『规律方法』 列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示．在应用三种方法表示函数时要注意：
(1)解析法：必须注明函数的定义域；
(2)列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征； (3)图象法：是否连线． 〔跟踪练习1〕
将一条长为10 cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做一个正方形．试用多种方法表示两个正方形的面积之和S 与其中一段铁线长x 的函数关系．(x 属于正整数集)
[解析] (1)解析法：S ＝(x
4)2＋(10－x 4
)2.
将上式整理得S ＝18x 2－54x ＋25
4，x ∈{x |1≤x <10，x ∈N *}．
(2)列表法： 一段铁线 长x (cm) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 两个正方形的面 积之和S (cm 2) 41
8
174
298
134
258
134
298
174
418
命题方向2 ?与函数图象有关的问题
典例2 作出下列函数的图象并求出其值域.
(1)y ＝2x ＋1，x ∈[0,2]；(2)y ＝2
x ，x ∈[2，＋∞)；
(3)y ＝x 2＋2x ，x ∈[－2,2]．
[思路分析] (1)画函数的图象时首先要注意的是什么？ (2)所给三个函数的大致图象分别是什么形式的？ [解析] (1)列表：
x 0 12 1 32 2 y
1
2
3
4
5
当x ∈[0,2][1,5]．
(2)列表
x 2 3 4 5 … y
1
23
12
25
…
当x ∈[2，＋∞)，图象是反比例函数y ＝2
x
的一部分，观察图象可知其值域为(0,1]．
(3)列表
x －2 －1 0 1 2 y
－1
3
8
由图可得函数的值域是[－1,8]．
『规律方法』 (1)常见函数图象的特征： ①一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)是一条直线； ②y ＝k
x (k ≠0)是与坐标轴无限接近的双曲线；
③y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)是顶点为(－
b 2a ，4a
c －b 24a )，对称轴为x ＝－b 2a
的抛物线．
(2)作函数图象时应注意以下几点： ①在定义域内作图；
②图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象；
③要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心点．
〔跟踪练习2〕
作出下列函数的图象，并指出其值域． (1)y ＝x 2＋x (－1≤x ≤1)； (2)y ＝2
x
(－2≤x ≤1，且x ≠0)．
[解析] (1)用描点法可以作出函数的图象如图．
由图可知y ＝x 2＋x (－1≤x ≤1)的值域为????－1
4，2. (2)用描点法可以作出函数的图象如图．
由图可知y ＝2
x (－2≤x ≤1，且x ≠0)的值域为(－∞，－1]∪[2，＋∞)．
Y 易混易错警示i hun yi cuo jing shi
换元求解析式时忽略自变量的取值范围致误
典例3 已知f (x －1)＝3－x ，求f (x )的解析式.
[错解] 令x －1＝t ，则x ＝t 2＋1，
所以f (t )＝3－(t 2＋1)＝2－t 2，即有f (x )＝2－x 2.
[错因分析] 本例的错误是由于忽视了已知条件中“f ”作用的对象“x －1”是有范围限制的．利用换元法求函数的解析式时，一定要注意换元后新元的限制条件．
[正解] 令x －1＝t ，则t ≥0，且x ＝t 2＋1，
所以f (t )＝3－(t 2＋1)＝2－t 2(t ≥0)，即f (x )＝2－x 2(x ≥0)．
[警示] 利用换元法求函数解析式时，一定要注意保持换元前后自变量的范围． X 学科核心素养ue ke he xin su yang
求函数解析式的常用方法
1．待定系数法
已知函数类型(如一次、二次、正比例、反比例函数等)，可先设出函数解析式，再依据所给条件，确定待定系数．
典例4 已知f (x )为二次函数，其图象的顶点坐标为(1,3)，且过原点，求f (x )的解
析式.
[思路分析] 已知二次函数f (x )的顶点坐标，可设顶点(配方)式，再利用其他条件确定待定系数．
[解析] 由于函数图象的顶点坐标为(1,3)，则设f (x )＝a (x －1)2＋3(a ≠0)． ∵函数图象过原点(0,0)，∴a ＋3＝0，∴a ＝－3. 故f (x )＝－3(x －1)2＋3. 即f (x )＝－3x 2＋6x .
『规律方法』 (1)一次函数可设为y ＝kx ＋b (k ≠0)，正比例函数可设为y ＝kx (k ≠0)；反比例函数可设为y ＝k
x (k ≠0)；已知二次函数f (x )的顶点或对称轴、最值时，可设顶点式f (x )
＝a (x ＋m )2＋n ；已知二次函数与x 轴两交点坐标时，常设分解(标根)式f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)．已知f (x )的图象过某三点时，常设一般式f (x )＝ax 2＋bx ＋c ；
(2)凡是已知函数(或方程、不等式等)的形式时，常用待定系数法求解． 2．恒成立的应用
一般地，若f (x )与g (x )是同类型的函数(或具有相同的表达式)，f (x )＝g (x )恒成立，则f (x )与g (x )的对应项系数相等．
典例5 已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x ).
[解析] 由题意可设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，
则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋b ＋5a ＝2x ＋17，
∴?
????
a ＝2，
b ＋5a ＝17.∴a ＝2，b ＝7.∴f (x )＝2x ＋7. 典例6 已知f (x )＋2f (－x )＝x ＋1，求f (x )的解析式.
[思路分析] 这是关于x 的一个恒等式，由于x ∈R ，∴对任意x ∈R ，此等式都成立，当x ∈R 时，－x ∈R ，因此上述等式对－x 也成立．用－x 代替原等式中的x ，可构造关于f (x )与f (－x )的方程组求解．
[解析] 因为f (x )＋2f (－x )＝x ＋1，对任意x ∈R 都成立，所以用－x 替换x ，得f (－x )＋2f (x )＝－x ＋1，由以上两式可解得f (x )＝－x ＋13
.
K 课堂达标验收e tang da biao yan shou
1．如图，函数f (x )的图象是折线段，其中点A ，B ，C 的坐标分别是(0,4)，(2,0)，(6,4)，
则f (f (2))＝( C )
A ．0
B ．2
C ．4
D ．6
2．函数y ＝x 2－2x 的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为( A ) A ．{－1,0,3} B ．{0,1,2,3} C ．{y |－1≤y ≤3}
D ．{y |0≤y ≤3}
[解析] 把x ＝0,1,2,3分别代入y ＝x 2－2x 中得y 的值共三个为－1,0,3，故值域为{－1,0,3}．
3．若f (1x )＝x
1－x ，则当x ≠0，且x ≠1时，f (x )＝( B )
A ．1x
B ．1x －1
C ．11－x
D ．1x
－1
[解析] f (1x )＝x 1－x ＝1
1
x －1
∴f (x )＝1
x －1
，故选B ．
4．一个面积为100 cm 2的等腰梯形，上底长为x cm ，下底长为上底长的3倍，则它的高y 与x 的函数关系为__y ＝
50
x
(x ＞0)__. 5．已知函数f (x )＝ax ＋b ，且f (－1)＝－4，f (2)＝5， 求：(1)a ，b 的值；(2)f (0)的值．
[解析] (1)由?
??
f (－1)＝－4，f (2)＝5，得????
?
－a ＋b ＝－4，2a ＋b ＝5.
解得a ＝3，b ＝－1.
(2)由(1)知f (x )＝3x －1，所以f (0)＝－1.
一、选择题
1．已知函数f (x )由下表给出，则f (3)等于( C )
x
1≤x <2
2
2函数概念及其基本性质
第二章函数概念与基本初等函数I 一. 课标要求： 函数是高中数学的核心概念，本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习，强调结合实际问题，从而发展学生对变量数学的认识。教材把指数函数，对数函数，幂函数当作三种重要的函数模型来学习，强调通过实例和图象的直观，揭示这三种函数模型增长的差异及其关系，体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法，学会运用具体函数模型解决一些实际问题. 1．会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=f(x)的含义；了解函数构成 的三要素，了解映射的概念；体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；会求一些简单函数的定义域和值域， 2. 了解函数的一些基本表示法（列表法、图象法、分析法），并能在实际情境中，恰当地进行选择；会用描点法画一些简单函数的图象. 3．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 4. 结合熟悉的具体函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义，了解奇偶性和周期性的含义，通过具体函数的图象，初步了解中心对称图形和轴对称图形. 5. 学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，体会数形结合的数学方法. 6.理解有理数指数幂的意义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算. 7.了解指数函数模型的实际背景.理解指数函数的概念和意义，掌握f(x)=a x的符号、意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的有关性质（单调性、值域、特别点）. 8.理解对数的概念及其运算性质，了解对数换底公式及其简单应用，能将一般对数转化为常用对数或自然对数，通过阅读材料，了解对数的发现历史及其对简化运算的作用.通过具体函数，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，掌握f(x)=log a x符号及意义，体会对数函数是一类重要的函数模型，能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的有关性质（单调性、值域、特殊点）. 9．知道指数函数y=a x与对数函数y=log a x互为反函数（a＞0, a≠1），初步了解反函数的概念和f- -1(x)的意义. 10．通过实例，了解幂函数的概念，结合五种具体函数 1 312 ,,, y x y x y x y x - ====的 图象，了解它们的变化情况 11．通过应用实例的教学，体会指数函数是一种重要的函数模型. 12. 通过实习作业，使学生初步了解对数学发展有过重大影响的重大历史事件和重要人物,了解生活中的函数实例. 二. 编写意图与教学建议 1．教材突出了函数概念的背景教学，强调从实例出发，让学生对函数概念有充分的感性基础，再用集合与对应语言抽象出函数概念，符合学生的认识规律，同时有利于培养学生的抽象概括的能力，增强学生应用数学的意识，教学中要高度重视数学概念的背景教学. 2．.教材对函数的三要素着重从函数的实质上要求理解，而对定义域、值域的繁难计算，特别是人为的过于技巧化的训练不做提倡，要准确把握这方面的要求，防止拨高教学. 3. 函数的表示是本章的主要内容之一，教材重视采用不同的表示法（列表法、图象法、分析法），目的是丰富学生对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念. 在教学中，既要充分发挥图象的直观作用，又要适当地引导学生从代数的角度研究图象，使学生深刻体会数形结合这一重要数学方法.
函数的概念和性质
专题讲座 高中数学“函数的概念与性质”教学研究 李梁北京市西城区教育研修学院 函数就是中学数学中的重点内容,它就是描述变量之间依赖关系的重要数学模型、 本专题内容由四部分构成:关于函数内容的深层理解;函数概念与性质的教学建议;学 生学习中常见的错误分析与解决策略;学生学习目标检测分析、 研究函数问题通常有两条主线:一就是对函数性质作一般性的研究,二就是研究几种具体的基本初等函数——二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、研究函数的问题主要围绕以下几个方面:函数的概念,函数的图象与性质,函数的有关应用等、 一、关于函数内容的深层理解 (一)函数概念的发展史简述 数学史角度:早期函数概念(Descartes,1596—1650引入坐标系创立解析几 何,已经关注到一个变量对于另一个变量的依赖关系)[几何角度];Newton,1642—1727,用数流来定义流量(fluxion)的变化率,用以表示变量间的关系;Leibniz,1646—1716引入 常量、变量、参变量等概念;Euler引入函数符号,并称变量的函数就是一个解析表达式[代数角度];Dirichlet,1805—1859提出就是与之间的一种对应的观点[对应关系角度] ;Hausdorff在《集合论纲要》中用“序偶”来定义函数[集合论角度]、 Dirichlet:认为怎样去建立与之间的关系无关紧要,她拓广了函数概念,指出:“对于在某区间上的每一个确定的值,都有一个确定的值,那么叫做的函数、”这种函数的定义,避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述,简明精确(经典函数定义)、 Veblen,1880－1960用“集合”与“对应”的概念给出了近代函数定义,通过集合概念,把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了,且打破了“变量就是数”的限制,变量可以就是数,也可以就是其它对象、 (二)初高中函数概念的区别与联系 1.初中函数概念:
数学必修一集合与函数概念知识点梳理
高中数学必修1知识点 第一章集合与函数概念 〖〗集合 【】集合的含义与表示 (1) 集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性 (2) 常用数集及其记法 N表示自然数集，N 或N表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表 示实数集? (3) 集合与元素间的关系 对象a与集合M的关系是a M，或者a M，两者必居其一. (4) 集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合 ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合 ③描述法：｛X| x具有的性质｝，其中x为集合的代表元素? ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合? (5) 集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集?②含有无限个元素的集合叫做 无限集?③不含有 任何元素的集合叫做空集()? 【】集合间的基本关系
)已知集合有个元素，则它有个子集，它有个真子集，它有个 非空子集，它有2n2非空真子集. 【】集合的基本运算 (1)
(2)—元二次不等式的解法 〖〗函数及其表示 【】函数的概念 (1) 函数的概念 ① 设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则 f ，对于集合A 中任何一个数x ， 在集合B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么这样的对应(包括集合 A ，B 以及 A 到B 的对应法则f )叫做集合 A 到B 的一个函数，记作 f : A B . ② 函数的三要素：定义域、值域和对应法则. ③ 只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数.
(2)区间的概念及表示法 ①设a,b是两个实数，且a b，满足a x b的实数x的集合叫做闭区间，记做［a,b］； 满足a x b的实数x的集合叫做开区间，记做(a,b)；满足a x b，或a x b 的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别记做［a,b) , (a,b］；满足x a, x a,x b,x b 的实数x 的集合分别记做［a, ),(a, ),( , b］,( , b). 注意：对于集合｛x|a x b｝与区间(a,b)，前者a可以大于或等于b，而后者必须 a b. (3)求函数的定义域时，一般遵循以下原则： ①f(x)是整式时，定义域是全体实数. ②f(x)是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数. ③f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合. ④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等 于1. ⑤y tanx中，x k (k Z). 2 ⑥零(负)指数幕的底数不能为零. ⑦若f(x)是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各 基本初等函数的定义域的交集. ⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知 f (x)的定义域为［a,b］，其复合函 数f［g(x)］的定义域应由不等式a g(x) b解出. ⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论. ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义. (4)求函数的值域或最值 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的?事实上，如果在函数的值 域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值
函数的概念及性质
函数的概念及性质 概览：概念，表示方法，图象和性质 1. 概念 函数的定义：传统定义（初中的），近代定义。自变量，对应法则，定义域，值域〖两域都是集合，回答时要正确表示。〗 对应法则f 是函数的核心，是对自变量的“操作”，如)(x f 是对x 进行“操作”，而)(2x f 是对2x 进行“操作”，)2(f 是对2进行“操作” 函数的三要素，或两要素：定义域、对应法则 判定两个函数是否相同。〖定义域和值域分别相同的两个函数不一定是同一函数，例x y x y 2,==；又如])1,0[(,2∈==x x y x y 定义域都取〗 区间 定义，名称，符号，几何（数轴）表示 映射 定义，符号，与函数的异同 2. 函数的表示方法 列表法，图象法，解析法 分段函数 定义域、值域、最值 求函数解析式的常用方法：配凑，换元，待定系数，函数方程（消去法） 3. 函数的图象 作图的步骤：定义域，列表，描点，连线〖注意抓住特征点，如边界点，与两轴的交点等；边界点注意空心/实心〗 带有绝对值符号的函数 定义域，分段脱去绝对值，作图 4. 函数的性质 求定义域 分式，偶次根式，对数的真数和底数，复合函数，实际问题中的实际意义。 求值域 由定义域和对应法则决定，故应先考虑定义域。方法：观察分析，例 函数211)(x x f +=；配方；换元；判别式；单调性；数形结合（图象）；基本不等式；反求法（反函数法）等。 单调性 对于定义域内的某个区间而言。 单调区间若不含端点，则必须写成开区间，若含端点，则写成闭区间，通常写成开区间也可。 一个函数可能有多个独立的单调区间，应用逗号相隔回答，不用并集，而函数的两域都是整体性的集合，若有必要则要用并集回答。 图象特征：从左到右升/降。 证明步骤：设值，作差，定号，作答。 判断函数单调性的有关规律。 如增加增得增，减加减得减；注意：增乘增未必增，减乘减未必减（还要看各自的函数值是否同正或同负） 奇偶性
人教版高一数学必修一第一章 集合与函数概念知识点
高一数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西 洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 ◆注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1）列举法：{a,b,c……} 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4）Venn图: 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 A?有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是注意：B 同一集合。 ?/B 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A ?/A 或B 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠ B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 ◆有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集
函数概念与性质练习题目大全
函数概念与性质练习题大全 函数定义域 1、函数x x x y +-=)1(的定义域为 A ． {}0≥x x B ．{}1≥x x C ．{}{}01 ≥x x D ．{}10≤≤x x 2、函数x x y +-=1的定义域为 A ． {}1≤x x B ．{}0≥x x C ．{}01≤≥x x x 或 D ．{}10≤≤x x 3、若函数)(x f y =的定义域是[]2,0，则函数1 ) 2()(-= x x f x g 的定义域是 A ． []1,0 B ．[)1,0 C ．[)(]4,11,0 D ．()1,0 4、函数的定义域为)4323ln(1 )(22+--++-= x x x x x x f A ． (][)+∞-∞-,24, B ．()()1,00,4 - C ．[)(]1,00,4 - D ．[)()1,00,4 - 5、函数)20(3)(≤<=x x f x 的反函数的定义域为 A ． ()+∞,0 B ．(]9,1 C ．()1,0 D ．[)+∞,9 6、函数4 1lg )(--=x x x f 的定义域为 A ． ()4,1 B ．[)4,1 C ．()()+∞∞-,41, D ．(]()+∞∞-,41, 7、函数2 1lg )(x x f -=的定义域为 A ． []1,0 B ．()1,1- C ．[]1,1- B ．()()+∞-∞-,11, 8、已知函数 x x f -= 11)(的定义域为M ，)1ln() (x x g +=的定义域为N ，则=N M A ． {}1->x x B ．{}1人教版高中数学必修一《集合与函数概念》全章练习及答案
第一章集合与函数 建议用时实际用时满分实际得分120分钟150分 1．集合{1,2,3}的所有真子集的个数为() A．3B．6 C．7 D．8 2．下列五个写法，其中错误 ．．写法的个数为() ①{0}∈{0,2,3}；②?{0}；③{0,1,2}?{1,2,0}；④0∈?；⑤0∩?＝?. A．1 B．2 C．3 D．4 3．使根式x－1与x－2分别有意义的x的允许值集合依次为M、F，则使根式x－1＋x－2有意义的x的允许值的集合可以表示为() A．M∪F B．M∩F C．?M F D．?F M 4．已知M＝{x|y＝x2－2}，N＝{y|y＝x2－2}，则M∩N等于() A．N B．M C．R D．? 5．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2－2x，则f（x）在R上的表达式是（） A．y＝x（x－2） B．y＝x（｜x｜－1） C．y＝｜x｜（x－2） D．y＝x（｜x｜－2） 6．等腰三角形的周长是20，底边长y是一腰的长x的函数，则y等于() A．20－2x(08．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是() ①y＝f(|x|); ②y＝f(－x); ③y＝xf(x); ④y＝f(x)＋x. A．①③B．②③ C．①④D．②④ 9．已知0≤x≤3 2，则函数f(x)＝x 2＋x＋1() A．有最小值－3 4，无最大值 B．有最小值3 4，最大值1 C．有最小值1，最大值19 4 D．无最小值和最大值 10．已知函数f(x)的定义域为[a，b]，函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数f(|x|)的图象是() c
函数概念及其基本性质
第二章函数概念与基本初等函数 I 一. 课标要求：函数是高中数学的核心概念，本章把函数作为描述客观世界变化规律的重 要数学模型来学习，强调结合实际问题，从而发展学生对变量数学的认识。教材把指数函数，对数函数，幂函数当作三种重要的函数模型来学习，强调通过实例和图象的直观，揭示这三种函数模型增长的差异及其关系，体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法，学会运用具体函数模型解决一些实际问题. 1．会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=f（x）的含义；了解函数构成的 三要素，了解映射的概念；体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；会求一些简单函数的定义域和值域， 2.了解函数的一些基本表示法（列表法、图象法、分析法），并能在实际情境中，恰当地进行选择；会用描点法画一些简单函数的图象. 3．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 4.结合熟悉的具体函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义，了解奇偶性和周期性的含义，通过具体函数的图象，初步了解中心对称图形和轴对称图形. 5.学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，体会数形结合的数学方法. 6.理解有理数指数幂的意义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算. 7.了解指数函数模型的实际背景. 理解指数函数的概念和意义，掌握f（x）=a x的符号、意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的有关性质（单调性、值域、特别点）. 8.理解对数的概念及其运算性质，了解对数换底公式及其简单应用，能将一般对数转化为常用对数或自然对数，通过阅读材料，了解对数的发现历史及其对简化运算的作用. 通过具体函数，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，掌握f（x）=log a x符号及意义，体会对数函数是一类重要的函数模型，能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的有关性质（单调性、值域、特殊点）. 9．知道指数函数y=a x与对数函数y=log a x互为反函数（a>0, a≠1），初步了解反函数的概念和f- -1（x）的意义. 1 10．通过实例，了解幂函数的概念，结合五种具体函数y = x,y= x3,y=x-1,y = x2的图象，了解它们的变化情况 11．通过应用实例的教学，体会指数函数是一种重要的函数模型. 12. 通过实习作业，使学生初步了解对数学发展有过重大影响的重大历史事件和重要人物,了解生活中的函数实例. 二. 编写意图与教学建议1．教材突出了函数概念的背景教学，强调从实例出发，让学生对函数概念有充分的感性基础，再用集合与对应语言抽象出函数概念，符合学生的认识规律，同时有利于培养学生的抽象概括的能力，增强学生应用数学的意识，教学中要高度重视数学概念的背景教学. 2．.教材对函数的三要素着重从函数的实质上要求理解，而对定义域、值域的繁难计算，特别是人为的过于技巧化的训练不做提倡，要准确把握这方面的要求，防止拨高教学. 3.函数的表示是本章的主要内容之一，教材重视采用不同的表示法（列表法、图象法、分析法），目的是丰富学生对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念. 在教学中，既要充分发挥图象的直观作用，又要适当地引导学生从代数的角度研究图象，使学生深刻体会数形结合这一重要数学方法. 4.教材将映射作为函数的一种推广，进行了逻辑顺序上的调整，体现了特殊到一般的思维
高中数学函数的概念与性质(T)
函数的概念与性质 【知识要点】 1.函数的概念及函数的三要素 2.怎么判断函数的单调性 3.怎么判断函数的奇偶性 【典型例题】 例1．求下列函数的解析式，并注明定义域． （1）若x x x f 2)1(+=-，求)(x f ． （2）若31 )1(44-+=+x x x x f ，求)(x f ． 例2.求下列函数的值域． （1）)1(1 3 2≥++=x x x y （2）1)(--=x x x f （3）232--=x x y （4）246 (),[1,4]1 x x f x x x ++= ∈+
例3.已知函数f （x ）=m （x +x 1）的图象与函数h （x ）=41（x +x 1 ）+2的图象关于点A （0，1）对称. （1）求m 的值； （2）若g （x ）=f （x ）+ x a 4在区间（0，2］上为减函数，求实数a 的取值范围. 例4．判断下列函数的奇偶性 （1）334)(2-+-=x x x f （2）x x x x f -+?-=11)1()( 例5．设定义在[-2，2]上的偶函数，)(x f 在区间[0，2]上单调递减，若)()1(m f m f <-，求实为数m 的取值范围。
例6．已知函数f （x ）=x + x p +m （p ≠0）是奇函数. （1）求m 的值. （2）当x ∈［1，2］时，求f （x ）的最大值和最小值. 例7．（2005年北京东城区模拟题）函数f （x ）的定义域为D ={x |x ≠0}，且满足对于任意x 1、x 2∈D ， 有f （x 1·x 2）=f （x 1）+f （x 2）. （1）求f （1）的值； （2）判断f （x ）的奇偶性并证明； （3）如果f （4）=1，f （3x +1）+f （2x －6）≤3，且f （x ）在（0，+∞）上是增函数，求x 的取值范围.
必修一数学第一章集合与函数概念知识点总结
必修一数学第一章集合与函数概念知识点总结 一、集合有关概念 1. 集合的含义 2. 集合的中元素的三个特性： (1) 元素的确定性如：世界上最高的山 (2) 元素的互异性如：由HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P ,Y} (3) 元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1) 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2) 集合的表示方法：列举法与描述法。 ◆ 注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集） 记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1） 列举法：{a,b,c ……} 2） 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x ∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3） 语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4） Venn 图: 4、集合的分类： (1) 有限集 含有有限个元素的集合 (2) 无限集 含有无限个元素的集合 (3) 空集 不含任何元素的集合 例：{x|x 2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意：有两种可能（1）A 是B 的一部分，；（2）A 与B 是同一集合。 反之: 集合A 不包含于集合B,或集合B 不包含集合A,记作A B 或B A 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x 2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：① 任何一个集合是它本身的子集。A ?A ②真子集:如果A ?B,且A ≠ B 那就说集合A 是集合B 的真子集，记作A B(或B A) ③如果 A ?B, B ?C ,那么 A ?C ④ 如果A ?B 同时 B ?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。 ◆ 有n 个元素的集合，含有2n 个子集，2n-1个真子集 B A ?? /?/
最全函数概念及基本性质知识点总结及经典例题
函数及基本性质 一、函数的概念 （1）设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到 B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →． （2）函数的三要素:定义域、值域和对应法则． 注意1：只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数 例1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ） ⑴3) 5)(3(1+-+=x x x y ，52-=x y ； ⑵111-+= x x y ，)1)(1(2-+=x x y ； ⑶x x f =)(，2)(x x g =； ⑷()f x ()F x = ⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f 。 A ．⑴、⑵ B ．⑵、⑶ C ．⑷ D ．⑶、⑸ 2：求函数的定义域时，一般遵循以下原则： ①()f x 是整式时，定义域是全体实数．如：943)(2-+=x x x f ，R x ∈ ②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．如：()6 35 -= x x f ，2≠x ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．如()1432+-=x x x f ， 13 1 >=x x x f a ，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大 于零且不等于1。如：( ) 2 12 ()log 25f x x x =-+ ⑤tan y x =中，()2 x k k Z π π≠+ ∈． ⑥零（负）指数幂的底数不能为零．如：2)32()(-+=x x f
1.1 函数的概念及其基本性质
第一章 函数 1.1 函数的概念及其基本性质（4课时） 教学要求：理解集合、区间、邻域及映射的概念，理解函数的概念，掌握函数的表示方法，了解函数的基本性质，理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念，掌握基本初等函数的性质及图形，会建立简单应用问题中的函数关系式。 教学重点难点：重点是理解集合、映射及函数的概念；难点是理解反函数及隐函数的概念。 教学过程： 一、集合及其运算 1、集合概念 (1) 什么是集合? 所谓集合是指具有某种特定性质的事物的总体，组成这个集合的事物称为该集合的元素. (2) 集合的表示法 a 列举法：就是把集合的元素一一列举出来表示.由元素n a a a ,,21组成的集合A,可表示成 A={n a a a ,,21} b 描述法：若集合M 是由具有某种性质P 的元素x 的全体所组成,就可表示成 }|{P x x M 具有性质= (3) 集合元素的三大特性：确定性、互异性、无序性. (4) 元素与集合,集合与集合之间的关系：属于、包含、子集、真子集、空集. ２、集合的运算 (1) 并集 {| }A B x x A x B ?=∈∈或；(2) 交集 {| } A B x x A x B ?=∈∈且 (3) 差集 \{| }A B x x A x B =∈?但 (4) 全集与补集(或余集) 全集用I 表示，称A I \为A 的补集记作C A . 即 \{| }C A I A x x I x A ==∈?但 集合的并、交、补满足下列法则： (1) 交换律：A B B A ?=?，A B B A ?=? (2) 结合律：)()(C B A C B A ??=??，)()(C B A C B A ??=?? (3) 分配律：)()()(C B C A C B A ???=??， )()()(C B C A C B A ???=?? (4) 对偶律：C C C B A B A ?=?)(，C C C B A B A ?=?)( （5）幂等律：A A A ?=A A A ?=；（6）吸收律：A A ?Φ=A A ?Φ= 两个集合的直积或笛卡儿乘积 {(,)| }A B x y x A y B ?=∈∈ 且 二、区间与邻域 1、映射与领域 区间：开区间 ),(b a 、闭区间 ],[b a 、半开半闭区间],(b a ，),[b a 、有限,无限区间. 邻域：)(a U 或}|{),(δδδ+<<-=a x a x a U a ：邻域的中心,δ：邻域的半径 去心邻域： }||0|{),(δδ<-<=a x x a U 左δ邻域),(a a δ-、右δ邻域),(δ-a a . 2、映射概念 定义 设,A B 是两个非空集合，如果存在一个法则f ，使得对A 中的每一个元素x .按法则f ,在B 中有唯一确定的元素y 与之对应，则称f 为从A 到B 的映射，记作 f B →：A 或,f y x A →∈：x| 其中，并y 称为元素x 的像，记作)(x f ，即 )(x f y =,而x 称为元素y 的一个原像。 映射f 的定义域：f D A =，映射f 的值域：(){()|}f R f A f x x A ==∈
必修一第一章集合与函数概念
第一章 集合与函数概念 一、选择题. 1. 设 A =｛a ｝，则下列各式中正确的是（ ） A. 0∈A B. a ∈A C. a ∈A D. a = A 2. 设集合 A =｛x |x = a 2 +１，a ∈N +｝，B =｛y |y = b 2 - 4b + 5，b ∈N +｝，则下述关系中正确的是（ ） A . A = B B. A B C. A ?B D. A ∩B =? 3. 如图，阴影部分可用集合 M ，P 表示为（ ） A. M ∩ P B. M ∪P C.（ＵM ）∩（ＵP ） D.（ＵM ）∪（ＵP ） 4. 若集合 A ，B ，C 满足 A ∩B = A ，B ∪C = C ，则 A 与 C 之间的关系必定是（ ） A. A C B. C A C. A ?C D. C ?A 5. 下列四组函数中，表示同一个函数的是（ ） A. )(x f = |x |，2)(t t g = B. 2)(x x f =，2)()(x x g = C. 1 1)(2--=x x x f ，1)(+=x x g D. 11)(-?+=x x x f ，1)(2-=x x g 6. 若函数 )(x f 的定义域为 [1，2]，则函数 )(2x f y = 的定义域为（ ） A. [1，4] B. [1，2] C. [2-，2] D. [2-，-1]∪[1，2] 7. 函数 1 1 1-- =x y 的图象是（ ） A B 第 3 题
C D 8. 若二次函数y = x 2 + bx + c 的图象的对称轴是 x = 2，则有（ ） A. f (1)＜f (2)＜f (4) B. f (2)＜f (1)＜f (4) C. f (2)＜f (4)＜f (1) D. f (4)＜f (2)＜f (1) 9. 如果奇函数 f (x )在区间［3，7］上是增函数且最小值是 5，那么函数 f (x )在区间 ［-7，-3］上（ ） A. 是增函数且最小值为 -5 B. 是增函数且最大值是 -5 C. 是减函数且最小值为 -5 D. 是减函数且最大值是 -5 10. 已知函数f (x )= x 5 + ax 3 + bx - 3，且 f (2) = 2，则 f (-2) =（ ） A. -6 B. -8 C. -2 D. 6 二、填空题. 1. 若B =｛a ，b ，c ，d ，e ｝，C = {a ，c ，e ，f }，且集合 A 满足 A ?B ，A ?C ，则集合 A 的个数是＿＿＿＿＿＿. 2. 设 f (x )= 2x - 1，g (x )= x + 1，则 f [g (x )] = . 3. 已知f (2x + 1)= x 2 - 2x ，则=)2(f . 4. 已知一次函数 y = f (x )中，f (8)= 16，f (2)+ f (3)= f (5)，则 f (1)+ f (2)+ f (3)+ ··· + f (100) = . 5. 若函数 a x bx x f ++= 2)( 为奇函数，则 a = ，b = . 6. 若函数 f (x )= x 2 + px + 3在(-∞，1]上单调递减，则 p 的取值范围是 . 三、解答题. 1. 已知非空集合 A =｛x ｜2a + 1≤x ≤3a - 5｝，B =｛x ｜3≤x ≤22｝，能使 A ?(A ∩B )成立的所有 a 值的集合是什么？
第五讲 函数的基本概念与性质
第五讲 函数的基本概念与性质 函数是中学数学中的一条主线，也是数学中的一个重要概念．它使我们从研究常量发展到研究变量之间的关系，这是对事物认识的一大飞跃，而且对于函数及其图像的研究，使我们把数与形结合起来了．学习函数，不仅要掌握基本的概念，而且要把解析式、图像和性质有机地结合起来，在解题中自觉地运用数形结合的思想方法，从图像和性质对函数进行深入的研究． 1．求函数值和函数表达式 对于函数y=f(x)，若任取x=a(a为一常数)，则可求出所对应的y值f(a)，此时y的值就称为当x=a时的函数值．我们经常会遇到求函数值与确定函数表达式的问题． 例1 已知f(x-1)=19x2＋55x-44，求f(x)． 解法1 令y=x-1，则x=y+1，代入原式有 f(y)=19(y＋1)2＋55(y＋1)-44 ＝19y2＋93y＋30， 所以 f(x)=19x2+93x＋30． 解法2 f(x-1)=19(x-1)2＋93(x-1)+30，所以f(x)=19x2＋93x＋30． 可． 例3 已知函数f(x)=ax5-bx3＋x＋5，其中a，b为常数．若f(5)=7，求f(-5)． 解 由题设 f(-x)=-ax5＋bx3-x＋5 =-(ax5-bx3＋x＋5)+10
=-f(x)+10， 所以 f(-5)=-f(5)＋10=3． 例4 函数f(x)的定义域是全体实数，并且对任意实数x ，y ，有f(x+y)=f(xy)．若f(19)=99，求f(1999)． 解 设f(0)=k ，令y=0代入已知条件得 f(x)=f(x+0)=f(x ·0)=f(0)=k ， 即对任意实数x ，恒有f(x)=k ．所以 f(x)=f(19)=99， 所以f(1999)=99． 2．建立函数关系式 例5 直线l1过点A(0，2)，B(2，0)，直线l 2：y=mx ＋b 过点C(1，0)，且把△AOB 分成两部分，其中靠近原点的那部分是一个三角形，如图3－1．设此三角形的面积为S ，求S 关于m 的函数解析式，并画出图像． 解 因为l 2过点C(1，0)，所以m ＋b=0，即b=-m ． 设l 2与y 轴交于点D ，则点D 的坐标为(0，-m)，且0＜-m ≤2(这是因为点D 在线段OA 上，且不能与O 点重合)，即-2≤m ＜0． 故S 的函数解析式为 例6 已知矩形的长大于宽的2倍，周长为12．从它的一个顶点作一条射线，将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形一边
高一函数的概念与性质
函数概念与性质 一、选择题（每小题5分，共50分） 1、下列哪组中的两个函数是同一函数 （A ）2y =与y x = （B ）3y =与y x = （C ）y =2y = （D ）y =2 x y x = 2、下列集合A 到集合B 的对应f 是映射的是 （A ）{}{}1,0,1,1,0,1,A B f =-=-：A 中的数平方； （B ）{}{}f B A ,1,0,1,1,0-==：A 中的数开方； （C ）,,A Z B Q f ==：A 中的数取倒数； （D ）,,A R B R f +==：A 中的数取绝对值； 3、已知函数11)(22-+ -=x x x f 的定义域是（ ） （A ）[－1，1] （B ）{－1，1} （C ）（－1，1） （D ）),1[]1,(+∞--∞ 4、若函数)(x f 在区间（a ，b ）上为增函数，在区间（b ，c ）上也是增函数，则函数)(x f 在区间（a ，c ）上（ ） （A ）必是增函数 （B ）必是减函数 （C ）是增函数或是减函数 （D ）无法确定增减性 5、)(x f 是定义在R 上的奇函数，下列结论中，不正确．．． 的是( ) （A ）0)()(=+-x f x f （B ）)(2)()(x f x f x f -=-- （C ）)(x f ·)(x f -≤0 （D ）1) ()(-=-x f x f 6、函数()f x 的定义域为),(b a ，且对其内任意实数12,x x 均有：1212()[()()]0x x f x f x --<，则 ()f x 在),(b a 上是
（A ）增函数 （B ）减函数 （C ）奇函数 （D ）偶函数 7、若函数()(()0)f x f x ≠为奇函数，则必有 （A ）()()0f x f x ?-> （B ）()()0f x f x ?-< （C ）()()f x f x <- （D ）()()f x f x >- 8、设偶函数f(x)的定义域为R ，当x ],0[+∞∈时f(x)是增函数，则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是（ ） （A ）f(π)>f(-3)>f(-2) （B ）f(π)>f(-2)>f(-3) （C ）f(π)(完整)五大基本初等函数性质及其图像
五、基本初等函数及其性质和图形 1.幂函数 函数称为幂函数。如，， ，都是幂函数。没有统一的定义域，定义域由值确定。如 ,。但在内 总是有定义的，且都经过（1,1）点。当时，函数在上是单调增加的，当时，函数在内是单调减少的。下面给出几个常用的幂函数： 的图形，如图1-1-2、图1-1-3。 图1-1-2
图1-1-3 2.指数函数 函数称为指数函数，定义域 ，值域；当时函数为单调增加的；当时为单调减少的，曲线过点。高等数学中常用的指数函数是时，即。以与 为例绘出图形，如图1-1-4。 图1-1-4 3.对数函数
函数称为对数函数，其定义域 ，值域。当时单调增加，当时单调减少，曲线过（1，0）点，都在右半平面内。与互为反函数。当时的对数函数称为自然对数，当时，称为常用对数。 以为例绘出图形，如图1-1-5。 图1-1-5 4.三角函数有 ，它们都是周期函数。对三角函数作简要的叙述： （１）正弦函数与余弦函数：与定义域都是，值域都是。它们都是有界函数，周期都是，为奇函数，为偶函数。图形为图1-1-6、图1-1-7。
图1-1-6正弦函数图形 图1-1-7余弦函数图形 （２）正切函数，定义域，值 域为。周期，在其定义域内单调增加的奇函数，图形为图1-1-8 图1-1-8 （３）余切函数，定义域，值域为 ，周期。在定义域内是单调减少的奇函数，图形如图1-1-9。
图1-1-9 （４）正割函数，定义域，值域为，为无界函数，周期的偶函数，图形如图1-1-10。 图1-1-10 （５）余割函数，定义域，值域为，为无界函数，周期在定义域为奇函数，图形如图1-1-11。
函数的概念与性质
第三章函数 第一单元函数的概念与性质 第一节函数的概念 一、选择题 1．下列对应中是映射的是() A．(1)、(2)、(3)B．(1)、(2)、(5) C．(1)、(3)、(5) D．(1)、(2)、(3)、(5) 2．下面哪一个图形可以作为函数的图象() 3．(2009年茂名模拟)已知f：A→B是从集合A到集合B的一个映射，?是空集，那么
下列结论可以成立的是( ) A ．A ＝ B ＝? B ．A ＝B ≠? C ．A 、B 之一为? D ．A ≠B 且B 的元素都有原象 4．已知集合M ＝{}?x ，y ?|x ＋y ＝1，映射f ：M →N ，在f 作用下点(x ，y )的元素是(2x,2y )，则集合N ＝( ) 5．现给出下列对应： (1)A ＝{x |0≤x ≤1}，B ＝R － ，f ：x →y ＝ln x ； (2)A ＝{x |x ≥0}，B ＝R ，f ：x →y ＝±x ； (3)A ＝{平面α内的三角形}，B ＝{平面α内的圆}，f ：三角形→该三角形的内切圆； (4)A ＝{0，π}，B ＝{0,1}，f ：x →y ＝sin x . 其中是从集A 到集B 的映射的个数( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 二、填空题 6．(2009年珠海一中模拟)已知函数f (x )＝x 2－1x 2＋1，则f ?2?f ??? ?12＝________. 7．设f ：A →B 是从集合A 到B 的映射，A ＝B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，f ：(x ，y )→(kx ，y ＋b )，若B 中元素(6,2)在映射f 下的元素是(3,1)，则k ，b 的值分别为________． 8．(2009年东莞模拟)集合A ＝{a ，b }，B ＝{1，－1,0}，那么可建立从A 到B 的映射个数是________．从B 到A 的映射个数是________． 三、解答题 9．已知f 满足f (ab )＝f (a )＋f (b )，且f (2)＝p ，f (3)＝q ，求f (72)的值． 10．集合M ＝{a ，b ，c }，N ＝{－1,0,1}，映射f ：M →N 满足f (a )＋f (b )＋f (c )＝0，那么映射f ：M →N 的个数是多少？
人教A版数学必修一第一章 集合与函数概念
第一章 集合与函数概念 一、选择题 1．已知全集U ＝{0，1，2}且U A ＝{2}，则集合A 的真子集共有( )． A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个 2．设集合A ＝{x |1＜x ≤2}，B ＝{ x |x ＜a }，若A ?B ，则a 的取值范围是( )． A ．{a |a ≥1} B ．{a |a ≤1} C ．{a |a ≥2} D ．{a |a ＞2} 3．A ＝{x |x 2 ＋x －6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，且A B A =U ，则m 的取值集合是( )． A ．??????21－ ， 3 1 B ．??????21－ ，31－ ，0 C ．??? ???21－ ，3 1 ，0 D ．??????21 ，31 4．设I 为全集，集合M ，N ，P 都是其子集，则图中的阴影部分表示的集合为( )． A ．M ∩(N ∪P ) B ．M ∩(P ∩I N ) C ．P ∩(I N ∩I M ) D ．(M ∩N )∪(M ∩P ) 5．设全集U ＝{(x ，y )| x ∈R ，y ∈R }，集合M ＝? ?? ? ? ?1＝2 －3－，x y y x |)(， P ＝{(x ，y )|y ≠x ＋1}，那么U (M ∪P )等于( )． A ．? B ．{(2，3)} C ．(2，3) D ．{(x ，y )| y ＝x ＋1} (第4题)
6．下列四组中的f (x )，g (x )，表示同一个函数的是( )． A ．f (x )＝1，g (x )＝x 0 B ．f (x )＝x －1，g (x )＝x x 2－1 C ．f (x )＝x 2 ，g (x )＝(x )4 D ．f (x )＝x 3 ，g (x )＝39 x 7．函数f (x )＝x 1 －x 的图象关于( )． A ．y 轴对称 B ．直线y ＝－x 对称 C ．坐标原点对称 D ．直线y ＝x 对称 8．函数f (x )＝ 1 1＋x 2(x ∈R )的值域是( )． A ．(0，1) B ．(0，1] C ．[0，1) D ．[0，1] 9．已知f (x )在R 上是奇函数，f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0，2)时，f (x )＝2x 2 ，则f (7)＝( )． A ．－2 B ．2 C ．－98 D ．98 10．定义在区间(－∞，＋∞)的奇函数f (x )为增函数；偶函数g (x )在区间[0，＋∞)的图象与f (x )的图象重合．设a ＞b ＞0，给出下列不等式： ①f (b )－f (－a )＞g (a )－g (－b )；②f (b )－f (－a )＜g (a )－g (－b )； ③f (a )－f (－b )＞g (b )－g (－a )；④f (a )－f (－b )＜g (b )－g (－a ). 其中成立的是( )． A ．①与④ B ．②与③ C ．①与③ D ．②与④ 二、填空题 11．函数x x y +-=1的定义域是 ． 12．若f (x )＝ax ＋b (a ＞0)，且f (f (x ))＝4x ＋1，则f (3)＝ ． 13．已知函数f (x )＝ax ＋2a －1在区间[0，1]上的值恒正，则实数a 的取值范围是 ． 14．已知I ＝{不大于15的正奇数}，集合M ∩N ＝{5，15}，(I M )∩(I N )＝{3，13}，M ∩(I N )＝{1，7}，则M ＝ ，N ＝ ． 15．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}且B ≠?，若A ∪B ＝A ，则 m 的取值范围是_________．
