高考数学二轮复习 第11讲 推理与证明专题限时集训 文

专题限时集训(十一)[第11讲 推理与证明]

(时间：10分钟＋35分钟)

1．“因为指数函数y ＝ax 是增函数(大前提)，而y ＝? ??

??14x 是指数函数(小前提)，所以y ＝? ??

??14x 是增函数(结论)”，上面推理的错误是( ) A ．大前提错导致结论错

B ．小前提错导致结论错

C ．推理形式错导致结论错

D ．大前提和小前提错都导致结论错

2．用反证法证明命题：“m 、n ∈N ，mn 可被3整除，那么m 、n 中至少有一个能被3整除”时，假设的内容应为( )

A ．m 、n 都能被3整除

B ．m 、n 都不能被3整除

C ．m 、n 不都能被3整除

D ．m 不能被3整除

3．已知数列{an }满足递推式(n ＋1)an ＝nan ＋1，而a 1＝1，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想an ＝( )

A ．n B.2n n ＋1

C.n ＋12

D.22n －1

4．有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现进行如下分组：第1组含有一个数{1}；第二组含有两个数{3,5}；第三组含有三个数{7,9,11}；…，则第n 组内各数之和为( )

A ．n 2

B ．n 3

C ．n 4

D ．n (n ＋1)

1一些性质，你认为比较恰当的是( )

①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角相等；②各个面是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点的任何两条棱的夹角都相等．

A ．①

B ．①②

C ．①②③

D ．③

3．把正整数按一定的规则排成了如图11－2所示的三角形数表．设aij (i ，j ∈N *)是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数，如a 42＝8.若aij ＝2011，则i 与j 的和为( )

1

2 4

3 5 7

6 8 10 12

9 11 13 15 17

14 16 18 20 22 24

…

图11－2

A ．105

B ．106

C ．107

D ．108

4．集合{1,2,3，…，n }(n ≥3)中，每两个相异数作乘积，所有这些乘积的和记为Tn ，如：

T 3＝1×2＋1×3＋2×3＝12

[62－(12＋22＋32)]＝11， T 4＝1×2＋1×3＋1×4＋2×3＋2×4＋3×4

＝12

[102－(12＋22＋32＋42)]＝35， T 5＝1×2＋1×3＋1×4＋1×5＋…＋4×5

＝12

[152－(12＋22＋32＋42＋52)]＝85. 则T 7＝________.(写出计算结果)

5．若三角形的内切圆半径为r ，三边的长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积S ＝12

r (a ＋b ＋c )，根据类比思想，若四面体的内切球半径为R ，四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，则此四面体的体积V ＝________.

6．已知命题：若数列{an }为等差数列，且am ＝a ，an ＝b (m ≠n ，m 、n ∈N *)，则am ＋n ＝bn －am n －m

；现已知等比数列{bn }(bn >0，n ∈N *)，bm ＝a ，bn ＝b (m ≠n ，m 、n ∈N *)，若类比上述结论，则可得到bm ＋n ＝________.

7．在数列{an }中，a 1＝3，an ＝－an －1－2n ＋1(n ≥2且n ∈N *)．

(1)求a 2，a 3的值；

(2)证明：数列{an ＋n }是等比数列，并求{an }的通项公式；

(3)求数列{an }的前n 项和Sn .

8．已知函数f (x )＝x 3，g (x )＝x ＋x .

(1)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数，并说明理由；

(2)设数列{an }(n ∈N *)满足a 1＝a (a >0)，f (an ＋1)＝g (an )，证明：存在常数M ，使得对于任意的n ∈N *，都有an ≤M .

专题限时集训(十一)

【基础演练】

1．A 【解析】 y ＝a x 是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错．

2．B 【解析】 用反证法证明命题应先否定结论，故选B.

3．A 【解析】 由(n ＋1)a n ＝na n ＋1知a n ＋1a n ＝n ＋1n

， ∴a 2a 1＝21，a 3a 2＝32，a 4a 3＝43，…，a n a n －1＝n n －1

，将这n －1个式子相乘，得到a n ＝n ，故选A. 4．B 【解析】 第1组中含有1个数1＝13，第2组中和为3＋5＝8＝23

，第3组中和

为7＋9＋11＝27＝33，…，由此归纳第n 组内各数之和为n 3，选B.

【提升训练】

1．C 【解析】 由合情推理可知①②③全部正确．

2．A 【解析】 观察可知除第一个以外，每增加一个黑色地面砖，相应的白地面砖就增加四个，因此第n 个图案中有白色地面砖的块数是一个“以6为首项，公差是4的等差数列的第n 项”．

或由图可知，当n ＝1时，a 1＝6，当n ＝2时，a 2＝10，当n ＝3，a 3＝14，由此推测，第n 个图案中有白色地面砖的块数是：a n ＝4n ＋2.

3．D 【解析】 由三角形数表可以看出其奇数行有奇数列，偶数行有偶数列，2011＝2×1006－1，所以2011为第1006个奇数，又前31个奇数行内数的个数的和为961，前32个奇数行内数的个数的和为1024，故2011在第32个奇数行内，所以i ＝63，因为第63行的第一个数为2×962－1＝1923,2011＝1923＋2(j －1)，所以j ＝45，所以i ＋j ＝108.

4．322 【解析】 T 7＝12

[(1＋2＋…＋7)2－(12＋22＋…＋72)]＝322. 5.13R (S 1＋S 2＋S 3＋S 4) 【解析】 设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的

距离都是R ，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．

6.n －m b n a m 【解析】 等差数列中的bn 和am 可以类比等比数列中的b n 和a m ，等差数列中的bn －am 可以类比等比数列中的b n a m ，等差数列中的bn －am n －m

可以类比等比数列中的n －m b n a m .故b m ＋n ＝n －m b n

a m

.

8．【解答】 (1)由h (x )＝x 3－x －x 知，x ∈[0，＋∞)，而h (0)＝0，且h (1)＝－1<0，h (2)＝6－2>0，则x ＝0为h (x )的一个零点，且h (x )在(1,2)内有零点．因此，h (x )至少有两个零点．

解法一：h ′(x )＝3x 2－1－12x －12，记φ(x )＝3x 2－1－12x －12，则φ′(x )＝6x ＋14x －32

. 当x ∈(0，＋∞)时，φ′(x )>0，因此φ(x )在(0，＋∞)上单调递增，则φ(x )在(0，＋∞)内至多只有一个零点．又因为φ(1)>0，φ? ????33<0，则φ(x )在? ??

??33，1内有零点，所以φ(x )在(0，＋∞)内有且只有一个零点．记此零点为x 1，则当x ∈(0，x 1)时，φ(x )<φ(x 1)＝0；当x ∈(x 1，＋∞)时，φ(x )>φ(x 1)＝0.

所以，当x ∈(0，x 1)时，h (x )单调递减．而h (0)＝0，则h (x )在(0，x 1]内无零点； 当x ∈(x 1，＋∞)时，h (x )单调递增，则h (x )在(x 1，＋∞)内至多只有一个零点，从而h (x )在(0，＋∞)内至多只有一个零点．

综上所述，h (x )有且只有两个零点．

解法二：由h (x )＝x ?

????x 2－1－x －12，记φ(x )＝x 2－1－x －12，则φ′(x )＝2x ＋12x －32. 当x ∈(0，＋∞)时，φ′(x )>0，从而φ(x )在(0，＋∞)上单调递增，则φ(x )在(0，＋∞)内至多只有一个零点．φ(1)<0，φ(2)>0，所以φ(x )在(0，＋∞)上有一个零点．因此h (x )在(0，＋∞)内也有一个零点．

综上所述，h (x )有且只有两个零点．

(2)记h(x)的正零点为x0，即x30＝x0＋x0.

(i)当a

而a32＝a1＋a1

①当n＝1时，a1

②假设当n＝k(k≥1)时，a k

则当n＝k＋1时，由

a3k＋1＝a k＋a k

因此，当n＝k＋1时，a k＋1

故对任意的n∈N*，a n

(ii)当a≥x0时，由(1)知，h(x)在(x0，＋∞)上单调递增，则h(a)≥h(x0)＝0，

即a3≥a＋a.从而a32＝a1＋a1＝a＋a≤a3，即a2≤a.由此猜测：a n≤a.下面用数学归纳法证明．

①当n＝1时，a1≤a显然成立．

②假设当n＝k(k≥1)时，a k≤a成立，则当n＝k＋1时，由a3k＋1＝a k＋a k≤a＋a≤a3知，a k＋1≤a.

因此，当n＝k＋1时，a k＋1≤a成立．

故对任意的n∈N*，a n≤a成立．

综上所述，存在常数M＝max{x0，a}，使得对于任意的n∈N*，都有a n≤M.