新人教版八年级下数学二次根式教案

第十六章 二次根式

课题

16.1 二次根式(1)

教学目标

1. 经历二次根式概念的发生过程

2. 了解二次根式的概念

3. 理解二次根式何时有意义，何时无意义，会在简单情况下求根号内所有含 字母的取值范

围

4. 会求二次根式的值

教学设想

教学重点：二次根式的概念

教学难点：例1的第(2) ( 3)题学生不容易理解。

教学程序与策略

一、知识回顾：

1、 什么叫做平方根？

一般地，如果一个数的平方等于 a ,那么这个数叫做a 的平方根。

2、 什么叫算术平方根？

正数的正平方根和零的平方根，统称算术平根。 用.、a a 0表示

讨论并解释：为什么a >0 ? 你认为所得的各代数式的共同特点是什么 ？

象 a 2 4 b 3 2s 这样表示的算术平方根，且根号中含有字母的代数式 叫做二次根式 为了方便起见，我们把一个数的算术平方根也叫做二次根式。 例1:求下列二次根式中字母a 的取值范围:

3、J(a 3)2.

解：(1)由 a+1>0 得，a >-1

???字母a 的取值范围是大于或等于-1的实数

1 1

(2) 由 丄 >0,得 1-2a >0。即 a<2 ,

1 2a 2

1

???字母a 的取值范围是小于1的实数

2

(3) 因为无论a 取何值，都有(a-3) 2>0,所以a 的取值范围是全体实数

说明：求字母的取值范围实质是：转化为解不等式(组)

、新课教学

做一做：课本P 4的填空

练习： 求下列二次根式中字母a 的取值范围:

例2 :当x = -4 时，求二次根式 、1 2X 勺值 解：将x = -4 代入 二次根式得

=.9 = 3 ,^2x

说明：与求代数式的值类比。 昱高：

1、 若二次根式 尿 的值为3，求x 的值.

2、 物体自由下落时，下落距离 h （米）可用公式h=5t 2来估计,其中t （秒）表 示物体

下落所经过的时间?

（1） 把这个公式变形成用h 表示t 的公式

（2） 一个物体从54.5米高的塔顶自由下落，落到地面需几秒（精确到0.1秒）?

3、 当x 分别取下列值时，求二次根式、、1- x 的值：

三、课堂小结：由学生总结，教师适当提问补充。

本节课要掌握：

1.

形如\a （a > 0）的式子叫做二次根式， ”称为二次根

号.

2 ?要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数. 四、作业：

教后反思

第十六章 二次根式

课题

16.1 二次根式（2）

(1)x= 0;

(2)x= 1；

(3)x= - 1.

检测：求二次根式中

x 的取值范围:

(1) 4

(2) ?, x 2

1

(3)

附加题： （5）

(6)x 2 4

5

——

(4)

x 2

1. 理解j a （a> 0）是一个非负数和（）2=a （a> 0）,并利用它们进行计算和化

简.

2?通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出（a>0）是一个

非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（鼻）2=a （a>0）；最后

运用结论严谨解题.

1. 重点：. a （a>0）是一个非负数；（、.a ）2=a （a> 0）及其运用.

2 ?难点、关键：用分类思想的方法导出a （a> 0）是一个非负数；？用

探究的方法导出（逅）2=a （a> 0）.

教学程序与策略

、复习引入

（学生活动）口答

1. 什么叫二次根式？

2. 当a>0时，

老师点评（略）.

、探究新知

议一议：（学生分组讨论，提问解答）

a （a》0）是- -个什么数呢？

老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出

（a > 0）是一个非负数.

做一做：根据算术平方根的意义填空：

N4）2= _______ ；（72）2= ______ ；（V9）2= ____ ；（V3）2= _____

老师点评：「4是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，4是一个平方等于4的非负数,

因此有（4 ）2=4.

同理可得：（；2 ）2=2, （「9 ）2=9, （）2=3, （：1）2= 1, （??7）2= 7, （、0）2=0,

V 3 3 V 2 2

所以

（需）2=a （a》0）

例1计算

1 . （3）22. （3 ^ 5 ）23. （5）24.（二7）2

'■ 2 ? 6 2

分析：我们可以直接利用（v ）2=a （a> 0）的结论解题.

教学目标

教学设想

三、巩固练习

计算下列各式的值:

四、应用拓展

例2计算

X > 0,所以 X +1>0 ; (2) a 2> 0; (3) ^+28+仁(a+1)> 0;

(2x-3) 2>0.

所以上面的4题都可以运用(..a ) 2=a (a > 0)的重要结论解题. 例3在实数范围内分解下列因式 (1)

X 2-3

(2) X 4-4

五、归纳小结

本节课应掌握：

1. -、a (a > 0)是一个非负数;

2. ( - a ) 2=a (a > 0);反之:a= (「a )2 (a > 0).

六、布置作业

教后反思

第十六章 二次根式

课题 16.1 二次根式(3)

教学目标

1、理解V a 2=a ( a > 0)并利用它进行计算和化简.

s.5)

2

=2，(3、5)2=32 (」5)

2

=32 ? 5=45,

5 2= 5

,( 6

(,18 ) 2

-9) 4

(「0 ) 2

(3 ⑸2 (5飞)2

(X > 0)

2. ( /a 2 )

3. ( a 2 2a 1 ) 2

4. G. 4X 2 12X 9 ) 2

分析：(1)因为

(4) 4X 2-12X +9= ( 2x ) 2-2 ? 2x ? 3+32=

⑶ 2X 2-3

2、通过具体数据的解答，探究Va2=a (a > 0),并利用这个结论解决具体

问题.

1、重点：-..■ a2= a (a> 0).

2 .难点：探究结论.

3 .关键：讲清a> 0时，JO2= a才成立.

教学程序与策略

、复习引入

老师口述并板收上两节课的重要内容；

1

.形如

(a>0)的式子叫做二次根式;

2. ,a (a> 0) 是- -个非负数;

3. (i a )2= a (a》0).

那么，我们猜想当a> 0时，

(学生活动)填空：

、‘22= ____ ；「0.012= ______ ；：(：o)2= ___ ；

(老师点评)：根据算术平方根的意义，我们可以得到：

22=2 ；、。.。仁0.01； - (110)2=110； t(2)2 = 2；。2=0 ；、fl；

因此，_般地：=a (a》0) |

例1化简

(1) 9(2) '(4)2(；)25 (4) . ( ；)2

分析：因为(1) 9=-；2, (2) (-4) 2=42, (；) 25=52,

(4) (-3) 2=；2，所以都可运用L a2 =a (a> 0) ?去化简.

解: (1) 9 =、.32 =3 (2) . ( 4)2八42 =4

三、巩固练习

教材练习

四、应用拓展

填空：当a> 0时,;当a<0时,,?并根据这一性质回答下列问教学设想

；02=

题

(1 )若=a，则a可以是什么数？

(2 )若V a T=-a,贝U a可以是什么数？

(3) J O2 >a，则a可以是什么数？

分析：??? jy=a ( a> 0), ???要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，

使"()2”中的数是正数，因为，当a< 0时，4a=頁a)2，那么-a>0.

(1)根据结论求条件；(2)根据第二个填空的分析，逆向思想；(3)根据(1)、( 2)可知x/a2 =

I a | ,而|a |要大于a,只有什么时候才能保证呢？a<0.

解：(1)因为=a，所以a>0;

(2)因为J? =-a，所以a<0;

(3)因为当a> 0时^/a2 =a，要使Va2>a，即使a>a所以a不存在；当a<0时，=-a，要

使V a2 >a，即使-a>a, a<0 综上，a<0

五、归纳小结

本节课应掌握：Va2 =a (a>0)及其运用，同时理解当a<0时，ja2=- a的应用拓展

六、布置作业

教后反思

第十六章二次根式

b> 0）及它们的运用.

2、难点：发现规律，导出ja ?丽=Tab （a> 0, b> 0）.

教学程序与策略

、复习引入

（学生活动）请同学们完成下列各题.

1填空

（1）44 x ^/9 = _______ ,~9 = ______ ；

（2） _________________ v16 x . 25 = _______ , ,16 25 = .

(3) v1Q0 x 36 = ,、.100 36 =

2?参考上面的结果，用“>、<或=”填空.

,、16 x、25 ______ 16 25，、一 100 x、36 ...100 36 、探索新知

（学生活动）让3、4个同学上台总结规律. 老

师点评：（1）被开方数都是正数；

（2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式,

另一边二次根式中的被开方数.

一般地，对二次根式的乘法规定为

?并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号、-a ? 、b = x ab . (a> 0, b> 0)

反过来：例1 .计算

(3)

(4)

(1)

(4) 解：（1）

ab = . a ? . b (a> 0, b> 0)

J9 (3) i. 9 x i. 27 9 x 27 = 9 27 923=9 3

化简

,9 16 ■. 9x2y2(2) 、16 81 (3) \ 81 100 (5) 、54

?9 16= 9 x 16=3 x 4=12

1x ?? 6 (2) 16 81 = ^16 x ■ 81 =4 x 9=36

(1) 解: (2)