河北省邯郸市2021届新高考数学第三次调研试卷含解析

河北省邯郸市2021届新高考数学第三次调研试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设a ，b ，c 分别是ABC ?中A ∠，B D，C ∠所对边的边长，则直线sin 0A x ay c ?--=与

sin sin 0bx B y C +?+=的位置关系是（ ）

A ．平行

B ．重合

C ．垂直

D ．相交但不垂直

【答案】C 【解析】

试题分析：由已知直线sin 0A x ay c ?--=的斜率为

，直线sin sin 0bx B y C +?+=的斜率为

，又由正弦定理得

，故，两直线垂直

考点：直线与直线的位置关系

2．已知向量()()1,2,2,2a b λ==-r r ，且a b ⊥r r

，则λ等于（ ）

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

【答案】D 【解析】 【分析】

由已知结合向量垂直的坐标表示即可求解． 【详解】

因为(1,2),(2,2)a b λ==-r r ，且a b ⊥r r ，

·22(2)0a b λ=+-=r

r ，

则1λ=． 故选：D ． 【点睛】

本题主要考查了向量垂直的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题． 3．生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率为（ ） A ．

7

60

B ．

16

C ．

1360

D ．

14

【答案】C 【解析】 【分析】

分情况讨论，由间接法得到“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开的事件个数，不考虑限制因素，总数有6

6A 种，进而得到结果. 【详解】

当“数”位于第一位时，礼和乐相邻有4种情况，礼和乐顺序有2种，其它剩下的有3

3A 种情况，由间接法

得到满足条件的情况有5123

5423A C A A -

当“数”在第二位时，礼和乐相邻有3种情况，礼和乐顺序有2种，其它剩下的有3

3A 种，

由间接法得到满足条件的情况有5123

5323A C A A -

共有：51235123

53235423A C A A A C A A -+-种情况，不考虑限制因素，总数有66A 种，

故满足条件的事件的概率为：51235123532354236

613

60

A C A A A C A A A -+-= 故答案为：C. 【点睛】

解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．

4．已知(2)f x +是偶函数，()f x 在(]2-∞，上单调递减，(0)0f =，则(23)0f x ->的解集是 A ．2

()(2)3-∞+∞，，

U B ．2

(2)3

， C ．22()33

-，

D ．22()()33

-∞-+∞，，U 【答案】D 【解析】 【分析】

先由(2)f x +是偶函数，得到()f x 关于直线2x =对称；进而得出()f x 单调性，再分别讨论232x -≥和232x -<，即可求出结果.

【详解】

因为(2)f x +是偶函数，所以()f x 关于直线2x =对称； 因此，由(0)0f =得(4)0f =；

又()f x 在(]2-∞，上单调递减，则()f x 在[)2,+∞上单调递增；

所以，当232x -≥即0x ≤时，由(23)0f x ->得(23)(4)f x f ->，所以234x ->， 解得23

x <-

； 当232x -<即0x >时，由(23)0f x ->得(23)(0)f x f ->，所以230x -<， 解得23

x >

； 因此，(23)0f x ->的解集是22()()33

-∞-+∞，，U . 【点睛】

本题主要考查由函数的性质解对应不等式，熟记函数的奇偶性、对称性、单调性等性质即可，属于常考题型.

5．已知集合{|A x y ==，{}2|log 1B x x =>则全集U =R 则下列结论正确的是( ) A ．A B A =I B ．A B B ?=

C ．()

U A B =?I e

D ．U B A ?e

【答案】D 【解析】 【分析】

化简集合A ，根据对数函数的性质，化简集合B ，按照集合交集、并集、补集定义，逐项判断，即可求出结论. 【详解】

由2

230,(23)(1)0x x x x -++≥-+≤， 则31,2A ??=-???

?，故U 3(,1),2

A ??=-∞-?+∞ ???

e，

由2log 1x >知，(2,)B =+∞，因此A B =?I ，

31,(2,)2A B ??

?=-?+∞????，()U (2,)A B ?=+∞e，

3(2,)(,1),2??

+∞?-∞-?+∞ ???

，

故选:D 【点睛】

本题考查集合运算以及集合间的关系，求解不等式是解题的关键，属于基础题.

6．已知角α的顶点与坐标原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点(3,4)P --，则

tan 24πα?

?+ ??

?的值为（ ）

A．

24

7

-B．

17

31

-C．24

7

D．

17

31

【答案】B

【解析】

【分析】

根据三角函数定义得到

4

tan

3

α=，故24

tan2

7

α=-，再利用和差公式得到答案.

【详解】

∵角α的终边过点(3,4)

P--，∴

4

tan

3

α=，

2

2tan24

tan2

1tan7

α

α

α

==-

-

.

∴

24

1

tan2tan17

7

4

tan2

24

431

1tan2tan11

47

π

α

π

α

π

α

-+

+

??

+===-

?

??-?+?

.

故选：B.

【点睛】

本题考查了三角函数定义，和差公式，意在考查学生的计算能力.

7．地球上的风能取之不尽，用之不竭.风能是淸洁能源，也是可再生能源.世界各国致力于发展风力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，2014年累计装机容量就突破了100GW，达到114.6GW，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心.以下是近10年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图. 根据所给信息，正确的统计结论是（）

A．截止到2015年中国累计装机容量达到峰值

B．10年来全球新增装机容量连年攀升

C．10年来中国新增装机容量平均超过20GW

D．截止到2015年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过

1

3

【答案】D

【解析】

【分析】

先列表分析近10年全球风力发电新增装机容量，再结合数据研究单调性、平均值以及占比，即可作出选择.

【详解】

中国累计装机装机容量逐年递增，A 错误；全球新增装机容量在2015年之后呈现下降趋势，B 错误；经计算，10年来中国新增装机容量平均每年为19.77GW ，选项C 错误；截止到2015年中国累计装机容量

197.7GW ，全球累计装机容量594.1158.1436GW -=，占比为45.34%，选项D 正确.

故选：D 【点睛】

本题考查条形图，考查基本分析求解能力，属基础题.

8．若双曲线22

214

x y a -= ）

A ．

B ．

C ．6

D ．8

【答案】A 【解析】 【分析】

依题意可得24b =，再根据离心率求出2a ，即可求出c ，从而得解； 【详解】

解：∵双曲线22

214

x y a -=

所以2

24

13e a

=+=，∴22a =，∴c =故选：A 【点睛】

本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.

9．已知函数()(1)x f x x a e =--，若22log ,a

b c ==则（ ）

A ．f(a)

B ．f(b)

C ．f(a)

D ．f(c)

【答案】C 【解析】 【分析】

利用导数求得()f x 在(),a +∞上递增，结合y c =与22,log ,x

y y x y x ===图象，判断出,,a b c 的大小

关系，由此比较出()()(),,f a f b f c 的大小关系. 【详解】

因为()()e x f x x a ￠

=-，所以()f x 在(,)a +∞上单调递增； 在同一坐标系中作y c =与22,log ,x

y y x y x ===图象，

22log a b c ==Q ，可得a c b <<，故()()()f a f c f b <<.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用函数的单调性比较大小，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.

10．已知函数2()2f x x x =-，集合{|()0}A x f x =≤，{}

|()0B x f x '

=≤，则A B =I （ ）

A ．[-1,0]

B ．[-1,2]

C ．[0,1]

D ．(,1][2,)-∞?+∞

【答案】C 【解析】 【分析】

分别求解不等式得到集合,A B ,再利用集合的交集定义求解即可. 【详解】

2{|20}{|02}A x x x x x =-≤=≤≤,{|220}{|1}B x x x x =-=≤≤， ∴{|01}A B x x =I ≤≤

． 故选C ．

【点睛】

本题主要考查了集合的基本运算,难度容易. 11．已知抛物线C ：2

14

y x =

的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与抛物线交于A ，B 两点，若2PA AF =u u u r u u u r

，则AB 为( )

A ．

409

B ．40

C ．16

D ．

163

【答案】D 【解析】 【分析】

如图所示，过AB 分别作AC l ⊥于C ，BD l ⊥于D ，利用APC BPD ??:和FPM BPD ??:，联立方程组计算得到答案. 【详解】

如图所示：过AB 分别作AC l ⊥于C ，BD l ⊥于D .

2PA AF =u u u r u u u r ，则2433

AC FM ==，

根据APC BPD ??:得到：AP AC

BP BD =，即

4

343

AP BD AP BD =++， 根据FPM BPD ??:得到：AF FM BP BD =，即42343

AP BD AP BD +

=++，

解得83AP =，4BD =，故16

3

AB AF BF AC BD =+=+=

. 故选：D .

【点睛】

本题考查了抛物线中弦长问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.

12．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛

减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”意思为有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了六天恰好到达目的地，请问第二天比第四天多走了（）

A．96里B．72里C．48里D．24里

【答案】B

【解析】

【分析】

人每天走的路程构成公比为1

2

的等比数列，设此人第一天走的路程为1a，计算1192

a=，代入得到答案. 【详解】

由题意可知此人每天走的路程构成公比为

1

2

的等比数列，设此人第一天走的路程为1a，

则

6

1

1

1

2

378

1

1

2

a

??

??

-

??

?

??

??

??=

-

，解得1192

a=，从而可得

3

24

11

19296,19224

22

a a??

=?==?=

?

??

，故24

962472

a a

-=-=.

故选：B.

【点睛】

本题考查了等比数列的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．“石头、剪子、布”是大家熟悉的二人游戏，其规则是：在石头、剪子和布中，二人各随机选出一种，若相同则平局；若不同，则石头克剪子，剪子克布，布克石头.甲、乙两人玩一次该游戏，则甲不输的概率是______.

【答案】

2

3

【解析】

【分析】

用树状图法列举出所有情况，得出甲不输的结果数，再计算即得.

【详解】

由题得，甲、乙两人玩一次该游戏，共有9种情况，其中甲不输有6种可能，故概率为

62

93

=.

故答案为：23

【点睛】

本题考查随机事件的概率，是基础题.

14．在平面直角坐标系xOy 中，直角三角形ABC 的三个顶点都在椭圆()2

2211x y a a

+=＞上，其中A （0，

1）为直角顶点．若该三角形的面积的最大值为27

8

，则实数a 的值为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】

设直线AB 的方程为y ＝kx+1，则直线AC 的方程可设为y 1k =-x+1，（k≠0），联立方程得到B （222

21a k

a k -+，2

2

2211a k a k -+），故S 442221

211a k k

a a k k +

=??+++ ??

?，令t 1k k =+，得S 4

2222(1)a a a t t =-+，利用均值不等式得到答案. 【详解】

设直线AB 的方程为y ＝kx+1，则直线AC 的方程可设为y 1

k

=-

x+1，（k≠0） 由22211

y kx x y a

=+???+=??消去y ，得（1+a 2k 2）x 2+2a 2

kx ＝0，所以x ＝0或x 222

21a k a k -=+ ∵A 的坐标（0，1），∴B 的坐标为（22221a k a k -+，k?22221a k a k -++1）

，即B （22221a k a k -+，22

22

11a k a k -+）， 因此

AB ==2

22

21a k a k

+， 同理可得：

AC =?

2

2

2

21a k

a

k

+. ∴Rt △ABC 的面积为S 12=

AB?AC =44422422221

221111a k a k

a a k a a k k k +

=????

++++++ ? ?

???

?

令t

1

k

k

=+，得S()

44

22

422

2

22

(1)

12

a t a

a

a a t a t

t

==

-

++-+.

∵t

1

k

k

=+≥2，∴S△ABC

44

2

22

2

(1)

(1)

2

a

a a

a

a t

t

≤=

-

-

?

.

当且仅当

2

a t

t

=，即t

21

a

a

-

=时，△ABC的面积S有最大值为

4

2

27

(1)8

a

a a

=

-

.

解之得a＝3或a

3297

+

=.

∵a

3297

+

=时，t

21

a

a

-

=＜2不符合题意，∴a＝3.

故答案为：3.

【点睛】

本题考查了椭圆内三角形面积的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.

15．图（1）是第七届国际数学教育大会（ICME-7）的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的（如图（2）），其中11223781

OA A A A A A A

=====

L，则

6778

A A A A

?

u u u u u r u u u u r

的值是______.

【答案】

42

7

【解析】