南昌大学高等数学期末考试A卷答案

2009～2010学年第一学期高等数学(I)A 卷期末考试试卷答案

一、填空题

1、(1，3]；

2、lnln2-； 3

； 4、03()f x '-； 5、[2，)+∞

二、选择题

1、B ；

2、D ；

3、A ；

4、C ；

5、C .

三、计算题 1、3

sin 01lim (1cos )x x e x x →--=302sin lim 12x x x →------------------------------3分 3

202l i m x x x

→=---------------------------------5分 0

2l i m x x →=-----------------------------------6分 0=------------------------------------------7分.

2、sin 2(2)cot (tan )y x x x x '''=-+------------------3分

22s i n 2c o t s e c x x x =-+---------------------------6分 12s i n 2s i n c o s

x x x =-+--------------------------7分. 3、由题意知20lim()0x x e x ax b →---=

所以10b -=，即1b =----------------------------------------------2分

又200()lim lim(2)2x x x x e x ax b e x a x

→→-++=--=----------6分 所以12a -=，即1a =------------------------------7分.

4、方程两边求导，得

0y e y y xy ''++=----------------------4分

y y y e x

'=-+--------------------------5分 由0x =得1y =-------------------------6分 所以1(0)y e

'=--------------------------7分.

5、令x e t =，则3()1f t t '=+

所以341()(1)4

f t t dt t t C =+=++?---------------------------5分 又(0)1f =，所以1C =------------------------------------------------6分 所以41

()14f t t t =++，即41()14f x x x =++-------------------7分. 6、22221sin 5cos sin (15cot )

dx dx x x x x =++??--------------------1分 =21(cot )(15cot )d x x -+?

---------------------3分

=)x -------------5分

=)x C +-------------------7分. 7、令1x t -=，当0x =时1t =-，当3x =时2t =--------------2分 原式=212111()()()f t dt f t dt f t dt --=+??? -----------------------4分 =12211

0dt dt t -+??---------------------------------------5分 =211

|t ----------------------------------------------6分 =12

------------------------------------------------7分.

四、解答题

1、23cos sin dx a t t dt =-，23sin cos dy a t t dt =----------------------2分 所以tan dy

dy dt t dx

dx dt

==--------------------------------------4分 221(tan )(tan )d y d d t t dx dx

dt dx dt =-=------------------------------6分 =2211cos 3cos sin t a t t -

- =413cos sin a t t

------------------------------8分. 2、令1

0()f x dx I =?，则13201()1I x I dx x

=++?--------------2分

=4101(arctan )|4

x Ix +------------6分 =144I π

+----------------------7分 所以3I π=，即1

0()3f x dx π=?-------------------------8分.

五、证明

因为()f x 在00[,]x x δ+上连续，在00(,)x x δ+内可导，所以由拉格朗日中值定理可知，00(,)x x x δ?∈+，有00()()()()f x f x f x x ξ'-=-，其中0x x ξ<< 又00000000

()()()()()lim lim lim ()x x x x x x f x f x f x x f x f x x x x ξξ++++→→→'--''===-- 当0x x +→时0x ξ+→，且0

lim ()x x f x A +→'=，所以 00lim ()lim ()x x x f f A ξξξ++→→''==，即0()f x A +'=.