二次函数必背知识点(精辟)

二次函数必背知识点_ _冲刺中考

2

1. 定义：一般地，如果y ax bx c（a,b,c是常数，a 0），那么y叫做x的二次函数

2

2. 二次函数y ax的性质

（1）抛物线y ax2的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.

（2）函数y ax2的图像与a的符号关系.

①当a 0时抛物线开口向上顶点为其最低点;

②当a 0时抛物线开口向下顶点为其最高点

（3）顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为y ax2（a 0）.

3?二次函数y ax bxc

的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线

2

4.二次函数y ax bx c用配方法可化成：y

b , 4a

c b2

2a，4a

a相等，抛物线的开口大小、形状相同

②平行于y轴（或重合）的直线记作x h.特别地，y轴记作直线x 0.

方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同2

a x h k的形式，其中

5?二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：① 2 2

y ax ；② y ax k :③

2 2 2

y a x h :④ y a x h k :⑤ y ax bx c.

6?抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点

①a的符号决定抛物线的开口方向：当 a 0时，开口向上；当a 0时，开口向下;

7.顶点决定抛物线的位置?几个不同的二次函数, 如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口

8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1 ）公式法：y ax2bx c

2

b

2a

4ac b2

4a

2

（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为

y a x h k 的形式，得到

顶点为（h , k ）,对称轴是直线x h .

（3 ）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连

线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失

2

9?抛物线y ax bx c 中，a,b,c 的作用

2

（1） a 决定开口方向及开口大小，这与 y ax 中的a 完全一样.

（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置 ?由于抛物线y ax 2 bx c 的对称轴是直线

x

—，故：①b 0时，对称轴为y 轴；②一0 （即a 、b 同号）时，对称轴

2a a

b

在y 轴左侧；③一 0 （即a 、b 异号）时，对称轴在 y 轴右侧?

a

2

（3） c 的大小决定抛物线 y ax bx c 与y 轴交点的位置?

2

当x 0时，y c ，二抛物线y ax bx c 与y 轴有且只有一个交点（0, c ）: ①c 0 ,抛物线经过原点；②c 0,与y 轴交于正半轴；③ c 0 ,与y 轴交于负半

顶点是（ ―,

4ac b

），对称轴是直线x

2a 4a

b 2a

以上三点中，当结论和条件互换时, 仍成立.如抛物线的对称轴在

K

y 轴右侧，则一 a

0.

11. 用待定系数法求二次函数的解析式

（1）一般式：y ax2 bx c?已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.

（2）顶点式：y ax h? k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式

（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标x i、X2，通常选用交点式：

y ax x1x x2.

12. 直线与抛物线的交点

2

（1）y轴与抛物线y ax bx c得交点为（0, c）.

2

（2）与y轴平行的直线x h与抛物线y ax bx c有且只有一个交点

2

（h, ah bh c）.

（3 ）抛物线与x轴的交点

二次函数y ax2 bx c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元

2

二次方程ax bx c 0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一

元二次方程的根的判别式判定：

①有两个交点0 抛物线与x轴相交；

②有一个交点（顶点在x轴上）0 抛物线与x轴相切；

③没有交点0 抛物线与x轴相离.

（4）平行于x轴的直线与抛物线的交点

同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐

标相等，设纵坐标为 k ，则横坐标是ax 2 bx c k 的两个实数根?

（5）—次函数 y kx n k 0的图像I 与二次函数 y ax bx c a 0的图像G

y kx n

的交点，由方程组厂

2

的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解

y ax bx c

时 I 与G 有两个交点；②方程组只有一组解时 I 与G 只有一个交点；③方程组

无解时 I 与G 没有交点.

2

A X i,0，

B X 2,0，由于X i 、X 2是方程ax bx c 0的两个根，故

b

c x 1 x 2 ,x 1 x 2 a

a

考点一、二次函数的概念和图像

（3~8分）

1、二次函数的概念

2

一般地，如果y ax bx c （a, b, c 是常数，a 0），那么y 叫做x 的二次函数。

2

y ax bx c （a, b,c 是常数，a 0）叫做二次函数的一般式。

2、二次函数的图像

二次函数的图像是一条关于 X ——对称的曲线，这条曲线叫抛物线。

a

抛物线的主要特征：

①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。 3、二次函数图像的画法 五点法：

（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点

M ，并用虚线

（6 ）抛物线与 x 轴两交点之间的距离：若抛物线

2 （

y ax bx c 与x 轴两交点为

AB

x i

x 2

X i X 2 2

x 1 x 2 2

4x 1x 2

4c

b 2 4ac

忖

画出对称轴

2

（2 ）求抛物线y ax bx c 与坐标轴的交点： 当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点

A,B 及抛物线与y 轴的交点C ,再找

到点C 的对称点D 。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到 二次函数的图像。

当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与

y 轴的交点C 及对称点D 。

由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出 一对对称点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。

考点二、 二次函数的解析式

（10~16分）

二次函数的解析式有三种形式：

（1） 一般式： y

2

ax bx c(a,b,c 是 常数,

a 0)

（2） 顶点式： y a(x h)2 k （a, h,k 是常

数，

a 0)

（3） 当抛物线 y

2

ax bx c 与x 轴有交点时， 即对应二次好方程

2

ax bx c 0

有实根

X i 和X 2存在时， 根据二次三项式的分解因式 ax

2

bx c a(x

X i )(x X 2），二

次

2

函数y ax bx c 可转化为两根式 y a （x xj （x x 2）。如果没有交点，则不能这样

表示。

（10分）如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数

考点三、二次函数的最值 在顶点处取得最大值（或最小值），即当x

広时，y 最值

4ac b 2 4a

如果自变量的取值范围是

X i X X 2，那么，首先要看

b 2a

是否在自变量取值范围

X i x X 2内，若在此范围内，则当

x=

2a 时，y 最值

4ac b 2 4a

若不在此范围内,

则需要考虑函数在X i x X2范围内的增减性，如果在此范围内，y随X的增大而增大，则

当x X2时，y最大ax；bx2c，当x X!时, y最小2

aX[bx! c ；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x x时，y最大2

ax i bx i c，当x x2时，

y最小2ax?bx2c。

考点四、二次函数的性质(6~14分)1、二次函数的性质

二次函数

y ax2 bx c(a,b,c 是常数，a 0)

a>0 a<0

图像

性质(1 )抛物线开口向上，并向上无限延伸；

b

(2 )对称轴是x= —，顶点坐标是(

2a

b

2a，

(1 )抛物线开口向下，并向下无限延伸;

(2)对称轴是x=—，顶点坐标是(—，

2a 2a

函数

2、二次函数y ax2 bx c（a,b,c是常数，a 0）中，a、b、c的含义：a表示开

口方向：a>0时，抛物线开口向上，,, a<0时，抛物线开口向下

K

b与对称轴有关：对称轴为x= 一

2a

c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）

3、二次函数与一元二次方程的关系

一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。

因此一元二次方程中的b2 4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。

>0时，图像与x轴有两个交点;

当=0时，图像与x轴有一个交点;

当<0时，图像与x轴没有交点。

补充:

1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时, 可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）

i t y

如图：点A坐标为（x i，y i ）点B坐标为（X2，y2）

2、 函数平移规律(中考试题中，只占 3分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很 大帮助，

可以大大节省做题的时间)

3、 直线斜率：

v 2 yi b 为直线在y 轴上的截距

k tan --

x 2 x 1

1，一般 一般直线方程 ax+by+c=O

由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两点式

常用，记牢

3

，点斜

知道一点与斜率y y 1 k(x x 1)

4，斜截

斜截式方程，简称斜截式：y = kx + b (k 工0)

5，截距 由直线在x 轴和y 轴上的截距确定的直线的截距

则AB 间的距离，即线段

AB 的长度为.x 1

2

X 2

2

y i y 2

2，两点

x y

式方程，简称截距式：1

记牢可大幅提高运算速度

5、设两条直线分别为，11: y bi I2: y k?x b2

若11 // 12，则有l i //12 k i k2 且b i b2 o

若l1 l2k1 k21

6、点P (x o, y o)到直线y=kx+b(即：kx-y+b=O) 的距离：

|kx o y o b |kx o y o b

d

对于点P( x o, y o)到直线滴一般式方程ax+by+c=0 滴距离有

常用记牢

7,二次函数图像与性质口诀

二次函数抛物线，图象对称是关键；

开口、顶点和交点，它们确定图象限；

开口、大小由a断,c与Y轴来相见,b的符号较特别，符号与a相关联；顶点位置先找见，Y 轴作为参考线，左同右异中为0 ,牢记心中莫混乱；顶点坐标最重要，一般式配方它就现，横标即为对称轴，纵标函数最值见。若求对称轴位置，符号反，一般、顶点、交点式，不同表达能互换。

次方程零换y，二次函数便出现。

全体实数定义域，图像叫做抛物线。

抛物线有对称轴，两边单调正相反。

A定开口及大小，线轴交点叫顶点。

顶点非高即最低。上低下高很显眼。

如果要画抛物线，平移也可去描点，

提取配方定顶点，两条途径再挑选。

列表描点后连线，平移规律记心间。

左加右减括号内，号外上加下要减。二次方程零换y，就得到二次函

数。

图像叫做抛物线，定义域全体实数。

A定开口及大小，开口向上是正数。

绝对值大开口小，开口向下A负数。抛物线有对称轴，增减特性可看

图。

线轴交点叫顶点，顶点纵标最值出。

如果要画抛物线，描点平移两条路。

提取配方定顶点，平移描点皆成图。

列表描点后连线，三点大致定全图。

若要平移也不难，先画基础抛物线，

顶点移到新位置，开口大小随基础。

二次函数的基本形式

2

y ax的性质：

1.二次函数基本形式:

结论：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。

总结：

a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质

x 0时，y随x的增大而增大；x 0时，y随x的增大而

a 0向上0, 0y轴

减小；x 0时，y有最小值0.

x 0时，y随x的增大而减小；x 0时，y随x的增大而增

a 0向下0, 0y轴

大；x 0时，y有最大值0.

2

2. y ax c的性质:

总结：

2

3. y a x h 的性质:

结论：左加右减。

同左上加，异右下减

a 的符号

开口方向

顶点坐标

对称轴

性质

a 0

向上

h ，0

X=h

x h 时，y 随x 的增大而增大；x h 时，y 随

x 的增大而减小；x h 时，y 有最小值0 ?

a 0

向下 h ，0

X=h

x h 时，y 随x 的增大而减小；x h 时，y 随

x 的增大而增大；x h 时，y 有最大值0 ?

2

4. y a x h k 的性质:

a

的符号开口方向顶点坐标对称轴性质

a 0向上h，k X=h

x h时，y随x的增大而增大；x h时，y随

x的增大而减小；x h时，y有最小值k .

a 0向下h，k X=h

x h时，y随x的增大而减小；x h时，y随

x的增大而增大；x h时，y有最大值k .

二次函数图象的平移

1. 平移步骤:

2

⑴将抛物线解析式转化成顶点式y a x h k，确定其顶点坐标h , k ；

⑵ 保持抛物线y ax2的形状不变，将其顶点平移到h，k处，具体平移方法如下:

2. 平移规律

在原有函数的基础上“ h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”

概括成八个字“同左上加，异右下减”.

、二次函数y a x h 彳k 与y ax 2 bx c 的比较

2 2

请将y 2x 4x 5利用配方的形式配成顶点式。请将 y ax 2 bx c 配成

2

y a x h k 。

总结：

2 2

从解析式上看，yaxh k 与yax bx c 是两种不同的表达形式，后者通过配

2 2 2

b 4a

c b

b , 4a

c b

万可以得到刖者，即yax

，其中h , k

2a

4a 2a 4a

四、二次函数y ax 2 bx c 图象的画法

五点绘图法：利用配方法将二次函数 y ax 2 bx c 化为顶点式y a(x h)2 k ，确定 其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图

?一般我们

选取的五点为：顶点、与 y 轴的交点0 , c 、以及0 , c 关于对称轴对称的点 2h , c 、 与x 轴的交点 為,0 , X 2, 0 (若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点) .

画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与

x 轴的交点，与y 轴的交点.

平移|k|个单位

y=ax 2

A y=ax 2+k

y=a(x_h)2

向右(h>0)【或左(h<0)】 平移|k|个单位

y=a(x h)2+k

向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位

向右(h>0)【或左(*0)】 向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k 个单位

向上(k>0)【或下(k<0) 平移|k 个单位

向右(h>0)【或左(h<0)】 平移|k|个单位

六、二次函数解析式的表示方法

1. 一般式：y ax bx c （ a ， b ， c 为常数，a 0）；

2.顶点式：y a （x h ）2 k （ a ， h ， k 为常数，a 0）；

3.两根式：y a （x xj （x X 2） （ a 0， x,， x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式， 但并非所有的二次函数都可以写

成交点式，只有抛物线与 x 轴有交点，即b 2 4ac 0时，抛物线的解析式才可以用交 点式表示?二次函数解析式的这三种形式可以互化

五、二次函数y ax 2 bx c 的性质

1.当a 0时，抛物线开口向上，对称轴为

恳，顶点坐标为

b 4a

c b 2 2a ' 4a

时, 2?当a 有最大值

一时，y 随x 的增大而减小; 2a

—时，y 随x 的增大而增大；当x 2a

b_ 2a

2

y 有最小值专

0时，抛物线开口向下，对称轴为

y 随x 的增大而增大；当

4ac b 2 4a

诗，顶点坐标为

b 4a

c b 2 2a ' 4a

石时，y 随x 的增大而减小；当x W 时，y

七、二次函数的图象与各项系数之间的关系

1. 二次项系数a

二次函数y ax2 bx c中，a作为二次项系数，显然a 0 ?

⑴ 当a 0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；

⑵ 当a 0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大.

总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小.

2. 一次项系数b

在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴.

⑴在a 0的前提下，

当b 0时，—0,即抛物线的对称轴在y轴左侧；ab同号同左上加

2a

当b 0时，一0,即抛物线的对称轴就是y轴；

2a

当b 0时，—0 ,即抛物线对称轴在y轴的右侧.a,b异号异右下减

2a

⑵在a

0的前提

下，

结论刚好与上述相反，即

当b0时，b

2a

0 ,即抛物线的对称轴在

y轴右

侧；

a,b异号异右下减

当b0时，

_b

_

2a

0，即抛物线的对称轴就是y轴；

当b0时，b

2a

0 ,即抛物线对称轴在y轴的左侧.

ab同号同左

上

上加

总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置.