华南师大附中高三综合测试
2015年华南师大附中高三综合测试
数学（理科）
2015.5
本试卷共4页，21小题， 满分150分． 考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．
5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
第一部分 选择题（40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设i 为虚数单位,若复数()
()2282i z m m m =+-+-是纯虚数,则实数m =：
A ．2
B ．4-或2
C ．2或4-
D ． 4-
2．已知命题p ：?α∈R ，cos (π－α) = cos α；命题q : ?x ∈R ，x 2
+ 1 > 0. 则下面结论正确的是：
A. p ∨q 是真命题
B. p ∧q 是假命题
C. ? q 是真命题
D. p 是假命题
3．若 x 、y 满足约束条件 ????? 2x + 2y ≥1 x ≥y 2x －y ≤1
且向量 a = (3,2)，b = (x ,y )，则 a ·b 的取
值范围是： A. [5
4
,4]
B. [7
2
,5]
C. [5
4
,5]
D. [7
2
,4]
4. 同时具有性质“①最小正周期是π，②图象关于直线3
π
=
x 对称；③在]3
,6[π
π-
上是增函数”的一个函数是： A ．)6
2sin(
π+=x y B ．)3
2cos(π
+
=x y C ． )6
2cos(π
-=x y
D ． )6
2sin(π
-
=x y
5. 函数f (x )＝|log 2(x ＋1)| 的图象大致是：
6. 已知点 F 是抛物线 y 2
= 4x 的焦点，M 、N 是该抛物线上两点，| MF | + | NF | = 6，则 MN 中点的横坐标为： A. 32
B. 2
C. 52
D. 3
7. 设函数)(x f y =在R 上有定义，对于任一给定的正数p ，定义函数
???>≤=p
x f p p
x f x f x f p )(,)(),()(，则称函数)(x f p 为)(x f 的“p 界函数”若给定函数
2,12)(2=--=p x x x f ，则下列结论不．
成立的是： A. [](0)[(0)]p p f f f f = B. [](1)[(1)]p p f f f f =
C.
[][(2)](2)p p f f f f = D. [][(3)](3)p p f f f f =
8. 若直角坐标平面内两相异点A 、B 两点满足：
① 点A 、B 都在函数 f (x ) 的图象上；② 点A 、B 关于原点对称， 则点对 (A ，B ) 是函数 f (x ) 的一个“姊妹点对”. 点对 (A ，B ) 与 (B ，A ) 可看作是
同一个“姊妹点对”. 已知函数 f (x ) = ????? x 2
+ 2x ，x < 0 x + 1e
x ，x ≥0 ，则 f (x ) 的“姊妹点
对”有：
A. 0 个
B. 1 个
C. 2 个
D. 3 个
第二部分 非选择题（110分）
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
（一）必做题（9～13题）
9. 不等式
1
2x x -<的解集为 *** . 10. 261
2)x x
-（的展开式的常数项是 *** （用数字作答）.
11. 图一是一个算法的流程图，则最后输出的S 是 *** ．
12．某三棱锥的三视图如图二所示，正视图、侧视图均为直角三角形，则该三棱锥的四个面
中，面积最大的面的面积是 *** .
13. 数字“2015”中，各位数字相加和为8，称该数为“如意四位数”，则用数字0,1,2,3,4,5
组成的无重复数字且大于2015的“如意四位数”有 *** 个.
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）
14 . （坐标系与参数方程选做题）设曲线C 的参数方程为4cos 14sin x a y θ
θ=+??
=+?
(θ是参数，
开始 S =0,n =1
n ≤6 是 否
S =S －n n =n +2
输出S 结束
图一
图二
0>a )，直线l 的极坐标方程为3cos 4sin 5ρθρθ+=，若曲线C 与直线l 只有一个
公共点，则实数a 的值是 *** ．
15. （几何证明选做题）如图，⊙O 上一点C 在直径AB 上的
射影为D ，且4CD =，8BD =，则⊙O 的半径等于*** .
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本题满分12分）已知,,a b c 分别是ABC ?的角,,A B C 所对的边，且2c =，3
C π
=。
(Ⅰ) 若ABC ?
，求,a b ;
(Ⅱ) 若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求A 的值．
17．（本题满分12分）在进行一项掷骰子放球游戏中，规定：若掷出1点，甲盒中放一球；
若掷出2点或3点，乙盒中放一球；若掷出4点或5点或6点，丙盒中放一球，前后共掷3次，设,,x y z 分别表示甲，乙，丙3个盒中的球数. (Ⅰ) 求,,x y z 依次成公差大于0的等差数列的概率； (Ⅱ)求随机变量z 的概率分布列和数学期望.
18．（本题满分14分）如图，已知斜三棱柱
111ABC A B C -,
90BCA ∠=?,2AC BC ==,1A 在底面ABC 上
的射影恰为AC 的中点D , 又知11BA AC ⊥． (Ⅰ) 求证：1AC ⊥平面1A BC ； (Ⅱ) 求1CC 到平面1A AB 的距离；
(Ⅲ) 求二面角1A A B C --的平面角的余弦值．
19．（本题满分14分）设数列{a n }的各项都是正数，记S n 为数列{a n }的前n 项和，且对任
意n ∈N*，都有2
3333231n n S a a a a =++++K ．
(Ⅰ) 求数列{a n }的通项公式；
(Ⅱ) 若n a
n n n b 2)1(31
?-+=-λ（λ为常数且
0λ≠，n ∈N *）
，问是否存在整数λ，使得对任意 n ∈N*，都有b n +1>b n ．
20．（本题满分14分）如图，O 为坐标原点，点F 为
B
A
C
1
A 1
B
1
C D
A
抛物线C 1：)0(22>=p py x 的焦点，且抛物线C 1上点P 处的切线与圆C 2：122=+y x 相切于点Q 。
（Ⅰ）当直线PQ 的方程为02=--y x 时，求 抛物线C 1的方程；
（Ⅱ）当正数p 变化时，记S 1 ，S 2分别为△FPQ ，△FOQ 的面积，求2
1
S S 的最小值．
21．（本题满分14分）已知函数ln ()1
x x
f x x =
+和()(1)()g x m x m R =-∈． （Ⅰ）m =1时，求方程f (x ) = g (x )的实根；
（Ⅱ）若对于任意的[1,),()()x f x g x ∈+∞≤恒成立，求m 的取值范围；
（Ⅲ）求证：1007
2
1
4ln 201541i i
i =>-∑．
2015年华南师大附中高三综合测试
数学（理科）答案
一、选择题：DACD ABBC
二、填空题：9. (-∞,-1)∪(0,+∞) 10. 60 11. －9 12. 7 13. 23 14. 7
15. 5
三、解答题：
16．解：（I
）根据三角形面积公式可知：11sin 22S ab C =推得4ab =； 又根据三角形余弦公式可知：2222214
cos 228
a b c a b C ab +-+-===
推得228a b +=。 综上可得2a b ==。 ………………………………4分
（Ⅱ）sin sin()2sin 2C B A A +-=,sin()sin()4sin cos B A B A A A ∴++-=
sin cos 2sin cos B A A A = ………………………………6分
当cos 0A =时，2
A π
= ………………………………7分
当cos 0A ≠时，sin 2sin B A =,由余弦定理得2b a =，
联立2242a b ab b a ?+-=?=?
，得33a b ==………………………………10分 222b a c ∴=+，,3
6
C A π
π
=
∴=
Q ，
综上2
A π
=
或6
A π
=
。 ………………………………12分
解二：sin sin()2sin 2C B A A +-=,sin()sin()4sin cos B A B A A A ∴++-=
sin cos 2sin cos B A A A = ………………………………6分
当cos 0A =时，2
A π
= ………………………………7分
当cos 0A ≠
时，21
2sin sin sin()sin 32
A B A A A π==-=
+,
3sin 02)0,
6
50,,6
6
6
0.
6
6
A A A A A A A π
π
π
πππ
π
∴=∴
-=<<∴-<-<
∴-
==
Q 即
综上2
A π
=
或6
A π
=
。 ………………………………12分
17．解：（I ）依题意，掷一次骰子，掷出1点的概率为
61, 掷出2点或3点的概率为3
1
62= ，掷出4点或5点或6点的概率为
2
1
63=；…………2分 记事件A=“,,x y z 依次成公差大于0的等差数列”，则x=0,y=1,z=2；即甲、乙、丙三盒中分别放进0、1、2个球. …………4分
P （A ）=4
1
)21(31213
=?C ；…………6分 （II ）z 的取值为0，1，2，3，…………7分 而1z~B(3,)2
，
03311
(0)()28P z C ===
13
313(1)()28P z C ===；
23313
(2)()28
P z C ===
33
311(3)()28
P z C ===…………10分
随机变量z 的概率分布列
数学期望为2
3883828180==?+?+?+?
=ξE .--------------------12分 18．解法1：(Ⅰ)∵1A D ⊥平面ABC ,∴平面11AAC C ⊥平面ABC ,
又BC AC ⊥,∴BC ⊥平面11AA C C , 得1BC AC ⊥,又11BA AC ⊥, 1BC BA B =I ， ∴1AC ⊥平面1A BC .…………………4分
(Ⅱ)∵1AC ⊥平面1A BC ，∴11AC A C ⊥,
∴四边形11AA C C 为菱形,故12AA AC ==,
又D 为AC 中点,知∴160A AC ∠=?.即△ACA 1为等边三角形， 取1AA 中点F ,则CF ⊥AA 1,
由(1)可知BC ⊥平面11AA C C ,∴BC ⊥AA 1, CF ∩BC=C ，
∴1AA ⊥平面BCF ,AA 1?平面A 1AB ，从而面1A AB ⊥面BCF
,…………6分 过C 作CH BF ⊥于H ,则CH ⊥面1A
AB ,
在Rt BCF ?中,2,BC CF =,则BF=7，由面积法可得7
CH =,
即1CC 到平面1A AB 的距离为7
CH =
.…………………9分
（用体积转移法同样给分）
(Ⅲ)过
H 作1HG A B ⊥于G ,连CG ,则1CG A B ⊥, 从而CGH ∠为二面角1A A B C
--的平面角,
在1Rt A BC ?中,1
2AC BC ==,∴CG =…………10分 在Rt CGH ?中,CH=
7
21
2,CG =HG=
7
14
，cos ∠CGH=77
2
714
==CG HG 故二面角1A A B C --的余弦值为
7
7
. …………………14分 解法2：(Ⅰ)如图,取AB 的中点E ,则//DE BC ,∵BC AC ⊥,∴DE AC ⊥, 又1A D ⊥平面ABC ,以1,,DE DC DA 为,,x y z 轴建立空间坐标系,
则(0,1,0)A -,(0,1,0)C ,(2,1,0)B ,1(0,0,)A t ,1(0,2,)C t ,1AC =u u u u r 1(2,1,)BA t =--u u u r ,(2,0,0)CB =u u u r ,由10A C CB ?=u u u u r u u u r
,知1
AC CB ⊥, 又11BA AC ⊥,1BC BA B =I ，从而1AC ⊥平面1A BC .……4分
(Ⅱ)由2
1130AC BA t ?=-+=u u u u r u u u r ,得t =设平面1A AB 的法向量 为(,,)n x y z =r ,1AA =u u u r ,(2,2,0)AB =u u u r ,10220
n AA y n AB x y ??=+=???=+=??r u u u r
r u u u r
, 设1z =,则n =r
. …………6分
∴点1C 到平面1A AB 的距离1||7
||
AC n n d ?==u u u r r
r .…………………9分
B
A
C
1
A 1
B 1
C D
G
H
F
1
(Ⅲ)设面1A BC 的法向量为(,,)m x y z =u r
,1(0,CA =-u u u r ,
(2,0,0)CB =u u u r ,
∴1020
m CA y m CB x ??=-+=???==??u r u u u r u r u u u r .…………10分 设z= -1,
则(0,1)m =-u r
, 设二面角1A A B C --的平面角为θ，则
cos 7||||m n m n θ?===
?u r r u r r ， 可知二面角1A A B C --的余弦值为
7
7
.…………………14分 19．解：（I ）在已知式中，当n =1时，2
13
1a a =
∵a 1>0 ∴a 1=1………………………………………………………………1分
当n ≥2时，2
3333231n n S a a a a =++++K ① 2
131333231--=++++n n S a a a a K ②
①－②得，()()3
2
2
111n n n n n n n a S S S S S S ---=-=-+
∵a n >0 ∴2
n a =1n n S S -+=2S n －a n
∵a 1=1适合上式…………………………3分. 当n ≥2时， 2
1-n a =2S n －1－a n －1 ④
③－④得2n a －2
1-n a =2(S n －S n －1)－a n +a n －1=2a n －a n + a n －1= a n + a n －1 ∵a n +a n －1>0 ∴a n －a n －1=1
∴数列{a n }是等差数列，首项为1，公差为1，可得a n =n ………………6分
（Ⅱ）∵1
13(1)2
3(1)2n
a n n n n n n n a n
b λλ--=∴=+-?=+-?
2)
1(332]
2)1(3[]2)1(3[1
1111>?--?=?-+-?-+=-∴--+++n
n n
n n n n n n n n b b λλλ
∴11)2
3()1(--
3(- 依题意，⑥式对k=1，2，3……都成立，∴λ<1………………………………10分 当n=2k ，k=1，2，3，…时，⑤式即为213()2 k λ->- ⑦ 依题意，⑦式对k=1，2，3，……都成立， ∴2 3 - >λ……………………………………………………………………12分 ∴0,12 3 ≠<<- λλ又 ∴存在整数λ=－1，使得对任意n ∈N ，都有b n +1>b n ………………………14分 20．解：（Ⅰ）设点)2,(200p x x P ，由)0(22 >=p py x 得，p x y 22=，求导p x y ='， ……2分 因为直线PQ 的斜率为1，所以10 =p x 且0222 00=--p x x ，解得22=p ， 所以抛物线C 1 的方程为y x 242=。 …………… 5分 或：将直线代入抛物线由?=0解出p 同样给分。 （Ⅱ）因为点P 处的切线方程为：)(2002 0x x p x p x y -=-，即0222 00=--x py x x ，…… 6分 根据切线又与圆切，得r d =，即 1442 2020=+-p x x ，化简得22 040 44p x x +=， ……7分 由0442 040 2>-=x x p ，得20>x ， 由方程组200222201x x py x x y ?--=??+=??，解得)24, 2(20 0p x x Q -， ……………9分 所以2 0000 ||2 (2)2P Q x PQ x x x p =-=- =-， 点)2 ,0(p F 到切线PQ 的距离是204x d = ==， 所以3 2010||1 (2)216x S PQ d x p =?= -， 0 2221x p x OF S Q = = ， ……………12分 所以424200001242 200(2)(2)82(4)x x x x S S p x x --==-322344 24) 4(2)2(202 0202020+≥+-+-=--=x x x x x ， 当且仅当4 424202 0-=-x x 时取“＝”号，即2242 +=x ，此时，222+=p ，所以21S S 的最小值为223+。……………14分 21．解：（Ⅰ）m =1时，ln ()()11 x x f x g x x x ==-+即 而x > 0，所以方程即为1 ln 0x x x -+ = ………………1分 令1()ln h x x x x =-+，则22 22213[()]11124'()10x x x h x x x x x --+-+-=--==<， 而h (1)=0，故方程f (x )=g (x )有惟一的实根x =1. ………………4分 （Ⅱ）1 [1,),()(),ln ()x f x g x x m x x ?∈+∞≤≤-即， 设1 ()ln ()F x x m x x =-- ，即[1,),()0x F x ?∈+∞≤ 22211'()(1)mx x m F x m x x x -+-=-+= …………………………………………6分 ①若0m ≤，则'()0F x >，()(1)0F x F ≥=，这与题设()0F x ≤矛盾…7分 ②若0m >，方程20mx x m -+-=的判别式214m ?=-， 当0?≤，即1 2 m ≥ 时，'()0F x ≤， ∴()F x 在(1,)+∞上单调递减， ∴()(1)0F x F ≤=，即不等式成立…………………………………………………8分 当1 02 m << 时，方程20mx x m -+-=有两正实根，设两根为12,x x ， 1212()(0,1),(1,)x x x x <==+∞ 当2(1,),'()0,()x x F x F x ∈>单调递增，()(1)0F x F >=与题设矛盾， 综上所述，12 m ≥ 。 所以，实数m 的取值范围是1,2??+∞???? -------------10分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当1x >时，12m =时，11 ln ()2x x x <-成立． 不妨令21 1,()21 k x k k *+=>∈-N ， 所以2 21121214ln ()212212141 k k k k k k k k ++-<-=--+-， 2 4ln(21)ln(21),()41 k k k k k *+--< ∈-N ……………………………………11分 22 24ln 3ln141142ln 5ln 34214ln(21)ln(21)41n n n n ? - ?? - ?? +-- …………………………………………12分 累加可得 2 14ln(21)41 n i i n i =+<-∑ ()n *∈N ． 取n=1007，即得 1007 2 1 4ln 201541 i i i =>-∑……………………………………14分