§4 指数函数的概念与性质
§4 指数函数的概念与性质
【使用说明】
1.课前认真阅读并思考课本P70-73页的内容，然后根据自身能力完成学案所设计的问题，并在不明白的问题前用红笔做出标记。
2.限时完成，规范书写，课上小组合作探讨，答疑解惑，并对每个问题做出点评，反思。
【学习重点】 指数函数的图像与性质
【学习难点】 指数函数的图像与性质
【学习目标】
1.理解指数函数的概念(会判断一个函数是否为指数函数)，掌握指数函数的图像与性质,会画出指数函数的图像,并根据其性质求定义域、值域以及比较函数大小。
2.通过对指数函数图像的绘画与观察，体会由特殊到一般的数学归纳、分类讨论、换元以及数形结合的思想。
3.我在五中，激情投入，高效学习，踊跃展示，大胆质疑，体验成功，创想快乐。
一、问题导学
1. 指数函数的概念 叫做指数函数。其中，自变量 ， 底数 ，函数的定义域为 。 思考：
（1）概念中需要注意什么问题？
（2）函数x y 32-=，13
+=x y ，3x y =，x y )3(-=，x y 23=中，哪些是指数函数？
（3）为什么规定指数函数x a =y 的底数a 要满足条件“a>0且a 1≠”?
2. 指数函数的图像与性质
（1）描点法画图的一般步骤是什么？
小试身手：在同一坐标系下， 分别画出指数函数x y 2=，x y 3=，x y )2
1
(=，x y )3
1(=的图像，根据图形，完成下表：
指数函数x y a =在底数1a >及01a <<这两种情况下的图像和性质：
思考：
（1）观察函数x y ）21（
=与x y 2=，x 3=y 与x ）3
1（=y 的图像，又能得到什么结果？ 二、导学自测
1.函数x a x y 22）33a （+-=是指数函数，则a 的值为 。
2. 如果x 2）
1a （-=y 是指数函数，则实数a 的取值范围为 。 3. 比较下列各题中数的大小；
（1）5.27.1 37.1 （2）1.0-8.0 2.0-8.0
三、合作探究
1. 分别求下列函数的定义域
（1）12
y +=x （2）41
2-=x y （3）153-=x y （4）9
1312-=-x y （5）x x y 22)21(-=
思考：
（1）求指数型函数定义域应注意哪些？
(2) 你能求出(1)、（2）、（3）（4）的值域吗？
2. 函数y ＝a x －2＋1(a>0，a≠1)的图象必经过点 。
3.（1）已知)1且0(6132≠><++-a a a a x x x ，求x 的取值范围；
（2）已知指数函数的取值范，求实数1差是上的最大值与最小值的]1,1-[在区间a a y x =围；
思考：（1）根据（1）、（2）两题，考察了什么知识点，你得到了什么结果？
4.★求函数]2,3[,124y -∈+-=--x x x 的最大值与最小值
；
思考：体现了什么样的解题思想？
5. ★探索函数 域；的单调性，并求出其值)32()(f 22x
x x +-=
四、课堂小结
五、巩固测评
1. 当a= 时，x 2)1(y a a
-=是指数函数。 2. 函数x y 21-=的定义域为 。
3. 已知指数函数f(x)的图象过点(2,4)，求f(－3)的值
4. 求)1且0(1≠>-=
a a a y x 的定义域与值域。
5. ★已知093109
≤+?-x x ，求函数2)21(4)41(1+?-=-x x y 的最大值与最小值。
2020高考数学一轮复习2.4指数与指数函数学案
第四节 指数与指数函数 突破点一 指数幂的运算 [基本知识] 1．根式 (1)根式的概念 若x n ＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞1且n ∈N * .式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数． (2)a 的n 次方根的表示 x n ＝a ??? ? x ＝ n a 当n 为奇数且n >1时，x ＝±n a 当n 为偶数且n >1时. 2．有理数指数幂 幂的有关概念 正分数指数幂：a m n ＝n a m (a ＞0，m ，n ∈N * ，且n ＞1) 负分数指数幂：a － m n ＝ 1a m n ＝ 1 n a m (a ＞0，m ，n ∈N * ，且n ＞1) 0的正分数指数幂等于_0_，0的负分数指数幂无意义 有理数指数幂的性质 a r a s ＝a r ＋s (a ＞0，r ，s ∈Q) (a r )s ＝a rs (a ＞0，r ，s ∈Q) (ab )r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q) 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1) 4 －a 4 ＝－a .( ) (2)(－a )24 ＝(－a )12 ＝－a .( ) (3)(n a )n ＝a .( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 二、填空题 1．计算：π0 ＋2－2 ×? ?? ??2141 2＝________.
答案：118 2．设a >0，将 a 2a ·3 a 2 表示成分数指数幂的形式，其结果是________． 解析： a 2 a ·3 a 2 ＝ a 2a ·a 23 ＝ a 2a 53 ＝ a 2 a 51×32 ＝a 2 ·a - 56 ＝a - 526 ＝a 76 . 答案：a 76 3．若2a －12 ＝ 3 1－2a 3 ，则实数a 的取值范围为________． 解析： 2a －1 2 ＝|2a －1|， 3 1－2a 3 ＝1－2a . 因为|2a －1|＝1－2a . 故2a －1≤0，所以a ≤1 2. 答案：? ????－∞，12 指数幂的运算规律 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先进行指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． [典例] (1) a 3a ·5 a 4 (a >0)的值是( ) A ．1 B ．a C ．a 1 5 D ．a 1710 (2)? ????2 350＋2－2·? ????2 14-1 2－(0.01)0.5 ＝________. [解析] (1) a 3 a ·5 a 4＝ a 3 a 1 2 ·a 45 ＝a 143--25 ＝a 1710 .故选D.
函数概念与基本初等函数第四讲指数函数对数函数幂函数答案
专题二函数概念与基本初等函数I 第四讲指数函数、对数函数、幂函数答案部分2019 年 1. 解析由题意知，m 太阳 E E 太阳 ，将数据代入，可得lg 太阳10.1 m lg E 天狼星天狼星 2 ， E 天狼星 所以 E .故选A. 太阳 10 10.1 E 天狼星 sin xx , x[ n,n ], 2.解析因为cos x x f x 2 sin x x f x sin x x xcos x x 2 2
所 cos x x 所以f x为 [ n,n ]上的奇函数，因此排除A; n 0 ，因此排除B，C； sin n n f n 又 又 cos n n 2 1 n 2 故选D．3.解析：由函数y ，y log x 1 ，单调性相反，且函数 x 1 log a
1 a 图像恒 a x 2 2 1 可各满足要求的图象为D.故选D.过 ,0 2 2010-2018 年 1 1. D【解析】c log 1 y log x 为增函数， 3 log 5，因为 3 5 3 7 所以 log 5 log 3 3 log 3 1. 3 2 因为函数 1 x 1 1 1 0 y （）为减函数，所以（）（）1,故c a b,故选D. 3 4 2. B【解析】当x 0时，因为
ex 4 ex 4 x 0 ，所以此时 x e e f (x) x 2 1 0 ，故排除A. D； 1 又f (1) e 2 e ，故排除C,选B. 3. B【解析】解法一设所求函数图象上任一点的坐标为(x, y),则其关于直线x 1的对称 点的坐标为(2 x, y) ,由对称性知点(2 x, y) 在函数f (x) ln x 的图象上,所以y ln(2 x) ,故选B. 解法二由题意知,对称轴上的点(1, 0) 即在函数y ln x 的图象上也在所求函数的图象上,代入选项中的函数表达式逐一检验, 排除A, 2(1 x) ，0 x 2知，f (x) 在(0,1) 上单调递增，在(1, 2) 上
指数函数及其性质教学设计
一、标题与单位 指向数学学科核心素养的课堂教学设计 ——指数函数及其性质 《数学5 必修A版》（人教版）第二章（2.1.2） 建宁一中肖秀勇 二、教学设计 （一）内容和内容解析 本节课的内容在知识体系上起到承上启下的作用。这是在学生已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上进一步研究指数函数以及指数函数的图像与性质。在实际生活中应用也非常广泛。它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以指数函数应重点研究。这节课在授课的时候借助了空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系；构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路。 我根据所教班级的实际情况，我把这部分内容分为两节课来讲。其一，探究图象及其性质；其二，指数函数及其性质的应用。这是第一节课，所以所讲的内容是“探究图象及其性质”。作为常见函数，它一方面可以进一步深化学生对函数的理解，使学生得到较系统的函数知识和研究函的方法，另一方面也为学习对数函数、幂函数以及等比数列的学打习下坚实的基础。 （二）目标和目标解析 1、知识目标：理解并掌握指数函数的定义，熟悉指数函数的图像特点及其性质。能画出指数函数的简图，会判断指数函数的单调性，并能根据指数函数的单调性判断同底幂的大小。 2、能力目标：一方面培养学生运用信息技术解决数学问题的能力；另一方面提高学生观察分析、类比归纳和问题探究的能力。 3、情感目标：通过主动探究，合作交流学习，使学生养成积极思考，勇于探索的思想，同时培养学生的团队合作精神。 在直观想象核心素养的形成过程中，学生能够进一步发展几何直观和空间想象能力，增强运用图形和空间想象思考问题的意识，提升数形结合的能力，感悟事物的本质，培养创新思维。在教学过程中通过类比，回顾归纳从图象和解析式这两种不同角度研究函数性质的数学方法，加深对指数函数的认识，让学生在数学活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要；同时通过本节课的学习，使学生获得研究函数的规律和方法；培养学生主动学习、合作交流的意识。 （三）教学问题诊断分析
4指数与指数函数(一)
指数与指数函数（一） 【学习目标】 1.了解指数函数模型的实际背景． 2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算．3．理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点． 【重、难点】 1.重点：指数幂的运算、指数函数的概念、图像和性质 2.难点：指数幂的运算、指数函数性质及运用 【考情分析】 1.考点：指数幂的化简与运算、指数函数的图象与性质的应用 2.考情：2018·全国卷Ⅱ，3、2018·天津卷，14、2018·浙江卷，5 2017·山东卷，10、2017·北京卷，10 【课堂过程】 （一）知识回顾 1．分数指数幂 (1) m n a＝n a m(a>0，m，n∈N*，且n>1)；- m n a＝ 1 m n a (a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质：a r a s＝a r＋s，(a r)s＝a rs，(ab)r＝a r b r，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 2．指数函数的图象与性质 ( 题型一指数幂的运算 例题1.（1）．计算23×31.5×612＝________. （2）． 1 2 1332 1 4 (0.1)() a b - - ?? ? ???? a>0，b>0)＝________. （3）．若 11 22 x x- +＝3，则 33 22 22 3 2 x x x x - - +- +- ＝________. 思维升华(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意： ①必须同底数幂相乘，指数才能相加； ②运算的先后顺序． (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数． (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 题型二指数函数的图象、性质及应用 例2(1)定义运算a⊕b＝ ?? ? ??a，a≤b， b，a>b， 则函数f (x)＝1⊕2x的图象是()
指数函数及其性质教案
指数函数及其性质教案 课题：指数函数及其性质(第1课时) 教材：普通高中课程标准试验教科书人教社A版，数学必修1 教学内容：第二章，基本初等函数（I）,指数函数及其性质 教学目标 知识目标：理解指数函数的概念，初步掌握指数函数的图像和性质 能力目标：通过定义的引入，图像特征的观察，培养学生的探索发现能力，在学习过程中体会从具体到一般及数形结合的方法 情感目标：通过学生的参与过程，培养他们手脑并用、多思勤练的良好学习习惯和勇于探索、锲而不舍的治学精神。 | 教学重点﹑难点 重点：指数函数的概念和图像 难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索﹑概括指数函数的性质 教学流程设计 （一）指数函数概念的构建 1.探究：本节问题2中函数的解析式与问题1中函数的解析式有什么共同特征 师生活动：教师提出问题引导学生把对应关系概括到的形式，学生思考归纳概括共同特征 2.给出指数函数的概念 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是 & 3.剖析概念 （1）规定底数大于零且不等于1的理由： 如果=0， 如果等等时，在实数范围内实数值不存在 如果是一个常量，对它就没有研究的必要 （2）形式上的严格性 指数函数是形式定义的函数，就像初中所学的一次函数﹑反比例函数都是形式定义的概念，因此把握指数函数的形式非常重要。在指数函数的定义表达式中，前的系数必须是1，自变量在指数的位置上，否则，不是指数函数，比如等，都不是指数函数 （二）指数函数的图像及性质 ) 1.提出问题：同学们能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的方法吗 师生活动：教师引导学生回顾需要研究函数的那些性质，讨论研究指数函数性质的方法，强调数形结合，强调函数图像在研究性质中的作用，注意从具体到一般的思想方法的应用，渗透概括能力的培养，学生独立思考，提出研究指数函数性质的基本思路 2.画出函数的图像 师生活动：学生用描点法独立画图，教师课堂巡视，个别辅导，展示画的较好的学生的图像
指数和指数函数练习题及答案
指数和指数函数专题 一、选择题 1．（ 36 9a ）4（6 3 9a ）4等于（ ） （A ）a 16 （B ）a 8 （C ）a 4 （D ）a 2 2.若a>1,b<0,且a b +a -b =22,则a b -a -b 的值等于（ ） （A ）6 （B ）±2 （C ）-2 （D ）2 3．函数f （x ）=(a 2 -1)x 在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ） （A ）1>a （B ）2b,ab 0≠下列不等式（1）a 2 >b 2 ,(2)2a >2b ,(3)b a 11<,(4)a 31> b 31 ,(5)(31)a <(31) b 中恒成立的有（ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 7．函数y=1 21 2+-x x 是（ ） （A ）奇函数 （B ）偶函数 （C ）既奇又偶函数 （D ）非奇非偶函数 8．函数y= 1 21 -x 的值域是（ ） （A ）（-1,∞） （B ）（-,∞0）?（0，+∞） （C ）（-1，+∞） （D ）（-∞，-1）?（0，+∞） 9．下列函数中，值域为R + 的是（ ） （A ）y=5 x -21 （B ）y=( 3 1)1-x （C ）y=1)21(-x （D ）y=x 21- 10.函数y=2 x x e e --是（ ） （A ）奇函数且在R + 上是减函数 （B ）偶函数且在R + 上是减函数 （C ）奇函数且在R +上是增函数 （D ）偶函数且在R + 上是增函数 11．下列关系中正确的是（ ） （A ）（21）32<（51）32<（21）31 （B ）（21）31<（21）32<（51）32 （C ）（51）32<（21）31<（21）32 （D ）（51）32<（21）32<（2 1 ）31 12．若函数y=3+2x-1 的图像经过定点P 点，则P 点坐标是（ ）
第四讲 指数函数
§2.2.1 分数指数幂（1） 【教学目标】 1．理解n 次方根及根式的概念； 2．掌握n 次根式的性质,并能运用它进行化简，求值； 3．提高观察、抽象的能力． 【课前导学】 1．如果2x a =，则x 称为a 的 ； 如果3x a =，则x 称为a 的 ． 2. 如果*(1,)n x a n n N =>∈，则x 称为a 的 ；0的n 次实数方根等于 ． 3. 若n 是奇数，则a 的n 次实数方根记作n a ； 若0>a 则为 数，若o a <则为 数；若n 是偶数，且0>a ，则a 的n 次实数方根为 ；负数没有 次实数方根． 4. 式子n a ()1,n n N * >∈叫 ，n 叫 ，a 叫 ； n = ． 5. 若n = ；若n = ． 【例题讲解】 例1．求下列各式的值： （1）2 （2）3 （3 （4 *变式：解下列方程（1）3216x =-； （2）422240x x --=
例2．设－3 §2.2.1 分数指数幂（2） 【教学目标】 1．能熟练地进行分数指数幂与根式的互化； 2．熟练地掌握有理指数幂的运算法则，并能进行运算和化简． 3．会对根式、分数指数幂进行互化； 4．培养学生用联系观点看问题． 【课前导学】 1．正数的分数指数幂的意义： （1）正数的正分数指数幂的意义是m n a = ()0,,,1a m n N n *>∈>； （2）正数的负分数指数幂的意义m n a -= ()0,,,1a m n N n *>∈>． 2．分数指数幂的运算性质： 即()1r s a a = ()0,,a r s Q >∈， ()()2s r a = ()0,,a r s Q >∈， ()()3r ab = ()0,0,a b r Q >>∈． 3．有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂 指数幂同样适用. 4. 0的正分数指数幂等于 . 【例题讲解】 例1．求值（1） 12100， （2）23 8， （3）()32 9-， （4） 34 181- ?? ??? ． 例2．用分数指数幂表示下列各式(0)a >： （1）a ；（2 ；（3． 专题二 函数概念与基本初等函数Ⅰ 第四讲 指数函数、对数函数、幂函数 答案部分 2019年 1. 解析 由题意知，lg 2E m m E 5 -=太阳太阳天狼星天狼星，将数据代入，可得lg 10.1E E =太阳天狼星 ， 所以 10.1 10E E =太阳天狼星 .故选A. 2.解析 因为()2 sin cos x x f x x x +=+，π[]πx ∈-，， 所以()()()22 sin sin cos cos x x x x f x f x x x x x --+-= ==--++， 所以()f x 为[ππ]-，上的奇函数，因此排除A ； 又()22 sin πππ π0cos ππ1π f +==>+-+，因此排除B ，C ； 故选D ． 3.解析：由函数1x y a = ，1log 2a y x ??=+ ???，单调性相反，且函数1log 2a y x ? ?=+ ??? 图像恒 过1 ,02?? ??? 可各满足要求的图象为D .故选D ． 2010-2018年 1．D 【解析】1 33 1 log log 55 c ==，因为3log y x =为增函数， 所以33 37 log 5log log 312 >>=． 因为函数1()4x y =为减函数，所以10311()()144<=，故c a b >>，故选D ． 2．B 【解析】当0 又1 (1)2=- >f e e ，故排除C ，选B ． 3．B 【解析】解法一 设所求函数图象上任一点的坐标为(,)x y ，则其关于直线1x =的对称 点的坐标为(2,)x y -，由对称性知点(2,)x y -在函数()ln f x x =的图象上，所以 ln(2)y x =-，故选B ． 解法二 由题意知，对称轴上的点(1,0)即在函数ln y x =的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A ，C ，D ，选B ． 4．C 【解析】由2(1) ()(2) x f x x x -'= -，02x <<知，()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上 单调递减，排除A 、B ；又(2)ln(2)ln ()f x x x f x -=-+=， 所以()f x 的图象关于1x =对称，C 正确． 5．D 【解析】由2 280x x -->，得2x <-或4x >，设2 28u x x =--，则 (,2)x ∈-∞-，u 关于x 单调递减，(4,)x ∈+∞，u 关于x 单调递增，由对数函数的性 质，可知ln y u =单调递增，所以根据同增异减，可知单调递增区间为(4,)+∞．选D ． 6．C 【解析】函数()f x 为奇函数，所以221 (log )(log 5)5 a f f =-=， 又222log 5log 4.1log 42>>=，0.8 122<<， 由题意，a b c >>，选C ． 7．B 【解析】由11 ()3 ()(3())()33 x x x x f x f x ---=-=--=-，得()f x 为奇函数， ()(33)3ln 33ln 30x x x x f x --''=-=+>，所以()f x 在R 上是增函数．选B ． 8．A 【解析】对于A,令()e 2 x x g x -=?,1 1()e (22ln )e 2(1ln )022 x x x x x g x ---'=+=+>， 则()g x 在R 上单调递增，故()f x 具有M 性质,故选A ． 9．D 【解析】设361 80310 M x N ==，两边取对数得， 361 36180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810 x ==-=?-≈， 指数函数及其性质 【教学目标】 1．知识与技能通过实际问题了解指数函数的实际背景；理解指数函数的概念和意义，根据图象理解和掌握指数函数的性质。体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想； 2．情感、态度、价值观：让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理。培养学 生观察问题，分析问题的能力。 3．过程与方法：展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质。 【教学重难点】 重点：指数函数的概念和性质及其应用。 难点：指数函数性质的归纳，概括及其应用。 【学法与教具】 1．学法：观察法、讲授法及讨论法。 2．教具：多媒体。 【教学过程】 【第一课时】 一、情境设置 ①在本章的开头，问题（1）中时间x 与GDP 值中的 1.073(20)x y x x =∈≤与问题(2) t 1中时间t和C-14含量P的对应关系P=[(2 ，请问这两个函数有什么共同特征。 ②这两个函数有什么共同特征 15730 1][()]2 t P =t 57301把P=[()变成2，从而得出这两个关系式中的底数是一个正数，自变量为指数， 即都可以用x y a =（a ＞0且a ≠1来表示）。 二、讲授新课 指数函数的定义 一般地，函数x y a =（a ＞0且a ≠1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R 。 提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？ （1）22x y += （2）(2)x y =- （3）2x y =- （4）x y π= （5）2y x = （6）24y x = （7）x y x = （8）(1)x y a =- （a ＞1，且2a ≠） 小结：根据指数函数的定义来判断说明：因为a ＞0，x 是任意一个实数时，x a 是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R 。 00 0,0x x a a x a ?>?=?≤?? x 当时,等于若当时,无意义 若a ＜0，如 1(2),,8 x y x x =-=1先时,对于=等等,6在实数范围内的函数值不存在。 若a =1，11,x y == 是一个常量，没有研究的意义，只有满足(0,1)x y a a a =>≠且的形式才能称为指数函数，5,,3,31x x x a y x y y +===+1 x x 为常数,象y=2-3,y=2等等,不符合 ( 1)x y a a a =>≠且的形式,所以不是指数函数。 我们在学习函数的单调性的时候，主要是根据函数的图象，即用数形结合的方法来研究。 下面我们通过 先来研究a ＞1的情况 用计算机完成以下表格，并且用计算机画出函数2x y =的图象 研究，0＜a ＜1的情况，用计算机完成以下表格并绘出函数1()2 x y =的图象。 高中数学练习：指数与指数函数 基础巩固(时间：30分钟) 1.函数y=a x-(a>0，且a≠1)的图象可能是( D ) 解析：若a>1时，y=a x-是增函数; 当x=0时，y=1-∈(0，1)，A，B不满足; 若0 第四节 非线性回归模型 前面讨论的线性回归模型 n i b x b x b b y i ki i i i ,,2,122110 =+++++=ε 其结构具有两个特点：（1）被解释变量y 是解释变量的线性函数，即关于解释变量线性；（2）被解释变量y 也是参数的线性函数，即关于参数线性。但是在现实经济问题的研究中，经济变量之间大多数是非线性关系，即模型为非线性回归模型。对非线性模型，通常将其转化成线性模型进行估计。本节将讨论非线性回归模型的参数估计方法以及非线性模型中参数的特定含义。 一、 可线性化模型 在非线性回归模型中，有一些模型经过适当的变量变换或函数变换就可以转化成线性回归模型，从而将非线性回归模型的参数估计问题转化成线性回归模型的参数估计，称这类模型为可线性化模型。在计量经济分析中经常使用的可线性化模型有： （一） 倒数变换模型（双曲函数模型） 模型如下： ε++=x b a y 1 ε++=x b a y 11 设： y y x x 11==* *或 即进行变量的倒数变换，就可以将其转化成线性回归模型，所以称该模型为倒数变换模型。 倒数变换模型有一个明显特征：随着x 的无限扩大，y 将趋近于极限值a(或1/a)，即有一个渐近下限或上限。有些经济现象（如平均固定成本曲线、商品的成长曲线、菲得普斯曲线等）恰好有类似的变动规律，因此可以由倒数变换模型进行描述。 （二） 双对数模型（幂函数模型） 模型如下： ε++=x b a y ln ln 设： x x y y ln ln ==* * 则将其转换成线性回归模型： ε++=* *bx a y 对于双对数模型，因为有： 的增长速度 的增长速度x y x x y y x dx y dy x d y d b =??≈==////ln ln 因此，双对数模型中的回归系数b 恰好就是被解释变量y 关于解释变量x 的弹性。即当x 增长1%时y 的增长率。由于弹性是经济分析中的一个十分重要的指标（需求函数中的价格弹性、收入弹性、生产函数中的资金弹性、劳动弹性等），如果所研究的经济关系可以用双对数模型描述，则估计模型之后就可以直接利用系数b 进行弹性分析。因此，双对数模型是人们经常采用的一类非线性回归模型。 （三） 半对数模型 模型如下： 性质 （第一课时） 教学设计 教学设计 一、教材分析 指数函数是高中学生接触的第一个基本初等函数，是在初中学习了一次函数、二次函数、正（反）比例函数以后对函数学习的推进和加深，是前面学习了函数的集合定义及函数性质以后对函数更深入的第一个实例，指数函数与后面将要学习的两种函数都是高考的热点。 二、学情分析 学生已有了对函数的概念及性质的认识，能够从理性的层面来理解指数函数，学生理解的难点是底数a对函数图像及性质的影响，应用的难点在于指数函数与其他函数的综合运用。 三、教学目标 1、知识与技能：了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念和意义，掌握指数函数的图像、性质及简单应用。 2、过程与方法：借助于几何画板画出具体指数函数，通过自主探索， 培养学生观察、分析、归纳等抽象思维能力，体会数形结合和分类讨论思想以及从特殊到一般的抽象概括的方法。 3、情感态度与价值观：通过画指数函数的图像，体会指数函数图像的重要性，同时体现图形的对称美，激发学习兴趣，努力探究问题。 四、教学重、难点 重点：指数函数的概念、图像及其性质，底数a对函数的影响。 难点：指数函数的图像及性质，底数a对函数的影响。 五、教学学法 教法：启发诱导和合作探究相结合，引导学生主动观察与思考，合作交流、共同探索来完成本节课的教学。 学法：从学生原有的函数概念、性质等知识出发，组织、引导学生独立思考，通过合作交流、共同探索来寻求用从具体到一般的思想解决问题的方法。 六、教学过程 （一）创设情境 有一位大学毕业生到一家私营企业工作，试用期过后，老板对这位大学生很欣赏，有意留下他，就让这位大学生提出待遇方面的要求，这位学生提出了两种方案让老板选择，其一：工作一年，月薪5000；其二：工作一年，第一个月工资20元，以后每个月的工资是上个月的2倍，如果你是老板，你会如何选择呢？ 设计意图：从一个跟指数函数知识相关的有趣例子进行导入，激发学生的兴趣。 指数与指数函数 级级： 姓名： 学号： 得分： 一、选择题（每题5分，共40分） 1．（369a ）4（639a ）4等于（ ） （A ）a 16 （B ）a 8 （C ）a 4 （D ）a 2 2．下列函数中，定义域为R 的是（ ） （A ）y=5x -21 （B ）y=(3 1)1-x （C ）y=1)2 1 (-x （D ）y=x 21- 3．已知0 y A.a ＜b ＜1＜c ＜d B.b ＜a ＜1＜d ＜c C.1＜a ＜b ＜c ＜d D.a ＜b ＜1＜d ＜c 二、填空题（每题5分，共30分） 10.已知函数()14x f x a -=+的图像恒过定点P ，则点P 的坐标是___________ 11.方程96370x x -?-=的解是_________ 12.指数函数x a x f )1()(2-=是减函数，则实数a 的取值范围是 . 13.函数221x x y a a =+-（0>a 且1≠a ）在区间]1,1[-上的最大值为14，a 的值是 14.计算：412121325.0320625.0])32.0()02.0()008.0()9 45()833[(÷?÷+---_______________ 15.若()10x f x =，则()3f =———————— 三、解答题（16/17/19题各5分，18题15分，共30分） 16.设关于x 的方程02 41=--+b x x 有实数解，求实数b 的取值范围。),1[+∞- 17.设0 2021 年新高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》 指数与指数函数 1．分数指数幂 (1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是 m n a＝n a m(a>0，m，n∈N*，且n>1)．于是，在条 件a>0，m，n∈N*，且n>1下，根式都可以写成分数指数幂的形式．正数的负分数指数幂 的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定 m n a－＝ 1 m n a (a>0，m，n∈N*，且n>1).0的正 分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质：a r a s＝a r＋s，(a r)s＝a rs，(ab)r＝a r b r，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 2．指数函数的图象与性质 y＝a x a>10 2．结合指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象和性质说明a x >1(a >0，a ≠1)的解集跟a 的取值有关． 提示 当a >1时，a x >1的解集为{x |x >0}；当01的解集为{x |x <0}． 题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)n a n ＝(n a )n ＝a (n ∈N *)．( × ) (2)分数指数幂m n a 可以理解为m n 个a 相乘．( × ) (3)函数y ＝3·2x 与y ＝2x ＋1 都不是指数函数．( √ ) (4)若a m 0，且a ≠1)，则m 指数函数及其性质教案 一、教学目标： 1．通过观察、分析，归纳探究指数函数的概念，并能判断给出的具体函数是否是指数函数. 2. 会画指数函数的图象，从借助计算机画出的多个指数函数的图象中，能观察归纳出指数函数的的有关性质。至少能说出四条。 3.能根据图象或指数函数的性质判断两个具体的同底数的指数幂值的大小，以及具体的不同底数而同指数的两个指数幂值的大小. 4. 在学习的过程中，体会探究指数函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程、数形结合的方法等． 二、教学重点、难点： 教学重点：指数函数的概念、图象和性质。 < 教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质。 三、教学过程： （一）创设情景： 问题1：某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂x次后,得到的细胞分裂的个数y与x之间,构成一个函数关系,能写出x与y之间的函数关系式吗学生回答:y与x之间的关系式,可以表示为y＝2x 。 问题2：一根1米长的绳子，第1次剪去绳长的一半，第2次再剪去剩余绳子的一半，剪了x 次后，绳子的剩余长度y与x有怎样的关系学生回答:y与x之间的关系式,可以表示为y＝1 x。 () 2 （二）导入新课： 引导学生观察，两个函数中，底数是常数，指数是自变量。 设计意图：充实实例，突出底数a的取值范围，让学生体会到数学来源于生产生活实际。函数 y＝2x、y＝ 1 () 2 x分别以0 §2.5 指数与指数函数 1．分数指数幂 (1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a m n ＝n a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；正数的负分 数指数幂的意义是a －m n ＝1 n a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0 的负分数指数幂没有意义． (2)有理指数幂的运算性质：a r a s ＝a r ＋ s ，(a r )s ＝a rs ，(ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q . 2．指数函数的图象与性质 1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)(4 (－4))4＝－4. ( × ) (2)(－1)24＝(－1)1 2 ＝－1. ( × ) (3)函数y ＝a － x 是R 上的增函数． ( × ) (4)函数y ＝ax 2＋1(a >1)的值域是(0，＋∞)． ( × ) (5)函数y ＝2x －1 是指数函数． ( × ) (6)函数y ＝(14 )1－ x 的值域是(0，＋∞)． ( √ ) 2．若a ＝(2＋3)－ 1，b ＝(2－3)－ 1，则(a ＋1)－ 2＋(b ＋1) －2 的值是 ( ) A ．1 B.14 C.2 2 D.23 答案 D 解析 a ＝(2＋3)－ 1＝2－3，b ＝(2－3)－ 1＝2＋3， ∴(a ＋1)－ 2＋(b ＋1)－ 2＝(3－3)－ 2＋(3＋3)－ 2 ＝112－63＋112＋63＝23 . 3．设函数f (x )＝a －|x | (a >0，且a ≠1)，f (2)＝4，则 ( ) A ．f (－2)>f (－1) B ．f (－1)>f (－2) C ．f (1)>f (2) D ．f (－2)>f (2) 答案 A 解析 ∵f (x )＝a －|x | (a >0，且a ≠1)，f (2)＝4，∴a － 2＝4，∴a ＝12 ，∴f (x )＝????12－|x |＝2|x |，∴f (－2)>f (－1)． 4．若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是__________． 答案 (－2，－1)∪(1，2) 解析 由y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，得0 2.1.2指数函数及其性质教学设计 一、教学目标： 知识与技能：理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力。 过程与方法：通过观察图象，分析、归纳、总结、自主建构指数函数的性质。领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现、分析、解决问题的能力。 情感态度与价值观：在指数函数的学习过程中,体验数学的科学价值和应用价值,培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。 二、教学重点、难点： 教学重点：指数函数的概念、图象和性质。 教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质。 三、教学过程： （一）创设情景 问题1：某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂 x 次后,得到的细胞分裂的个数 y 与 x 之间,构成一个函数关系,能写出 x 与 y 之间的函数关系式吗？ 学生回答: y 与 x 之间的关系式,可以表示为y ＝2x 。 问题2： 一种放射性物质不断衰变为其他物质,每经过一年剩留的质量约是原来的84%.求出这种物质的剩留量随时间(单位:年)变化的函数关系.设最初的质量为1,时间变量用x 表示,剩留量用y 表示。 学生回答: y 与 x 之间的关系式,可以表示为y ＝0.84x 。 引导学生观察，两个函数中，底数是常数，指数是自变量。 1．指数函数的定义 一般地，函数()10≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 问题：指数函数定义中，为什么规定“10≠>a a 且”如果不这样规定会出现什么情况？ (1)若a<0会有什么问题？（如2 1,2=-=x a 则在实数范围内相应的函数值不存在） (2)若a=0会有什么问题？（对于0≤x ,x a 无意义） (3)若 a=1又会怎么样？（1x 无论x 取何值,它总是1,对它没有研究的必要.） 师：为了避免上述各种情况的发生,所以规定0>a 且 1≠a .公众号：数学研讨 专题二 函数概念与基本初等函数 第四讲指数函数对数函数幂函数答案
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