抽象函数的单调性问题(1)(学生版)
抽象函数的单调性(一)
或例1、 ()f x 对任意,x y R ∈都有:()()()f x y f x f y +=+,当0,()0x f x ><时,又知(1)2f =-,求()f x 在
[]3,3x ∈-上的值域。
例2、f(x)对任意实数x 与y 都有()()()2f x f y f x y -=--,当x>0时,f(x)>2
(1)求证:f(x)在R 上是增函数; (2)若f(1)=5/2,解不等式f(2a-3) < 3
专练:1、已知函数f x ()对任意x y R ,∈有f x f y f x y ()()()+=++2,当x >0时,f x ()>2,f ()35=, 求不等式f a a ()2223--<的解集。
2、定义在R 上的函数f(x)满足:对任意x ,y ∈R 都有
()()()f x y f x f y -=-,且当0,()0x f x <<时 (1)求证f(x)为奇函数; (2)若f(k ·3x )+f(3x -9x -2)<0对任意x ∈R 恒成立,求实数k 的取值范围.
或例1、f(x)是定义在x>0的函数,且f(xy) = f(x) + f(y);当x>1时有f(x)<0;f(3) = -1.
(1) 求f(1)和f(1/9)的值;(2)证明f(x)在x>0上是减函数;(3)解不等式f(x) + f(2-x) < 2。
例2、定义在(0,)+∞上函数()y f x =对任意的正数,a b 均有:()()()a f f a f b b =-,且当1x <时,()0f x >,(I )求(1)f 的值;(II )判断()f x 的单调性,
专练:1、定义在(0,)+∞上的函数f(x)对任意的正实数,x y 有)()()(y f x f y
x
f -=且当01x <<时,()0f x <. 求:(1))1(f 的值.(2)若1)6(=f ,解不等式2)1()3(<-+x f x f
2、 函数()f x 的定义域是0x ≠的一切实数,对定义域内的任意12,x x 都有1212()()()f x x f x f x ?=+,且当1
x >时()0,(2)1f x f >=又, (1)求证:()f x 是偶函数;(2)()f x 在(0,)+∞上是增函数(3)解不等式2(21)2f x -<
3、设()f x 是定义在(0,)+∞上的函数,对任意,(0,)x y ∈+∞,满足()()()f xy f x f y =+且当1x >时,()0f x >。
(1)求证:()()()x
f f x f y y
=-; (2)若(5)1f =,解不等式(1)(2) 2.f x f x +-<
或例1、定义在R 上的函数)(x f ,满足当0>x 时,,1)(>x f 且对任意,,R y x ∈有
()()(),f x y f x f y +=? 又知
(1) 2.f = (1)求)0(f 的值; (2)求证:对任意R x ∈都有0)(>x f ;(3)解不等式4)3(2>-x x f ;
专练:1、定义在R 上的函数()y f x =对任意的,m n 都有()()()f m n f m f n += ,且当0x >时,0()1f x <<, (I )证明:R x ∈都有0)(>x f ;(II )求证:()y f x =在R 上为减函数;(III )解不等式f(x)·f(2x-x 2)>1。
2、若非零函数)(x f 对任意实数b a ,均有()()()f a b f a f b +=?,且当0
(1)求证:()0f x > ;(2)求证:)(x f 为减函数 (3)当161)4(=f 时,解不等式41)5()3(2≤-?-x f x f ;
或例1、已知函数()f x 满足:①对任意,x y R ∈,都有()()()f xy f x f y = ,②(1)1,(27)9,01f f x -==<<且当时,()(0,1)f x ∈。(I )判断()f x 的奇偶性,(II )判断()f x 在[)0,+∞上的单调性,并证明。(III )若0a ≥,
且(1)f a +≤a 的取值范围。
例1、定义在[]1,1-上的奇函数()y f x =有(1)1f =,且当[],1,1m n ∈-时,总有:
()()0,()f m f n m n m n +>≠+, (I )证明:()f x 在[]1,1-上为增函数,(II)解不等式:1
1()()21
f x f x +<-,(III)若2()21f x t at ≤-+对所有[]1,1x ∈-,[]1,1a ∈-恒成立,求实数t 的取值范围.
例2、定义在(-11,)上的函数f x ()满足,对任意x y ,,∈-()11都有f x f y f x y xy
()()()+=++1,且当x ∈-()10,时,有f x ()>0, (1)试判断f x ()的奇偶性;
(2)判断f x ()的单调性; 专练:1、已知定义在(),1(1,)-∞-+∞ 上的奇函数满足:①(3)1f =;②对任意的2x >,均有()0f x >;③对
任意的,x y R +∈,均有(1)(1)(1)f x f y f xy +++=+;
(1)试求(2)f 的值;(2)求证:()f x 在(1,)+∞上是单调递增;(3)已知对任意的(0,)θπ∈,不等式2(cos sin )3f a θθ+<恒成立,求a 的取值范围,
2、已知函数f (x )的定义域为{x | x ≠ kπ,k ∈ Z },且对于定义域内的任何x 、y ,有f (x -y )= f (x )·f (y )+1f (y )-f (x )
成立,且f (a ) = 1(a 为正常数),当0 < x < 2a 时,f (x ) > 0.(I )判断f (x )奇偶性;(II )证明f (x )为周期函数;(III )求f (x )在[2a ,3a ] 上的最小值和最大值.
3、已知()f x 是定义在[-1,1]上的奇函数,且(1)1f =,若任意的[1,1]a b ∈-、,总有()(()())0a b f a f b ++>.
(1)判断函数()f x 在[-1,1]上的单调性,并证明你的结论;(2)解不等式:(1)(12)f x f x ->-;(3)若
2()21f x m pm -+≤对所有的[1,1]x ∈-恒成立,其中[1,1]p ∈-(p 是常数)
,求实数m 的取值范围.
3、 已知函数()f x 对R 上的任意实数,x y 都有:()(())y f x y f x = ,又知对x R ∈,()0f x >恒成立, 且1()13
f >;
(1)求(0)f 的值;(2)判断()f x 在R 上的单调性;
(完整版)高中抽象函数的单调性习题总结,推荐文档
10月2日 抽象函数的单调性 1、对任意都有:,当,又知 ()f x ,x y R ∈()()()f x y f x f y +=+0,()0x f x ><时,求在上的值域. (1)2f =-()f x []3,3x ∈-2、f(x)对任意实数x 与y 都有,当x>0时,f(x)>2 ()()()2f x f y f x y -=--(1)求证:f(x)在R 上是增函数; (2)若f(1)=5/2,解不等式f(2a-3) < 3. 3、已知函数对任意有,当时,f x ()x y R ,∈f x f y f x y ()()()+=++2x >0,,求不等式的解集. f x ()>2f ()35=f a a ()2223--<4、f(x)是定义在x>0的函数,且f(xy) = f(x) + f(y);当x>1时有f(x)<0;f(3) = -1. (1)求f(1)和f(1/9)的值;(2)证明f(x)在x>0上是减函数; (3)解不等式f(x) + f(2-x) < 2。 5、定义在上函数对任意的正数均有:,且当(0,)+∞()y f x =,a b (()() a f f a f b b =-时,,(I )求的值;(II )判断的单调性, 1x <()0f x >(1)f ()f x 6、若非零函数对任意实数均有,且当时,)(x f b a ,()()()f a b f a f b +=?0
函数的单调性 知识点与题型归纳
1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义. 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质. ★备考知考情 1.函数的单调性是函数的一个重要性质,是高考的热点,常见问题有:求单调区间,判断函数的单调性,求参数的取值,利用函数单调性比较数的大小,以及解不等式等.客观题主要考查函数的单调性,最值的确定与简单应用. 2.题型多以选择题、填空题的形式出现,若与导数交汇命题,则以解答题的形式出现. 一、知识梳理《名师一号》P15 注意: 研究函数单调性必须先求函数的定义域, 函数的单调区间是定义域的子集 单调区间不能并! 知识点一函数的单调性 1.单调函数的定义 1
2 2.单调性、单调区间的定义 若函数f (x )在区间D 上是增函数或减函数,则称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D 叫做f (x )的单调区间. 注意: 1、《名师一号》P16 问题探究 问题1 关于函数单调性的定义应注意哪些问题? (1)定义中x 1,x 2具有任意性,不能是规定的特定值. (2)函数的单调区间必须是定义域的子集; (3)定义的两种变式: 设任意x 1,x 2∈[a ,b ]且x 1
3 1212 ()() 0-<-f x f x x x ? f (x )在[a ,b ]上是减函数. ②(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]>0?f (x )在[a ,b ]上是增函数; (x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]<0?f (x )在[a ,b ]上是减函数. 2、《名师一号》P16 问题探究 问题2 单调区间的表示注意哪些问题? 单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示; 如有多个单调区间应分别写,不能用并集符号“∪”联结,也不能用“或”联结. 知识点二 单调性的证明方法:定义法及导数法 《名师一号》P16 高频考点 例1 规律方法 (1) 定义法: 利用定义证明函数单调性的一般步骤是: ①任取x 1、x 2∈D ,且x 1
高中一年级函数单调性完整版
函数的单调性 学习目标(1)掌握函数的基本性质(单调性、最大值或最小值、奇偶性),能应 用函数的基本性质解决一些问题。 (2)从形与数两方面理解函数单调性的概念,初步掌握利用函数图象和 单调性定义判断、证明函数单调性的方法. (3)了解奇偶性的概念,回 会利用定义判断简单函数的奇偶性。 重点与难点 (1)判断或证明函数的单调性; (2)奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断。 学习过程 【学习导航】 知识网络 学习要求 1. 从特殊到一般,掌握增函数、减函数、单调区间的概念; 2. 会根据图像说出函数的单调区间,并能指出其增减性; 3. 会用定义证明一些简单函数的单调性. 自学评价 观察函数x x f =)(,2 )(x x f =的图象 从左至右看函数图象的变化规律: (1). x x f =)(的图象是_________的, 2)(x x f =的图象在y 轴左侧是______的,2)(x x f =的图象在y 轴右侧是_______的. (2). x x f =)(在),(+∞-∞上,f (x )随着x 的增大而___________;2 )(x x f =在]0,(-∞ 上,f (x )随着x 的增大而_______;2 )(x x f =在),0(+∞上,f (x )随着x 的增大而________. 一、 函数的单调性 1.单调函数的定义 (1)增函数:一般地,设函数()f x 的定义域为I :如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x <,那么就说()f x 在这个区间上是增函数。 (2)减函数:如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时 函数的单调性 单调性的定义 定义法证明函数的单调性 增函数 减函数 单调区间 x y 0 x y 0 x x f =)( 2)(x x f =
自己整理抽象函数单调性及奇偶性练习及答案
1、已知f x ()的定义域为R ,且对任意实数x ,y 满足f xy f x f y ()()()=+,求 证:f x ()是偶函数。 2、已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的不恒为零的函数,且对定义域内的任意x,y,f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y). (1)求f(1),f(-1)的值; (2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由. 3、函数f(x)对任意x ?y ∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时, f x ()<0, f(3)=-2. (1)判断并证明f(x)在区间(-∞,+∞)上的单调性; (2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. 4、已知函数f (x )在(-1,1)上有定义,f (2 1)=-1,当且仅当0 6、定义在R 上的函数y=f(x),f(0)≠0,当x>0时,f(x)>1,且对任意的a 、b ∈R ,有f(a+b)=f(a)f(b), (1) 求证:f(0)=1; (2) 求证:对任意的x ∈R ,恒有f(x)>0; (3)证明:f(x)是R 上的增函数; (4)若f(x)·f(2x-x 2)>1,求x 的取值范围。 7、已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有1 ()()()2 f m n f m f n +=++, 且1()02f =,当1 2 x >时, ()f x >0. (1)求(1)f ; (2) 判断函数()f x 的单调性,并证明. 8、函数()f x 的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x R ∈,有()f x >0;②对任 意,x y R ∈,有()[()]y f xy f x =;③1 ()13 f >. (1)求(0)f 的值; (2)求证: ()f x 在R 上是单调减函数; 用函数单调性定义证明 例1、用函数单调性定义证明: (1)为常数)在上是增函数. (2)在上是减函数. 分析:虽然两个函数均为含有字母系数的函数,但字母对于函数的单调性并没有影响,故无须讨论. 证明: (1)设是上的任意两个实数,且, 则 = 由得,由得, . ,,即 . 于是即 . 在上是增函数. (2) 设是上的任意两个实数,且, 则 由得,由得 .又 , . 于是 即 . 在 上是减函数. 小结:由(1)中所得结论可知二次函数的单调区间只与对称轴的位置和开口方向有关,与常数 无关.若函数解析式是分式,通常变形时需要通分,将分子、分母都化成乘积的形式便于判断符号. 根据单调性确定参数 例1、函数 在 上是减函数,求 的取值集合. 分析:首先需要对 前面的系数进行分类讨论,确定函数的类型,再做进一步研究. 解:当 时,函数此时为 ,是常数函数,在 上不 具备增减性. 当 时, 为一次函数,若在 上是减函数,则有 ,解得 .故所求 的取值集合为 . 小结:此题虽比较简单,但渗透了对分类讨论的认识与使用. 例1、 设函数ax x x f -+=1)(2,其中0>a ,求a 的取值范围,使函数)(x f 在 区间[]+∞,0上是单调函数. 分析:由于函数的单调性不易直接判断,而且含有字母系数,求解过程中需要讨论字母的范围,因此可以从单调性定义出发,从定义求解释一种基本的方法,不可忽视. 解: 在[]+∞,0上任取1x ,2x ,使得21x x < )()(21x f x f -用函数单调性定义证明