数学实验概率论及数理统计分册习题Word版

数学实验

概率论与数理统计分册习题

第1章古典概率

2．碰运气能否通过英语四级考试

大学英语四级考试是全面检验大学生英语水平的一种综合考试,具有一定难度。这种考试包括听力、语法结构、阅读理解、写作等。除写作占15分外,其余85道为单项选择题,每道题附有A、B、C、D 四个选项。这种考试方法使个别学生产生碰运气和侥幸心理,那么,靠运气能通过英语四级考试吗?

解：假设学生作文得满分，即15分，85道选择题每道题都靠蒙，即每道题做对的概率为1/4，得60分则通过考试。

则该同学通过考试的概率为：

P=

4540 45

85

13

44

C

????

? ?

????

>> nchoosek(85,40)*(1/4)^45*(3/4)^40

ans =

2.3448e-008

即：8

2.344810-

?

由此可见，即使该同学作文满分，靠运气通过考试的概率也是如此的低，所以可以认为靠运气不能通过英语四级考试。

3.在区域H＝{(x，y)| (x，y)∈Q，x2+y2≤1}，Q＝{(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}上考虑计算二重积分（利用Monte-carlo法）：

??

++

=

H

dxdy

y

x

y

x

I

) sin(

解：积分区域如右图所示：

>> n = 10000; % 模拟次数

x = rand(n,1); % 点的x坐标

y = rand(n,1); % 点的y坐标

m = sum(sin(x+y)./(x+y) & x.^2 + y.^2 <= 1);

Vn = m/n % 落到所求面积内的点的频率，

即概率的模拟值

Vn =

0.7891

1

第2章 随机变量及其分布

4．公共汽车车门的高度是按成年男子与车门碰头的机会在0.01以下的标准来设计的。根据统计资料，成年男子的身高X 服从均值为168厘米，方差为7厘米的正态分布，那么车门的高度应该至少设计为多少厘米？ 解：

>> norminv(0.99, 168, 7) ans =

184.2844

则车门的高度应该至少设计为184.3厘米

5．某研究中心有同类型仪器300台，各仪器工作相互独立，而且发生故障的概率均为0.01，通常一台仪器的故障由一人即可排除。试问：（1）为保证当仪器发生故障时，不能及时排除的概率小于0.01，至少要配多少个维修工人？（2）若一人包修20台仪器，仪器发生故障时不能及时排除的概率是多少？（3）若由3人共同负责维修80台仪器，仪器发生故障时不能及时排除的概率是多少？

解： （1） 设X 表示300台仪器中发生故障的台数，则X B （300，0.01），设b 为需要配备的维修工人数，则应有P{X > b}≤0.01，即

{}{}k 300k

300P X b 1P X b 1C 0.010.99k ->=-≤=-?，由于n=300较大，p=0.01

较小，根据泊松定理，可以用λ=np=3的泊松分布近似计算。用Matlab 计算：

>> poissinv(0.99,3)

ans =

8

所以为达到要求至少需配备8名维修工人。

（2）设Y 表示20台仪器中发生故障的台数，则Y ~B （20，0.01）。若在同一时刻发生故障的仪器数Y≥2，则一个工人不能维修，此概率为

{}{}{}201

1920p1P Y 21P Y 0P Y 110.990.010.99C =≥=-=-==--??，

用Matlab 计算：

>> 1-0.99^20-nchoosek(20,1)*0.01*0.99^19

ans =

0.0169

则仪器发生故障时不能及时排除的概率是0.0169。

（3）设Z 表示80台仪器中发生故障的台数，则Z~B （80，0.01）。若在同一时刻发生故障的仪器数Z≥4，则由三个工人共同负责保修时不能及时维修，此概率为

{}

{}{}{}{}

8017922783

377

808080p2P Z 41P Z 0P Z 1P Z 2P Z 310.990.010.990.010.990.010.99C C C =≥=-=-=-=-==--??-??-??

用Matlab 计算： >>

1-0.99^80-nchoosek(80,1)*0.01*0.99^79-nchoosek(80,2)*0.01^2*0.99^78-nchoosek(80,3)*0.01^3*0.99^77

ans =

0.0087

则仪器发生故障时不能及时排除的概率是0.0087。

6.某糖果生产厂将产品包装成500克一袋出售，在众多因素的影响下包装封口后一袋的重量是随机变量，设其服从正态分布N(m ，b 2)，其中b 已知，m 可以在包装时调整，出厂检验时精确地称量每袋重量，多余500克的仍按500克一袋出售，因而厂家吃亏；不足500克的降价处理，或打开封口返工，或直接报废，这样厂方损失更大，问如何调整m 的值使得厂方损失最小？ 解：假设b=1 【实验方案】

1．设定x 为产品包装后的重量，依题意x 为一随机变量，且服从正态分布N(m ，b 2)，概率密度函数为：

2

22)(21)(b m x e

b

x f --=

π，（－∞0为已知，m 待定。

当成品重量M 给定后，记：

P ＝P(x≥M)＝()M f x dx ∞

? P ’＝P( x

f x dx -∞? 故而有 ： P ＋P’＝1

由以上分析，可将上式的第一项作为目标函数J(m)：

J(m)＝

)

(m P m

，P(m)表示概率P ＝P(x≥M)是m 的函数 分析题意可知，厂方损失Y 由两部分组成： （1）x≥L 时，多余部分，重量为（x －L ）； （2）x

M x M f x dx xf x dx ∞

-∞-+??＝m －MP

2．上式中的Y 即为没生产一袋糖果所损失的平均重量，所以生产N 袋糖果，得到N P 袋成品，损失总重量为（mN －MN P ），因此每得到一袋成品所损失糖果的平均重量J 1为：

J 1＝

mN MPN m

M PN P

-=-

3．求函数J(m)的最小值点即可。

4．问题的简化：设F(x)为正态分布N(m ，b 2)的分布函数，Φ(x)为标准正态分布的分布函数，则，

J(m)＝

)(m P m ＝1()m F M -＝1()m

M m b

--Φ

令c ＝

b m ，d ＝M

b

，z ＝d －c 则上式可简化为： J(z)＝

1()

M bz

z --Φ 【实验过程】

1．生成目标函数：

在Matlab 的Medit 建立文件Jmin ．m ： function J=Jmin(m)

J=m/(1-normcdf( (500-m),0,1)); 2．画目标函数的图形：

在Matlab 的Medit 窗口建立文件figer ．m ： for m=5000:0.001:510 J=Jmin(m); plot(m,J) hold on end

运行结果为：

从目标函数的图形可以看出，函数在500到505内取得最小值，而且当自变量向500逼近时，函数图像值急剧上升，自变量从503开始以后，函数图像接近于一条直线。

3．目标函数的最小值和最小值点的计算：

在Matlab的Medit建立文件minwaste．m：

min=600;

minm=0;

for m=500:0.001:530

J=Jmin(m);

if J<=min

min=J;

minm=m;

end

end

wasteaverage=min-500;

minm,min,wasteaverage

运行后运行结果为：

minm =

503.2570

min =

503.5405

wasteaverage =

3.5405

即当m=503.2570时，目标函数值最小，最小值为503.5405，此时，生产一袋成品所损失糖果的平均重量J1 =3.5405。

第3章随机变量的数字特征

1．设有标着1，2，…，9号码的9只球放在一个盒子中，从其中有放回地取出4只球，重复取100次，求所得号码之和X的数学期望及其方差。

解：在MATLAB命令窗口输入：

>> n = 100;

sele = [];

for ii = 1:n

sort = randperm(9);

sele(:,ii) = sort(1:4);

end

sigma = sum(sele);

Ex = mean(sigma), Dx = var(sigma)

输出结果为：

Ex =

19.7000

Dx =

15.5051

2．假定国际市场上每年对我国某种出口商品需求量ξ是随机变量（单位：吨），它服从[2000, 4000]上的均匀分布。如果售出一吨，可获利3万元，而积压一吨，需支付保管费及其它各种损失费用1万元，问应怎样决策才能使收益最大?

解：每年生产该商品x吨，收益为y，故y与需求量ξ有关，也于生产量x有关，即：