江西省分宜中学、玉山一中、临川一中等九校2020届高三数学联考试题理

江西省分宜中学、玉山一中、临川一中等九校2020届高三数学联考试

题理

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间为120分钟.

2．本试卷分试题卷和答题卷，第Ⅰ卷（选择题）的答案应填在答题卷卷首相应的空格内，做在第Ⅰ卷的无效.

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题,每小题５分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的. 1．已知集合21A x

x ??

=>????

，{}(2)(1)0B x x x =+->，则A B I 等于（）

A ．(0,2)

B ．(1,2)

C ．(2,2)-

D ．(,2)(0,)-∞-+∞U 2．设(12)i x x yi +=+，其中y x ,是实数，则

i x

=+（） A ．1

B ．2

C ．3

D ．5

3．下面框图的S 的输出值为（） A ．5 B ．6 C ．8 D ．13

4．已知随机变量X 服从正态分布2

(2,)N σ且(4)0.88P x ≤=，则(04)P x <<=（） A ．0.88

B ．0.76

C ．0.24

D ．0.12

5．在各项不为零的等差数列{}n a 中，2

201720182019220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且

20182018b a =，则220172019log ()b b 的值为（）

A ．1

B ．2 C. 4 D ．8

6．下列命题正确的个数是（）

（1）函数2

cos sin y ax ax =-的最小正周期为π”的充分不必要条件是“1a =”. （2）设1

{1,1,,3}2

a ∈-，则使函数a

y x =的定义域为R 且为奇函数的所有a 的值为1,1,3-. （3）已知函数()2ln f x x a x =+在定义域上为增函数，则0a ≥.

A ．1

B ．2

C ．3

D ．0

7．已知向量2

(,2),(3,1),(1,3)a x x b c =+=--=r r r ，若//a b r r ，则a r 与c r 夹角为（）

A ．

6π B ．3

π C ．

D ．

π 8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线所画出的是某几何体的三视图，则该几何体的

各条棱中最长的棱长为（）

A.52

B.24

C.6

D.34

9．若关于x 的不等式a x a a sin )6(2

<-+无解，则=a （） A.3- B.2- C.2 D.3

10．若()()()11221,2,,,,A B x y C x y 是抛物线2

4y x =上不同的点，且AB BC ⊥，则2y 的取值范

围是（）

A ．

∞?∞（-,-6）[10,+) B ．∞?∞（-,-6](8,+)

C ．∞?∞（-,-5][8,+)

D ．

∞?∞（-,-5][10,+) 11．已知动点),(y x P 满足：2402323x y y x x y x --+≤??

≥??+≥+?

，则22+4x y y +的最小值为（）

A 2

B 24

C ． 1-

D ．2-

12．已知函数()f x ＝20540.

x e e x x

x x ??

≥??+

y f f x f x =-的零点的个数为( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

第II 卷（非选择题共90分）

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 13．3)12)(1

x x x -+的展开式中的常数项为 .

14．已知F 1、F 2为双曲线的焦点，过F 2作垂直于实轴的直线交双曲线于A 、B 两点，BF 1交y 轴于点C ，

若AC ⊥BF 1，则双曲线的离心率为 .

15．已知矩形ABCD 的两边长分别为3=AB ，4=BC ，O 是对角线BD 的中点，

E 是AD 边上一点，沿BE 将ABE ?折起，使得A 点在平面BDC 上的投影恰

为O （如右图所示），则此时三棱锥BCD A -的外接球的表面积是 . 16．在ABC ?中，内角A,B,C 所对的边分别是,,a b c ，sin 1cos ,2sin cos A b A

b a C B

，则有如下结论：（1）1c =;（2）ABC S ?的最大值为14

; （3）当ABC S ?取最大值时，53

b =

. 则上述说法正确的结论的序号为 .

三、解答题：共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为

必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。

17.（本小题满分12分）若数列{}n a 是正项数列，且n n a a a a n +=++++2321Λ，

（1）求{n a }的通项公式；（2）设21

n n n b a a =，求数列{}n b 的前n 项和n S .

18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为梯形，AD BC P ，AD AB ⊥，且3,1PB AB AD BC ====. （1）求二面角B PD A --的大小；

（2）在线段PD 上是否存在一点M ，使得CM PA ⊥?

若存在，求出PM 的长；若不存在，说明理由.

19．（本小题满分12分）汽车的普及给人们的出行带来了诸多方便，但汽车超速行驶也造成了诸多隐患.为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间[40，80]中，其频率分布直方图如图所示.

)1(求被抽测的200辆汽车的平均时速.

(2)该路段路况良好，但属于事故高发路段，交警部门对此路段

过往车辆限速h km 60.对于超速行驶，交警部门对超速车辆有相应处罚：记分（扣除驾驶员驾照的分数）和罚款.罚款情况如下：

②该路段车流量比较大，按以前统计该路段每天来往车辆约2000辆.试预估每天的罚款总数.

20．（本小题满分12分）已知椭圆22

22:1x y C a b

+=过点()()2,0,0,1A B 两点．

（1）求椭圆C 的方程及离心率；

（2）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，

求证：四边形ABNM 的面积为定值．

21．（本小题满分12分）已知函数22ln )(2

-+=x x x x f .

(1)若函数)(x g y =的图像与)(x f 的图像关于直线e x =对称，试求)(x g y =在零点处的切线方程..

(2)函数x x x f x h --

17)()(在定义域内的两极值点为21,x x ，且21x x <，试比较2

21x x ?与3e 大

小，并说明理由.

（二）选考题：共10分。请考生在22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22.（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

已知曲线C 的极坐标方程为θρ2

2sin 314

，直线l 的参数方程为???=+=

33t y t x （t 为参数），32(P ,1),直线l 与曲线C 相交与A ，B 两点.

(1)求曲线C 和直线l 的平面直角坐标方程；

(2)求PB PA -的值.

23.（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】

设 ()11f x x x =-++ . （1）求 ()2f x x ≤+ 的解集; （2）若不等式121

()a a f x a

+--≥

，对任意实数0a ≠恒成立，求实数x 的取值范围.

参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1—5：BDABC 6—10：BACAA 11—12：DD 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.we,c

13. 6- 14. 3 15.

324π

16.（1）（3） . 三、解答题：共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为

必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。

17.（1）数列{a n }满足n n a a a a n +=++++2

321Λ．

n≥2时，1)1(21-321-+-=++++n n a a a a n Λ． ……………2分 ∴n

a n 2=

4n a n =

……………5分

1n =也满足上式.

24n a n n N *=∈， ……………6分

（2）由题意得2n n b n n N *=

=?∈，……………7分 231222322n n S n =?+?+?+???+?

23121222122n n n S n n +=

?+?+???+-?+?（）

1112222222

222212

n n

n n n n n S n n n ++++-=+++???+-?=-?=-+-?-（1-）

1212n n S n +∴=+-?（） ……………12分

18．解：

（Ⅰ）因为梯形ABCD 中，AD BC P ，AD AB ⊥, 所以BC AB ⊥. 因为PB ⊥平面ABCD ，所以PB AB PB BC ⊥⊥，, 如图，以B 为原点，

,,BC BA BP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系, …………….1分

所以(1,0,0),(3,3,0),(0,3,0),(0,0,3)C D A P .

设平面BPD 的一个法向量为(,,)n x y z =r ，平面APD 的一个法向量为(,,)m a b c =u r

因为(3,3,3),(0,0,3),PD BP =-=u u u r u u u r

所以00

PD n BP n ??=???=??u u u r r u u u r r ，即333030x y z z +-=??=?，

取1x =得到(1,1,0)n =-r

同理可得(0,1,1)m =u r

, ……………….4分

所以1

cos ,2||||

n m n m n m ?<>==-r u r

r u r r u

r , N 因为二面角B PD A --为锐角，所以二面角B PD A --为π

. ………………….6分

（Ⅱ）假设存在点M ，设(3,3,3)PM PD λλλλ==-u u u u r u u u r

，

所以(13,3,33)CM CP PM λλλλ=+=-+-u u u u r u u u r u u u u r

, ……10分所以93(33)0PA CM λλ?=-+-=u u u r u u u u r ，解得1

λ=,

所以存在点M

，且122

PM PD ==

. ……….12分 19.（本小题满分12分）

解析：)1(平均时速h km 571.0752.0655.0552.045=?+?+?+?……………3分

).2(①超速在10%～20%的速度在h km 66～h km 72之间

速度在h km 60～h km 70之间的车辆数为402.0200=?辆

所以速度在h km 66～h km 70之间的车辆数为165

40=?

辆又速度在h km 70～h km 80之间的车辆数为201.0200=?辆所以速度在h km 70～h km 72之间的车辆数为45

20=?

辆故超速10%～20%的车辆约20416=+辆 …………………8分

②设任意一辆车的罚款数为X ，被抽测的200辆汽车中均没有超速50%以上，X 的分布列如下：

故2225

15010100)(=?+?

=X E 元 ………………10分

所以预计罚款总数约为44000222000=?元…………………12分

20.解：（1）由题意得，2,1a b ==，所以椭圆C 的方程为2

214

x y +=，

又c =

所以离心率c e a =

=．．．．．．．．．．．5分（2）设()()0000,0,0P x y x y <<，则22

0044x y +=，

又()()2,0,0,1A B ，所以直线PA 的方程为()0

022

y y x x =

--，令0x =，得0022M y y x =-

-，从而0

02112m y BM y x =-=+-，直线PB 的方程为0011y y x x -=

+．令0y =，得001

N x

x y =--，从而0

0221

N x AN x y =-=+

-，所以四边形ABNM 的面积：

()

0000000000000024448411212212222x y x y x y x y S AN BM y x x y x y ?

???++--+==++= ???

----+????g 000000002244

222

x y x y x y x y --+=

=--+ 从而四边形ABNM 的面积为定值．．．．．．．．．．．． 12分

21.（本小题满分12分）

解析：).1(令0)(=x f 得：022ln 2=-+x x x

显然1=x 是)(x f y =的一个零点，又x x

x x x 22

22ln 2-=-=

，在),0(+∞上x y ln =为增函数，x x

y 22

-=为减函数，由图像可知)(x f y =有且只有一个零点1=x .

又x x x f 4ln 1)(/

++= ∴5)1(/

=f 故)(x f y =在零点处的切线方程为55-=x y

函数)(x g y =的图像与)(x f 的图像关于直线e x =对称，所以)(x g y =的零点为

12-=e x ，在此处的切线斜率为5-

所以，所求方程为)21(5e x y -+-= …………………5分

).2(x x x f x h --

=2817)()(x x x x x ---+=2281722ln x x x x --=281

ln =--

+=141ln 1)(/x x x h x x 4

ln - 所以???

????

=-=-0

41ln 041ln 2211x x x x ，要比较2

21x x ?与3e 的大小，只需比较21ln 2ln x x +与3的大

小。 …………………6分

由???

????=-=-041ln 041ln 221

1x x x x 得

41ln ln 2121=--x x x x 21ln 2ln x x +∴=)2(41

21x x +1ln )2(

)ln )(ln 2(2

121

12121-+=--+=x x x x

x x x x x x x x ……7分设3

ln )2()(--+=

x x

x x u （其中()1,0,2

∈=

x x x x ） )2

3(ln 1231ln )2()(+---+=--+=

x x x x x x x x x u

因为

012<-+x x ，而由(]1,0233ln ∈+--=x x x x y 得(]1,00)

2()

4)(1()2(9122/

∈≥+--=+-=

x x x x x x x y

故(]1,02

3ln ∈+--

=x x x x y 为增函数，最大值为0。所以在)1,0(上

3ln <+--

=x x x y 所以0)2

3(ln 1231ln )2()(>+---+=--+=x x x x x x x x x u

即

1ln )2(>-+x x

………………11分综上所述>?2

21x x 3e …………………12分

（二）选考题：共10分。请考生在22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22.（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】解：(1)曲线C 的极坐标方程为θ

ρ2

2sin 314+=

，即04sin 32

22=-+θρρ ∴曲线C 的平面直角坐标方程为14

=+y x 直线l 的平面直角坐标方程为y x 33+=

，即033=--y x ……5分

(2)易知点P 在直线l 上，∴AB

PB PA =-

又直线l 过F 3(,0)，直线l 的参数方程可改为???????'='+=

2233t y t x （t '为参数），代入

1422=+y x 得013472=-'+'t t ，71221

-='+'t t ，7

21-=''t t ∴7

4)(21221

=''-'+'='-'t t t t t t ∴AB PB PA =-7

='-'=t t ……………………10分 23.（解：(1)由

()2

f x x ≤+有

2020201

111112112112x x x x x x x x x x x x x x x +≥+≥+≥??????

≤--<<≥??????---≤+-++≤+-++≤+???

或或 ………3分

解得02x ≤≤， []0,2∴所求解集为 ……5分

（2）

21112111

21=-++≤--+

=--+a

a a a a a a ………7分当且仅当11120a a ????

-≤ ????

???

时取等号. 由不等式121

()a a f x a

+--≥

对任意实数0a ≠恒成立，可得113x x -++≥

解得33

x x ≤-

≥或 ………10分

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江西省分宜中学、玉山一中、临川一中等九校2020届高三数学联考试题理