西安高新一中2017届高一第一次月考数学试题

2017届高一第一次月考数学试题

一、选择题(每题4分，共40分)

1.设全集}7,6,5,4,3,2,1{=U ，集合}5,3,1{=A ，集合}5,3{=B ，则

（ ）

A ．

B A U ?=

B ． B A

C U U ?=)( C ．)(B C A U U ?=

D ．)()(B C A C U U U ?= 2.函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间]4,(-∞内是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．3-=a

B ．3-≥a

C ．3-≤a

D ．以上都不对

3.已知函数)(x f 为奇函数,且当0>x 时,x x x f 1

)(2+=,则=-)1(f （ ）

A ．2

B ．1

C ．0

D ．-2

4．函数2122--+-+=x x x x

y 的定义域是 （ ）

A ．]1,2[--

B ．]1,2[-

C ．),2[+∞

D ．),1()1,(+∞-∞

5．下列函数中在)0,(-∞上单调递减的是 （ ）

A ．1x

y x =+ B ．21y x x =-- C ．x x y +=2 D ．x y -=1

6．函数()(3)f x x x =--的递增区间是 （ ）

A.（0，+∞）

B.(0,3

2) C.(0,3) D.(3,+∞)

7．若函数)(x f 的定义域为(2,10]-，则函数2(3)f x x -的定义域为 ( )

A. (2,10]-

B.9,704??

???? C.[2,1)(2,5]-? D.(,1][5,)-∞?+∞

8. 已知函数3(10),()[(5)](10),

n n f n f f n n -≥?=?+

A.2

B.4

C.6

D.7

9. 已知函数()f x =的定义域是一切实数,则m 的取值范围是

A.0

B.0≤m ≤1

C. m ≥4

D.0≤m ≤4

10.设常数a ∈R ,集合()(){}|10A x x x a =--≥,{}|1B x x a =≥-.若A B =R ,则a 的取值范

围为（ ）

A ．(),2-∞

B ．(],2-∞

C ．()2,+∞

D ．[)2,+∞

二、填空题（每题4分，共16分）

11．满足条件{}{}1,21,2,3A =的所有集合A 的个数是 个.

12．已知函数f (x )、g (x )分别由下表给出：

则满足f [g (x )]>g [f (x )]的x 的值是________．

13.设偶函数g(x)=f （x-1）的定义域为R ，当[1,)x ∈+∞时f （x ）是增函数，则(1),(),(3)

f f f π--的大小关系是 ；

14．设f (x )是偶函数，且当x >0时是单调函数，则满足f (2x )＝f ? ??

??x ＋1x ＋4的所有x 之和为________．

三、解答题（共64分）

15.（12分）已知全集为实数集R,集合{|31,[1,2]}A y y x x ==-∈，2{|(1)0}B x x a x a =---≥，

（1）当3a =时，求A B ?R e;（2）若A B ?,求实数a 的取值范围。

16.（12分）已知二次函数()f x 满足(0)1f =及(1)()2f x f x x +-=，

（1）求()f x 的解析式；

（2）求()f x 在区间[]1,1-上的最大值和最小值。

17．（12分）围建一个面积为360 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x (单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y (单位：元)

(1)将y 表示为x 的函数；

(2)试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．

18.（14分）函数f (x )的定义域为D ＝{x ∈R|x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．

(1)求f (1)的值；

(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；

(3)如果f (4)＝1，f (3x ＋1)＋f (2x －6)≤3，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．

19.（14分）已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a x

，x ∈[1，＋∞)． (1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；

(2)当4a =时，证明函数f (x )在区间[2，+∞]上是增函数；

(3)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围．

2017届高一第一次月考数学答题卷

一、选择题(每题4分，共40分)

二、填空题（每题4分，共16分）

11. ； 12. ；

13. ； 14. .

三、解答题（共64分）

15.（12分）已知全集为实数集R,集合{|31,[1,2]}A y y x x ==-∈，2{|(1)0}B x x a x a =---≥，

（1）当3a =时，求A B ?R e;

（2）若A B ?,求实数a 的取值范围。

16.（12分）已知二次函数()f x 满足(0)1f =及(1)()2f x f x x +-=，

（1）求()f x 的解析式；

（2）求()f x 在区间[]1,1-上的最大值和最小值。

17．（12分）围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)

(1)将y表示为x的函数；

(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最

小总费用．

18.（14分）函数f(x)的定义域为D＝{x∈R|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．

(1)求f(1)的值；

(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；

(3)如果f(4)＝1，f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．

19.（14分）已知函数f(x)＝x2＋2x＋a

x，x∈[1，＋∞)．

(1)当a＝1

2时，求函数f(x)的最小值；

(2)当4

a 时，证明函数f(x)在区间[2，+∞]上是增函数；

(3)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．

2017届高一第一次月考数学答案

二、选择题(每题4分，共40分)

二、填空题（每题4分，共16分）

11. 4 ； 12. 2 ；

13. (3)()(1)f f f π->>- ； 14. -8 .

三、解答题（共64分）

15.（12分）已知全集为实数集R,集合{|31,[1,2]}A y y x x ==-∈，2{|(1)0}B x x a x a =---≥，

（1）当3a =时，求A B ?R e;

（2）若A B ?,求实数a 的取值范围。

16.（12分）已知二次函数()f x 满足(0)1f =及(1)()2f x f x x +-=，

（1）求()f x 的解析式；

（2）求()f x 在区间[]1,1-上的最大值和最小值。

17．（12分）围建一个面积为360 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x (单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y (单位：元)

(1)将y 表示为x 的函数；

(2)试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最

小总费用．

解析 (1)如图，设矩形的另一边长为a m ，

则y ＝45x ＋180(x －2)＋180·2a ＝225x ＋360a －360，

由已知xa ＝360，得a ＝360x .

所以y＝225x＋3602

x

－360(x＞0)．

(2)∵x＞0，∴225x＋3602

x

≥2 225×3602＝10 800.

∴y＝225x＋3602

x

－360≥10 440.

当且仅当225x＝3602

x

时，等号成立．

即当x＝24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元．

18.（14分）函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．

(1)求f(1)的值；

(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；

(3)如果f(4)＝1，f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．

解(1)∵对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，

∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.[2分]

(2)令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，

∴f(－1)＝1

2f(1)＝0.[4分]

令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，

∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．[6分]

(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，

f(16×4)＝f(16)＋f(4)＝3，[7分]

∵f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，

即f((3x＋1)(2x－6))≤f(64)[8分]

∵f(x)为偶函数，

∴f(|(3x＋1)(2x－6|)≤f(64)．[10分]

又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，f(x)的定义域为D. ∴0<|(3x＋1)(2x－6)|≤64.[11分]

解上式，得3

3≤x<－

1

3或－

1

3

∴x的取值范围为{x|－7

3≤x<－

1

3或－

1

3

19.（14分）已知函数f(x)＝x2＋2x＋a

x，x∈[1，＋∞)．

(1)当a＝1

2时，求函数f(x)的最小值；

(2)当4

a 时，证明函数f(x)在区间（0,2]上是减函数；

(3)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．

解(1)当a＝1

2时，f(x)＝x＋

1

2x＋2，

设x1，x2∈[1，＋∞)且x1

f(x1)－f(x2)＝x1＋

1

2x1－x2－

1

2x2

＝(x1－x2)(1－

1

2x1x2)

∵x1

∴1－1

2x1x2>0，

∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x1)

∴f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，

∴f(x)在区间[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝7 2.

(2)方法一在区间[1，＋∞)上，f(x)＝x2＋2x＋a

x>0恒成立，等价于x

2＋2x＋a>0恒成立．

设y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，

y＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1递增，

∴当x＝1时，y min＝3＋a，

于是当且仅当y min＝3＋a>0时，函数f(x)恒成立，故a>－3.

方法二f(x)＝x＋a

x＋2，x∈[1，＋∞)，

当a≥0时，函数f(x)的值恒为正，满足题意，当a<0时，函数f(x)递增；

当x＝1时，f(x)min＝3＋a，于是当且仅当f(x)min＝3＋a>0时，函数f(x)>0恒成立，故a>－3.

方法三在区间[1，＋∞)上f(x)＝x2＋2x＋a

x>0恒成立等价于x

2＋2x＋a>0恒成立．

即a>－x2－2x恒成立．

又∵x∈[1，＋∞)，a>－x2－2x恒成立，

∴a应大于函数u＝－x2－2x，x∈[1，＋∞)的最大值．∴a>－x2－2x＝－(x＋1)2＋1.

当x＝1时，u取得最大值－3，∴a>－3.

变式迁移2解设1

∵函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数，

∴f(x1)－f(x2)＝x1－a

x1＋

a

2－(x2－

a

x2＋

a

2)

＝(x1－x2)(1＋

a

x1x2)<0.

又∵x1－x2<0，∴1＋

a

x1x2>0，即a>－x1x2恒成立．

∵11，－x1x2<－1.

∴a≥－1，∴a的取值范围是[－1，＋∞)．