江西莲塘一中2011届高三上学期第一次月考(数学理)

江西莲塘一中10-11学年高三上学期第一次月考

数学试卷(理)

一、选择题 （本小题共12小题，每小题5分，共60分）

1．函数

1

()4x f x a -=+（0a >，且1a ≠）的图像过一个定点，则这个定点坐标是 A ．（5，1） B ．（1，5） C ．（1，4） D ．（4，1）

2

．若函数()f x =A ，函数()lg(1)g x x =-，[2,11]x ∈的值域为B ，则

A B 为

A ．(,1]-∞

B ．(,1)-∞

C ．[0,1]

D ．[0,1)

3．由直线

12x =

，x =2，曲线1

y x =

及x 轴所围图形的面积为

A ．15

4

B ．17

4

C ．1ln 2

2

D ．2ln 2

4．已知函数

1

()lg ()2x

f x x =-有两个零点21,x x ，则有 A ．

021

B ．121=x x

C ．121>x x

D ．1021<<

x x

5．点),(b a M 在函数x y 1

=

的图象上，点N 与点M 关于y 轴对称且在直线03=+-y x

上，则函数

1)()(2

-++=x b a abx x f 在区间)2,2[-上

A ．既没有最大值也没有最小值

B ．最小值为3-，无最大值

C ．最小值为3-，最大值为9

D ．最小值为413

-

，无最大值

6．已知,a b R ∈，若关于x 的方程20x ax b -+=的实根1x 和2x 满足

111x -≤≤,212x ≤≤， 则在直角坐标系aOb 中，点(,)a b 所表示的区域内的点P 到曲线

22(3)(2)1a b ++-= 上的点Q 的距离|PQ |的最小值为

A

．1 B

．1 C

．1 D

．1

7．有三个函数，第一个函数是()y f x =，第二个函数是第一个函数的反函数

1

()y f x -=， 第三个函数与第二个函数的图象关于点（1，0）对称。第三个函数是

A ．函数(2)y f x =-的反函数

B ．函数()2y f x =+的反函数

C ．函数2()y f x =--的反函数

D ．函数()2y f x =-的反函数

8．函数()y f x =是定义在[,]a b 上的增函数，其中,a b R ∈，且0b a <<-，已知

()y f x =无零点，设函数22()()()F x f x f x =+-，对于()F x 有如下四个说法：①

定义域是[,]b b -；②是偶函数；③最小值是0；④在定义域内单调递增；其中正确 说法的个数有

A ．4个

B ．3个

C ．2个

D ．1个

9．某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1， 顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成， 该八边形的面积为

（A ）2sin 2cos 2αα-+ （B

）sin 3αα+ （C

）3sin 1αα+ （D ）2sin cos 1αα-+

10． 设函数2

()2()g x x x R =-∈，()4,(),

()(),().g x x x g x f x g x x x g x ++

11．将函数()sin()f x x ω?=+的图像向左平移2π

个单位.若所得图象与原图象重合，则ω的

值不可能等于

A.4

B.6

C.8

D.12 12.设非空集合

{}

|S x m x l =≤≤满足：当x S ∈时，有2

x S ∈.给出如下三个命题：①若

1m =，则{}1S =；②若

12m =-

，则114l ≤≤；③若12l =

，则0

2m -≤≤.其中正确

命题的个数是

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）

13．设函数

, (0)()(). (0)

x x f x g x x >?=?

14．设()f x 是定义在R 上的奇函数，在(,0)-∞上有2'(2)(2)0xf x f x +<且(2)0f -=，

则不等式(2)0xf x <的解集为____________

15．如题（15）图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C ，各段弧所在的圆经过同一点P （点P 不在C 上）且半径相等. 设第i 段弧所对的圆心角为

(1,2,3)i i α=，则

23

23

1

1

cos

cos

sin

sin

3

3

3

3

αααααα++-=

____________ .

16．设定义在R 上的函数()f x 存在反函数，且对于任意R x ∈恒有(1)f x ++(4)f x --2=，

则

11

(201109))(20f x x f ---+-= 三、解答题（本大题共6小题，共74分）

17.（12分）已知定义域为R 的函数1

2()2x x b

f x a +-+=+是奇函数．（1）求,a b 的值；（2）若对任意

的t ∈R ，不等式

22

(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围．

18. （12分）在△ABC 中，

cos cos AC B

AB C =

. (Ⅰ)证明B C =； (Ⅱ)若

1cos 3A =-

，求sin 43B π??+ ?

?

?的值.

19. （12分）已知a 是实数，函数

()a x ax x f --+=3222

，如果函数()x f y =在区间[]1,1-上有零点，求a 的取值范围.

20. （12分）已知函数2()()x

f x ax bx c e -=++的图象过点(0,2)a ,且在该点处切线的倾斜角

为45°

（1）用a 表示,b c ；（2）若()f x 在[2,)+∞上为单调递增函数，求a 的取值范围；

21. （12分）已知函数

()()2,1f x x g x x ==-．

(1)若存在x ∈R 使()()

f x b

g x

(2)设()()()21F x f x mg x m m =-+--，且()|F x |在[

]

01,上单调递增，求实数m 的取值

范围．

22. （14分）设函数2

()ln()f x x a x =++

（I ）若当1x =-时，()f x 取得极值，求a 的值，并讨论()f x 的单调性；

（II ）若()f x 存在极值，求a 的取值范围，并证明所有极值之和大于e ln

2．

莲塘一中2010—2011学年度高三年级第一次月考

13. 2 14. (1,1)-

15.

1

2-

16.－3

17．解：（1）因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，即10

2b

a -+=+，

解得1b =， 从而有121()2x

x f x a +-+=+．又由(1)(1)f f =--知

1

121241a a -+-+=-

++， 解得2a =．

（2）由（1）知

12111

()

2221x x x

f x a +-+=

=-+++，

由上式易知()f x 在(,)-∞+∞上为减函数．

由()f x 为奇函数，得：不等式

22

(2)(2)0f t t f t k -+-<等价于222(2)(2)(2)f t t f t k f t k -<--=-+， 又()f x 为减函数，由上式推得：2222t t t k ->-+，

即对一切t R ∈有2

320t t k -->，从而判别式4120k ?=+<，解得

13k <-

18.

又02B π<<，于是

sin 2B =．

从而

227

sin 42sin 2cos 24cos 2sin 29B B B B B B ==

=-=-．

所以

sin(4)sin 4cos cos 4sin 33318B B B πππ

+=+=

．

19. 解：若0a = , ()23f x x =- ,显然在

[]1,1-上没有零点, 所以 0a ≠.

令

()2

48382440

a a a a ?=++=++=, 解得

32a -±=

①当

a =

时, ()y f x =恰有一个零点在

[]1,1-上; ②当

()()()()05111<--=?-a a f f ，即15a <<时，()y f x =在[]1,1-上也恰有

一个零点.

③当

()

y f x =在

[]1,1-上有两个零点时, 则

()()208244011121010a a a a f f >???=++>??-<-

1121010a a a a f f

??=++>??-<-

?≤?

?

-≤?

解得5a ≥

或

a <

综上所求实数a 的取值范围是 1a > 或

a ≤

20．解：（1）

2'()(2)()x x f x ax b e ax x c e b --=+-++2[(2)],x ax b a x c b e -=-+-+- 由已知得：'(0)1

(0)2f b c f a =-=??

=? 212c a

b a =??

=+?

（2）由（1）得2'()(1)x

f x ax x e -=-+-

()f x 在[2,)+∞上为单调增函数，则'()0[2,)f x x ≥∈+∞对恒成立，

即

2

10ax x +-≤对[2,)x ∈+∞恒成立。

即

21x a x -≤

对[2,)x ∈+∞恒成立， 令222111111

()()24x x x x x x ?-==-=--

，

1112,0,()24mix x x x ?≥∴<

≤∴=- 14a ∴≤-,故a 的取值范围是1,4??-∞- ???.

21．解：(1)存在x R ∈,()()f x bg x

()2

4004

b b b b ?-->?<>或

(2)

()22

1F x x mx m =-+-，

()2224154

m m m ?=--=-

①当0?≤

即

m ≤-

≤时,则必需

02

0m

m m ?≤???≤≤?

?≤≤??

②当0?>

即

m m <>时.设方程()0F x =的根为()12

12x ,x x x <

若12m ≥,则10x ≤.21

22

(0)10m m F m ?≥??≥??=-≤?

若0

2m ≤则2

0x ≤

20

125(0)10

m

m F m ?≤??-≤<-?

?=-≥?

综上所述:102m m -≤≤≥或

22. 解：（Ⅰ）

1

()2f x x x a '=

++， 依题意有(1)0f '-=，故

3

2a =

．

从而2231(21)(1)

()3322x x x x f x x x ++++'==

++．

()f x 的定义域为32??-+ ???，∞，当312x -<<-时，()0f x '>；

当

1

12x -<<-

时，()0f x '<；

当

1

2x >-

时，()0f x '>．

从而，()f x 分别在区间31122????---+ ? ?????，，，∞单调增加，在区间

112?

?-- ???，单调减少． （Ⅱ）()f x 的定义域为()a -+，∞，2221

()x ax f x x a ++'=

+．

方程2

2210x ax ++=的判别式2

48a ?=-． （ⅰ）若0?<

，即a <<()f x 的定义域内()0f x '>，故()f x 无极值．

（ⅱ）若0?=

，则a =

a =

若a =

()x ∈+

，2

()f x '=

．

当x =时，()0f x '=，

当

x ???∈+ ? ????? ∞时，()0f x '>，所以()f x 无极值．

若a =

)x ∈+

，2

()0

f x '=>，()f x 也无极值．

（ⅲ）若0?>，

即a >

或a <，则2

2210x a x ++=有两个不同的实

根

12a x -=

，22a x -=

．

当a <1

2x a x a <-<-，，从而()f x '在()f x 的定义域内没有零点，故()f x 无极

值．

当a >

1x a >-，2x a >-，()f x '在()f x 的定义域内有两个不同的零点，由极值判

别方法知()f x 在

12x x x x ==，取得极值．

综上，()f x 存在极值时，a 的取值范围为)+． ()f x 的极值之和为

2221211221()()ln()ln()ln 11ln 2ln

22e

f x f x x a x x a x a +=+++++=+->-=．