高等数学第三章

第三章 导数与微分

一、本章提要

1. 基本概念

瞬时速度，切线，导数，变化率，加速度，高阶导数，线性主部，微分． 2. 基本公式

基本导数表，求导法则，微分公式，微分法则，微分近似公式． 3. 基本方法

⑴ 利用导数定义求导数；

⑵ 利用导数公式与求导法则求导数； ⑶ 利用复合函数求导法则求导数； ⑷ 隐含数微分法； ⑸ 参数方程微分法； ⑹ 对数求导法；

⑺ 利用微分运算法则求微分或导数．

二、要点解析

问题1 从瞬时速度出发论述导数的实际意义，并列举一些常见变化率.

解析 对于作变速直线运动的质点，若位移变量s 与时间变量t 之间的函数关系为

)(t s s =，当t 从t 变化到t t ?+时，在间隔t ?内的平均速度为

t

t s t t s ?-?+)

()(，此式只反

映了在t 点附近速度变化的快慢程度，即为t 时刻速度的近似代替量，欲使其过渡到精确值，必须使0→?t ，即t 时刻瞬时速度为t

t s t t s t v t ?-?+=→?)

()(lim

)(0，也即瞬时速度反映函数

)(t s s =在t 时刻函数的变化率（导数），所以导数的实际意义表示函数在此点变化的快慢程

度．

常见的变化率：

⑴ 曲线)(x f y =的切线斜率x

y

d d 是纵坐标y 对横坐标x 的变化率，这是导数的几何 意义；

⑵ 电流强度

t Q

d d 是电荷Q 对时间t 的变化率； ⑶ 线密度l m

d d 是质量m 对长度l 的变化率；

⑷ 比热容θ

Q

d d 是热量Q 对温度θ的变化率，

以及人口出生率，经济增长率，化学反应速度等等．

问题2 讨论函数的可导性及如何求函数的导数？

解析 1. 我们知道，函数的连续性只是可导性的必要条件． 函数)(x f 在点0x 处可导的充分必要条件是左导数)('0x f -与右导数)('0x f +存在并且相等，即

)(')(')('000x f x f x f +-==

因此，要判定一个函数在某点是否可导，可先检查函数在该点是否连续，如果不连续，就一定不可导，如果连续，再用下面两种方法判定：

⑴ 直接用定义；

⑵ 求左、右导数看其是否存在而且相等．

当然，也可以不先检查连续性而直接用两种方法判定，但对于不连续函数，先检查连续性往

往比较方便．

2. 由于在科学技术和工程中所遇到的函数大多是初等函数．因此，我们把求初等函数的导数作为求导的重点．先是根据导数的定义，求出了几个基本初等函数——幂函数、正弦函数、余弦函数、对数函数与指数函数的导数．然后再用定义推出了几个主要的求导法则—求导的四则运算法则、复合函数的求导法则与反函数的求导法则． 借助于这些法则和上述的几个基本初等函数的导数公式，求出了其余的基本初等函数的导数公式．在此基础上解决了基本初等函数的求导问题．下面是我们解决这个问题的思路：

还需指出的是关于分段函数在分界点的求导问题． 例如，有一定义于),(+∞-∞的函数

??

?+∞<<ψ≤<∞-?=,

),(,

),()(x a x a x x x f 其中)(x ?与)(x ψ分别在区间a x ≤<∞-与+∞<

)('x f ．

⑴ a x <<∞-时，由于)()(x x f ?=，所以)(')('x x f ?=； ⑵ +∞<

⑶ 在a x =的左、右邻域，由于)(x f 要从两个不同的表达式)(x ?与)(x ψ去计值，所以求)('a f 必须先用左、右导数的定义求)('a f -与)('a f +．如果它们都存在而且相等，那么)('a f +=)('a f -=)('a f ．在这里特别注意求左、右导数要按照定义

x

a x a x a f x a f a f x x ?-?+=?-?+=--

→?→?-)

()(lim )()(lim )('00??，

x

a x a x a f x a f a f x x ?-?+=?-?+=++→?→?+)

()(lim )()(lim )('00ψψ．

我们不要因为当a x ≤<∞-时，)()(x x f ?=而认为)(')('a a f ?=. 在a

x <<∞-

时，)(')('x x f ?=是对的，这在上面已经说过但不能误认为)('a ?就是)('a f ，有时)('a f 可能不存在，如下例所示：

证明函数

?????≤>=1

,1,1

)(2x x x x x f ，

在1=x 处的导数不存在．

因为

2)2(l i m 1

)1(l i m )1()1(l i m )1('0200=?+=?-?+=?-?+=-

--→?→?→?-x x

x x f x f f x x x ， 1)11

(lim 1

11

lim )1()1(lim )1('000-=?+-=?-?+=?-?+=+++→?→?→?+x

x x x f x f f x x x ，

所以)1('f 不存在．

问题3 为什么说复合函数求导法是函数求导的核心？复合函数求导法的关键是什

么？

解析 复合函数求导法是函数求导的核心在于：利用复合函数求导法可以解决复合函数的求导问题，而且还是隐含数求导法、对数求导法、参数方程求导法等的基础．

复合函数求导法的关键是：将一个比较复杂的函数分解成几个比较简单的函数的复合形式. 在分解过程中关键是正确的设置中间变量，就是由表及里一步步地设置中间变量，使分解后的函数成为基本初等函数或易于求导的初等函数，最后逐一求导． 求导时要分清是对中间变量还是对自变量求导，对中间变量求导后，切记要乘以该中间变量对下一个中间变量（或自变量）的导数．当熟练掌握该方法后，函数分解过程可不必写出．

例1

设)1(sin ln 2

x y =，求'y .

解 令u y ln =，2

v u =，w v sin =，x w 1=，由复合函数求导法则有

x w v u x w v u x w v u w v u y y )'1()'(sin )'()'(ln '''''2???=???=

x x x x x x

x

w v u 1

c o t 2)1(1c o s 1s i n 21s i n

1

)1(c o s 212222-=-???=-???=

， 如果不写中间变量，可简写成 x x x x x x x x x

x

y )'1(sin 1sin 21sin )'1(sin 1sin 1

)'1sin

(ln '222

2

??=?==

x x

x x x

)'1(1cos 1sin

21sin 12

???=

x x

x x x x 1cot 2)1(1cos 1sin

21sin 1222

-=-???=， 在相当熟练之后，可进一步简写成 x x x x x x

x

y x x 1c o t 2)1(1c o s 1s i n 21s i n

1

)'1sin

(ln '2222

-=-???==．

问题4 微分概念在实际应用中有何实际意义？微分与导数有何区别？ 解析 微分概念的产生是解决实际问题的需要．计算函数的增量是科学技术和工程中经常遇到的问题，有时由于函数比较复杂，计算增量往往感到困难，希望有一个比较简单的方法．对可导函数类我们有一个近似计算方法，那就是用微分y d 去近似代替y ?，根据函数的微分定义知

)d (d )('d x x x x f y ?==

是函数增量

)()('x o x x f y ?+?=?

的线性主部，它有两个性质：

（1）y d 是x ?的线性函数；

（2）y ?与y d 之差是x ?的高阶无穷小（当0→?x ）．正是由于性质（1），计算y ?的近似值y d 是比较方便的，同时由于性质（2），当x ?很小时，近似程度也是较好的．因此，

一些科学工作者、工程师以及在实际工作中必须同函数的增量y ?或导数

x y

d d 打交道的人，在自己所要求的精确范围内，往往就用微分y d 去代替增量y ?，用差商x y ??代替导数x

y

d d ．

微分还有一个重要性质，就是微分形式不变性，即不论是一个自变量还是一个变量的函数，)(u f y =的微分u u f y d )('d =这一形式不变．需要说明一点是：当u 为自变量时，作为定义，u u ?=d ；当u 是另一个变量的函数时，u u ?≠d ．

微分与导数是两个不同的概念．微分是由于函数的自变量发生变化而引起的函数变化量的近似值，而导数则是函数在一点处的变化率. 对于一个给定的函数来说，它的微分跟x 与x ?都有关，而导数只与x 有关. 因为微分具有形式不变性，所以提到微分可以不说明是关于哪个变量的微分，但提到导数必须说清是对哪个变量的导数．

三、例题精解

例2

若)(x f 在点0x 处可导，求

h

h x f h x f h )

()(lim

000

βα--+→．

解 因为)(x f 在点0x 处可导，所以 )(')

()(lim

0000

x f h

x f h x f h =-+→

因此 h

h x f h x f h )

()(lim

000

βα--+→

])

()()()([lim 00000

h

x f h x f h x f h x f h β--β-β+α-α+α

=→

)(')()(')('000x f x f x f βαβα+=+=．

例3

设???>+≤=,

0,,

0,e )(x bx a x x f x 当b a ,为何值时，)(x f 在0=x 处连续且可导.

解 因为a bx a x f x f x x x

x x =+===+

+--→→→→)(lim )(lim ,1e lim )(lim 0

， 所以欲使)(x f 在0=x 处连续，须有

)0()(lim )(lim 0

f x f x f x x ==+

-→→， 由此解得1=a ，又

11

e lim )0()(lim

)0('00=-=-=--→→-x

x f x f f x x x ， b x

bx x f x f f x x =-+=-=++

→→+1

)1(lim )0()(lim )0('00， 要使)0('f 存在，则1=b ．

故当1==b a 时，)(x f 在0=x 处连续且可导． 例4

设函数)(u ?可微，求函数[]

)(sin ln 2x y ?=的微分y d ．

解一 因为x x x x y cos )(sin )(sin 2)

(sin 1''

2

?????=

，所以 x x x

x x y d )

(sin cos )(sin ')(sin 2d 2?????=

．

解二 由一阶微分形式不变性得 )(s i n d )(s i n 2)(s i n 1)(s i n d )(s i n 1d 22

2x x x x x y ????=??=

x x x

x x x x x x d )

(sin cos )(sin ')(sin 2)(sin d )(sin ')(sin )(sin 22

2???=???=

． 例5

设x x x x f 5sin 3sin sin )(=，求)0(''f .

解一 利用乘积求导法则

x x x x x x x x x x f 5c o s 3s i n s i n 55s i n 3c o s s i n 35s i n 3s i n c o s

)('++=. 继续用乘积求导法则求导得

++-=x x x x x x x f 5sin 3cos sin 305sin 3sin sin 35)('' x x x x x x 5sin 3cos cos 65cos 3sin cos 10+， 所以 0)0(''=f ．

解二 对函数先用和差化积公式得

)8cos 2(cos sin )2

1

(5sin 3sin sin )(x x x x x x x f -==

)9sin 7sin 3sin sin )(41(x x x x -++-=， )9cos 97cos 73cos 3cos )(41

()('x x x x x f -++-=，

)9sin 817sin 493sin 9)(sin 4

1

()(''x x x x x f +--=，

所以 0)0(''=f ．

解三 利用“可导的奇（偶）函数的导数为偶（奇）函数”. 由)(x f 为奇函数知)('x f 为偶函数，)(''x f 为奇函数，又因为奇函数在0=x 处函数值为零，知0)0(''=f .

比较上述方法知解三较优.

例6已知摆线的参数方程???-=-=,)cos 1(,)sin (t a y t t a x 求22d d x

y

．

解一 利用参数方程求导法求导

t t t t a t a x y c o s

1s i n )'sin ()'cos 1(d d -=--=，

)cos 1(1)cos 1(sin sin )cos 1(cos d d )

cos 1sin (d d )d d (d d d d 2

22t a t t t t t t

x t t t x y x x y -?---=-== 2

)

c o s 1(1

t a --=

． 解二 利用导数为微分之商求得

t t

t t a t t a x y c o s

1s i n d )c o s 1(d s i n d d -=

-=， 2

2222)

c o s 1(1

d )c o s 1()c o s 1(d s i n s i n )c o s 1(d c o s )c o s 1(d )d d (d d d t a t t a t t t t t t t t x x y x y --=-----==． 例7 求由x y

y x =确定的)(x f y =在()1,1处的切线方程.

解 方程两边取对数，得 y x

x y l n 1

l n 1=，即y y x x ln ln =， 方程两边对x 求导得

'1

ln '1ln y y

y y y x x x ??+=?

+， 于是，y

x

y ln 1ln 1'++=

，1')1,1(=y ．

所以，切线方程为11-=-x y ，即0=-x y ．

例8 设有一深为18cm ，顶部直径为12cm 的正圆锥形漏斗装满水，下面接一直径为10cm 的圆柱形水桶（如图所示），水由漏斗流入桶内，当漏斗中水深为12cm ，水面下降速度为1cm/s 时，求桶中水面上升的速度.

解 设在时刻t 漏斗中水面的高度)(t h h =，漏斗在高为)(t h 处的截面半径为)(t r ，桶中水面高度)(t H H =.

⑴ 建立变量h 与H 的关系，

由于在任意时刻t ，漏斗中的水与水桶中的水量之和应等于开始时装满漏斗的总水量，则

π6)(π5)()()3

π(3

22=+t H t h t r ， 又因

18)(6)(t h t r =，所以)()3

1

()(t h t r =，代入上式得

π6)(π25)()27

π(

33

=+t H t h ． ⑵ )('t h 与)('t H 之间的关系 将上式两边对t 求导得

0)('π25)(')()9

π(2

=+t H t h t h ，

所以 )('25

9)

()('2t h t h t H ??-

=， 由已知，当cm 12)(=t h 时，s cm 1)('-=t h ，代入上式得

)(25

16

)1(25912)('2cm =-??-

=t H ， 因此，当漏斗中水深为cm 12，水面下降速度为s cm 1时， 桶中水面上升速度为

cm 25

16

. 四、练习题

1.判断正误

⑴ 若函数)(x f y =在点0x 处可导，则)(x f 在点0x 处一定可导； （ × ） 解析 函数在一点可导的充要条件是函数在该点的左右导数存在并且相等．如函数

x x f =)(在0=x 处可导，而?

??≥<-==0,,0,)(x x x x x x f 在0=x 处左右导数存在但不相

等，所以)(x f 在0=x 处不可导．

⑵ 若)(x f 在点0x 处可导，则)(x f 在点0x 处一定可导； （ × ） 解析)(x f 在一点可导，)(x f 在该点不一定可导．如函数?

?

?≥<-=,0,1,

0,1)(x x x f

1)(=x f 在0=x 处可导，但)(x f 在0=x 处却不可导．

⑶ 初等函数在其定义域内一定可导； （ × ） 解析 初等函数在其定义区间内连续，但连续不一定可导．如函数2x y =是初等函

数，其定义区间为()∞+∞-,，但x x y ==

2 在0=x 点处却不可导．

⑷ 若)(x f y =在),(a a -可导且为奇（偶）函数，则在该区间内，)('x f 为偶（奇）函数； （ √ ）

)

(t )

t

解析 ① 若)(x f y =为奇函数，即)()(x f x f -=-，则由导数定义

x

x f x x f x f x ?--?+-=-'→?)

()(lim

)(0

x

x f x x f x ?+?--=→?)()(lim 0 ()[]x

x f x x f x ?--?-+=→?)(lim 0 )(x f '=，

所以)('x f 为偶函数．

② 若)(x f y =为偶函数，即)()(x f x f =-，则由导数定义

x

x f x x f x f x ?--?+-=-'→?)

()(lim

)(0

x

x f x x f x ?-?-=→?)

()(lim

()[]()1)(lim 0-??--?-+=→?x

x f x x f x )(x f '-=，

所以)('x f 为奇函数．

⑸ 若)(x f y =在点0x 处可微，则)(x f 在点0x 处也一定可导. （ √ ） 解析 因为函数在一点处可微和可导是等价的，所以命题正确.

2.选择题

⑴1-=x y 在1=x 处（ A ）；

（A ）连续； （B ）不连续； （C ）可导； （D ）可微． 解析 ?

?

?<-≥-=-=,1,1,

1,11x x x x x y

0)1(lim )(lim 1

1=-=--

→→x x f x x ，0)1(lim )(lim 1

1

=-=+

+→→x x f x x ，所以0)(lim 1

=→x f x ， 且0)1(=f ，则)1()(lim 1

f x f x =→，所以函数1-=x y 在1=x 处连续； 另一方面，x

f x f f x ?-?+='-

→?-)

1()1(lim )1(0 x x x ?-?-=-→?0lim 0 1-=，

x

f x f f x ?-?+='+

→?+)

1()1(lim )1(0 x x x ?-?=+→?0lim 0 1=， 左右导数存在但不相等，所以函数1-=x y 在1=x 处不可导，也不可微．

⑵)0(>=x x y x 的导数为（ D ）； （A ）1

-x xx

； （B ）x x x ln ； （C ）x x xx

x x ln 1

+-； （D ）)1(ln +x x x ．

解析 x x x x y ln e ==，由复合函数求导法

)1(ln )1(ln e ])(ln ln )[(e ln ln +=+='+?'='x x x x x x x y x x x x x ．

⑶下列函数中（ A ）的导数等于x 2sin )2

1

(；

（A ）x 2

sin )2

1(； （B ）x 2cos )21(； （C ）x 2sin )21(； （D ）x 2

cos )2

1(．

解析 （A ）()x x x x x x 2sin 2

1cos sin sin sin 221]sin )2

1

[(2

=?='

??=

'

， （B ）()()x x x x 2sin 22sin 21]2cos )21[(-='?-?='， （C ）()x x x x 2cos 22cos 21]2sin )21[(='??='， （D ）()x x x x x x 2sin 2

1sin cos cos cos 221]cos )21[(2-=?-='??='． ⑷若)(u f 可导，且)e (x f y =，则有（ B ）；

（A ）x f y x d )e ('d =； （B ）x f y x x d e )e ('d =； （C ）x f y x x d e )e (d =； （D ）x f y x

x d e )]'e ([d =．

解析 )e (x

f y =可以看作由)(u f y =和x

u e =复合而成的复合函数

由复合函数求导法 ()x

x

u f u f y e

)(e

)(?'=''='，

所以 x f x y y x

x d e )e ('d d =?'=．

⑸已知x y sin =，则=)

10(y （ C ）

． （A ）x sin ； （B ）x cos ； （C ）x sin -； （D ）x cos -．

解一 x y s i n

=，则x y cos ='，x y sin -=''，x y cos -='''，x y sin )4(=，依次类推，可知x y

sin )

8(=，所以x y sin )10(-=．

解二 ())π2

s i n (s i n

)

(n

x x n +

=，所以()x x x sin )π5sin(sin )10(-=+=． 3. 填空题

⑴ 曲线x y ln =上点)0,1(处的切线方程为1

-=x y ；

解 曲线在)0,1(点的切线斜率为 ()

11ln 1

1

1==

'

='===x x x x

x y ，

所以曲线x y ln =在)0,1(点处的切线方程为 1-=x y ．

⑵作变速直线运动物体的运动方程为t t t s 2)(2+=，则其运动速度为=)(t v

22+t ，加速度为=)(t a 2

；

解 已知变速直线运动的速度是位移的变化率，加速度是速度的变化率，则有 运动速度为 22)2()()(2+='+='=t t t t s t v ， 加速度为 2)22()()(='+='=t t v t a ．

⑶已知2)3('=f ，则=--→h

f h f h 2)

3()3(lim

01-；

解 h f h f h 2)3()3(l i m

0--→[])2

1

()3()(3lim 0-?---+=→h f h f h （由导数定义） )3()21(f '?-=12)21

(-=?-=．

⑷d

)1ln(x +x x

d 11

+=； 解 [])1l n (d x + []x x d )1ln('+= ()x x x d 111'

+?+=

x x

d 11?+=． ⑸若)(u f 可导，则)(sin x f y =的导数为

x

x x f 21cos )(sin ?

?'．

解 )(s i n x f y =由)(u f y =，v u sin =，x v =复合而成，由复合函数求导法，

有 )()()(x v v u u f y '?'?'='

x

v u f 21cos )(?

?'=

x

x x f 21cos )(sin ?

?'=．

4. 解答题

⑴ 设x x g x f x

ln )(,e )(==，求[])(''x g f ；

解 ()x

x

x f e

e

)(='='， ()x

x x g 1

ln )(=

'

=' 所以 x x

f x

g f 1

e ]1

[)]([='=''．

⑵ 已知?????=≠=,0,

0,

0,1sin )(2

x x x

x x f 求)('x f ； 解 0≠x 时，'=)1

sin ()('2x

x x f )1(1cos 1sin

222x x x x x -?+?=x x x 1

cos 1sin 2-=， 0=x 时，x f x f f x ?-?+='→?)0()0(lim )0(0()x

x x x ???=→?1

sin lim

20x x x ???=→?1sin lim 00=， 所以 ?????

=≠-=．0,

0,

0,1cos 1sin 2)('x x x

x x x f ⑶ 求曲线023222=++-+y x y x 的切线，使该切线平行于直线012=-+y x ； 解 由隐函数求导法有 03222='+-'+y y y x ， 所以曲线切线的斜率为 3

222+-=

'y x

y ，

设切点坐标为()00,y x ，则 0232002

02

0=++-+y x y x ， ① 又知所求切线平行于直线012=-+y x ，所以

()

23

22200

,0

0-=+-=

'y x y y x

， ②

联立①、②，解得切点坐标为()1,2-和()2,0-，

因此，所求切线方程为 )2(21--=+x y 和)0(22--=+x y ， 即 32=+y x 和 22-=+y x ．

⑷设)(x f 在点0=x 处连续，且A x

x f x =→)

(lim

（A 为常数），证明)(x f 在点0=x 处可导；

证 A x x f x =→)(lim

，则 )(lim 0x f x →x x

x f x ?=→)

(lim 00?=A 0=，

又因为)(x f 在点0=x 处连续，所以)0()(lim 0

f x f x =→， 则 0)0(=f ， 于是 A x

x f x x f x f x f f x x x ==-=-='→→→)

(lim 0)(lim )0()(lim

)0(000

，

所以)(x f 在点0=x 处可导，且A f =')0(．

⑸ 有一圆锥形容器，高为10cm ，底半径为4cm ，现以5cm 3/s 的速度把水注入该容器，求当水深5cm 时水面上升的速度：（a ）圆锥顶点在上；（b ）圆锥顶点在下.

解 设t 时刻容器内水的体积为)(t V ，水面高度为)(t h ，液面半径为)(t r ， （a ）圆锥顶点在上，容器截面如右图所示：

由三角形的相似关系，有

10

104h

r -=， 所以 5

24h

r -=，

所以 )10(π31104π31)(2

2h r t V --?=

)10()5

24(π313160π2h h ---=

)25

452448(3π32h h h +-=， 则 t h h h t V d d )251254848(3d d 2+-π=， 当cm 5=h ，

min cm 5d d 3=t V 时，解得min cm π

45d d =t h ， 所以当水深5cm 时水面上升的速度为min cm π

45

． （b ）圆锥顶点在下，容器截面如右图所示

由三角形的相似关系，有 10

4h

r =，

所以 5

2h

r =， 所以 h r t V 2π31)(=h h 2)52(3π=3

75π4h =

， 则 t

h

h t V d d 25π4d d 2=， 当cm 5=h ，min cm 5d d 3=t V 时，解得min cm π

45

d d =t h ， 所以当水深5cm 时水面上升的速度为min cm π

45

．