中考数学复习《二次函数》专项综合练习及答案
一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3），顶点为G．
（1）求抛物线和直线AC的解析式；
（2）如图，设E（m，0）为x轴上一动点，若△CGE和△CGO的面积满足S△CGE＝
S△CGO，求点E的坐标；
（3）如图，设点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右运动，运动时间为ts，点M为射线AC上一动点，过点M作MN∥x轴交抛物线对称轴右侧部分于点N．试探究点P在运动过程中，是否存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；直线AC解析式为：y＝3x+3；（2）点E 坐标为（1，0）或（﹣7，0）；（3）存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角
形，t的值为或或．
【解析】
【分析】
（1）用待定系数法即能求出抛物线和直线AC解析式．
（2）△CGE与△CGO虽然有公共底边CG，但高不好求，故把△CGE构造在比较好求的三角形内计算．延长GC交x轴于点F，则△FGE与△FCE的差即为△CGE．
（3）设M的坐标（e，3e+3），分别以M、N、P为直角顶点作分类讨论，利用等腰直角三角形的特殊线段长度关系，用e表示相关线段并列方程求解，再根据e与AP的关系求t 的值．
【详解】
（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3），
, 解得：，
∴抛物线解析式为：y=-x2+2x+3，
设直线AC解析式为y=kx+3，
∴-k+3=0，得：k=3，
∴直线AC解析式为：y=3x+3.
（2）延长GC交x轴于点F，过G作GH⊥x轴于点H，
∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴G（1，4），GH=4，
∴S△CGO=OC?x G=×3×1=，
∴S△CGE=S△CGO=×=2，
①若点E在x轴正半轴上，
设直线CG：y=k1x+3，
∴k1+3=4 得：k1=1，
∴直线CG解析式：y=x+3，
∴F（-3，0），
∵E（m，0），
∴EF=m-（-3）=m+3，
∴S△CGE=S△FGE-S△FCE=EF?GH-EF?OC=EF?（GH-OC）=（m+3）?（4-3）=，
∴=2，解得：m=1，
∴E的坐标为（1，0）.
②若点E在x轴负半轴上，则点E到直线CG的距离与点（1，0）到直线CG距离相等，即点E到F的距离等于点（1，0）到F的距离，
∴EF=-3-m=1-（-3）=4，
解得：m=-7 即E（-7，0），
综上所述，点E坐标为（1，0）或（-7，0）.
（3）存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，
设M（e，3e+3），则y N=y M=3e+3，
①若∠MPN=90°，PM=PN，如图2，过点M作MQ⊥x轴于点Q，过点N作NR⊥x轴于点R，
∵MN∥x轴，
∴MQ=NR=3e+3，
∴Rt△MQP≌Rt△NRP（HL），
∴PQ=PR，∠MPQ=∠NPR=45°，
∴MQ=PQ=PR=NR=3e+3，
∴x N=x M+3e+3+3e+3=7e+6，即N（7e+6，3e+3），∵N在抛物线上，
∴-（7e+6）2+2（7e+6）+3=3e+3，
解得：e1=-1（舍去），e2=?，
∵AP=t，OP=t-1，OP+OQ=PQ，
∴t-1-e=3e+3，
∴t=4e+4=，
②若∠PMN=90°，PM=MN，如图3，
∴MN=PM=3e+3，
∴x N=x M+3e+3=4e+3，即N（4e+3，3e+3），
∴-（4e+3）2+2（4e+3）+3=3e+3，
解得：e1=-1（舍去），e2=?，
∴t=AP=e-（-1）=?+1＝，
③若∠PNM=90°，PN=MN，如图4，
∴MN=PN=3e+3，N （4e+3，3e+3）， 解得：e=?
，
∴t=AP=OA+OP=1+4e+3=
，
综上所述，存在以P ，M ，N 为顶点的三角形为等腰直角三角形，t 的值为或
或
．
【点睛】
本题考查了待定系数法求函数解析式，坐标系中三角形面积计算，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，考查了分类讨论和方程思想．第（3）题根据等腰直角三角形的性质找到相关线段长的关系是解题关键，灵活运用因式分解法解一元二次方程能简便运算．
2．如图，对称轴为直线x 1=-的抛物线()2
y ax bx c a 0=++≠与x 轴相交于A 、B 两
点，其中A 点的坐标为（－3，0）．
（1）求点B 的坐标；
（2）已知a 1=，C 为抛物线与y 轴的交点．
①若点P 在抛物线上，且POC BOC S 4S ??=，求点P 的坐标；
②设点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值． 【答案】（1）点B 的坐标为（1，0）. （2）①点P 的坐标为（4，21）或（－4，5）. ②线段QD 长度的最大值为
94
.
【解析】 【分析】
（1）由抛物线的对称性直接得点B 的坐标．
（2）①用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得点C 的坐标，得到BOC S ?，设出点P 的坐标，根据POC BOC S 4S ??=列式求解即可求得点P 的坐标．
②用待定系数法求出直线AC 的解析式，由点Q 在线段AC 上，可设点Q 的坐标为(q,-q-3)，从而由QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，得点D 的坐标为(q,q 2+2q-3)，从而线段QD 等于两点纵坐标之差，列出函数关系式应用二次函数最值原理求解. 【详解】
解：（1）∵A 、B 两点关于对称轴x 1=-对称 ，且A 点的坐标为（－3，0）， ∴点B 的坐标为（1，0）.
（2）①∵抛物线a 1=，对称轴为x 1=-，经过点A （－3，0），
∴2a 1
b
12a 9a 3b c 0
=???
-=-??-+=??，解得a 1b 2c 3=??=??=-?. ∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=+-.
∴B 点的坐标为（0，－3）.∴OB=1，OC=3.∴BOC 13
S 1322
?=??=. 设点P 的坐标为(p,p 2+2p-3)，则POC 13
S 3p p 22
?=??=. ∵POC BOC S 4S ??=，∴
3
p 62
=，解得p 4=±. 当p 4=时2
p 2p 321+-=；当p 4=-时，2
p 2p 35+-=， ∴点P 的坐标为（4，21）或（－4，5）.
②设直线AC 的解析式为y kx b =+，将点A ，C 的坐标代入，得：
3k b 0
b 3
-+=??
=-?，解得：k 1b 3=-??=-?. ∴直线AC 的解析式为y x 3=--.
∵点Q 在线段AC 上，∴设点Q 的坐标为(q,-q-3). 又∵QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，∴点D 的坐标为(q,q 2+2q-3).
∴(
)
2
2
2
39QD q 3q 2q 3q 3q q 24??=---+-=--=-++ ??
?.
∵a 10<=-，-3
302
<<- ∴线段QD 长度的最大值为
94
.
3．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=﹣x+n与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)过C、B两点，交x轴于另一点A，连接AC，且
tan∠CAO=3．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P是射线CB上一点，过点P作x轴的垂线，垂足为H，交抛物线于Q，设P点横坐标为t，线段PQ的长为d，求出d与t之间的函数关系式，并写出相应的自变量t的取值范围；
(3)在(2)的条件下，当点P在线段BC上时，设PH=e，已知d，e是以y为未知数的一元二
次方程：y2－(m+3)y+1
4
(5m2－2m+13)="0" (m为常数)的两个实数根，点M在抛物线上，连
接MQ、MH、PM，且．MP平分∠QMH，求出t值及点M的坐标．
【答案】(1) y=-x2+2x+3；(2)
2
2
3(03)
{
3(3)
d t t t
d t t t
=-+<<
=->
；（3）t=1，2，2)和(12，
2).
【解析】
【分析】
（1）当x=0时代入抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）就可以求出y=3而得出C的坐标，就可以得出直线的解析式，就可以求出B的坐标，在直角三角形AOC中，由三角形函数值就可以求出OA的值，得出A的坐标，再由待定系数法建立二元一次方程组求出其解就可以得出结论；
（2）分两种情况讨论，当点P在线段CB上时，和如图3点P在射线BN上时，就有P点的坐标为（t，-t+3），Q点的坐标为（t，-t2+2t+3），就可以得出d与t之间的函数关系式而得出结论；
（3）根据根的判别式就可以求出m的值，就可以求出方程的解而求得PQ和PH的值，延长MP至L，使LP=MP，连接LQ、LH，如图2，延长MP至L，使LP=MP，连接LQ、LH，就可以得出四边形LQMH是平行四边形，进而得出四边形LQMH是菱形，由菱形的性质就可以求出结论．
【详解】
（1）当x=0，则y=-x+n=0+n=n，y=ax2+bx+3=3，
∴OC=3=n．
当y=0，
∴-x+3=0，x=3=OB ， ∴B （3，0）．
在△AOC 中，∠AOC ＝90°，tan ∠CAO=3
3OC OA OA
==， ∴OA=1， ∴A （-1，0）．
将A （-1，0），B （3，0）代入y=ax2+bx+3， 得
9330{30
a b a b ++=-+=， 解得：1
{
2
a b =-= ∴抛物线的解析式：y=-x 2+2x+3； (2) 如图1，
∵P 点的横坐标为t 且PQ 垂直于x 轴 ∴P 点的坐标为(t ，－t+3)， Q 点的坐标为(t ，－t 2+2t+3).
∴PQ=|(－t+3)－(－t 2+2t+3)|="|" t 2－3t |
∴22
3(03){3(3)
d t t t d t t t =-+<<=->； ∵d ，
e 是y 2－(m+3)y+
1
4
(5m 2－2m+13)=0（m 为常数）的两个实数根， ∴△≥0，即△=(m+3)2－4×
1
4
(5m 2－2m+13)≥0 整理得：△= －4(m －1)2≥0，∵－4(m －1)2≤0， ∴△=0，m=1，
∴ PQ 与PH 是y 2－4y+4=0的两个实数根，解得y 1=y 2=2 ∴ PQ=PH=2，∴－t+3=2，∴t="1," ∴此时Q 是抛物线的顶点，
延长MP 至L ，使LP=MP ，连接LQ 、LH ，如图2，
∵LP=MP，PQ=PH，∴四边形LQMH是平行四边形，
∴LH∥QM，∴∠1=∠3，∵∠1=∠2，∴∠2=∠3，
∴LH=MH，∴平行四边形LQMH是菱形，
∴PM⊥QH，∴点M的纵坐标与P点纵坐标相同，都是2，
∴在y=－x2+2x+3令y=2，得x2－2x－1=0，∴x1=1+2，x2=1－2
综上：t值为1，M点坐标为(1+2，2)和(1－2，2).
4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；
（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；
（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；（2）点M的坐标为（0，3）；
（3）符合条件的点P的坐标为（7
3
，
20
9
）或（
10
3
，﹣
13
9
），
【解析】
分析：（1）设交点式y=a（x+1）（x-3），展开得到-2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；
（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；
（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为
负倒数设直线PC的解析式为y=-
1
3
x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为
y=-1
3
x+3，再解方程组
223
1
3
3
y x x
y x
?-++
?
?
-+
??
＝
＝
得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物
线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．详解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），
即y=ax2﹣2ax﹣3a，
∴﹣2a=2，解得a=﹣1，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；
当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），
设直线AC的解析式为y=px+q，
把A（﹣1，0），C（0，3）代入得
3
p q
q
-+=
?
?
=
?
，解得
3
3
p
q
=
?
?
=
?
，
∴直线AC的解析式为y=3x+3；
（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D的坐标为（1，4），
作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），
∵MB=MB′，
∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，
而BD的值不变，
∴此时△BDM的周长最小，
易得直线DB′的解析式为y=x+3，
当x=0时，y=x+3=3，
∴点M的坐标为（0，3）；
（3）存在．
过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，
∵直线AC的解析式为y=3x+3，
∴直线PC的解析式可设为y=﹣1
3
x+b，把C（0，3）代入得b=3，
∴直线PC的解析式为y=﹣1
3
x+3，
解方程组
223
1
3
3
y x x
y x
?-++
?
?
-+
??
＝
＝
，解得
3
x
y
=
?
?
=
?
或
7
3
20
9
x
y
?
=
??
?
?=
??
，则此时P点坐标为（
7
3
，
20
9
）；
过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，
把A（﹣1，0）代入得1
3
+b=0，解得b=﹣
1
3
，
∴直线PC的解析式为y=﹣1
3x﹣
1
3
，
解方程组
223
11
33
y x x
y x
?-++
?
?
--
??
＝
＝
，解得
1
x
y
=-
?
?
=
?
或
10
3
13
9
x
y
?
=
??
?
?=-
??
，则此时P点坐标为（
10
3
，﹣
13
9
）.
综上所述，符合条件的点P的坐标为（7
3
，
20
9
）或（
10
3
，﹣
13
9
）.
点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
5．如图，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，D为抛物线对称轴上一动点，求D运动到什么位置时△DAC的周长最小；（3）如图2，点E在第一象限抛物线上，AE与BC交于点F，若AF：FE＝2：1，求E点坐
标；
（4）点M 、N 同时从B 点出发，分别沿BA 、BC 方向运动，它们的运动速度都是1个单位/秒，当点M 运动到点A 时，点N 停止运动，则当点N 停止运动后，在x 轴上是否存在点P ，使得△PBN 是等腰三角形？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）248433y x x =-++（2）81,3D ??
???
（3）点P 的坐标P 1（﹣1，0）或P 2（7，0）或P 3（﹣95，0）或P 4（1
3
，0）． 【解析】 【分析】
（1）直接待定系数法代入求解即可 （2）找到D 点在对称轴时是△DAC 周长最小的点，先求出直线BC ，然后D 点横坐标是1，直接代入直线BC 求出纵坐标即可 （3）作EH ∥AB 交BC 于H ，则∠FAB ＝∠FEH ，∠FBA ＝∠FHE ，易证△ABF ∽△EHF ，得AB AF
2EH EF
==,得EH=2，设E （x ，248x x 433-
++），则H （x ﹣2，420x 33
-+），y E ＝y H ，解出方程x ＝1或x ＝2，得到E 点坐标 （4）△PBN 是等腰三角形，分成三种情况，①BP ＝BC 时，利用等腰三角性质直接得到P 1（﹣1，0）或P 2（7，0），②当NB ＝NP 时，作NH ⊥x 轴，易得△NHB ∽△COB ，利用比例式得到NH 、 BH 从而得到 PH ＝BH ，BP ，进而得到OP ，即得到P 点坐标，③当PN ＝PB 时，取NB 中点K ，作KP ⊥BN ，交x 轴于点P ，易得△NOB ∽△PKB ，利用比例式求出PB ，进而得到OP ，即求出P 点坐标 【详解】
解：（1）将A （﹣1，0）、B （3，0）代入y ＝ax 2+bx+4，
得 40
930a b a b c -+=??++=?
解得a ＝43-
，b ＝8
3
， ∴抛物线的解析式248
433
y x x =-
++；
（2）22484164(1)3333
=-
++=--+y x x x ∴抛物线对称轴为直线x ＝1， ∴D 的横坐标为1，
由（1）可得C （0，4）， ∵B （3，0），
∴直线BC ：4
y 43
x =-+ ∵DA ＝DB ，
△DAC 的周长＝AC+CD+AD ＝AC+CD+BD ， 连接BC ，与对称轴交于点D ，
此时CD+BD 最小， ∵AC 为定值， ∴此时△DAC 的周长， 当x ＝1时，y ＝﹣43×1+4＝83
， ∴D （1，
8
3
）； （3）作EH ∥AB 交BC 于H ，则∠FAB ＝∠FEH ，∠FBA ＝∠FHE ，
∴△ABF ∽△EHF ， ∵AF ：FE ＝2：1，
∴
AB AF
2EH EF ==， ∵AB ＝4， ∴EH ＝2，
设E （x ，248x x 433-
++），则H （x ﹣2，420x 33
-+） ∵EH ∥AB ， ∴y E ＝y H ，
∴248x x 433-++=420x 33-+ 解得x ＝1或x ＝2，
y ＝
16
3
或4， ∴E （1，
16
3
）或（2，4）； （4）∵A （﹣1，0）、B （3，0），C （0，4） ∴AB ＝4，OC ＝4，
点M 运动到点A 时，BM ＝AB ＝4， ∴BN ＝4，
∵△PBN 是等腰三角形， ①BP ＝BC 时，
若P 在点B 左侧，OP ＝PB ﹣OB ＝4﹣3＝1， ∴P 1（﹣1，0），
若P 在点B 右侧，OP ＝OB+BP ＝4+3＝7， ∴P 2（7，0）；
②当NB ＝NP 时，作NH ⊥x 轴， △NHB ∽△COB ， ∴
4
5
NH BH BN OC OB BC ===
∴NH＝4
5OC＝
4
4
5
?＝
16
5
，
BH＝4
5
BC＝
12
5
，
∴PH＝BH＝12
5
，
BP＝24
5
，
∴OP＝BP﹣OB＝249
3
55
-=，
∴P3（﹣9
5
，0）；
③当PN＝PB时，
取NB中点K，作KP⊥BN，交x轴于点P，∴△NOB∽△PKB，
∴PB BK
BN OB
=
∴PB＝8
3
，
∴OP＝OB﹣PB＝3﹣8
3＝1
3
P4（1
3
，0）
综上，当△PBN是等腰三角形时，点P的坐标P1（﹣1，0）或P2（7，0）或P3（﹣9
5
，
0）或P4（1
3
，0）．
【点睛】
本题考查二次函数、平行线性质、相似三角形、等腰三角形性质及最短距离等知识点，综合程度比较高，对综合能力要求比较高. 第一问比较简单，考查待定系数法；第二问最短距离，找到D点是解题关键；第三问证明出相似是关键；第四问能够分情况讨论是解题关键
6．已知，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使PA+PC的值最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由；
（3）设点M在抛物线的对称轴上，当△MAC是直角三角形时，求点M的坐标．
【答案】（1）2
23y x x =-++；（2）当PA PC +的值最小时，点P 的坐标为()1,2；
（3）点M 的坐标为()1,1、()1,2、81,3?? ???或21,3??- ???
. 【解析】 【分析】
()1由点A 、C 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
()2连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时PA PC +取最小值，利用二次函数图象上点的坐
标特征可求出点B 的坐标，由点B 、C 的坐标利用待定系数法即可求出直线BC 的解析式，利用配方法可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P 的坐标；
()3设点M 的坐标为()1,m ，则22CM (10)(m 3)=
-+-，
()22AC [01](30)10=--+-=，()22AM [11](m 0)=--+-，分
AMC 90∠=、ACM 90∠=和CAM 90∠=三种情况，利用勾股定理可得出关于m 的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m 的值，进而即可得出点M 的坐标． 【详解】
解：()1将()1,0A -、()0,3C 代入2
y x bx c =-++中，
得：{
10
3b c c --+==，解得：{
2
3b c ==，
∴抛物线的解析式为223y x x =-++．
()2连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时PA PC +取最小值，如图1所示．
当0y =时，有2230x x -++=， 解得：11x =-，23x =，
∴点B 的坐标为()3,0．
抛物线的解析式为2
2
23(1)4y x x x =-++=--+，
∴抛物线的对称轴为直线1x =．
设直线BC 的解析式为()0y kx d k =+≠， 将()3,0B 、()0,3C 代入y kx d =+中， 得：{
30
3k d d +==，解得：{
1
3k d =-=，
∴直线BC 的解析式为3y x =-+．
当1x =时，32y x =-+=，
∴当PA PC +的值最小时，点P 的坐标为()1,2．
()3设点M 的坐标为()1,m ，
则22(10)(3)CM m =-+-，()22[01](30)10AC =--+-=，
()22[11](0)AM m =--+-．
分三种情况考虑：
①当90AMC ∠=时，有222AC AM CM =+，即22101(3)4m m =+-++，
解得：11m =，22m =，
∴点M 的坐标为()1,1或()1,2；
②当90ACM ∠=时，有222AM AC CM =+，即224101(3)m m +=++-，
解得：83
m =
， ∴点M 的坐标为81,3??
???
；
③当90CAM ∠=时，有222CM AM AC =+，即221(3)410m m +-=++，
解得：23
m =-
， ∴点M 的坐标为21,.3?
?- ??
?
综上所述：当MAC 是直角三角形时，点M 的坐标为()1,1、()1,2、81,3?? ???或21,.3??- ???
【点睛】
本题考查待定系数法求二次(一次)函数解析式、二次(一次)函数图象的点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及勾股定理，解题的关键是：()1由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；()2由两点之间线段最短结合抛物线的对称性找出点P 的位置；()3分AMC 90∠=、ACM 90∠=和CAM 90∠=三种情况，列出关于m 的方程．
7．如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-，且抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其中(1,0)A ，(0,3)C .
（1）若直线y mx n =+经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴1x =-上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；
（3）设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点，求使BPC ?为直角三角形的点P 的坐标.
【答案】（1）抛物线的解析式为2
23y x x =--+，直线的解析式为3y
x .（2）
(1,2)M -；（3）P 的坐标为(1,2)--或(1,4)-或317(1,2-或317(1,)2
-.
【解析】
分析：（1）先把点A ，C 的坐标分别代入抛物线解析式得到a 和b ，c 的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a 和b 的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a ，b ，c 的值即可得到抛物线解析式；把B 、C 两点的坐标代入直线y=mx+n ，解方程组求出m 和n 的值即可得到直线解析式；
（2）设直线BC 与对称轴x=-1的交点为M ，此时MA+MC 的值最小．把x=-1代入直线y=x+3得y 的值，即可求出点M 坐标；
（3）设P （-1，t ），又因为B （-3，0），C （0，3），所以可得BC 2=18，PB 2=（-1+3）
2
+t 2=4+t 2，PC 2=（-1）2+（t-3）2=t 2-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t 值即可求
出点P 的坐标．
详解：（1）依题意得：1
203
b
a a
b
c c ?-=-??++=??=?
?
，解得：123a b c =-??
=-??=?，
∴抛物线的解析式为223y x x =--+. ∵对称轴为1x =-，且抛物线经过()1,0A ， ∴把()3,0B -、()0,3C 分别代入直线y mx n =+， 得303m n n -+=??
=?，解之得：1
3
m n =??=?，
∴直线y mx n =+的解析式为3y x =+.
（2）直线BC 与对称轴1x =-的交点为M ，则此时MA MC +的值最小，把1x =-代入直线3y x =+得2y =，
∴()1,2M -.即当点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小时M 的坐标为()1,2-. （注：本题只求M 坐标没说要求证明为何此时MA MC +的值最小，所以答案未证明
MA MC +的值最小的原因）.
（3）设()1,P t -，又()3,0B -，()0,3C ，
∴218BC =，()2
222134PB t t =-++=+，()()2
2
2213610PC t t t =-+-=-+， ①若点B 为直角顶点，则222BC PB PC +=，即：22184610t t t ++=-+解得：
2t =-，
②若点C 为直角顶点，则222BC PC PB +=，即：22186104t t t +-+=+解得：
4t =，
③若点P 为直角顶点，则222PB PC BC +=，即：22461018t t t ++-+=解得：
1317
2
t =
，23172t -=
. 综上所述P 的坐标为()1,2--或()1,4-或317?+- ??或317?-- ??
. 点睛：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函
数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题．
8．如图①,已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A（0，3)、B（1，0），其对称轴为直线l：x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE 面积最大，并求出其最大值；
（3）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）y=x2-4x+3.（2）当m=5
2
时，四边形AOPE面积最大，最大值为
75
8
.（3）P
点的坐标为：P13+515
-
），P2（
35
，
1+5
P3
5+51+5
P455
-15
-
.
【解析】
分析：（1）利用对称性可得点D的坐标，利用交点式可得抛物线的解析式；
（2）设P（m，m2-4m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得四边形AOPE的面积，利用配方法可得其最大值；
（3）存在四种情况：
如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP≌△PNF，根据OM=PN列方程可得点P 的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标．
详解：（1）如图1，设抛物线与x轴的另一个交点为D，
由对称性得：D（3，0），
设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3），把A（0，3）代入得：3=3a，
a=1，
∴抛物线的解析式；y=x2-4x+3；
（2）如图2，设P（m，m2-4m+3），
∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，
∴∠AOE=45°，
∴△AOE是等腰直角三角形，
∴AE=OA=3，
∴E（3，3），
易得OE的解析式为：y=x，
过P作PG∥y轴，交OE于点G，
∴G（m，m），
∴PG=m-（m2-4m+3）=-m2+5m-3，
∴S四边形AOPE=S△AOE+S△POE，
=1
2
×3×3+
1
2
PG?AE，
=9
2
+
1
2
×3×（-m2+5m-3），
=-3
2
m2+
15
2
m，
中考数学易错题专题训练-二次函数练习题及答案
一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5） （1）求该函数的关系式； （2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标； （3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积． 【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）15. 【解析】 【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B 点坐标代入，即可求出二次函数的解析式； （2）根据函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x轴交点坐标； （3）由（2）可知：抛物线与x轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A′、B′的坐标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求出△OA′B′的面积． 【详解】（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4， 将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1， ∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3； （2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3）， 令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1， 即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）； （3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧）， 由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0）， 当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位， 故A'（2，4），B'（5，﹣5）， ∴S△OA′B′=1 2 ×（2+5）×9﹣ 1 2 ×2×4﹣ 1 2 ×5×5=15． 【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的
二次函数单元测试卷(含答案)
二次函数单元测试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 当-2≤ x ≦1,二次函数y=-（x-m ）2 + m 2 +1有最大值4，则实数m 值为（ ） A.-4 7 B. 3或-3 C.2或-3 D. 2或3或- 4 7 2. 函数 2 2y mx x m =+-（m 是常数）の图像与x 轴の交点个数为（ ） A. 0个 B ．1个 C ．2个 D ．1个或2个 3. 关于二次函数 2 y ax bx c =++の图像有下列命题：①当0c =时，函数の图像经过原点；②当0c >，且函数の图像开口向下时，方程2 0ax bx c ++=必有两个不相等の实根；③函数图像最高点の纵坐标是 2 44ac b a -；④当0b =时，函数の图像关于y 轴对称．其中正确命题の个数是（ ） A. 1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4. 关于x の二次函数 2 2(81)8y mx m x m =+++の图像与x 轴有交点，则m の范围是（ ） A ． 1 16m <- B ． 116m - ≥且0m ≠ C ．1 16m =- D ． 1 16m >- 且0m ≠ 5. 下列二次函数中有一个函数の图像与x 轴有两个不同の交点，这个函数是（ ） A ．2 y x = B ．24y x =+ C ．2325y x x =-+ D ．2 351y x x =+- 6. 若二次函数2 y ax c =+，当x 取1x 、2x （12x x ≠）时，函数值相等，则当x 取12x x +时，函数值为（ ） A ．a c + B ．a c - C ．c - D ．c 7. 下列二次函数中有一个函数の图像与坐标轴有一个交点，这个函数是（ ） A ．1x y 2 —= B ．24y x =+ C ．1x 2x y 2+=— D ．2 351y x x =+- 8. 抛物线2 321y x x =-+-の图象与坐标轴交点の个数是（ ） A ．没有交点 B ．只有一个交点 C ．有且只有两个交点 D ．有且只有三个交点 9. 函数2 y ax bx c =++の图象如图所示，那么关于x の一元二次方程2 30ax bx c ++-=の根の情况是（ ） A ．有两个不相等の实数根 B ．有两个异号の实数根 C ．有两个相等の实数根 D ．没有实数根
中考数学压轴题100题精选【含答案】
中考数学压轴题100题精选【含答案】 【001 】如图，已知抛物线 2 (1)y a x =-+a ≠0）经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ． （1）求该抛物线的解析式； （2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为 ()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若O C O B =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长． 【002】如图16，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1 个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB-BC-CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）． （1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是 ； （2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与 t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围） （3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成 为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由；
中考数学易错题精选-锐角三角函数练习题及答案解析
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．某地是国家AAAA 级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享誉巴渠，被誉为 “小九寨”．端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今．一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离．他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD ，想法测出了尾部C 看头顶B 的仰角为40，从前脚落地点D 看上嘴尖A 的仰角刚好60，5CB m ＝, 2.7CD m ＝．景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是3m ．于是，他们很快就算出了AB 的长．你也算算？（结果精确到0.1m ．参考数据：400.64400.77400.84sin cos tan ?≈?≈?≈，，.2 1.41,3 1.73≈≈） 【答案】AB 的长约为0.6m ． 【解析】 【分析】 作BF CE ⊥于F ，根据正弦的定义求出BF ，利用余弦的定义求出CF ，利用正切的定义求出DE ，结合图形计算即可． 【详解】 解：作BF CE ⊥于F ， 在Rt BFC ?中， 3.20BF BC sin BCF ?∠≈＝， 3.85CF BC cos BCF ?∠≈＝， 在Rt ADE ?E 中，3 1.73tan 3AB DE ADE = ==≈∠， 0.200.58BH BF HF AH EF CD DE CF ∴+＝﹣＝，＝＝﹣＝ 由勾股定理得，22BH AH 0.6(m)AB =+≈， 答：AB 的长约为0.6m ．
【点睛】 考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 2．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆O的三等分点，过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E，过点D作DF⊥AB于点F，交⊙O于点H，连接DC，AC． （1）求证：∠AEC=90°； （2）试判断以点A，O，C，D为顶点的四边形的形状，并说明理由； （3）若DC=2，求DH的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）四边形AOCD为菱形； （3）DH=2． 【解析】 试题分析：（1）连接OC，根据EC与⊙O切点C，则∠OCE=90°，由题意得 ，∠DAC=∠CAB，即可证明AE∥OC，则∠AEC+∠OCE=180°，从而得出 ∠AEC=90°； （2）四边形AOCD为菱形．由（1）得，则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是平行四边形，再由OA=OC，即可证明平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）； （3）连接OD．根据四边形AOCD为菱形，得△OAD是等边三角形，则∠AOD=60°，再由 DH⊥AB于点F，AB为直径，在Rt△OFD中，根据sin∠AOD=，求得DH的长． 试题解析：（1）连接OC，
2018年中考数学二次函数压轴题汇编
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1．如图，直线y=﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B． （1）求点B的坐标和抛物线的解析式； （2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N． ①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标； ②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值． 2．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，顶点为D（0，4），AB=4，设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C′． （1）求抛物线C的函数表达式； （2）若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围． （3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C′上的对应点P′，设M是C上的动点，N是C′上的动点，试探究四边形PMP′N能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标； （2）点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标； （3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P 在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请写出点Q的坐标． 6．已知抛物线y=x2+bx﹣3（b是常数）经过点A（﹣1，0）． （1）求该抛物线的解析式和顶点坐标； （2）P（m，t）为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P'． ①当点P'落在该抛物线上时，求m的值； ②当点P'落在第二象限内，P'A2取得最小值时，求m的值． 7．在同一直角坐标系中，抛物线C 1：y=ax2﹣2x﹣3与抛物线C 2 ：y=x2+mx+n 关于y轴对称，C 2 与x轴交于A、B两点，其中点A在点B的左侧． （1）求抛物线C 1，C 2 的函数表达式； （2）求A、B两点的坐标； （3）在抛物线C 1上是否存在一点P，在抛物线C 2 上是否存在一点Q，使得以 AB为边，且以A、B、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．已知函数y=﹣x2+（m﹣1）x+m（m为常数）． （1）该函数的图象与x轴公共点的个数是．
中考数学易错题汇编及答案
初中数学选择、填空、简答题 易错题集锦及答案 一、选择题 1、A 、B 是数轴上原点两旁的点，则它们表示的两个有理数是（ C ） A 、互为相反数 B 、绝对值相等 C 、是符号不同的数 D 、都是负数 2、有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则化简|a-b|-|a+b|的结果是（ A ） A 、2a B 、2b C 、2a-2b D 、2a+b 3、轮船顺流航行时m 千米/小时，逆流航行时(m-6)千米/小时，则水流速度（ B ） A 、2千米/小时 B 、3千米/小时 C 、6千米/小时 D 、不能确定 4、方程2x+3y=20的正整数解有（ B ） A 、1个 B 、3个 C 、4个 D 、无数个 5、下列说法错误的是（ C ） A 、两点确定一条直线 B 、线段是直线的一部分 C 、一条直线是一个平角 D 、把线段向两边延长即是直线 6、函数y=(m 2-1)x 2 -(3m-1)x+2的图象与x 轴的交点情况是 ( C ) A 、当m ≠3时，有一个交点 B 、1±≠m 时，有两个交 C 、当1±=m 时，有一个交点 D 、不论m 为何值，均无交点 7、如果两圆的半径分别为R 和r （R>r ），圆心距为d ，且(d-r)2=R 2 ，则两圆的位置关系是（ B ） A 、内切 B 、外切 C 、内切或外切 D 、不能确定 8、在数轴上表示有理数a 、b 、c 的小点分别是A 、B 、C 且b 中考数学二次函数压轴题(含答案) 面积类 1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点． （1）求抛物线的解析式． （2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长． （3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由． 解答： 解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则： a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1； ∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3． （2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有： ， 解得； 故直线BC的解析式：y=﹣x+3． 已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）； ∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）． （3）如图； ∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN?OB， ∴S△BNC=（﹣m2+3m）?3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）； ∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为． 2．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标； （3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标． 解答： 解：（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得： 0=16a﹣×4﹣2，即：a=； ∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2． （2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）； ∴OA=1，OC=2，OB=4， 即：OC2=OA?OB，又：OC⊥AB， ∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC； ∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°， ∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径； 所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：（，0）． （3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：y=x﹣2； 设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：x+b=x2﹣x﹣2，即：x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0； ∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0，即b=﹣4； ∴直线l：y=x﹣4． 所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有： ，解得：即M（2，﹣3）． 过M点作MN⊥x轴于N， S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×（2+3）+×2×3﹣×2×4=4． 二次函数2013年单元检测训练卷B 一、选择题（每题3分，共24分） ． C ． 6．（3分）发射一枚炮弹，经x s 后的高度为y m ，且高度y 与时间x 的函数关系式为y=ax +bx ，若此炮弹在第6s 之间的函数关系的图象为下列选项中的（ ） ． C D ． 8．（3分）（2006?岳阳）小明从如图的二次函数y=ax +bx+c 图象中，观察得出了下面的五条信息：①a ＜0 ；②c=0；③函数的最小值为﹣3；④当x ＜0时，y ＞0；⑤当0＜x 1＜x 2＜2时，y 1＞y 2．你认为其中正确的有多少个（ ） 9．（3分）抛物线y=ax经过点（3，5），则a=_________． 10．（3分）（2006?衡阳）抛物线y=（x﹣1）2+3的顶点坐标为_________． 11．（3分）抛物线y=（m﹣2）x2+2x+（m2﹣4）的图象经过原点，则m=_________． 12．（3分）已知抛物线y=x2+b2经过点（a，4）和（﹣a，y），则y的值是_________． 13．（3分）已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2009的值为_________．14．（3分）（2007?南宁）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点P（a，bc）在第_________象限． 15．（3分）（2003?大连）已知抛物线y=x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A，B两点，在x轴上方的抛物线上有一点C，使△ABC的面积为10，则C点坐标为_________． 16．（3分）老师给出一个二次函数，甲，乙，丙三位同学各指出这个函数的一个性质： 甲：函数的图象经过第一、二、四象限； 乙：当x＜2时，y随x的增大而减小． 丙：函数的图象与坐标轴只有两个交点． 已知这三位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数_________． 三、解答题（17题、18题、每题7分，19题、20题每题8分，21题10分，22题12分，共52分） 17．（7分）已知二次函数y=x2+4x，用配方法把该函数化为y=a（x+h）2+k（其中a，h，k都是常数，且a≠0）的形式，并指出抛物线的对称轴和顶点坐标． 18．（7分）（2010?淮北模拟）如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2）． （1）求m的值和抛物线的解析式； （2）求不等式x2+bx+c＞x+m的解集．（直接写出答案） 19．（8分）（2009?河北）已知抛物线y=ax2+bx经过点A（﹣3，﹣3）和点P（t，0），且t≠0． （1）若该抛物线的对称轴经过点A，如图，请通过观察图象，指出此时y的最小值，并写出t的值； （2）若t=﹣4，求a、b的值，并指出此时抛物线的开口方向； （3）直接写出使该抛物线开口向下的t的一个值． 一、旋转真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图1，在□ABCD中，AB=6，∠B= (60°<≤90°). 点E在BC上，连接AE，把△ABE沿AE折叠，使点B与AD上的点F重合，连接EF. (1)求证：四边形ABEF是菱形； (2)如图2，点M是BC上的动点，连接AM，把线段AM绕点M顺时针旋转得到线段MN，连接FN，求FN的最小值(用含的代数式表示). 【答案】（1）详见解析；（2）FE·sin(－90°) 【解析】 【分析】 (1)由四边形ABCD是平行四边形得AF∥BE，所以∠FAE=∠BEA，由折叠的性质得 ∠BAE=∠FAE，∠BEA=∠FEA,所以∠BAE=∠FEA，故有AB∥FE，因此四边形ABEF是平行四边形，又BE=EF,因此可得结论； (2)根据点M在线段BE上和EC上两种情况证明∠ENG＝90°－，利用菱形的性质得到∠FEN＝－90°，再根据垂线段最短，求出FN的最小值即可. 【详解】 （1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠FAE=∠BEA， 由折叠的性质得∠BAE=∠FAE，∠BEA=∠FEA, BE=EF， ∴∠BAE=∠FEA， ∴AB∥FE， ∴四边形ABEF是平行四边形， 又BE=EF， ∴四边形ABEF是菱形； （2）①如图1，当点M在线段BE上时，在射线MC上取点G，使MG＝AB，连接GN、EN. ∵∠AMN＝∠B＝，∠AMN+∠2＝∠1+∠B ∴∠1＝∠2 又AM＝NM，AB＝MG ∴△ABM≌△MGN ∴∠B＝∠3，NG＝BM ∵MG＝AB＝BE ∴EG＝AB＝NG ∴∠4=∠ENG= (180°－)＝90°－ 又在菱形ABEF中，AB∥EF ∴∠FEC＝∠B= ∴∠FEN＝∠FEC－∠4=－ (90°－)＝－90° ②如图2，当点M在线段EC上时，在BC延长线上截取MG＝AB，连接GN、EN. 同理可得：∠FEN＝∠FEC－∠4=－ (90°－)＝－90° 综上所述，∠FEN＝－90° ∴当点M在BC上运动时，点N在射线EH上运动(如图3) 当FN⊥EH时，FN最小，其最小值为FE·sin(－90°) 【点睛】 本题考查了菱形的判定与性质以及求最短距离的问题，解题的关键是分类讨论得出∠FEN ＝－90°，再运用垂线段最短求出FN的最小值. 2．在平面直角坐标系中，已知点A(0，4)，B(4，4)，点M，N是射线OC上两动点(OM＜ 中考数学易错题专题训练 班级： 姓名： 一、选择题。 1、在实数123.0,330tan ,60cos ,7 22 , 2121121112.0,,14.3,64,3,80032---- π中，无理数有（ ） A 、3个 B 、4个 C 、5个 D 、6个 2、算式2222 2222+++可化为（ ） A 、42 B 、28 C 、82 D 、16 2 3、关于x 的一元二次方程(a －5)x 2 －4x －1＝0有实数根，则a 满足（ ） A ．a ≥1 B ．a ＞1且a ≠5 C ．a ≥1且a ≠5 D ．a ≠5 4、如果关于x 的一元二次方程0962 =+-x kx 有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ） A 、1 1．如图1，已知二次函数y=ax2+x+c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC． （1）请直接写出二次函数y=ax2+x+c的表达式； （2）判断△ABC的形状，并说明理由； （3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标； （4）如图2，若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标． 2．对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离“，记作d（M，N）． 已知点A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）． （1）求d（点O，△ABC）； （2）记函数y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形G．若d（G，△ABC）=1，直接写出k的取值范围； （3）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1．若d（⊙T，△ABC）=1，直接写出t 的取值范围． 3．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=﹣x2+4x上，且横坐标为1，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，直线AB与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E的坐标为（1，1）． （1）求线段AB的长； （2）点P为线段AB上方抛物线上的任意一点，过点P作AB的垂线交AB于点 H，点F为y轴上一点，当△PBE的面积最大时，求PH+HF+FO的最小值； （3）在（2）中，PH+HF+FO取得最小值时，将△CFH绕点C顺时针旋转60°后得到△CF′H′，过点F'作CF′的垂线与直线AB交于点Q，点R为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S，使以点D，Q，R，S为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x﹣5经过点B，C． （1）求抛物线的解析式； （2）过点A的直线交直线BC于点M． ①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标； ②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M 的坐标． 二次函数单元测试卷 、选择题（每小题 3分，共30 分） 4ac - b 2 4a ；④当b = 0时，函数的图像关于 y 轴对称.其中正确命题的个数是（ A. 1 个 B. a — c F 列二次函数中有一个函数的图像与坐标轴有一个交点，这个函数是（ 2 抛物线y - -3x - 2x -1的图象与坐标轴交点的个数是（ B .只有一个交点 C .有且只有两个交点 D .有且只有三个交点 1.当-2 < x = 1,二次函数 y=- (x-m ) 2 2 + m +1 有最大值4，则实数 m 值为（ 7 A.- 4 B. ,3 或-..3 C.2 或-..3 D. 2 或3或-- 4 2.函数y = mx ? x - 2m （ m 是常数） 的图像与 X 轴的交点个数为（ A. 0 个 1个或2个 3.关于二次函数 2 y = ax bx c 的图像有下列命题：①当c = 0时, 函数的图像经过原点；②当 c 0，且 函数的图像开口向下时，方程 2 ax bx 必有两个不相等的实根；③函数图像最高点的纵坐标是 2 9.函数y 二ax bx c 的图象如图所示，那么关于 x 的一元二次方程 A .有两个不相等的实数根 B.有两个异号的实数根 4. 关于X 的二次函数 2 y =2mx （8 m 1）x 8m 的图像与x 轴有交点，则 m 的范围是（ 1 m - 一 16 1 1 m > m 二一一 B . 16 且 m=0 C . 16 D . 1 m 空一 16且 m^O 5. F 列二次函数中有 个函数的图像与 x 轴有两个不同的交点，这个函数是 C. 2 y 二 3x -2x 5 D. y 二 3x 2 5x 「1 6. 若二次函数 2 =ax c ，当x 取 X 1、 x 2 （Xi = X2 ）时，函数值相等, 则当 x 取X 1 X 2时，函数值为 _c 7. 2 .y =x — 1 2 B . y =x 4 C. y =X 2 — 2X 1 2 D. y = 3x 5x -1 8. A .没有交点 2020中考数学压轴题100题精选 （附答案解析） 【001 】如图，已知抛物线2(1)y a x =-+（a ≠0）经过点 (2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结 BC ． （1）求该抛物线的解析式； （2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长． 【002】如图16，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A 出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B 时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t 秒（t＞0）． （1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是； （2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S 与 t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（3）在点E从B向C 成 为直角梯形？若能，求t （4）当DE经过点C 时，请直接 图16 【003】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点. (1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式； A 、 S > S > S B S V S^V S? C 、 S V S 3V S> D S = S2= S3 3x 1 4一 工 9方程 -, 可以化成（ ) 0.5 0.4 30x 14-10x “ 30x 14 - A. - -10 5 4 5 4 中考数学易错题专题训练 、选择题。 1、在实数.8,3 = 3 —64,3.14,—「0.2121121112 ,-2,cos600,tan30° —3,0.123 中，无理 7 数有（ ) A 、 3个 B 、4个 C 、5个 D 、6个 2 、 算式 小2 小2 小2 2 2 2 小2 -2可化为（ ) A 、 24 B 、82 C 、28 D 、216 3、关于x 的一元二次方程（a — 5）x 2— 4x — 1 = 0有实数根，则a 满足（ ） A. a > 1 B . a > 1 且 a ^5 C . a > 1 且 a *5 D . a *5 4、 如果关于x 的一元二次方程kx 2 -6x ?9=0有两个不相等的实数根，那么 k 的取值 范围是（ ） A 、 k 1 B 、 k = 0 C 、 k : 1 且 k = 0 D 、 k 1 5、 不等式2（x -2）乞x - 2的非负整数解的个数为（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 6、不等式组 2x _3 的最小整数解是（ ） x =— K2x —2 班级: 姓名： _____________ A 、一 1 B 、0 C 、2 7、如图，反比例函数 y=在第二象限的图象上有一点 X 轴于B,且 S A AO =2 , 则k 的值为（ ） A. - 4 B.2 C. - 2 D.4 A ,过点A 作A B 丄x 1 &如图，在函数中y 的图象上有三点 A 、B 、C,过这三点分 x 别向x 轴、y 轴作垂线，过每一点所作两条垂线与 x 轴、y 轴围 成的矩形的面积分别为 S 、S 、6,则（ ） 第22章二次函数单元测试题(A卷) (考试时间：120分钟满分：120分) 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．下列函数不属于二次函数的是（） A．y=（x﹣1）（x+2）B．y=（x+1）2 C．y=2（x+3）2﹣2x2D．y=1﹣x2 2．二次函数y=2（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（） A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（1，﹣3）D．（﹣1，﹣3）3．若将函数y=3x2的图象向左平行移动1个单位，再向下平移2个单位，则所得抛物线的解析式为（） A．y=3（x﹣1）2﹣2 B．y=3（x+1）2﹣2 C．y=3（x+1）2+2 D．y=3（x﹣1）2﹣2 4．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法不正确的是（） A．b2﹣4ac＞0 B．a＞0 C．c＞0 D． 5．给出下列函数：①y=2x；②y=﹣2x+1；③y=（x＞0）；④y=x2（x＜﹣1）．其中，y随x 的增大而减小的函数是（） A．①②B．①③C．②④D．②③④6．在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（） A．B． C．D． 7．二次函数y=ax2+bx+c图象上部分的对应值如下表，则y＞0时，x的取值范围是（） A．﹣1＜x＜2 B．x＞2或x＜﹣1 C．﹣1≤x≤2D．x≥2或x≤﹣1 8．抛物线y=x2﹣2x+1与坐标轴交点为（） A．二个交点B．一个交点C．无交点D．三个交点9．在半径为4cm的圆中，挖去一个半径为xcm的圆面，剩下一个圆环的面积为ycm2，则y 与x的函数关系式为（） A．y=πx2﹣4 B．y=π（2﹣x）2C．y=﹣（x2+4）D．y=﹣πx2+16π10．如图，已知：正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是（） A．B．C．D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），则二次函数的解析式是． 12．二次函数y=x2﹣4x+5的最小值为． 13．抛物线y=x2+x﹣4与y轴的交点坐标为． 14．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加了1个，为了获得最大利润，则应降价元，最大利润为元． 中考数学易错题集锦汇总及答案 学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________ 1．如图，能判定 AB ∥CD 的条件是（ ） A ．∠1=∠2 B ．∠1+∠2= 180° C ．∠3=∠4 D ．∠3+∠1=180° 2．下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A ．（a+3）（a-3）=a 2-9； B ．x 2+x-5=（x-2）（x+3）+1； C ．a 2b+ab 2=ab （a+b ） D ．x 2+1=x （x+ x 1） 3．用科学记数方法表示0000907.0，得（ ） A ．4 1007.9-? B ．5 1007.9-? C ．6 107.90-? D ．7 107.90-? 4．小马虎在下面的计算中只做对了一道题，则他做对的题目是 （ ） A ．2 2 2 )(b a b a -=- B ．6 2 34)2(a a =- C ．5232a a a =+ D ．1)1(--=--a a 5．方程 x 3＝2 2-x 的解的情况是（ ） A ．2=x B ．6=x C ．6-=x D ．无解 6．已知2 35x x ++的值为 3，则代数式2 391x x +-的值为（ ） A ．-9 B ．-7 C ．0 D ．3 7．下列事件中，届于不确定事件的是（ ） A ．2008年奥运会在北京举行 B．太阳从西边升起 C．在1，2，3，4中任取一个教比 5大 D．打开数学书就翻到第10页 8．下列长度的三条线段能组成三角形的是（） A．5cm,3cm,1cm B．6cm,4cm,2cm C． 8cm, 5cm, 3cm D． 9cm,6cm,4cm 9．在下面四个图形中，既包含图形的旋转，又有图形的轴对称设计的是（） A．B．C．D． 10．下列说法中，正确的是（） A．一颗质地均匀的骰子已连续抛掷了 2000次，其中抛掷出 5点的次数最少，则第2001次一定抛掷出 5点 B．某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票一定会中奖 C．天气预报说明天下雨的概率是50%，所以明天将有一半时间在下雨 D．抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等 11．某地区10户家庭的年消费情况如下：年消费l0万元的有2户，年消费5万元的有l 户，年消费1．5万元的有6户，年消费7千元的有1户．可估计该地区每户年消费金额的一般水平为（） A.1．5万元 B．5万元 C．10万元 D．3.47万元 12．三角形的一个外角小于与它相邻的内角，这个三角形是（） A．直角三角形B．锐角三角形 C．钝角三角形D．属于哪一类不能确定 13．下列图形中，由已知图形通过平移变换得到的是（） 2018二次函数压轴题解题 技巧 标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 二次函数压轴题解题技巧 引言：解数学压轴题一般可以分为三个步骤：认真审题，理解题意、探究解题思路、正确解答。审题要全面审视题目的所有条件和答题要求，在整体上把握试题的特点、结构，以利于解题方法的选择和解题步骤的设计。解数学压轴题要善于总结解数学压轴题中所隐含的重要数学思想，如转化思想、数形结合思想、分类讨论思想及方程的思想等。认识条件和结论之间的关系、图形的几何特征与数、式的数量、结构特征的关系，确定解题的思路和方法．当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条件和内在联系，既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃。 一、动态：动点、动线 1．如图，抛物线与x 轴交于A (x 1，0)、B (x 2，0)两点，且x 1＞x 2，与y 轴交于点C (0，4)，其中x 1、x 2是方程x 2－2x －8＝0的两个根． (1)求这条抛物线的解析式； (2)点P 是线段AB 上的动点，过点P 作PE ∥AC ，交BC 于点E ，连接CP ，当△CPE 的面积最大时，求点P 的坐标； (3)探究：若点Q 是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q ，使△QBC 成说明理由． 二、圆 2．如图1，在平面直角坐标系xOy ，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象顶点为D ，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、B ，点A 在原点的左侧，点B 的坐标为(3，0)，OB ＝OC ， tan ∠ACO ＝ 1 3． (1)求这个二次函数的解析式； (2)若平行于x 轴的直线与该抛物线交于点M 、N ，且以MN 为直径的圆与x 轴相切，求该圆的半径长度； (3)如图2，若点G (2，y )是该抛物线上一点，点P 是直线AG 下方的抛物线上的一动点，当点P 运动到什么位置时，△AGP 的面积最大求此时点P 的坐标和△AGP 的最大面积． 二次函数单元测试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 已知点 )8,a （在二次函数2ax y =的图象上，则a 的值是（ ）。 A. 2 B. -2 C. ±2 D. 2± 2.已知二次函数的解析式为()122+-=x y ,则该二次函数图象的顶点坐标是 ( ) A. (-2,1) B. (2,1) C. (2,-1) D. (1,2) 3. 把抛物线23x y =先向左平移3个单位,再向下平移2个单位,所得抛物线的解析式是( ) A.2)3(32-+=x y B.2)3(32++=x y C.2)3-(32-=x y D.2)3-(32+=x y 4. 下列二次函数中，图象以直线x=2为对称轴、且经过点(0,1)的是（ ）。 A. 1)2(2+-=x y B. 1)2(2++=x y C. 3-)2(2-=x y D. 3-)2(2+=x y 5. 函数342--=x x y 化成k h x a y +-=2)(的形式是（ ）。 A. 1)2(2+-=x y B. 1)2(2++=x y C. 7-)2(2-=x y D. 7)2(2++=x y 6. 抛物线322--=x x y ，则图象与x 轴交点个数为( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 7. 抛物线c bx x y ++-=22的顶点坐标是()21， ,则b 、c 的值分别是( ) A. 4,0 B. 4,1 C. -4,1 D. -4,0 8. 小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线5.32.02+-=x y 的一部分（如图），若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L 是（ ）。 A. 3.5m B. 4m C. 4.5m D. 4.6m 9.已知二次函数的图象)30(≤≤x ，如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（ ）。 A. 有最小值0，有最大值3 B. 最小值-1，有最大值0 C. 有最小值-1，有最大值3 D. 有最小值-1，无最大值 10.已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，有下列结论： ①042>-ac b ；②abc<0；③8a+c>0；④9a+3b+c<0。其中，正确结论的个数是（ ）。 A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 二次函数3)2(2+-=x y 的一般形式为 . 12. 写出一个开口向上，顶点坐标是（-2，1）的函数解析式 . 13. 已知一个二次函数图象的形状与抛物线24x y =相同,它的顶点坐标是（2,4）,求该二次函数的表达式为 . 14. 若抛物线)3(2+++=k kx x y 经过原点,则k= . 15. 已知 ),4(),,2(),1321y y y ---，（是抛物线m x x y +--=822上的点，那么321,,y y y 的大小关系是 . 16. 如图的一座拱桥，当水面宽AB 为12m 时，桥洞顶部离水面4m ，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为轴，建立平面直角坐标系，若选取点A 为坐标原点时的抛物线解析式是4)6(9 1 2+--=x y ，则选取点B 为坐标原点时的抛物线解析式是_________. 17. 教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y （m ）关于水平距离x （m ）的函数表达式为3)4(12 1 2+--=x y (如图所示)，由此可知铅球推出的距离是_____ m. 18. 二次函数23 2x y =的图象如图所示，点0A 位于坐标原点，点1A ，2A ，3A ，…，2017A 在y 轴的正半轴上，点1B ，2B ，3B ，…，2017B 在二次函数2 3 2x y = 位于第一象限的图象上，若110A B A △，221A B A △，332A B A △，…，201720172016A B A △都 为等边三角形，则110A B A △的边长=________，201720172016A B A △的边长=_______．中考数学二次函数压轴题(含答案)
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