二次函数综合应用---含答案

二次函数应用（能力提高）

一、选择题：

1.如果抛物线y=x2-6x+c-2的顶点到x轴的距离是3,那么c的值等于（ C ）

（A）8 （B）14 （C）8或14 （D）-8或-14

2.已知抛物线y=ax2+bx,当a>0,b<0时,它的图象经过( B )

（A）一、二、三象限（B）一、二、四象限（C）一、三、四象限（D）一、二、三、四象限

3.当a>0, b<0,c>0时,下列图象有可能是抛物线y=ax2+bx+c的是（ A ）

（C）（D）第7题

4.抛物线y=ax2+bx+c的图象如图，OA=OC，则（ A ）

（A）ac+1=b （B）ab+1=c （C）bc+1=a （D）以上都不是

5.若二次函数y=ax2+bx+c的顶点在第一象限，且经过点（0，1），（-1，0），则S=a+b+c的变化范围是 ( C )

(A)01 (C) 1

6.将抛物线y=-2x2-1向上平移若干个单位，使抛物线与坐标轴有三个交点，如果这些交点能构成直角三角形，那么平移的距离为（ A ）

（A）

2

3个单位 (B)1个单位 (C)

2

1个单位 (D)2个单位

7.如图，等腰梯形ABCD的底边AD在x轴上，顶点C在y轴正半轴上，B（4,2），一次函数y=kx-1的图象平分它的面积，关于x的函数y=mx2-(3m+k)x+2m+k的图象与坐标轴只有两个交点，则m的值为（ D ）

（A）0 （B）

2

1

-

（C）－1 （D）0或

2

1

-或－1

8.（2015浙江）设二次函数的图象与一次函数的图象交

于点，若函数的图象与轴仅有一个交点，则（ B ）

（A）（B）（C）（D）

二、填空题：

1.已知二次函数y＝－4x2－2mx＋m2与反比例函数y＝

x

m4

2+的图像在第二象限内的一个交点的横坐标是－2，则m的值是 -7

2.已知抛物线的顶点坐标为（2，9），且它在x轴上截得的线段长为6，则该抛物线的解析式为 _ y = ?(x

+1)(x ?5)___

11212

())0

(()

y a x x x x a x x

=--≠≠

，()

2

y dx e d

=+≠1

(0)

x，

21

y y y

=+x

12

()

a x x d

-=

21

()

a x x d

-=2

12

()

a x x d

-=()2

12

a x x d

+

=

3.已知二次函数y ＝ax 2

（a ≥1）的图像上两点A 、B 的横坐标分别是－1、2，点O 是坐标原点，如果△AOB 是直角三角形，则△OAB 的周长为 4 2+2 5

4.老师给出一个函数,甲,乙,丙,丁四位同学各指出这个函数的一个性质:甲:函数的图像不经过第三象限。乙：函数的图像经过第一象限。丙：当x ＜2时，y 随x 的增大而减小。丁：当x ＜2时，y ＞0，已知这四位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数____2)2(-=x y 不唯一_

5.已知点P (a ，m ）和Q( b ，m ）是抛物线y=2x 2

+4x －3上的两个不同点，则a+b=__-2 _____

6.已知二次函数c bx ax y ++=2

的图象与x 轴交于点（－2，0），(x 1，0)且1＜x 1＜2，与y 轴正半轴的交点

在点(0，2）的下方，下列结论：①a ＜b ＜0；②2a+c ＞0；③4a+c< 0，④2a －b+l ＞0．其中的有正确的结论是（填写序号）__①②③④____

7.如图，已知二次函数y 1＝ax 2

＋bx ＋c 与一次函数y 2＝kx ＋m 的图象相交于 A （－2，4）、B （8，2）两点，则能使关于x 的不等式 ax 2

＋(b －k)x ＋c －m ＞0 成立的x 的取值范围是___ x ＜－2或x ＞8__ 8.如图所示，P 是边长为1的正三角形ABC 的BC 边上一点，从P 向AB 作垂线PQ ，Q 为垂足．延长QP 与AC 的延长线交于R ，设BP=x （0≤x≤1），△BPQ 与△CPR 的面积之和为y ，把y 表示为x 的函数是

4

3238332+-=

x x y

9.（2015浙江）如图，已知抛物线C1：和C2：

都经过原点，顶点分别为A ，B ，与x 轴的另一个交点分别为M 、N ，如果点A 与点B ，点M 与点N 都关于原点O 成中心对称，则抛物线C1和C2为姐妹抛物线，请你写出一对姐妹抛物线C1和C2，使四边形ANBM 恰好是矩形，你所写的一对抛物线解析式是

_。

第7题 第8题 第9题

三、解答题：

1.将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500个，已知这个商品每个涨价1元，其销售量就减少10个。（1）问：为了赚得8000元的利润，售价应定为多少？这时进货多少个？（2）当定价为多少元时，可获得最大利润？ （（1）60元，400个或80元200个（2）70）

2111y a x b x c =++2

222y a x b x c =++

2.已知抛物线4)334(2+++=x a ax y 与x 轴交于A 、 B 两点，与y 轴交于点C ．是否存在实数a ，使得△

ABC 为直角三角形．若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．（〈ⅰ〉当222BC AC AB +=时，4

1

-=a 时，△ABC 为直角三角形〈ⅱ〉当222BC AB AC +=时，∠ABC ＝90°）

3.已知直线()02≠+-=b b x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；一抛物线的解析式为()c x b x y ++-=102. （1）若该抛物线过点B ，且它的顶点P 在直线b x y +-=2上，试确定这条抛物线的解析式；（（1）102-=x y 或642--=x x y ）

（2）过点B 作直线BC ⊥AB 交x 轴交于点C ，若抛物线的对称轴恰好过C 点，试确定直线b x y +-=2的解析式. （22--=x y ）

4.如图，抛物线y=ax 2+bx －4a 经过A (－1，0)、C (0，4)两点，与x 轴交于另一点B ． （1）求抛物线的解析式；（y=-x 2+3x+4）

（2）已知点D (m ，m +1)在第一象限的抛物线上，求点D 关于直线BC 对称的点的坐标；（D ′（0,1））

5.如图，已知抛物线234

y x bx c =-++与坐标轴交于A,B,C 三点，点A 的横坐标为-1，过点C(0,3)的直线

3

34y x t

=-

+与x 轴交于点Q ，点P 是线段BC 上的一个动点，PH ⊥OB 于点H ．若PB=5t ，且0

4b = 3c =）

（2）写出点B,Q,P 的坐标（其中Q,P 用含t 的式子表示）：（(40)B ， (40)Q t ， (443P t t -，） （3）依点P 的变化，是否存在t 的值，使△PQB 为等腰三角形？若存在，求出所有t 的值；若不存在，说明理由．(①当PQ PB =时13t ∴= ②当PB QB =

49t ∴= ③当PQ QB =时，32

57t ∴=)

6.已知P(m ，a ）是抛物线y=ax 2

上的点，且点P 在第一象限. （1）求m 的值 （m=1）

（2）直线y=kx+b 过点P ，交x 轴的正半轴于点A ，交抛物线于另一点M.

①当b=2a 时，∠OPA=90°是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，举出一个反例说明；（成立） ②当b=4时，记△MOA 的面积为S ，求

s 1

的最大值（当a=2时，max 118

S ）

7.如图抛物线y=ax 2

-5x+4a 与x 轴相交于点A 、B ，且过点C （5，4）． (1)求a 的值和该抛物线顶点P 的坐标．（a=1 P (

5

2

,?9

4）)

(2)该抛物线与y 轴的交点为D ，则四边形ABCD 为 等腰梯形 ；

(3)将此抛物线沿x 轴向左平移3个单位，再向上平移2个单位，请写出平移后图象所对应的函数关系式．（y=x 2

+x ）

8.如图，抛物线y=ax 2

-3x+c 交x 轴正方向于A ，B 两点，交y 轴正方向于C 点，过A ，B ，C 三点做⊙O ′，若⊙O ′与y 轴相切.（1）求a ，c 满足的关系；（2）设∠ACB=α，求tan α；（3）设抛物线顶点为P ，判断

直线PA 与⊙O ′的位置关系并证明.（1. ac=1；2. 5

2

；3.相切）

9.如果抛物线y=-x 2

+2（m-1）x+m+1与x 轴都交于A ，B 两点，且A 点在x 轴的正半轴上，B 点在x 轴的负半轴上，OA 的长是a ，OB 的长是b. （1）求m 的取值范围；（m >-1.）

（2）若a ∶b=3∶1，求m 的值，并写出此时抛物线的解析式；（m=2，32++-=x x y 提示：韦达定理） （3）设（2）中的抛物线与y 轴交于点C ，抛物线的顶点是M ，问：抛物线上是否存在点P ，使△PAB 的面积等于△BCM 面积的8倍？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.（存在 （1，4），)4,221(),4,221(---+）

10.如图，已知抛物线y＝－x2+bx+c与直线l相交于点A(－1，0)，C(2，3)两点，与y轴交于点N，抛物

线的顶点为D.

（1）求抛物线及直线l的函数关系式；（y＝－x2+2x+3；y＝x+1）

（2）设点M(3，m)，求使MN+MD的值最小时m的值；（18

5

）

（3）若抛物线的对称轴与直线l相交于点B，E为直线l上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B、D、E、F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由.

（（0，1））

11.如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x 轴相交于

点M.

（1）求抛物线的解析式和对称轴；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连结AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

21.解解： （1） A(1,0) （2）m=1(或解析式) 当0

（2）由旋转可知：OC=OA=1，OD=OB=2 ∴ C （0，1）， D （2，0）

设抛物线l 的解析式是c bx ax y ++=2

)0(≠a

依题意得

解得 ∴ 抛物线l 的解析式是12

12

12++-=x x y

26.（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为y ＝a(x ﹣1)(x ﹣5)，把点A （0，4）代入上式得：a ＝4

5

， ∴y ＝

45(x ﹣1)(x ﹣5)＝45x 2﹣245

x+4＝45(x ﹣3)2

﹣165， ∴抛物线的对称轴是：x ＝3； （2）P 点坐标为（3，8

5

）．理由如下： ∵点A （0，4），抛物线的对称轴是x ＝3， ∴点A 关于对称轴的

对称点A ′的坐标为（6，4），如图1，连接BA ′交对称轴于点P ，连接AP ，此时△PAB 的周长最小． 设直线BA ′的解析式为y ＝kx+b ，

把A ′（6，4），B （1，0）代入得640k b k b +=??+=?，解得4545k b ?

=????=-??

， ∴y ＝45x ﹣45， ∵点P 的横坐标为3， ∴y ＝

45×3﹣45＝85， ∴P （3，8

5

）． （3）在直线AC 的下方的抛物线上存在点N ，使△NAC 面积最大．设N 点的横坐标为t ，此时点N （t ，4

5

t

2

﹣

24

5

t+4）（0＜t ＜5）， 如图2，过点N 作NG ∥y 轴交AC 于G ；作AD ⊥NG 于D ， ∵A （0，4）和点C （5，0）， ∴直线AC 的解析式为：y ＝﹣4

5

x+4，

把x ＝t 代入得：y ＝－45t+4，则G （t ，﹣4

5

t+4），

此时：NG ＝﹣45t+4﹣(45t 2﹣245

t+4)＝﹣45t 2

+4t ，

∵AD+CF ＝CO ＝5，

∴S △ACN ＝S △ANG +S △CGN ＝

12AM ?NG+12NG ?CF ＝12NG OC ＝12×(﹣45t 2+4t ）×5＝﹣2t 2

+10t ＝﹣2(t ﹣52)2+252

， ∴当t ＝52时，△CAN 面积的最大值为252，由t ＝52，得：y ＝45t 2﹣24

5t+4＝﹣3，

∴N （5

2

，﹣3）．