广东省广州市2019届高三3月综合测试(一)理科数学试题(解析版).docx

密★启用前试卷类型:A

2019 年广州市普通高中毕业班综台测试（一）

理科数学

2019.3

本试卷共 5页， 23 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟。

注意事顶： 1.答卷前，考生务必将自己的名和考生号、试室号、座位号填在答题卡上，用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号，并将试卷类型（ A ），填涂在答题相应置上。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如

需改动，用橡皮擦净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位

置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求

作答无效

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合A x x22x 0 ， B x 2x，则

A. A I B

B. A U B R

C. B A

D. A B

答案： D

考点：集合的运算，一元二次不等式，指数运算。

解析： A x 0 x 2 ， B x x0 ，所以，D正确。

2. 已知 a 为实数，若复数 a i12i为实数，则 a=

A. 2

C.－

B. D. 2

答案： B

考点：复数的概念与运算。

解析： a i 1 2i＝ a 2 (1 2a)i 为实数，所以， a 1 2

3. 已知双曲线C : x2y 222

1的一条渐近线过圆P : x 2y 41 的圆心，则C的离心率为

B.3

C.5

D.3

答案： C

考点：双曲线的性质。

所以， c＝ 5 ，离心率为5

4..刘徽是我因魏晋时期的数学家，在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”，所谓“割圆术”，是用圆

内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法，如图所示，圆内接正十二边形的中心为圆心O，圆 O 的半径为2，现随机向圆O 内段放 a 粒豆子，其中有 b 粒豆子落在正十二边形内( a, b N , b a )，则圆周率的近似值为

b a3a3b

A. B. C. D.

a b b a

答案： C

考点：几何概型。

解析：正十二边形的面积为：12×1

2 2 sin 3012，

12b3a

2，选 C。

，

uuuur uuur uuur uuur uuur

5.若等边三角形ABC 的边长为1，点 M 满足CM CB2CA ，则 MA gMB

A.3

B.2

C. 23

D.3

答案： D

考点：平面向量的三角形法则。

uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 2解析： MA MB

(MD DA) DC ＝ ( BC AC )2AC ＝ 2AC BC2AC g

＝ 2 1 1cos60 2 ＝3

6.设S n是等差数列a n的前n项和，若m 为大于1的正整数，且 a m 1a m2a

m 1

，S2 m 111 ，则 m

A.11

B.10

C.6

D.5答案： C

解析：由 S2m11(2m1)(a1a2 m 1)

11，即 (2m 1)a m

1得：

211 ，即 a m

由 a m 1a m2a

m 11，得 a m d a m2a m d 1，即 2a m a m21，

即 a22a

m 10 ，解得：a m 1，所以，111，解得： m＝6

7.如图，一高为H 且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为 T。若鱼缸水深为 h 时，水流出所用时间为t，则函数h f t 的图象大致是

答案： B

考点：变化率。

解析：水匀速流出，当水面在球心附过时，下降的高度比较缓慢，快流完时，下降的速度最快，图象越陡，

所以，选 B。

8. 2 x3

32，则该展开式中x4的系数是x a 的展开式的各项系数和为

A.5

B.10

C.15

D.20

答案： A

考点：二项式定理。

解析：依题意，令x＝1，得：(1a)5＝32，所以，a1，

展开式中 x4的系数为：2C51 x4x3C54 x ＝5

9.已知函数f x cos x0,0是奇函数，且在,上单调递减，则的最大值是

123

D. 2

A. B. C.

232

答案： C

考点：函数的奇偶性，正弦函数的图象及其性质。

解析：依题意，知 f x sin x ，由2k x2k，

即当

4k 4k 时，函数 f （x ）递减，又在

上单调递减 x

2 8k

2 4

，即：

所以，

学科网， k Z ；

26k

（ 1）当 k ＝ 0 时，

；

（ 2）当 k ＞0 时， 2 8k

，为负数；

（ 3）当 k ＜ 0 时，

3 ，也是负数，

2 所以，

的最大值是 3

。

10.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图中的四边形是边长为 2 的正方形，则该几何体的表面

积为

B. 7

D. 8

答案： B

考点：三视图，表面积的计算。

解析：由三视图可知，该几何体是一个圆柱 +四分之一球组成。

表面积为：

12 ＋ 2

1 1

2 ＋ 2 2

1＋ 1 4

12 ＝ 7

11.已知以 F 为焦点的抛物线

C : y 2

uuur

uuur 1

，则弦 AB 的中点到 C

4x 上的两点 A ， B ，满足 AF

的准线的距离的最大值是

A.2

D.4

答案： B

考点：抛物线的定义与性质，平面向量的意义，函数导数及其应用。

解析：设 A （ x 1， y 1）， B （ x 2， y 2），依题，得 F （ 1,0），准线 x ＝－ 1，

uuur

AF ＝ x 1＋ 1， BF ＝ x 2＋ 1，又 AF

FB ，所以， x 1＋ 1＝

（x 2＋1），

设直线 AB 斜率存在为 k ，则直线

AB 为： y ＝ k （ x －1），

y 2 4 x ，得： k 2 x 2

(2 k 4) x

k 2

0 ，所以， x 1?x 2＝ 1，即 x 1 1 ，

y k( x

x 2 所以，

＋ 1＝（x 2 ＋1），化简，得： x 2

1 ，

x 2

弦 AB 的中点到 C 的准线的距离为：

(| AF |

| BF |) 1 ( | BF | | BF |) ＝ 1 (

1) | BF |

＝ 1

( 1)( x 2

1) 1 (

1)(

＝ 1

(

2) ，

令 f ( )

'( ) 1

1 ，

，则 f 2 ＝ 0，得：

所以，当

在（ 1

， 1）时， f '( ) ＜ 0， f ( ) 递减，

当

在（ 1， 3）时， f '( ) ＞ 0， f ( ) 递增，

f ( ) 的最大值为：

f (3)

f ( 1 ) ＝ 10 ，

3 3

1 10

弦 AB 的中点到 C 的准线的距离的最大值是：

2 (

2)，选 B 。

12.已知函数 f

x 2 1 , x 1

x 1 对称的不同两点，则实数 a 的取值范围是 x

x 的图象上存在关于直线

ln x a , x 1

A. e 2 1,

B. e 2

C., e 2 1

D., e 2 1

答案： A

考点：分段函数的图象，数形结合法。

解析：当 x ＞1 时，

再画出当 x ＜ 1 时，

f x

1 x ＝ 1 对称的图象，

，画出它的图象，并作它关于直线

f ( x) ln( x

a) 的图象，如下图所示：

图象上存在关于直线x 1 对称的不同两点，等于于函数 f (x)ln( x a)与， f x x 1

关于直线 x＝ 1 对x

称的图象有交点，

所以，只需 f （ 1）＝ln(1a) ＞2，解得： a e21

选 A 。

二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共20 分。

13. 设S n是等比数列a n的前n项和，若S3 3 ， S627 ，则 a1。答案：

考点：等比数列的前n 项和公式。

S3a1 (1q3 )

1q1q3

，即：1 1 ，

解析：依题意，得：

S6a1(1 q6 )，即1 q627 1 q39 1q27

解得： q 2，所以，a

23 ) 3 ，解得： a13

127

14.若函数f x ax 3

1, f 1处的切线过点2,4，则 a。的图象在点

答案： 2

考点：函数的导数及其应用。

解析： f (1)a 3 ，切点为（1，a 3 ），

f '(x) a 3

k＝a 3，x2 ，切线的斜率为：

切线方程为：y a 3 ( a 3)(x 1) ，过眯（2，4），所以， 4 a3(a3)(21) ，解得： a 2

2x y10

15.已知关于 x， y 的不等式组x m0，表示的平面区域内存在点P x0 , y0，满足

y20

x0 2 y0 2 ，则m的取值范围是。

答案：(4],

考点：不等式组的解法及其意义。

4 y04y010

解析：由x02y0 2得： x02y02，所以，不等式组为： 2 y02m0，

y020

y05 3

即 y2m

，即5y02

，所以，52

，解得： m4。

0232323

y02

16.已知直四棱柱ABCD A1B1C1D1的所有棱长都是1，∠ ABC ＝ 60°，AC I BD O ，AC1 1I B1D1O1，点 H 在线段OB1上，OH3HB1，点M是线段BD 上的动点，则三棱锥M C1O1H 的体积的最小值为。

答案：

考点：四棱柱的结构特征，三棱锥的体积计算。

解析：三棱锥 M C1O1H 中，三角形C1O1H的面积为定值，所以，线段BD上的点到平面C1O1H距离最小时，

三棱锥 M C1O1H 的体积最小，

由图可知，当点M 在点 B 处时， M 到平面 C1O1H 距离最小，

依题知，四边形BOO 1B1为矩形，设 O1B 交 OB1于 E，则点 E 为 OB 1的中点，

由 OH ＝ 3HB 1知， H 为 EB 1的中点，所以，三棱锥M C1O1 H 的体积最小值为：

所以，三棱锥 M C1O1H 的体积的最小值为 3 。

三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21 题为必考题，

每个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60 分。

17.(12 分 )

△ ABC 的内角 A ， B， C 的对边分别为 a ，b， c ，已知c cosB3a b cosC 。

（1）求sin C的值；

（2）若c 2 6，b a 2，求△ ABC 的面积。

18.(12 分 )

如图，在三棱锥 A BCD 中，△ABC是等边三角形，∠BAD =∠BCD =90°，点P是AC

的中点，连接 BP， DP。

（1）证明 :平面 ACD 平面 BDP ；

（ 2）若 BD= 6 ，且二面角A BD C 为120°，求直线AD与平面BCD 所成角的正弦值。

19.(12 分 )

某场以分期付款方式销售某种品，根据以往资料統计，顾客购买该高品选择分期付款的期数的分布列为

234

P0.4a b

其中 0

(1)求购买该商品的 3 位顾客中 ,恰有 2 位选择分 2 期付款的概率；

(2) 商场销售一件该商品，若顾客选择分 2 期付款，则商场获得的利润为200 元；若顾客选择分 3 期付款，则商场获得的利润为 250 元；若顾客选择分 4 期付款，则商场获得的利润为 300 元。商场销售两件该商品所获得的利润记为 X(单位 :元 )

（1）求 X 的分布列；

（2）若 P(X≤500) ≥0.求8, X 的数学期望 EX 的最大值。

20.(12 分 )

2 2

已知椭圆 C : x

y 2 1 a b 0 的两个焦点和两个顶点在图 O : x 2

y 2 1 上。

（ 1）求椭圆 C 的方程

（ 2）若点 F 是 C 的左焦点 ,过点 P(m,0)(m ≥1)作圆 O 的切线 l ， l

交 C 于 A ，B 两点。求 △ABF 的面积的最大值。

21.(12 分 )

已知函数（ 1）若

f x e2 x ax2， a R 。

f x 在(0,+∞)上单调递增,求a的取值范围；

（ 2）若f x 在(0,+∞)上存在极大值M,证明：M a

。4

（二）选考题：共10 分。请考生在第22、 23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22.[ 选修 4-4：坐标系与参数方程](10 分 )

在直角坐标系 xOy 中，曲线C1的参数方程为x cost

(t 为参数 )。以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极y

sin

轴建立极坐标系，直线 C2的极坐标方程为sin a cos1a R 。

（ 1）写出曲线C1的普通方程和直线C2的直角坐标方程；

（ 2）若直线C2与曲线C1有两个不同交点，求 a 的取值范围。

23.[ 选修 4-5：不等式选讲](10 分)

已知函数 f x x a2x1。

（ 1）当 a=1 时，求不等式f x0 的解集；

（ 2）若 a>0 ，不等式f x 1 对 x R 都成立，求a的取值范围。