五种最优化方法
五种最优化方法
1.最优化方法概述
1.1最优化问题的分类
1）无约束和有约束条件；
2）确定性和随机性最优问题（变量是否确定）；
3）线性优化与非线性优化（目标函数和约束条件是否线性）；
4）静态规划和动态规划（解是否随时间变化）。
1.2最优化问题的一般形式（有约束条件）：
min f（X）
XeΩ
h√X）= OJ = U1 L
s.t
S i（X）≥ OJ = l9‰u,m
式中f（X）称为目标函数（或求它的极小，或求它的极大），Si（X）称为不等式约束，hj（X）称为等式约束。化过程就是优选X ,使目标函数达到最优值。
2.牛顿法
2.1简介
1）解决的是无约束非线性规划问题；
2）是求解函数极值的一种方法；
3）是一种函数逼近法。
2.2原理和步骤
■1：顿法的直本思想显*在扱小点附近用-阶T吓1小多顶式近似［3标函数［'、宀进而求出极小点的估计值，
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√（+f > - ∕t d时）+ j f* 得到啊2的肛.E L记作工"小侧 在点√*j WiE./ P*r h因此可用函数刊幻的极小点作为目标函数丿（』）的极小点的估计?如里「J? /-r）的极小点的个估计，那么利?9,312）?可且得到极小点.的?个进吵的估讣.这样*利用迭代公式（乩3?2）可以得到个洋列U 可以证明"?定条件F?这个序列收敛于冋题（9飞”门的??优解，而且是2级收敛 3.最速下降法（梯度法） 3.1最速下降法简介 1）解决的是无约束非线性规划问题； 2）是求解函数极值的一种方法： 3）沿函数在该点处目标函数下降最快的方向作为搜索方向; 3.2最速下降法算法原理和步骤 ≡F 降法的迭代公式是 九是从严出发沿方向 屮进彳f 一维搜索的步长，即Ju 满足 f{x kk, + A?J l *') = mnf(x Ik) +M") a 计算步骤如下; ∏) ???1? jr ^∈^，允许误差 e>0τKI = L （2）计算搜索方向d 出—V/（X It ））. ⑶若L F I! ≤,则停止计算;否则,从厂出发,沿进行一维搜索,求秸,使 f(x J ÷λ?rf k )= Ininy(X^ +λtf J 、、 (4)令严山=χ,i, Mal t ≡?^A + l ,转步骤(2). 4?模式搜索法（步长加速法） 4.1简介 1） 解决的是无约束非线性规划问题； 2） 不需要求目标函数的导数，所以在解决不可导的函数或者求导异常麻烦的函 数的优化问题时非常有效。 3） 模式搜索法每一次迭代都是交替进行轴向移动和模式移动。 轴向移动的目的 是探测有利的 下降方向，而 模式移动的目的则是沿着有利方向加速移动。 4.2模式搜索法步骤 (10. L 10) 其中旷是从屮咄发的搜索方向, 处的量速下睫方I 治 E∣J (IOaJl) 这里取在点 S模式搜索法 (A)轴向移动用y表示 ?每次轴侖移动的开??点称为参耆点 ?心?…给定的初始魚.—初抬秦考点X^= > A Vb广…第盘+1次轴向移动揩束时所得到的点,丈=IZ… ? ? ∕<^?ι> < f(Xi^闻从点Jt屮出发作按式瘪动一轴侖#多动匱功模式移动 ■否碰*判断界否有骯V ￡( ￡夬给定的允许慢总)？若有?选代终止；轴向移动失叱找到近似漲优解 I若无，且斗利=岭*则嵋短步i?.仍从点打岀发进行下?次轴向移弧 ■若无大耐从点岭岀发用步长击进行下枚轴闵移动 5.评价函数法 5.1简介 评价函数法是求解多目标优化问题中的一种主要方法。在许多实际问题中， 衡量一个方案的好坏标准往往不止一个，多目标最优化的数学描述如下： min (f_1(x),f_2(x),...,f_k(x)) s.t. g(x)<=0 传统的多目标优化方法本质是将多目标优化中的各分目标函数, 经处理或数 学变换，转变成一个单目标函数，然后采用单目标优化技术求解。常用的方法有 “线性加权和法”、“极大极小法”、“理想点法”。选取其中一种线性加权求合法介绍。 5.2线性加权求合法 6.遗传算法 智能优化方法是通过计算机学习和存贮大量的输入-输出模式映射关系，进 而达到优化的一种方法，主要有人工神经网络法，遗传算法和模拟退火法等。 6.1遗传算法基本概念 1.个体与种群 个体就是模拟生物个体而对问题中的对象 (一般就是问题的解)的一种称呼' 种群就是模拟生物种群而由若干个体组成的群体，它一般是整个搜索空间的一个很小的子集。 2.适应度与适应度函数 适应度就是借鉴生物个体对环境的适应程度，而对问题中的个体对象所设计的表征其优劣的一种测度。 适应度函数就是问题中的全体个体与其适应度之间的一个对应关系。该函数就是遗传算法中指导搜索的评价函数 6.2 遗传算法基本流程 最优化方法 课程设计报告班级：________________ 姓名： ______ 学号： __________ 成绩： 2017年 5月 21 日 目录 一、摘要 (1) 二、单纯形算法 (2) 1.1 单纯形算法的基本思路 (2) 1.2 算法流程图 (3) 1.3 用matlab编写源程序 (4) 二、黄金分割法 (7) 2.1 黄金分割法的基本思路 (7) 2.2 算法流程图 (8) 2.3 用matlab编写源程序 (9) 2.4 黄金分割法应用举例 (11) 三、最速下降法 (11) 3.1 最速下降法的基本思路 (11) 3.2 算法流程图 (13) 3.3 用matlab编写源程序 (13) 3.4 最速下降法应用举例 (13) 四、惩罚函数法 (17) 4.1 惩罚函数法的基本思路 (17) 4.2 算法流程图 (18) 4.3 用matlab编写源程序 (18) 4.4 惩罚函数法应用举例 (19) 五、自我总结 (20) 六、参考文献 (20) 一、摘要 运筹学是一门以人机系统的组织、管理为对象，应用数学和计算机等工具来研究各类有限资源的合理规划使用并提供优化决策方案的科学。通过对数据的调查、收集和统计分析，以及具体模型的建立。收集和统计上述拟定之模型所需要的各种基础数据，并最终将数据整理形成分析和解决问题的具体模型。 最优化理论和方法日益受到重视，已经渗透到生产、管理、商业、军事、决策等各个领域，而最优化模型与方法广泛应用于工业、农业、交通运输、商业、国防、建筑、通信、政府机关等各个部门及各个领域。伴随着计算机技术的高速发展，最优化理论与方法的迅速进步为解决实际最优化问题的软件也在飞速发展。其中，MATLAB软件已经成为最优化领域应用最广的软件之一。有了MATLAB 这个强大的计算平台，既可以利用MATLAB优化工具箱（OptimizationToolbox）中的函数，又可以通过算法变成实现相应的最优化计算。 关键词：优化、线性规划、黄金分割法、最速下降法、惩罚函数法 最优化方法实验报告Numerical Linear Algebra And Its Applications 学生所在学院：理学院 学生所在班级：计算数学10-1 学生姓名：甘纯 指导教师：单锐 教务处 2013年5月 实验一 实验名称：熟悉matlab基本功能 实验时间: 2013年05月10日星期三实验成绩： 一、实验目的： 在本次实验中，通过亲临使用MATLAB，对该软件做一全面了解并掌握重点内容。 二、实验内容： 1. 全面了解MATLAB系统 2. 实验常用工具的具体操作和功能 实验二 实验名称：一维搜索方法的MATLAB实现 实验时间: 2013年05月10日星期三实验成绩： 一、实验目的： 通过上机利用Matlab数学软件进行一维搜索，并学会对具体问题进行分析。并且熟悉Matlab软件的实用方法，并且做到学习与使用并存，增加学习的实际动手性，不再让学习局限于书本和纸上，而是利用计算机学习来增加我们的学习兴趣。 二、实验背景： (一）0.618法（黄金分割法），它是一种基于区间收缩的极小点搜索 算法，当用进退法确定搜索区间后，我们只知道极小点包含于搜索区间内，但是具体哪个点，无法得知。 1、算法原理 黄金分割法的思想很直接，既然极小点包含于搜索区间内，那么可以不断的缩小搜索区间，就可以使搜索区间的端点逼近到极小点。 2、算法步骤 用黄金分割法求无约束问题min (),f x x R ∈的基本步骤如下： （1）选定初始区间11[,]a b 及精度0ε>，计算试探点： 11110.382*()a b a λ=+- 11110.618*()a b a μ=+-。 （2）若k k b a ε-<，则停止计算。否则当()()k k f f λμ>时转步骤（3）。 当()()k k f f λμ≤转步骤（4）。 （3）置 11111110.382*()k k k k k k k k k k a b b a b a λλμμ+++++++=??=?? =??=+-?转步骤（5） 五种最优化方法 1.最优化方法概述 1.1最优化问题的分类 1）无约束和有约束条件； 2）确定性和随机性最优问题（变量是否确定）； 3）线性优化与非线性优化（目标函数和约束条件是否线性）； 4）静态规划和动态规划（解是否随时间变化）。 1.2最优化问题的一般形式（有约束条件）： 式中f（X）称为目标函数（或求它的极小，或求它的极大），si（X）称为不等式约束，hj（X）称为等式约束。化过程就是优选X，使目标函数达到最优值。 2.牛顿法 2.1简介 1）解决的是无约束非线性规划问题； 2）是求解函数极值的一种方法； 3）是一种函数逼近法。 2.2原理和步骤 3.最速下降法（梯度法） 3.1最速下降法简介 1）解决的是无约束非线性规划问题； 2）是求解函数极值的一种方法； 3）沿函数在该点处目标函数下降最快的方向作为搜索方向； 3.2最速下降法算法原理和步骤 4.模式搜索法（步长加速法） 4.1简介 1）解决的是无约束非线性规划问题； 2）不需要求目标函数的导数，所以在解决不可导的函数或者求导异常麻烦的函数的优化问题时非常有效。 3）模式搜索法每一次迭代都是交替进行轴向移动和模式移动。轴向移动的目的是探测有利的下降方向，而模式移动的目的则是沿着有利方向加速移动。 4.2模式搜索法步骤 5.评价函数法 5.1简介 评价函数法是求解多目标优化问题中的一种主要方法。在许多实际问题中，衡量一个方案的好坏标准往往不止一个，多目标最优化的数学描述如下：min (f_1(x),f_2(x),...,f_k(x)) s.t. g(x)<=0 传统的多目标优化方法本质是将多目标优化中的各分目标函数，经处理或数学变换，转变成一个单目标函数，然后采用单目标优化技术求解。常用的方法有“线性加权和法”、“极大极小法”、“理想点法”。选取其中一种线性加权求合法介绍。 5.2线性加权求合法 6.遗传算法 智能优化方法是通过计算机学习和存贮大量的输入-输出模式映射关系，进 最优化DFP算法姓名：施政学号：1010010125 班级：1 班专业：通信与信息系统 目录 1 算法流程图 (1) 1.1DFP算法的流程图 (1) 1.2 黄金分割法流程图 (1) 1.3 回退法计算初始区间的算法 (2) 2 测试函数 (3) 2.1 二维、二次函数 (3) 2.2 二维、高次函数 (3) 2.3 高维、二次函数 (4) 2.4 高维、高次函数 (4) 3 运行结果及分析 (5) 4 Matlab源程序 (6) 4.1 主函数 (6) 4.2 DFP算法函数 (8) 4.3 黄金分割法函数 (9) 4.4 回退法求解初始区间 (10) 4.5 计算测试函数的值 (11) 4.6 计算测试函数的梯度 (12) 5 参考文献 (12) 1 算法流程图 对于DFP算法主要涉及到3个主要的算法，分别是：利用回退法计算初始区间、利用黄金分割法进行一维搜索、然后利用DFP算法计算最小点对应的自变量的值。 下面分别画出了这三个算法流程图。 1.1DFP算法的流程图 设定控制误差为ε；输入的初始点坐标是0x；0E是与0x同维的单位阵。 图 1 1.2 黄金分割法流程图 给定精确度ε>0;当区间长度小于等于ε时，即停止运行，同时取x=(a+b)/2作为最小点坐标。 在给定初始区间[a,b]内，求最小点时对应的α值，要保证α是大于等于零的，否则函数值就不是朝下降方向递降的了。在本算法中保证初始区间的端点是大于等于零的，就可以满足这一条件了。 算法如下图所示： 图 2 1.3 回退法计算初始区间的算法 针对这个算法,参考文献[1]上面利用的回退法不能保证a ，b 两个端点的值大于零，因为利用黄金分割法求α时，α肯定是大于等于零的，所以可以对书上的算法适当的改进。初始的点是0x ；步长是x Δ；算法如下： 图 3 注意：上面的算法是针对一维的情况，所以在计算0x ；1x ；2x 时，应该注意使 学生科学实验效果最优化的基石实验报告设计 自然科学是以实验为基础的学科。实验是人们研究和认识自然的重要方法。因此，在自然科学的教学中，实验也是重要的教学方法之一。通过实验，不仅可以提供学生对科学现象的感性认识，更可以让学生获得初步的实验技能和观察分析问题的能力。 小学科学实验教学的设计是运用系统论的思想和方法，以学习理论、教学理论为基础，计划和安排实验教学的各个环节、要素，以实现教学效果最优化为目的的活动。通过多年来的实验教学实践与思考，我们可以让学生像科学家那样，亲历科学探究的过程，这有利于充分发挥学生的主体作用，让学生积极主动参与到观察、实验等学习活动中去，亲自感知实验所产生的各种现象和变化，提高自行获取知识的能力，而其中比较重要的一个环节就是学生实验报告的设计与记录。在学生实验的过程中，一份好的实验报告设计，就像是一盏明灯，能给学生指引实验的目标、方向，能提供给学生形成结论的分析数据，进而培养学生科学实验的基本素养，使学生的科学实验效果达到最优化。 一、观察实验报告的填写，有利于学生在实验中观察，进一步培养学生实验的责任心和有序观察能力。 教科版四下《油菜花开了》解剖花的实验中，我设计了如下实验报告，在教学中取得了很好的效果。 《解剖花》实验人 花的名称 实验方法：用镊子把花的各部分，从外向里一层层撕下，整齐排列并贴在相应的名称左边，数一数，填在相应的空格上。 个萼片 个花瓣 个雄蕊 个雌蕊 在班级（1）上课时我没有设计实验报告，就按照书本上的要求，先介绍解剖花的方法、花的结构，然后让学生按照书本要求独立解剖油菜花。在实验过程中，学生非常认真，且相当活跃，但检查结果时，学生雌雄蕊不分，萼片、花瓣不分，桌上、地上掉落的都是花瓣，实验效果之不佳显而易见。 后来，我根据班级（1）出现的情况，设计了如上实验报告，实验的效果就相当出色。在这个实验报告中，我并没有限制学生解剖何种花，但学生可以根据实验要求很清楚地完成解剖的任务。充分体现了以教师为主导、学生为主体的课堂教学思想；而且在实验的过程中，桌上有了这份实验报告，便时刻提醒着学生做实验究竟是何目的，做实验时必须仔细观察什么，做实验的观察步骤是什么。在解剖花的过程中，动作快的同学还可在老师的同意下，多取一两张实验报告单，多解剖几种花，因此既避免了学生在一旁闲着无所事事而打闹的局面，又进一步提高了这些学生的科学素质。至于个别有困难的学生，教师可在巡视的过程中 最优化方法及其应用 作者：郭科 出版社：高等教育出版社 类别：不限 出版日期：20070701 最优化方法及其应用 的图书简介 系统地介绍了最优化的理论和计算方法,由浅入深,突出方法的原则,对最优化技术的理论作丁适当深度的讨论,着重强调方法与应用的有机结合,包括最优化问题总论,线性规划及其对偶问题,常用无约束最优化方法,动态规划,现代优化算法简介,其中前八章为传统优化算法,最后一章还给出了部分优化问题的设计实例,也可供一般工科研究生以及数学建模竞赛参赛人员和工程技术人员参考, 最优化方法及其应用 的pdf电子书下载 最优化方法及其应用 的电子版预览 第一章 最优化问题总论1.1 最优化问题数学模型1.2 最优化问题的算法1.3 最优化算法分类1.4 组合优化问題简卉习题一第二章 最优化问题的数学基础2.1 二次型与正定矩阵2.2 方向导数与梯度2.3 Hesse矩阵及泰勒展式2.4 极小点的判定条件2.5 锥、凸集、凸锥2.6 凸函数2.7 约束问题的最优性条件习题二第三章 线性规划及其对偶问题3.1线性规划数学模型基本原理3.2 线性规划迭代算法3.3 对偶问题的基本原理3.4 线性规划问题的灵敏度习题三第四章 一维搜索法4.1 搜索区间及其确定方法4.2 对分法4.3 Newton切线法4.4 黄金分割法4.5 抛物线插值法习题四第五章 常用无约束最优化方法5.1 最速下降法5.2 Newton法5.3 修正Newton法5.4 共轭方向法5.5 共轭梯度法5.6 变尺度法5.7 坐标轮换法5.8 单纯形法习題五第六章 常用约束最优化方法6.1外点罚函数法6.2 內点罚函数法6.3 混合罚函数法6.4 约束坐标轮换法6.5 复合形法习题六第七章 动态规划7.1 动态规划基本原理7.2 动态规划迭代算法7.3 动态规划有关说明习题七第八章 多目标优化8.1 多目标最优化问题的基本原理8.2 评价函数法8.3 分层求解法8.4目标规划法习题八第九章 现代优化算法简介9.1 模拟退火算法9.2遗传算法9.3 禁忌搜索算法9.4 人工神经网络第十章 最优化问题程序设计方法10.1 最优化问题建模的一般步骤10.2 常用最优化方法的特点及选用标准10.3 最优化问题编程的一般过程10.4 优化问题设计实例参考文献 更多 最优化方法及其应用 相关pdf电子书下载 无约束优化方法---鲍威尔方法 本实验用鲍威尔方法求函数f(x)=(x1-5)2+(x2-6)2 的最优解。 一、简述鲍威尔法的基本原理 从任选的初始点x⑴o出发，先按坐标轮换法的搜索方向依次沿e1.e2.e3进行一维搜索，得各自方向的一维极小点x⑴ x⑵ x⑶.连接初始点xo⑴和最末一个一维极小点x3⑴,产生一个新的矢量 S1=x3⑴-xo⑴ 再沿此方向作一维搜索，得该方向上的一维极小点x⑴. 从xo⑴出发知道获得x⑴点的搜索过程称为一环。S1是该环中产生的一个新方向，称为新生方向。 接着，以第一环迭代的终点x⑴作为第二环迭代的起点xo⑵,即 Xo⑵←x⑴ 弃去第一环方向组中的第一个方向e1，将第一环新生方向S1补在最后，构成第二环的基本搜索方向组e2,e3,S1，依次沿这些方向求得一维极小点x1⑵,x2⑵,x3⑵.连接 Xo⑵与x3⑵,又得第二环的新生方向 S2=x3⑵-xo⑵ 沿S2作一维搜索所得的极小点x⑵即为第二环的最终迭代点 二、鲍威尔法的程序 #include "stdafx.h" /* 文件包含*/ #include #include 一维搜索方法的MATLAB 实现 姓名： 班级：信息与计算科学 学号： 实验时间: 2014/6/21 一、实验目的： 通过上机利用Matlab 数学软件进行一维搜索，并学会对具体问题进行分析。并且熟悉Matlab 软件的实用方法，并且做到学习与使用并存，增加学习的实际动手性，不再让学习局限于书本和纸上，而是利用计算机学习来增加我们的学习兴趣。 二、实验背景： 黄金分割法 它是一种基于区间收缩的极小点搜索算法，当用进退法确定搜索区间后，我们只知道极小点包含于搜索区间内，但是具体哪个点，无法得知。 1、算法原理 黄金分割法的思想很直接，既然极小点包含于搜索区间内，那么可以不断 的缩小搜索区间，就可以使搜索区间的端点逼近到极小点。 2、算法步骤 用黄金分割法求无约束问题min (),f x x R ∈的基本步骤如下： （1）选定初始区间11[,]a b 及精度0ε>，计算试探点： 11110.382*()a b a λ=+- 11110.618*()a b a μ=+-。 （2）若k k b a ε-<，则停止计算。否则当()()k k f f λμ>时转步骤（3）。 当 ()()k k f f λμ≤转步骤（4）。 （3） 11111110.382*()k k k k k k k k k k a b b a b a λλμμ+++++++=??=?? =??=+-?转步骤（5） （4） 转步骤（5） （5）令1k k =+，转步骤（2）。 算法的MATLAB 实现 function xmin=golden(f,a,b,e) k=0; x1=a+0.382*(b-a); x2=a+0.618*(b-a); while b-a>e f1=subs(f,x1); f2=subs(f,x2); if f1>f2 a=x1; x1=x2; f1=f2; x2=a+0.618*(b-a); else b=x2; x2=x1; f2=f1; x1=a+0.382*(b-a); end k=k+1; end xmin=(a+b)/2; fmin=subs(f,xmin) 《最优化方法与应用》 实验指导书 信息与计算科学系编制 1 实验目的 基于单纯形法求解线性规划问题，编写算法步骤，绘制算法流程图，编写单纯形法程序，并针对实例完成计算求解。 2实验要求 程序设计语言：C++ 输入：线性规划模型（包括线性规划模型的价值系数、系数矩阵、右侧常数等） 输出：线性规划问题的最优解及目标函数值 备注：可将线性规划模型先转化成标准形式，也可以在程序中将线性规划模型从一般形式转化成标准形式。 3实验数据 123()-5-4-6=Min f x x x x 121231212320 324423230,,0３-+≤??++≤??+≤??≥? x x x x x x st x x x x x 1 实验目的 基于线性搜索的对分法、Newton 切线法、黄金分割法、抛物线法等的原理及方法，编写算法步骤和算法流程图，编写程序求解一维最优化问题，并针对实例具体计算。 2实验要求 程序设计语言：C++ 输入：线性搜索模型（目标函数系数，搜索区间，误差限等） 输出：最优解及对应目标函数值 备注：可从对分法、Newton 切线法、黄金分割法、抛物线法中选择2种具体的算法进行算法编程。 3实验数据 2211 ()+-6(0.3)0.01(0.9)0.04 = -+-+Min f x x x 区间[0.3,1],ε=10-4 实验三 无约束最优化方法 1实验目的 了解最速下降法、牛顿法、共轭梯度法、DFP 法和BFGS 法等的基本原理及方法，掌握其迭代步骤和算法流程图，运用Matlab 软件求解无约束非线性多元函数的最小值问题。 2实验要求 程序设计语言：Matlab 针对实验数据，对比最速下降法、牛顿法、共轭梯度法、DFP 法和BFGS 法等算法，比较不同算法的计算速度和收敛特性。 3实验数据 Rosenbrock's function 222211()(100)+(1-)=-Min f x x x x 初始点x=[-1.9, 2]，,ε=10-4 项目三 常用无约束最优化方法（一） [实验目的] 编写最速下降法、Newton 法（修正Newton 法）的程序。 [实验学时] 2学时 [实验准备] 1．掌握最速下降法的思想及迭代步骤。 2．掌握Newton 法的思想及迭代步骤； 3．掌握修正Newton 法的思想及迭代步骤。 [实验内容及步骤] 编程解决以下问题：【选作一个】 1．用最速下降法求 22120min ()25[22]0.01T f X x x X ε=+==，，，． 2．用Newton 法求 22121212min ()60104f X x x x x x x =--++-， 初始点 0[00]0.01T X ε==，，． 最速下降法 Matlab 程序： clc;clear; syms x1 x2; X=[x1,x2]; fx=X(1)^2+X(2)^2-4*X(1)-6*X(2)+17; fxd1=[diff(fx,x1) diff(fx,x2)]; x=[2 3]; g=0; e=0.0005; a=1; fan=subs(fxd1,[x1 x2],[x(1) x(2)]); g=0; for i=1:length(fan) g=g+fan(i)^2; end g=sqrt(g); step=0; while g>e step=step+1; dk=-fan; %点x(k)处的搜索步长 ak=((2*x(1)-4)*dk(1)+(2*x(2)-6)*dk(2))/(dk(1)*dk(2)-2*dk(1)^2-2*dk(2)^2); xu=x+ak*dk; x=xu; %输出结果 optim_fx=subs(fx,[x1 x2],[x(1) x(2)]); fprintf(' x=[ %d %d ] optim_fx=%d\n',x(1),x(2),optim_fx); %计算目标函数点x(k+1)处一阶导数值 fan=subs(fxd1,[x1 x2],[x(1) x(2)]); g=0; for i=1:length(fan) g=g+fan(i)^2; end g=sqrt(g); end %输出结果 optim_fx=subs(fx,[x1 x2],[x(1) x(2)]); fprintf('\n最速下降法\n结果：\n x=[ %d %d ] optim_fx=%d\n',x(1),x(2),optim_fx); c++程序 #include 项目一 一维搜索算法（一） [实验目的] 编写加步探索法、对分法、Newton 法的程序。 [实验准备] 1．掌握一维收搜索中搜索区间的加步探索法的思想及迭代步骤； 2．掌握对分法的思想及迭代步骤； 3．掌握Newton 法的思想及迭代步骤。 [实验容及步骤] 编程解决以下问题： 1．用加步探索法确定一维最优化问题 1 2)(min 30 +-=≥t t t t ? 的搜索区间，要求选取2,1,000===αh t ． 加步探索法算法的计算步骤： (1)选取初始点 ]) 0[)(0[max 00t t t ，或，∈?∞+∈，计算 )(00t ??=．给出初始步长0 >h ， 加步系数1α>，令0=k 。 (2) 比较目标函数值．令k k k h t t +=+1，计算 )(11++=k k t ??，若k k ??<+1，转(3)，否则转(4)。 (3) 加大探索步长．令 k k h h α=+1，同时，令,k t t =,1+=k k t t 1k k =+，转(2)。 (4) 反向探索．若0=k ，转换探索方向，令,k k h h -=1+=k t t ，转（2）。否则，停止迭代，令 11min{}max{}k k a t t b t t ++==，，，。 加步探索法算法的计算框图 程序清单 加步探索法算法程序见附录1 实验结果 运行结果为： 2．用对分法求解 )2()(min +=t t t ?， 已知初始单谷区间]5,3[],[-=b a ，要求按精度3.0=ε，001.0=ε分别计算． 对分法迭代的计算步骤： (1)确定初始搜索区间],[b a ，要求'()0'()0a b ??<>，。 (2) 计算],[b a 的中点)(2 1 b a c +=． (3) 若0)(<'c ?，则c a = ，转(4)；若0)(='c ?，则c t =* ，转(5)；若0)(>'c ?，则c b = ，转(4)． (4) 若ε<-||b a ，则)(2 1* b a t +=，转(5)；否则转(2)． (5) 打印* t ，结束 对分法的计算框图 陆吾生教授是加拿大维多利亚大学电气与计算机工程系 (Dept. of Elect. and Comp. Eng. University of Victoria) 的正教授, 且为我校兼职教授，曾多次来我校数学系电子系讲学。陆吾生教授的研究方向是：最优化理论和小波理论及其在1维和2维的数字信号处理、数字图像处理、控制系统优化方面的应用。 现陆吾生教授计划在 2007 年 10－11 月来校开设一门为期一个月的短期课程“最优化理论及其应用”（每周两次，每次两节课），对象是数学系、计算机系、电子系的教师、高年级本科生及研究生，以他在2006年出版的最优化理论的专著作为教材。欢迎数学系、计算机系、电子系的研究生及高年级本科生选修该短期课程，修毕的研究生及本科生可给学分。 上课地点及时间：每周二及周四下午2:00开始，在闵行新校区第三教学楼326教室。（自10月11日至11月8日） 下面是此课程的内容介绍。 ----------------------------------- 最优化方法及应用 I. 函数的最优化及应用 1.1 无约束和有约束的函数优化问题 1.2 有约束优化问题的Karush-Kuhn-Tucker条件 1.3 凸集、凸函数和凸规划 1.4 Wolfe对偶 1.5 线性规划与二次规划 1.6 半正定规划 1.7 二次凸锥规划 1.8 多项式规划 1.9解最优化问题的计算机软件 II 泛函的最优化及应用 2.1 有界变差函数 2.2 泛函的变分与泛函的极值问题 2.3 Euler-Lagrange方程 2.4 二维图像的Osher模型 2.5 泛函最优化方法在图像处理中的应用 2.5.1 噪声的消减 2.5.2 De-Blurring 2.5.3 Segmentation ----------------------------------------------- 注：这是一门约二十学时左右的短期课程，旨在介绍函数及泛函的最优化理论和方法，及其在信息处理中的应用。只要学过一元及多元微积分和线性代数的学生就能修读并听懂本课程。课程中涉及到的算法实现和应用举例都使用数学软件MATLAB 华东师大数学系 . . 项目一 一维搜索算法（一） [实验目的] 编写加步探索法、对分法、Newton 法的程序。 [实验准备] 1．掌握一维收搜索中搜索区间的加步探索法的思想及迭代步骤； 2．掌握对分法的思想及迭代步骤； 3．掌握Newton 法的思想及迭代步骤。 [实验容及步骤] 编程解决以下问题： 1．用加步探索法确定一维最优化问题 1 2)(min 30 +-=≥t t t t ? 的搜索区间，要求选取2,1,000===αh t ． 加步探索法算法的计算步骤： (1)选取初始点])0[)(0[max 00t t t ，或，∈?∞+∈，计算)(00 t ??=．给出初始步长0 >h ， 加步系数1α>，令0=k 。 (2) 比较目标函数值．令k k k h t t +=+1，计算 )(11++=k k t ??，若k k ??<+1，转(3)，否则转(4)。 (3) 加大探索步长．令k k h h α=+1，同时，令,k t t =,1+=k k t t 1k k =+，转(2)。 (4) 反向探索．若0=k ，转换探索方向，令,k k h h -=1+=k t t ，转（2）。否则，停止迭代， 令 11min{}max{}k k a t t b t t ++==，，，。 加步探索法算法的计算框图 . . 程序清单 加步探索法算法程序见附录1 实验结果 运行结果为： 2．用对分法求解 )2()(min +=t t t ?， 已知初始单谷区间]5,3[],[-=b a ，要求按精度3.0=ε，001.0=ε分别计算． 对分法迭代的计算步骤： (1)确定初始搜索区间],[b a ，要求'()0'()0a b ??<>，。 (2) 计算],[b a 的中点)(2 1 b a c += ． (3) 若0)(<'c ?，则c a = ，转(4)；若0)(='c ?，则c t =* ，转(5)；若0)(>'c ?，则c b = ，转(4)． (4) 若ε<-||b a ，则)(2 1* b a t +=，转(5)；否则转(2)． 1 2 ( ( 最优化方法部分课后习题解答 1.一直优化问题的数学模型为： 习题一 min f (x ) = (x ? 3)2 + (x ? 4)2 ? g (x ) = x ? x ? 5 ≥ ? 1 1 2 2 ? 试用图解法求出： s .t . ?g 2 (x ) = ?x 1 ? x 2 + 5 ≥ 0 ?g (x ) = x ≥ 0 ? 3 1 ??g 4 (x ) = x 2 ≥ 0 （1） 无约束最优点，并求出最优值。 （2） 约束最优点，并求出其最优值。 （3） 如果加一个等式约束 h (x ) = x 1 ? x 2 = 0 ，其约束最优解是什么？ * 解 ：（1）在无约束条件下， f (x ) 的可行域在整个 x 1 0x 2 平面上，不难看出，当 x =（3，4） 时， f (x ) 取最小值，即，最优点为 x * =（3，4）：且最优值为： f (x * ) =0 （2）在约束条件下， f (x ) 的可行域为图中阴影部分所示，此时，求该问题的最优点就是 在约束集合即可行域中找一点 (x 1 , x 2 ) ，使其落在半径最小的同心圆上，显然，从图示中可 以看出，当 x * = 15 , 5 ) 时， f (x ) 所在的圆的半径最小。 4 4 ?g (x ) = x ? x ? 5 = 0 ? 15 ?x 1 = 其中：点为 g 1 (x ) 和 g 2 (x ) 的交点，令 ? 1 1 2 ? 2 求解得到： ? 4 5 即最优点为 x * = ? ?g 2 (x ) = ?x 1 ? x 2 + 5 = 0 15 , 5 ) ：最优值为： f (x * ) = 65 ?x = ?? 2 4 4 4 8 （3）.若增加一个等式约束，则由图可知，可行域为空集，即此时最优解不存在。 2.一个矩形无盖油箱的外部总面积限定为 S ，怎样设计可使油箱的容量最大？试列出这个优 化问题的数学模型，并回答这属于几维的优化问题. 解：列出这个优化问题的数学模型为： max f (x ) = x 1x 2 x 3 ?x 1x 2 + 2x 2 x 3 + 2x 1x 3 ≤ S 最优化方法 课程设计报告 班级：________________ 姓名： ______ 学号： __________ 成绩： 2017年 5月 21 日 目录 一、摘要 (1) 二、单纯形算法 (2) 1.1 单纯形算法的基本思路 (2) 1.2 算法流程图 (3) 1.3 用matlab编写源程序 (3) 二、黄金分割法 (7) 2.1 黄金分割法的基本思路 (7) 2.2 算法流程图 (8) 2.3 用matlab编写源程序 (9) 2.4 黄金分割法应用举例 (10) 三、最速下降法 (10) 3.1 最速下降法的基本思路 (10) 3.2 算法流程图 (12) 3.3 用matlab编写源程序 (12) 3.4 最速下降法应用举例 (13) 四、惩罚函数法 (16) 4.1 惩罚函数法的基本思路 (16) 4.2 算法流程图 (17) 4.3 用matlab编写源程序 (17) 4.4 惩罚函数法应用举例 (19) 五、自我总结 (19) 六、参考文献 (19) 一、摘要 运筹学是一门以人机系统的组织、管理为对象，应用数学和计算机等工具来研究各类有限资源的合理规划使用并提供优化决策方案的科学。通过对数据的调查、收集和统计分析，以及具体模型的建立。收集和统计上述拟定之模型所需要的各种基础数据，并最终将数据整理形成分析和解决问题的具体模型。 最优化理论和方法日益受到重视，已经渗透到生产、管理、商业、军事、决策等各个领域，而最优化模型与方法广泛应用于工业、农业、交通运输、商业、国防、建筑、通信、政府机关等各个部门及各个领域。伴随着计算机技术的高速发展，最优化理论与方法的迅速进步为解决实际最优化问题的软件也在飞速发展。其中，MATLAB软件已经成为最优化领域应用最广的软件之一。有了MATLAB这个强大的计算平台，既可以利用MATLAB优化工具箱（OptimizationToolbox）中的函数，又可以通过算法变成实现相应的最优化计算。 关键词：优化、线性规划、黄金分割法、最速下降法、惩罚函数 法 项目一 一维搜索算法（一） [实验目的] 编写加步探索法、对分法、Newton 法的程序。 [实验准备] 1．掌握一维收搜索中搜索区间的加步探索法的思想及迭代步骤； 2．掌握对分法的思想及迭代步骤； 3．掌握Newton 法的思想及迭代步骤。 [实验容及步骤] 编程解决以下问题： 1．用加步探索法确定一维最优化问题 的搜索区间，要求选取 ． 加步探索法算法的计算步骤： (1)选取初始点 ，计算．给出初始步长， 加步系数，令。 (2) 比较目标函数值．令k k k h t t +=+1，计算 )(11++=k k t ??，若k k ??<+1，转(3)，否则转(4)。 (3) 加大探索步长．令，同时，令，转(2)。 (4) 反向探索．若，转换探索方向，令，转（2）。否则，停止迭代，令。 12)(min 30+-=≥t t t t ?2,1,000===αh t ])0[)(0[max 00t t t ，或，∈?∞+∈)(00t ??=00>h 1α>0=k k k h h α=+1,k t t =,1+=k k t t 1k k =+0=k ,k k h h -=1+=k t t 11min{}max{}k k a t t b t t ++==，，， 加步探索法算法的计算框图 程序清单 加步探索法算法程序见附录1 实验结果 运行结果为： 2．用对分法求解 ， )2()(min +=t t t ? 已知初始单谷区间，要求按精度，分别计算． 对分法迭代的计算步骤： (1)确定初始搜索区间],[b a ，要求。 (2) 计算],[b a 的中点)(2 1b a c +=． (3) 若0)(<'c ?，则c a = ，转(4)；若0)(='c ?，则c t =*，转(5)；若0)(>'c ?，则c b = ，转(4)． (4) 若ε<-||b a ，则)(2 1*b a t += ，转(5)；否则转(2)． (5) 打印*t ，结束 对分法的计算框图 程序清单 对分法程序见附录2 ]5,3[],[-=b a 3.0=ε001.0=ε'()0'()0a b ??<> ， 遗传算法实验报告 专业：自动化姓名：张俊峰学号：13351067 摘要：遗传算法，是基于达尔文进化理论发展起来的一种应用广泛、高效的随机搜索与优化方法。本实验利用遗传算法来实现求函数最大值的优化问题，其中的步骤包括初始化群体、个体评价、选择运算、交叉运算、变异运算、终止条件判断。该算法具有覆盖面大、减少进入局部最优解的风险、自主性等特点。此外，遗传算法不是采用确定性原则而是采用概率的变迁规则来指导搜索方向，具有动态自适应的优点。 关键词：串集最优化评估迭代变异 一：实验目的 熟悉和掌握遗传算法的运行机制和求解的基本方法。 遗传算法是一种基于空间搜索的算法，它通过自然选择、遗传、变异等操作以及达尔文的适者生存的理论，模拟自然进化过程来寻找所求问题的答案。其求解过程是个最优化的过程。一般遗传算法的主要步骤如下： （1）随机产生一个确定长度的特征字符串组成的初始种群。。 （2）对该字符春种群迭代地执行下面的步骤a和步骤b，直到满足停止准则为止： a计算种群中每个个体字符串的适应值； b应用复制、交叉和变异等遗传算子产生下一代种群。 （3）把在后代中表现的最好的个体字符串指定为遗传算法的执行结果，即为问题的一 个解。 二：实验要求 已知函数y=f（x 1,x 2 ,x 3 ,x 4 ）=1/(x 1 2+x 2 2+x 3 2+x 4 2+1),其中-5≤x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 ≤5, 用遗传算法求y的最大值。三：实验环境 操作系统：Microsoft Windows 7 软件：Microsoft Visual studio 2010 四：实验原理与步骤 1、遗传算法的思想 生物的进化是以集团为主体的。与此相对应，遗传算法的运算对象是由M个个体所组成的集合，称为群体。与生物一代一代的自然进化过程相类似，遗传算法的运算过程也是一个反复迭代过程，第t代群体极为P（t），进过一代遗传和进化后，得到第t+1代群体，他们也是由多个个体组成的集合，记做P（t+1）。这个群体不断地经过遗传和进化操作，并且每次都按照有优胜劣汰的规则将适应度较高的个体更多地遗传到下一代，这样最终在群体中将会得到一个优良的个体X，它所对应的表现性X将达到或接近于问题的最优解。 2、算法实现步骤 ①、产生初始种群：产生初始种群的方法通常有两种：一种是完全随机的方法产生的，适合于对问题的解无任何先验知识的情况；另一种是将某些先验知识转变为必须满足的一组要求，然后在满足这些要求的解中再随机地选择样本，t=0,随机产生n个个体形成一个初始群体P（t），该群体代表优化问题的一些可能解的集合； ②适应度评价函数：按编码规则，将群体P（t）中的每一个个体的基因码所对应的自变量取值代入目标函数，算出其函数值f，i=1,2,…,n,f越大，表示该个体有较高的适应度，更适合于f所定义的生存环境，适应度f为群体进化提供了依据； ③选择：按一定概率从群体P（t）中选出m个个体，作为双亲用于繁殖后代，产生新的个体加入下一个群体P（t+1）中。此处选用轮盘算法，也就是比例选择算法，个体被选择的概率与其适应度成正比。 ④交叉（重组）：对于选中的用于繁殖的每一个个体，选择一种交叉方法，产生新的个体；此处采取生成随机数决定交叉的个体与交叉的位置。 ⑤变异：以一定的概率Pm从群体P（t+1）中随机选择若干个个体，对于选中的个体随机选择某个位置，进行变异； ⑥对产生新一代的群体返回步骤③再进行评价，交叉、变异如此循环往复，使群体中个体的适应度和平均适应度不断提高，直至最优个体的适应度达到某一限值或最优个体的适应度和群体的平均适应度不再提高，则迭代过程收敛，算法结束。 五：实验结果 实验结果的显示取决于判断算法终止的条件，这里可以有两种选择：1、在程序中设定迭代的次数；2在程序中设定适应值。本实验是在程序中实验者输入需要迭代的次数来判断程序终结的。 本科毕业论文 （2014届） 题目：最优化求解法在实际问题中的应用学院：计算机与科学技术学院 专业：数学与应用数学 班级：10数本班 学号：1006131084 姓名：严慧 指导老师：孙钢钢 目录 1．摘要 (3) 2．关键字 (3) 3．引言 (3) 4．最优化求解法在实际问题中的应用 (4) 4.1．无约束最优化问题的求解............................................... ....... 4.2．有约束最优化问题的求解............................................... ....... 4.3．线性规划问题的求解............................................... ........... ... 4.4．非线性规划问题的求解............................................... ........... 5．结束语................................................................................................参考书目 1.摘要：本文介绍最优化及相关知识在实际生活中的应用，主要是利用运筹 学来研究解决在实际生活中所遇到的一些问题，找到最优的解决方案，帮助人们提供最好的最有科学依据的最佳方法。 2.关键字：最优化，运筹学，生活，应用。 Abstract：This paper introduced the Optimization in the real life application，this is use of Operations research to solve the problem in real life，finding the best solution，and provide the best and scientifically valid solution to the people . Key words: Optimization, Operations research, life, application. 3.引言 随着社会迅速发展，各行各业中的竞争日益激烈，我们日常生活中好多事情都会牵扯到最优化，比如运输成本问题、效益分配问题等等。 什么是数学最优化问题，就是利用合理的安排和规划在一件事情或者问题上取得利润最大，时间最少，路线最短，损失最少的方法。所以最优化解决方法对实际生活现实社会的帮助作用很大。现如今，最优化解决问题已经渗透到生活中的方方面面。 一个好的决策也许会让你绝处逢生，反败为胜，譬如中国历史上田忌赛马的故事，田忌的聪明之处在于在已有的条件下，经过策划安排，选择了最好的方案，所以最后就是自己看似劣势也能取胜，筹划是非常重要的，这就是运筹学的魅力。 我们在中国的古代史上就可以看到中国古人已经具有很好的运筹学思想了，在战争中，两兵交战，各方都会有自己的军师，历史上有很多著名的军师，比如诸葛亮，刘伯温等。他们在战争中所起到的作用就是“运筹于帷幄之中，决胜于千里之外”，运筹学二字也是来源于此，了解敌方的军情，以此做出相应的对策，筹划最佳作战计划，做到“知己知彼百战不殆”，历史上也不乏一些以少胜多以弱胜强的战争，由此可见运筹学在军事中的力量有多强大。 现代社会中运筹学不仅在军事方面发挥着重要作用，同样在企业经营管理方面也是非常重要的，最优化理论最早是在工业领域产生的，它的对象可以是产最优化实验报告
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