整理导数的单调性练习题35046
导数的
JUNE 2021单调性
练习题35046
整理人尼克
知识改变命运
函数单调性练习题
1. （1）已知函数f(x)＝x 2+2(a -1)x+2在区间(-∞，4］上是减函数，则实数a 的取值范围是 .
（2）已知函数f(x)＝x 2+2(a -1)x+2的递减区间是(-∞，4］，则实数a 的取值范围是 .
（3）已知x ∈[0，1]，则函数 的最大值为_______最小值为_________
2.讨论函数f(x)＝ (a ≠0)在区间(-1，1)内的单调性.
解：设-1＜x 1＜x 2＜１，则f(x 1)-f(x 2)＝
-＝
∵x 1，x 2∈(-1，1)，且x 1＜x ２，∴x 1-x 2＜0，1+x 1x 2＞0，(1-x 21)(1-x 22)＞0 于是，当a ＞0时，f(x 1)＜f(x 2)；当a ＜0时，f(x 1)＞f(x 2).
故当a ＞0时，函数在(-1，1)上是增函数；当a ＜0时，函数在(-1，1)上为减函数.
3.判断函数f (x )=－x 3+1在(－∞,0)上是增函数还是减函数，并证明你的结论；如果x ∈（0，＋∞），函数f (x )是增函数还是减函数？
4. 已知：f (x )是定义在[－1，1]上的增函数，且f (x －1) 5.设y=f (x )的单增区间是(2，6)，求函数y=f (2－x )的单调区间． ， 由复合函数单调性可知 是单减的， 上 在 又 ） ， （－ ） ， （ 而 ）上是增函数， ， （ 在 则由已知得 解：令 ) 0 , 4 ( 2 ) ( 0 4 6 2 2 ) ( 6 2 ) ( , 2 ) ( - ∈ - = ∈ ∴ ∈ - = ∈ - = x x x t x x x t t t f x x t 6．函数 在区间（-2，+∞）上是增函数，那么a 的取值范围是（ ） A. B. C.a<-1或a>1 D.a>-2 解：f (x )＝ ax ＋1x ＋2＝a (x ＋2)＋1－2a x ＋2＝1－2a x ＋2 ＋a . 任取x 1，x 2∈(－2，＋∞)，且x 1 1－2a x 1＋2－1－2a x 2＋2 ＝(1－2a )(x 2－x 1) (x 1＋2)(x 2＋2) . ∵函数f (x )＝ax ＋1 x ＋2 在区间(－2，＋∞)上为增函数，∴f (x 1)－f (x 2)<0. ∵x 2－x 1>0，x 1＋2>0，x 2＋2>0，∴1－2a <0，a >12. 即实数a 的取值范围是? ?? ?? 12，＋∞. 7.已知函数f (x )＝????? x 2＋4x ，x ≥0， 4x －x 2，x <0. 若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B ．(－1,2) C ．(－2,1) D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 解析：f (x )＝??? x 2＋4x ＝(x ＋2)2－4，x ≥0， 4x －x 2＝－(x －2)2＋4，x <0， 由f (x )的图象可知f (x )在(－∞，＋∞) 上是单调递增函数，由f (2－a 2)>f (a )得2－a 2>a ，即a 2＋a －2<0，解得－2 8.已知f (x )在其定义域R +上为增函数，f (2)=1，f (xy )=f (x )+f (y )，解不等式f (x )+f (x －2) ≤3 9.已知定义在区间（0，+∞）上的函数f(x)满足f(=f(x1)-f(x2)，且当x＞1时，f(x)＜0. （1）求f(1)的值； （2）判断f(x）的单调性； （3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)＜-2. （1）f(1) = f(1/1) = f(1) - f(1) = 0。 （2）当0 < x < y时，y/x > 1，所以f(y) - f(x) = f(y/x) < 0 。故f单调减。 （3）f(3) = -1，f(3) = f(9/3) = f(9) - f(3)，f(9) = -2而f（｜x｜)＜-2 = f(9)，且f单调减，所以| x | > 9 x＞9或x＜-9 10.函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x＞0时，f(x)＞1. （1）求证：f(x)是R上的增函数； （2）若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)＜3. （1）设x1,x2∈R，且x1＜x2,则x2-x1＞0,∴f(x2-x1)＞1. f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1) =f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1) =f(x2-x1)-1＞0. ∴f（x2）＞f(x1).即f(x)是R上的增函数. （2）∵f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5，∴f（2）=3，∴原不等式可化为f(3m2-m-2)＜f(2), ∵f(x)是R上的增函数，∴3m2-m-2＜2, 解得-1＜m＜ ,故解集为 . 11.设f（x）的定义域为（0，+∞），且在（0，+∞）是递增的， （1）求证：f（1）=0，f（xy）=f（x）+f（y）； （2）设f（2）=1，解不等式。 （1）证明：，令x=y=1，则有：f（1）=f（1）-f（1）=0， 。 （2）解：∵，∵2=2×1=2f（2）=f（2）+f（2）=f（4）， ∴等价于：①， 且x>0，x-3>0[由f（x）定义域为（0，+∞）可得 ∵，4>0，又f（x）在（0，+∞）上为增函数， ∴①。又x>3，∴原不等式解集为：{x|3 12.已知函数f(x)＝3－ax a－1(a≠1)． (1)若a>0，则f(x)的定义域是________； (2)若f(x)在区间(0,1]上是减函数，则实数a的取值范围是________．解析： (1)当a>0且a≠1时，由3－ax≥0得x≤3 a，即此时函数f(x)的定义域是? ? ? ? ? －∞， 3 a； (2)当a－1>0，即a>1时，要使f(x)在(0,1]上是减函数，则需3－a×1≥0，此时1 综上所述，所求实数a的取值范围是(－∞，0)∪(1,3]． 13. 定义在上的函数，，当时，，且对任意的，有. (1)求的值；(2)求证：对任意的，恒有；(3)若，求的取值范围. 解：（1）解：令，则又，. （2）证明：当时，，∴∵，∴又时，∴对任意的，恒有. （3）解：设，则. ∴. 又 ∴ = ∴.∴是上的增函数.由，得.∴，∴∴所求的x的取值范围为 14.已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0， f(1)＝－2 3. (1)求证：f(x)在R上是减函数； (2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值． (1)解法一：∵函数f(x)对于任意x，y∈R总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)， ∴令x＝y＝0，得f(0)＝0.再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)． 在R上任取x1>x2，则x1－x2>0，f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)． 又∵x>0时，f(x)<0，而x1－x2>0，∴f(x1－x2)<0，即f(x1) 解法二：设x1>x2，则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)． 又∵x>0时，f(x)<0，而x1－x2>0，∴f(x1－x2)<0，即f(x1) (2)∵f(x)在R上是减函数，∴f(x)在[－3,3]上也是减函数，∴f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)．而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2.∴f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2. 整理丨尼克 本文档信息来自于网络，如您发现内容不准确或不完善，欢迎您联系我修正；如您发现内容涉嫌侵权，请与我们联系，我们将按照相关法律规定及时处理。 〖专题5〗导数的应用—含参函数的单调性讨论 “含参数函数的单调性讨论问题”是近年来高考考查的一个常考内容，也是我们高考复习的重点．从这几年来的高考试题来看，含参数函数的单调性讨论常常出现在研究函数的单调性、极值以及最值中，因此在高考复习中更应引起我们的重视． 一、思想方法： 上为常函数 在区间时上为减函数在区间时上为增函数在区间时和增区间为和增区间为D x f x f D x D x f x f D x D x f x f D x D C x f D C x x f B A x f B A x x f )(0)(')(0)(')(0)('...,)(...0)('...,)(...0)('?=∈?<∈?>∈?∈? 讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论． 二、典例讲解 [典例1]讨论x a x x f + =)(的单调性，求其单调区间． 解：x a x x f + =)(的定义域为),0()0,(+∞-∞ )0(1)('2 22≠-=-=x x a x x a x f (它与a x x g -=2 )(同号) I ）当0≤a 时，)0(0)('≠>x x f 恒成立， 此时)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是单调增函数， 即)(x f 的增区间是)0,(-∞和),0(+∞; II) 当0>a 时 a x a x x x f > -或)0(0)(' a x x a x x f <<<<-?≠<00)0(0)('或 此时)(x f 在),(a --∞和),(+∞a 都是单调增函数， )(x f 在)0,(a -和),0(a 都是单调减函数， 即)(x f 的增区间为),(a --∞和),(+∞a ; )(x f 的减区间为)0,(a -和),0(a . 步骤小结：1、先求函数的定义域， 2、求导函数（化为乘除分解式，便于讨论正负）， 3、先讨论只有一种单调区间的（导函数同号的）情况， 4、再讨论有增有减的情况（导函数有正有负，以其零点分界）， 5、注意函数的断点，不连续的同类单调区间不要合并． [变式练习1]讨论x a x x f ln )(+=的单调性，求其单调区间． 导数的应用—单调性与极值的习题课 【复习目标】 1.理解导数在研究函数的单调性和极值中的作用； 2.理解导数在解决有关不等式、方程的根、曲线交点个数等问题中有广泛的应用。 3.结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的 单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间； 4.结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三 次的多项式函数的极大值、极小值，体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。 【重点难点】 ①利用导数求函数的极值；②利用导数求函数的单调区间；④利用导数证明函数的单调性； ⑤数在实际中的应用；⑥导数与函数、不等式等知识相融合的问题； 【基础过关】1． 函数的单调性 ⑴ 函数y ＝)(x f 在某个区间内可导，若)(x f '＞0，则)(x f 为 ；若)(x f '＜0，则) (x f 为 .（逆命题不成立） (2) 如果在某个区间内恒有0)(='x f ，则)(x f . 注：连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的. (3) 求可导函数单调区间的一般步骤和方法： ① 确定函数)(x f 的 ； ② 求)(x f '，令 ，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根； ③ 把函数)(x f 的间断点（即)(x f 的无定义点）的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺 序排列起来，然后用这些点把函数)(x f 的定义区间分成若干个小区间； ④ 确定)(x f '在各小开区间内的 ，根据)(x f '的符号判定函数)(x f 在各个相应小开区 间内的增减性. 2．可导函数的极值 ⑴ 极值的概念 设函数)(x f 在点0x 附近有定义，且对0x 附近的所有点都有 （或 ），则称 )(0x f 为函数的一个极大（小）值．称0x 为极大（小）值点. ⑵ 求可导函数极值的步骤： ① 求导数)(x f '； ② 求方程)(x f '＝0的 ； ③ 检验)(x f '在方程)(x f '＝0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负， 那么函数y ＝)(x f 在这个根处取得 ；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函 数y ＝)(x f 在这个根处取得 . 【基础训练】 例1．如果函数()y f x =的图像如右图,那么导函数, ()y f x =的图像可能是（ ） 例2. 曲线x x y ln 22-= 的单调减区间是( ) 第二课时 导数在函数中的应用 【学习目标】 1.理解导数在研究函数的单调性和极值中的作用； 2.理解导数在解决有关不等式、方程的根、曲线交点个数等问题中有广泛的应用。 3.结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间； 4.结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。 【重点难点】 ①利用导数求函数的极值；②利用导数求函数的单调区间；③利用导数求函数的最值；④利用导数证明函数的单调性；⑤数在实际中的应用；⑥导数与函数、不等式等知识相融合的问题；⑦导数与解析几何相综合的问题。 【高考要求】B 级 【自主学习】1． 函数的单调性 ⑴ 函数y ＝)(x f 在某个区间内可导，若)(x f '＞0，则)(x f 为 ；若)(x f '＜0，则)(x f 为 .（逆命题不成立） (2) 如果在某个区间内恒有0)(='x f ，则)(x f . 注：连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的. (3) 求可导函数单调区间的一般步骤和方法： ① 确定函数)(x f 的 ； ② 求)(x f '，令 ，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根； ③ 把函数)(x f 的间断点（即)(x f 的无定义点）的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数)(x f 的定义区间分成若干个小区间； ④ 确定)(x f '在各小开区间内的 ，根据)(x f '的符号判定函数)(x f 在各个相应小开区间内的增减性. 2．可导函数的极值 ⑴ 极值的概念：设函数)(x f 在点0x 附近有定义，且对0x 附近的所有点都有 （或 ），则称)(0x f 为函数的一个极大（小）值．称0x 为极大（小）值点. ⑵ 求可导函数极值的步骤： ① 求导数)(x f '； 《导数在研究函数中的应用—函数的单调性与导数》说课稿 周国会 一、教材分析 1教材的地位和作用 “函数的单调性和导数”这节新知识是在教材选修1—1，第三章《导数及其应用》的函数的单调性与导数.本节计划两个课时完成。在练习解二次不等式、含参数二次不等式的问题后，结合导数的几何意义回忆函数的单调性与函数的关系。例题精讲强化函数单调性的判断方法，例题的选择有梯度，由无参数的一般问题转化为解关于导函数的不等式，再解关于含参数的问题，最后提出函数单调性与导数关系逆推成立。培养学生数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想。能利用导数研究函数的单调性；会求函数的单调区间.在高考中常利用导数研究函数的单调性，并求单调区间、极值、最值、以及利用导数解决生活中的优化问题。其中利用导数判断单调性起着基础性的作用，形成初步的知识体系，培养学生掌握一定的分析问题和解决问题的能力。 （一）知识与技能目标： 1、能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间； 2、能解决含参数函数的单调性问题以及函数单调性与导数关系逆推。 （二）过程与方法目标： 1、通过本节的学习，掌握用导数研究函数单调性的方法。 2、培养学生的观察、比较、分析、概括的能力，数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想。 （三）情感、态度与价值观目标： 1、通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结， 2、培养学生的探索精神，渗透辩证唯物主义的方法论和认识论教育。激发学生独立思考和创新的意识，让学生有创新的机会，充分体验成功的喜悦，开发了学生的自我潜能。（四）教学重点，难点 教学重点：利用导数研究函数的单调性、求函数的单调区间。 教学难点：探求含参数函数的单调性的问题。 二、教法分析 针对本知识点在高考中的地位、作用，以及学生前期预备基础，应注重理解函数单调性与导数的关系，进行合理的推理，引导学生明确求可导函数单调区间的一般步骤和方法，无参数的一般问题转化为解关于导函数的不等式。解关于含参数的问题，注意分类讨论点的确认，灵活应用已知函数的单调性求参数的取值范围。采用启发式教学，强调数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想的应用， 导数应用：含参函数的单调性讨论(二) 对函数(可求导函数)的单调性讨论可归结为对相应导函数在何处正何处负的讨论，若有多个讨论点时，要注意讨论层次与顺序，一般先根据参数对导函数类型进行分类，从简单到复杂。 一、典型例题 例1、已知函数3 2 ()331,f x ax x x a R =+++∈,讨论函数)(x f 的单调性. 分析：讨论单调性就是确定函数在何区间上单调递增，在何区间单调递减。而确定函数的增区间就是确定0)('>x f 的解区间；确定函数的减区间就是确定0)(' 选修2-2 第1章 导数及其应用 §1.3.1 单调性 第1课时 总第53教案 一、教学目的：1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理； 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法. 二、教学重点：利用导数判断函数单调性. 教学难点：利用导数判断函数单调性. 三、教学过程： 预习测评：1. 函数的导数与函数的单调性的关系： 我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数342 +-=x x y 的图像可以看到： 定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内/ y >0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内/ y <0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数 . 2.用导数求函数单调区间的步骤： ①求函数f (x )的导数f ′(x ). ②令f ′(x )＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间. ③令f ′(x )＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间. 典题互动： 例1、确定下列函数的单调区间 ①x x x f -=3 )( ②x x x f ln )(-= ③x x f 21)(= ④x x x f sin 2 1 )(+= ⑤1+-=x e y x ⑥)34(4 134 +--=x x y ⑦x x y -=3 ⑧x x y 1+= ⑨1 2-=x bx y y =f (x )=x 2 －4x +3 切线的斜率 f ′(x ) (2，+∞) (－∞，2) 3 2 1 f x () = x 2-4?x ()+3 x O y B A 例2： 若x ax x f +=3 )(恰有三个单调区间，试确定实数a 的取值范围，并求出这三个单调区间。 例3： 要使函数2)1(3)(2 -++=x a x x f 在区间]3,(-∞上是减函数，求实数a 的取值范围。 例4：已知x>1，求证：)1ln(x x +> 学效自测： 1、讨论函数)(x f 的单调性 (1)b kx y += (2)x k y = (3))0( 2 ≠++=a c bx ax y 2、证明：(1) x e x f =)(在区间),(+∞-∞上是增函数；(2) x e x f x -=)(在区间)0,(-∞上是减函数。 高三二轮复习函数单调性讨论（文科压轴第（1）问） 一、解答题 1．已知函数，．讨论的单调性； 【解】：Ⅰ，． 当时，，在上是单调增函数； 当时，． 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减． 综上，当时，在上是单调增函数，当时，在上单调递增，在上单调递减； 2．已知函数．试讨论函数的单调性； 【解】：1， 时，在恒成立，故在递增， 时，由，解得：，由，解得：，故在递减，在递增； 3．已知函数（a＞0）．讨论函数f（x）的单调性； 【解】：（1）解：．①当0＜a≤1时，由f'（x）＜0，得[（1＋a）x－1][（1－a）x＋1]＜0， 解得； 由f'（x）＞0，得[（1＋a）x－1][（1－a）x＋1]＞0，解得． 故函数f（x）的单调递减区间为（0，），单调递增区间为（，＋∞）． ②当a＞1时，由f'（x）＜0，得或； 由f'（x）＞0，得． 故函数f（x）的单调递减区间为（0，），（，＋∞），单调递增区间为． 4．已知函数． 当时，求函数的单调增区间； 若函数在上是增函数，求实数a的取值范围； 【解】：当时，． 则 令，得，即，解得：或． 因为函数的定义域为， 所以函数的单调增区间为． 由函数．因为函数在上是增函数，所以 对恒成立 即对恒成立．所以即实数a的取值范围是． 5．设函数． 当为自然对数的底数时，求的极小值； 若在上为单调增函数，求m的取值范围． 【解】：（1）由题设，当时，，则，（）∴当，，在 上单调递减，当，，在上单调递增，当时，取得极小值，，∴的极小值为2. （2）因为在上为单调增函数，所以对于恒成立，即对于恒成立，进而 6．已知函数. （1）讨论的单调区间； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 【解】：（1）的定义域为，， ①当时，，所以的减区间为，无增区间. ②当时，令得；令得；所以的单调递增区间为， 单调递减区间为. 综上可知，当时，的减区间为，无增区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 7．设函数．求函数的单调区间和极值． 【解】：由，得， 当时，，函数在上单调递增，函数无极大值，也无极小值； 当时，由，得或舍去． ． 函数在处取得极小值，无极大值． 综上可知，当时，函数的单调递增区间为，函数既无极大值也无极小值； 当时，函数的单调递减区间是，单调递增区间为， 函数有极小值，无极大值． 8．已知函数．(1)求的单调区间； 【解】：（1）. 当时，由，得，，∴函数的递减区间是； 当时，由得，∴当时，；当时，. ∴函数的递增区间是，递减区间是； 综上，当时，函数的递减区间是； 当时，函数的递增区间是，递减区间是． 9．已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）若对任意，函数的图像不在轴上方，求的取值范围. 【解】：（1）函数的定义域为，. 当时，恒成立，函数的单调递增区间为. 当时，由，得或（舍去）， 则由，得，由，得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）对任意，函数的图像不在轴上方，等价于对任意，都有恒成立，即在上. 由（1）知，当时，在上是增函数，又，不合题意； 当时，在处取得极大值也是最大值，所以. 令，所以. 函数的单调性 沈阳第十一中学 赵拥权 1.已知函数1)(3--=ax x x f 在实数集R 上单调递增，求a 的取值范围 2.设函数ax x x f -=ln )(在),1(+∞上是单调减函数求a 的取值范围 3.函数ax e x g x -=)(在),1(+∞-上是单调增函数求a 的取值范围 4.设ax x x x f 22131)(23++- =.若)(x f 在),32(+∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围； 5.的取值范围；则在定义域内是增函数，函数m x x mx x f 2ln )(2-+= 6.[]的取值范围；上不单调，则在函数t t t x x x x f 1,ln 3421)(2+-+- = 7.3)2(3 1)(23++++=x b bx x x f 函数在R 上不单调，则b 的取值范围； 9.(]的取值范围；时增函数，则函数a x x ax x f 1,0,12)(2∈-= 10.已知函数若f(x)在区间 上是减函数，求实数a 的取值范围; 11. 已知函数 若f(x)在定义域上是增函数，求实数a 的取值范围; 10.已知函数ln ()x x k f x e +=（k 为常数， 2.71828e =???是自然对数的底数），曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行. （Ⅰ）求k 的值； （Ⅱ）求()f x 的单调区间； 11.已知a 、b 为常数，且a ≠0，函数f (x )＝－ax ＋b ＋ax ln x ，f (e )＝2，（e ＝2.71828…是自然对数的底数）。 （Ⅰ）求实数b 的值； （Ⅱ）求函数f (x )的单调区间； 导数第2节 导数的应用（1）单调性 1.（优质专题天津文20（1）） 已知函数4 ()4,,f x x x x =-∈R 求()f x 的单调性； 2.(优质专题广东文21）设函数32()()f x x kx x k =-+∈R ． (1) 当1k =，求函数()f x 的单调区间； 3.（优质专题四川文21（1））已知函数()2 2 2ln 2f x x x x ax a =-+-+，其中0a >. 设()g x 为()f x 的导函数，讨论()g x 的单调性； 4.（优质专题全国2文21(1)）设函数()() 21e x f x x =-. （1）讨论()f x 的单调性； 5.（优质专题重庆文19（1））已知函数()()32f x ax x a =+∈R 在4 3 x =-处取得极值. 若()()e x g x f x =，讨论()g x 的单调性. 6.（优质专题湖北文21） 设0a >，0b >，已知函数()1 ax b f x x += +． （1） 当a b ≠时，讨论函数()f x 的单调性； 7.（优质专题江苏19（1））已知函数()32f x x ax b =++(),a b ∈R ．试讨论()f x 的单调性. 8.（优质专题山东文20（1））设()()2 ln 21f x x x ax a x =-+-，a ∈R . （1）令()()g x f x '=，求()g x 的单调区间； 9.（优质专题新课标2卷文21(1)）已知函数()()=ln +1f x x a x -.讨论()f x 的单调性. 10.（优质专题全国1文21*（1））已知函数()() 2 e e x x f x a a x =--. （1）讨论()f x 的单调性； 〖专题5〗 导数的应用—含参函数的单调性讨论 “含参数函数的单调性讨论问题”是近年来高考考查的一个常考内容，也是我们高考复习的重点．从这几年来的高考试题来看，含参数函数的单调性讨论常常出现在研究函数的单调性、极值以及最值中，因此在高考复习中更应引起我们的重视． 一、思想方法： 上为常函数 在区间时上为减函数在区间时上为增函数在区间时和增区间为和增区间为D x f x f D x D x f x f D x D x f x f D x D C x f D C x x f B A x f B A x x f )(0)(')(0)(')(0)('...,)(...0)('...,)(...0)('?=∈?<∈?>∈?∈? 讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论． 二、典例讲解 [典例1] 讨论x a x x f + =)(的单调性，求其单调区间． 解：x a x x f + =)(的定义域为),0()0,(+∞-∞ )0(1)('2 22≠-=-=x x a x x a x f (它与a x x g -=2 )(同号) I ）当0≤a 时，)0(0)('≠>x x f 恒成立， 此时)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是单调增函数， 即)(x f 的增区间是)0,(-∞和),0(+∞; II) 当0>a 时 a x a x x x f > -或)0(0)(' a x x a x x f < <<<-?≠<00)0(0)('或 此时)(x f 在),(a --∞和),(+∞a 都是单调增函数， )(x f 在)0,(a -和),0(a 都是单调减函数， 即)(x f 的增区间为),(a --∞和),(+∞a ; )(x f 的减区间为)0,(a -和),0(a . 步骤小结：1、先求函数的定义域， 2、求导函数（化为乘除分解式，便于讨论正负）， 3、先讨论只有一种单调区间的（导函数同号的）情况， 4、再讨论有增有减的情况（导函数有正有负，以其零点分界）， 5、注意函数的断点，不连续的同类单调区间不要合并． [变式练习1] 讨论x a x x f ln )(+=的单调性，求其单调区间． 导数的应用---函数的单调性 1、设函数2()(0),f x ax bx c a =++≠曲线y =f (x )通过 点（0，2a +3），且在点（-1，f （-1））处的切线垂直于y 轴. （Ⅰ）用a 分别表示b 和c ； （Ⅱ）当bc 取得最小值时，求函数g (x )=-f (x )e -x 的单调区间. 2、已知函数R x t x t tx x x f ∈-+-+=，2 13232)(223 ， 其中t ∈R ． （Ⅰ）当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0t ≠时，求()f x 的单调区间； 3、已知函数2()1ln f x x a x x =-+-，a ＞0，讨论()f x 的单调性. 4、已知函数x x x g ln sin 1 )(+?= θ 在[1，＋∞）上为增函 数，且()πθ,0∈，1 ()ln m f x mx x x -=--，m ∈R ． （1）求θ的值； （2）若()()f x g x -在[1，＋∞）上为单调函数，求 m 的取值范围； 导数的应用---函数的极值 1、已知函数 2()(1)x f x e x ax =++． （Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线与 x 轴平行，求a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的极值． 2、设函数2 ()()()f x x x a x R =--∈ ，其中a R ∈. （I ） 当1a =时，求曲线 ()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程； （II ）当0a ≠时，求函数()f x 的极大值和极小值； （Ⅲ）当3a >时，在区间[1,0]-上是否存有实数k 使 不等式22 (cos )(cos )f k x f k x -≥-对任意的x R ∈恒成立,若存有,求出k 的值,若不存 有,说明理由。 3、已知函数1()ln(1)1a f x x ax x -=+-++ (1 2 a ≥). （Ⅰ）当曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与直线 :21l y x =-+平行时，求a 的值。 （Ⅱ）求函数()f x 的极值 4、已知函数 )ln()(m x e x f x +-=. (Ⅰ)设0x =是()f x 的极值点,求m ,并讨论()f x 的单调性; (Ⅱ)当2m ≤时,证明()0f x >. 导数在函数单调性中的应用 利用导数判断函数的单调性是高考必考内容之一，是高考考查的重点，其主要题型以函数单调区间的求解，单调性的证明，求参变量的取值范围为主。而熟练掌握导数与函数单调性的关系是解题的突破口。 题型一、函数单调性的证明 例1：已知a>0，且a ≠1，证明函数y=a x -xlna 在（-∞，1）内是减函数。 分析：此题是利用导数证明单调性的问题，直接利用导数的符号与函数单调性的关系证明即可。 解：y`=a x lna-alna 当a>0时 因为y`=lna(a x -a)，lna>0，a x a 所以y`<0，即y 在（-∞，1）上是减函数 点评：在求解一个函数单调区间时，函数的导数往往可以化成两个基础函数的积或商的形式，我们要在基础函数成立的基础上加以讨论。 题型二、确定函数的单调区间 例2：确定函数f （x ）=x 2-x 3的单调区间 分析：根据求函数的单调区间的步骤，先求出f ’（x ），然后解不等式f ’（x ）>0，可得单调递增区间，再解不等式f ’（x ）<0得单调递减区间。 解：因为f ’（x ）=2x-3x 2，令2x-3x 2>0，解得3 20< 导数应用：含参函数的单调性讨论 (一) 一、思想方法： f '( x) 0 x A B ... f ( x) 增区间为 和 A, B ... f '( x) 0 x C D ... f ( x) 增区间为 和 C, D ... x D 时f '( x) 0 f (x)在区间 D 上为增函数 x D 时f '( x) 0 f (x)在区间 D 上为减函数 x D 时f '( x) f (x)在区间 D 上为常函数 讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论。 二、典例讲解 例 1 讨论 f (x) x a 的单调性，求其单调区间 x 步骤小结： 1、先求函数的定义域， 2、求导函数（化为乘除分解式，便于讨论正负） ， 3、先讨论只有一种单调区间的（导函数同号的）情况， 4、再讨论有增有减的情况（导函数有正有负，以其零点分界） ， 5、注意函数的断点，不连续的同类单调区间不要合并。 变式练习 1 : 讨论 f ( x) x a ln x 的单调性，求其单调区间 例 2．讨论 f ( x) ax ln x 的单调性 小结： 导函数正负的相应区间也可以由导函数零点来分界，但要注意其定义域和连续性。即先求出 f ' ( x) 的零点，再其分区间然后定 f ' ( x) 在相应区间的符号。一般先讨论 f ' ( x) 0 无解情况，再讨论解 f ' (x) 0 过程产生增根的情况（即解方程变形中诸如平方、去分母、去对数符号等把自变量x 围扩大而出现有根，但根实际上不在定义域的），即根据 f ' (x) 零点个数从少到多，相应原函数单调区间个 数从少到多讨论，最后区间（最好结合导函数的图象）确定相应单调性。 变式练习 2. 讨论 f (x) 1 ax2 ln x 的单调性 2 小结： 一般最后要综合讨论情况，合并同类的，如i),ii) 可合并为一类结果。 对于二次型函数（如g( x) ax 21）讨论正负一般先根据二次项系数分三种类型讨论。 例3．求f ( x) a 2 x3ax 2x 1 的单调区间 利用导数研究函数的单调性之二阶求导型 一、解答题（题型注释） 1．已知函数ax x xe x f x --=ln )(2． （1）当0=a 时，求函数)(x f 在]1,2 1[上的最小值； （2）若0>?x ，不等式1)(≥x f 恒成立，求a 的取值范围； （3）若0>?x ，不等式e x x e x e e x x f 1111 1)1(2+ -+≥-恒成立，求a 的取值范围． 1．（1） ln 22 e +； （2）2a ≤；（3）11(1)e e a e e ≤---． 【解析】 试题分析：（1）由0=a 时，得出x xe x f x ln )(2-=，则21 ()(21)x f x x e x '=+- ，再求导()f x ''，可得函数)(/ x f 在),0(+∞上是增函数，从而得到函数()f x 的单调性，即可求解函数)(x f 在]1,2 1[上的最小值； （2）由（1）知函数)(/ x f 在),0(+∞上是 增函数，且00>?x ，使得0()0f x '=，得01 )12(0 200 =-- +a x e x x ，即022000(2)1x ax x x e =+-，设022000()1ln 2x f x x x e =--，利用函数0()f x 的单调性， 即可求解求a 的取值范围；（3）根据题意，转化为1 1ln x e x e a x x x e +-≤--对任意0>x 成 立，令e x e e x x x x x g 11ln )(+---=，所以()g x '，可得出()g x 的单调性，求解出()g x 的最小值，即可a 的取值范围． 试题解析：（1）0=a 时，x xe x f x ln )(2-=，x e x x f x 1)12()(2/-+=∴， 01 )44()(22//>++=?x e x x f x ，所以函数)(/x f 在),0(+∞上是增函数， 导数应用：含参函数的单调性讨论(一) 一、思想方法： 上为常函数 在区间时上为减函数在区间时上为增函数在区间时和增区间为和增区间为D x f x f D x D x f x f D x D x f x f D x D C x f D C x x f B A x f B A x x f )(0)(')(0)(')(0)('...,)(...0)('...,)(...0)('?=∈?<∈?>∈?∈? 讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论。 二、典例讲解 例1 讨论x a x x f + =)(的单调性，求其单调区间 解：x a x x f + =)(的定义域为),0()0,(+∞-∞ )0(1)('2 22≠-=-=x x a x x a x f (它与a x x g -=2 )(同号) I ）当0≤a 时，)0(0)('≠>x x f 恒成立， 此时)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是单调增函数， 即)(x f 的增区间是)0,(-∞和),0(+∞; II) 当0>a 时 a x a x x x f > -或)0(0)(' a x x a x x f <<<<-?≠<00)0(0)('或 此时)(x f 在),(a --∞和),(+∞a 都是单调增函数， )(x f 在)0,(a -和),0(a 都是单调减函数， 即)(x f 的增区间为),(a --∞和),(+∞a ; )(x f 的减区间为)0,(a -和),0(a . 步骤小结：1、先求函数的定义域， 2、求导函数（化为乘除分解式，便于讨论正负）， 3、先讨论只有一种单调区间的（导函数同号的）情况， 4、再讨论有增有减的情况（导函数有正有负，以其零点分界）， 5、注意函数的断点，不连续的同类单调区间不要合并。 变式练习1 : 讨论x a x x f ln )(+=的单调性，求其单调区间 解：x a x x f ln )(+=的定义域为),0(+∞ )0(1)('>+=+ =x x a x x a x f (它与a x x g +=)(同号) I ）当0≥a 时，)0(0)('>>x x f 恒成立， 此时)(x f 在),0(+∞为单调增函数， 导数的应用一(单调性) 导数的应用(一) 1．函数的单调性与导数 2．函数的极值 (1)极大值： 在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都小于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f( x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值． (2)极小值： 在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都大于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f( x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值． (3)极值： 极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点． 3．函数的最值与导数 (1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件： 一般地，如果在区间[a，b]上，函数y＝f(x)的图像是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤为 ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 1．若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0吗？f′(x)>0是否是f(x)在(a，b)内单调递增的充要条件？ 2．导数值为0的点一定是函数的极值点吗？“导数为0”是函数在该点取得极值的什么条件？ 3．函数的极值和函数的最值有什么联系和区别？ 1．如图所示是函数f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断中正确的是( A ) A．函数f(x)在区间(－3,0)上是减函数 B．函数f(x)在区间(－3,2)上是减函数 C．函数f(x)在区间(0,2)上是减函数 D．函数f(x)在区间(－3,2)上是单调函数 点击导数在单调性求解中的应用 函数的单调性是函数最基本的性质之一，是我们研究函数所要掌握的最基本的知识．它在中学数学中的用处是非常广泛的，其思维方法有：一、利用增（减）函数的定义判断单调性；二、导数法．利用在(,)a b 内可导的函数()f x 在(,)a b 上递增（或递减）的充要条件是()0f x '≥（或()0f x '≤），(,)x a b ∈恒成立（但()f x '在(,)a b 的任意子区间内都不恒等于0）．方法一化简较为繁琐，比较适合解决抽象函数的单调性问题，而用导数知识来判断函数的单调性既快捷又容易掌握．，特别是对于具体函数更加适用． 一、利用导数求单调区间 例1 函数y =x ln x 在区间(0，1)上是（ ） A. 单调增函数 B ．单调减函数 C ．在(0， e 1)上是减函数，在(e 1 ，1) 上是增函数 D ．在(0，e 1)上是增函数，在(e 1 ，1)上是减函数 分析：本题主要考查利用求导方法判定函数在给定区间上的单调性． 解：y ′=ln x +1，当y ′>0时，解得x >e 1 ． 又x ∈(0，1)，∴e 1 导数的应用一---函数的单调性 1. 理解函数的单调性与其导数的关系。 2. 掌握通过函数导数的符号来判断函数的单调性。 3. 会利用导数求函数的单调区间。 【要点梳理】 要点一、函数的单调性与导数的关系 我们知道，如果函数()f x 在某个区间是增函数或减函数，那么就说()f x 在这一区间具有单调性，先看下面的例子： 函数2 ()43y f x x x ==-+的图象如图所示。考虑到曲线()y f x =的切线的斜率就是函数()f x 的导数，从图象可以看到：在区间（2，+∞）内，切线的斜率为正，即'()0f x >时， ()f x 为增函数；在区间（－∞，2）内，切线的斜率为负，即'()0f x <时，()f x 为减函数。 导数的符号与函数的单调性： 一般地，设函数)(x f y =在某个区间内有导数，则在这个区间上， ①若()0f x '>，则()f x 在这个区间上为增函数； ②若()0f x '<，则()f x 在这个区间上为减函数； ③若恒有0)(='x f ，则()f x 在这一区间上为常函数. 反之，若()f x 在某区间上单调递增，则在该区间上有()0f x '≥恒成立（但不恒等于0）；若()f x 在某区间上单调递减，则在该区间上有()0f x '≤恒成立（但不恒等于0）． 要点诠释： 1.因为导数的几何意义是曲线切线的斜率，故当在某区间上()0f x '>，即切线斜率为正时，函数()f x 在这个区间上为增函数；当在某区间上()0f x '<，即切线斜率为负时，函数()f x 在这个区间上为减函数；即导函数的正负决定了原函数的增减。 2.若在某区间上有有限个点使'()0f x =，在其余点恒有'()0f x >，则()f x 仍为增函数（减函数的情形完全类似）。 即在某区间上，()0f x '>?()f x 在这个区间上为增函数； ()0f x '（或0)(<'x f ）是)(x f 在区间(a ，b)内单调递增（或减）的充分不必要条件！ 例如：3 2 ()'()30'(0)0,'()0(0)f x x f x x f f x x =?=≥=>≠，，而f(x)在R 上递增. 4.只有在某区间内恒有0)(='x f ，这个函数)(x f y =在这个区间上才为常数函数. 5.注意导函数图象与原函数图象间关系. 要点二、利用导数研究函数的单调性 利用导数判断函数单调性的基本方法 第二节导数的简单应用 1．函数的单调性与导数的关系 在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f′(x)≥0?f(x)在(a，b)上为增函数．f′(x)≤0?f(x)在 ? (a，b)上为减函数． 2．函数的极值 (1)函数的极小值： ； 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0 ? 而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点 ， ? f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． (2)函数的极大值： 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 3．函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． (3)开区间上的单调连续函数无最值．, (1)f′(x)＞0(＜0)是f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的充分不必要条件． (2)f′(x)≥0(≤0)是f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的必要不充分条件． (3)由f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)可得f′(x)≥0(≤0)在该区间内恒成立，而不是f′(x)＞0(＜0)恒成立，“＝”不能少，必要时还需对“＝”进行检验. f′(x )＝0是x0为f(x)的极值点的必要不充分条件．例如，f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x ＝0不是极值点． (1)极值点不是点，若函数f(x)在x1处取得极大值，则x1为极大值点，极大值为f(x1)；在x2处取得极小值，则x2为极小值点，极小值为f(x2)．极大值与极小值之间无确定的大小关系． (2)极值一定在区间内部取得，有极值的函数一定不是单调函数.专题5 导数的应用-含参函数的单调性讨论(答案)
导数的应用—单调性与极值的习题课
导数在函数中的应用
《导数在研究函数中的应用-函数的单调性与导数》说课稿
导数应用：含参函数的单调性讨论(二)
导数及其应用单调性
导数在函数单调性中的应用——分类讨论专题复习
导数的应用(-)单调性
导数的应用(单调性)专题
专题5导数的应用含参函数的单调性讨论(答案)
导数的应用---函数的单调性
导数在函数单调性中的应用
导数应用_含参函数的单调性讨论(一).doc
利用导数研究函数的单调性之二阶求导型
导数应用：含参函数的单调性讨论(一)
导数的应用一(单调性)
点击导数在单调性求解中的应用
66知识讲解_导数的应用--单调性_基础
第二节 导数的简单应用 第一课时 导数与函数的单调性