(完整版)杭州学军中学2019学年第一学期期中高三数学卷
杭州学军中学2019学年第一学期期中考试
高三数学试卷
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.设全集U =R ,集合2{|1},{|1}M x x P x x =>=>则下列关系中正确的是( ) A.P M = B.M P M =U C.M P M =I D.()U C M P =?I
2.设纯虚数z 满足 11i
ai z
-=+(其中i 为虚数单位)
,则实数a 等于( ) A.1
B.-1
C.2
D.-2
3.若,x y 满足约束条件03020x x y x y ≥??
+-≥??-≤?
,则2z x y =+的取值范围是( )
A.[]6,0
B.[]0,4
C.[)6,+∞
D.[)4,+∞
4.已知,a b R ∈,下列四个条件中,使a b >成立的充分不必要的条件是( ) A.1a b >- B.1a b >+ C.a b > D.22a b >
5.函数2ln x x y x
=
的图象大致是( )
A B C D 6.已知函数1()0
x D x x ?=?
?为有理数为无理数
,则( )
A.(())1D D x =,0是()D x 的一个周期
B.(())1D D x =,1是()D x 的一个周期
C.(())0D D x =,1是()D x 的一个周期
D.(())0D D x =,()D x 最小正周期不存在 7.若关于x 的不等式2
2
2213x t x t t t +-+++-<无解,则实数t 的取值范围是( )
A.1,15??-????
B.(],0-∞
C.(],1-∞
D.(],5-∞ 8.若O 是ABC ?垂心,6
A π
∠=且sin cos sin cos 2sin sin B C AB C BAC m B C AO +=u u u r u u u r u u u r
,
则m =( ) A.
1
2
9.已知二次函数2
()(2)f x ax bx b a =+≤,定义{}1()max ()11f x f t t x =-≤≤≤,
{}2()min ()11f x f t t x =-≤≤≤,其中{}max ,a b 表示,a b 中的较大者,{}min ,a b
表示b a ,中的较小者,下列命题正确的是( )
A.若11(1)(1)f f -=,则(1)>(1)f f -
B.若22(1)(1)f f -=,则(1)(1)f f ->
C.若21(1)(1)f f =-,则11(1)(1)f f -<
D.若21(1)(1)f f =-,则22(1)(1)f f -> 10.已知数列{}n a 满足2111
,312
n n n a a a a +=-=++,若1
2
n n b a =+,设数列{}n b 的前项和为n S ,则使得2019S k -最小的整数k 的值为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
二、填空题(本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.) 11. ()5
12x -展开式中3
x 的系数为 ,所有项的系数和为 .
12.等比数列{}n a
中,12a a =22013
82019
a a a a +=+ ,1234a a a a = .
13.在ABC ?中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已
知sin cos c A C =,则
C =
,若c =,ABC ?
,则a b += . 14.已知函数222,0()2(1),0
x x x f x f x x -?+-≥=?+,则3
()2f -= ,若函数()()g x f x k =-有
无穷多个零点,则k 的取值范围是 .
15.已知,x y R ∈且221x y xy ++=,则x y xy ++的最小值为 .
16.已知平面向量,,a b c r r r 满足,,015a b c a c b c ?==-=-=r r r r r r r ,则a b -r r
的最大值
为 .
17.当[]1,4x ∈时,不等式322044ax bx a x ≤++≤恒成立,则7a b +的取值范围是 .
三、解答题(本大题共5小题,共74分.写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 18.(本题满分14分)
已知函数()2sin cos()3
f x x x π
=+ (Ⅰ)求函数()f x 的单调递减区间; (Ⅱ)求函数()f x 在区间0,
2π??????
上的最大值及最小值. 19.(本题满分15分)已知在ABC ?中,1AB =,2AC =.
(Ⅰ)若BAC ∠的平分线与边BC 交于点D ,求()
2AD AB AC ?-uuu r uu u r uuu r
;
(Ⅱ)若点E 为BC 的中点,求2211
AE BC
+uu u r uu u r 的最小值. 20.(本题满分15分)已知正项等差数列{}n a 满足:2
3
3
3
12n n S a a a =+++L ,其中n S 是数列{}n a 的前n 项和.
(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)令()
()()
1
412121n n n n n
b a a -=--+,证明:122221n n b b b n ++++≤+L .
21.(本题满分15分)设函数(),x
f x e ax a a R =-+∈,其图象与x 轴交于12(,0),(,0)A x B x 两点,且12.x x <
(Ⅰ)求a 的取值范围;
(Ⅱ)证明:0f '<.
22.(本题满分15分)已知函数2
()ln 2,.f x x ax bx a R =---∈ (Ⅰ)当2b =时,试讨论()f x 的单调性;
(Ⅱ)若对任意的3
(,)b e
∈-∞-,方程()0f x =恒有2个不等的实根,求a 的取值范围.