初二数学上册培优辅导讲义人教版
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/ 83 第12讲 与相交有关概念及平行线的判定
考点·方法·破译
1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行.
2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、同旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们.
3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系.
经典·考题·赏析 【例1】如图，三条直线、、相交于点O ，一共构成哪几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？ 【解法指导】
⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角.
⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两
边的反向延长线.
⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线. 有6对对顶角. 12对邻补角.
【变式题组】
01．如右图所示，直线、、相交于P 、Q 、R ，则：
⑴∠的对顶角是 . 邻补角是 .⑵中有几对对顶角，几对邻补角？ 02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角； 当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角； 当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角. 问：当有100条直线相交于一点时共有 对顶角. 【例２】如图所示，点O 是直线上一点，、分别平分∠、 ∠．
⑴求∠的度数；
⑵写出∠的余角及补角.
【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解；
【解】⑴∵、平分∠、∠ ∴∠＝
21∠，∠＝21∠ ∴∠＝∠＋∠＝2
1
∠＋21∠＝()AOC BOC ∠+∠21 又∵∠＋∠＝180° ∴∠＝21
×180°＝90° ⑵∠的余角是：∠、∠；∠的补角是：∠.
【变式题组】 01．如图，已知直线、相交于点O ，平分∠，且∠＝100°，则∠的度数是（ ） A ．20° B ． 40° C ．50° D ．80°
2．（杭
州）已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝ .
【例３】如图，直线l 1、l 2相交
于点O ，A 、B 分别是l 1、l 2上的点，试用三角尺完成下列作图：
⑴经过点A 画直线l 2的垂线. ⑵画出表示点B 到直线l 1的垂线段.
【解法指导】垂线是一条直线，
垂线段是一条线段.
【变式题组】
01．P 为直线l 外一点，A 、B 、C 是直线l 上三点，且＝4，＝
5，＝6，则点P 到直线l 的距离为（ ） A ．4 B ． 5 C ．不大于4 D ．不小于6
02 如图，一辆汽车在直线形的公路上由A 向B 行驶，M 、N
A
B
C D E
F A
B C D E F P
Q R C
E
F E A B
C D O （第1题图） 1 4 3 2 （第2题图） l 2
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为位于公路两侧的村庄； ⑴设汽车行驶到路上点P 的位置时距离村庄M 最近.行驶到上点Q 的位置时，距离村庄N 最近，请在图中的公路上分别画出点P 、Q 的位置. ⑵当汽车从A 出发向B 行驶的过程中，在 的路上距离M 村越来越近..在 的路上距离村庄N 越来越近，而距离村庄Ｍ越来越远. 【例４】如图，直线、相交于点O ，⊥，⊥，∠＝65°，求∠和∠的度数. 【解法指导】图形的定义现可以作为判定图形的依据，也可以作为该图形具备的性质，由图可得：∠＝90°，⊥． 【变式题组】 01．如图，若⊥于O ，直线过点O ，∠︰∠＝1︰3，求∠、∠的度数. 02．如图，O 为直线上一点，∠＝3∠，平分∠． ⑴求∠的度数； ⑵试说明与的位置关系.
03．如图，已知⊥于B ，⊥于B ，并且∠︰∠＝1︰2，请作出∠的对顶角，并求
其度数.
【例５】如图，指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截而得到的，并说出它们的名称： ∠1和∠2：
∠1和∠3：
∠1和∠6：
∠2和∠6： ∠2和∠4：
∠3和∠5：
∠3和∠4：
【解法指导】正确辩认同位角、内错角、同旁内角的思路是：首先弄清所判断的是哪两个角，其次是找到这两个角公共边所在的直线即截线，其余两条边所在的直线就是被截的两条直线，最后确
定它们的名称.
F B A O C
D E C D B
A E
O B
A
C
D
O
A B
A E D
C F E
B
A
D 1 4 2 3 6 5
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【变式题组】 01．如图，平行直线、与相交直线，相交，图中的同旁内角共有（ ） A ．4对 B ． 8对 C ．12对 D ．16对 02．如图，找出图中标出的各角的同位角、内错角和同旁内角.
03．如图，按各组角的位置判断错误的是（ ）
A ．∠1和∠2是同旁内角
B ．∠3和∠4是内错角
C ．∠5和∠6是同旁内角
D ．∠5和∠7是同旁内角
【例６】如图，根据下列条件，可推得哪两条直线平行？并说明理由?
⑴∠＝∠； ⑵∠＋∠＝180°
⑶∠＝∠
【解法指导】图中有即即有同旁内
角，有“ ”即有内错角.
【解法指导】⑴由∠＝∠，可推得∥；根据内错角相等，两直线平行. ⑵由∠＋∠＝180°，可推得∥；根据同旁内角互补，两直线平行. ⑶由∠＝∠可推得∥；根据内错角相等，两直线平行.
【变式题组】
01．如图，推理填空.
⑴∵∠A ＝∠ （已知） ∴∥（ ） ⑵∵∠C ＝∠ （已知）
∴∥（ ） ⑶∵∠A ＝∠ （已知） ∴∥（ ） 02．如图，平分∠，平分∠，且∠1＝∠2，试说明与的位置关系.
解：∵是∠的平分线（已知） ∴∠＝2∠1（角平分线定义） 又∵平分∠（已知） ∴ （ ） 又∵∠1＝∠2（已知） ∴ （ ） ∴∥（ ） 03．如图，已知平分∠，平分∠．∠＋∠＝90°，求证：∥． 04．如图，已知∠＝∠，平分∠，平分∠，∠＝∠，求证：∥. A B
D C H
Ｇ E F 7 1 5 6 8 4 1 2 乙
丙 3 2
3 4 5 6 1 2
3 4
甲 1 A B C 2 3 4 5
6 7 A B C D O
A B D E F
A B C D E A B C D E F
1 2 A
B
C
D
E F
【例７】如图⑴，平面内有六条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中，至少有一个
角小于31°.
【解法指导】如图⑵，我们可以将所有的直线移动后，使它们相交于同一点，此时的图形为图⑵.
证明：假设图⑵中的12个角中的每一个角都不小于31°
则12×31°＝372°＞360°
这与一周角等于360°矛盾
所以这12个角中至少有一个角小于31°
【变式题组】
01．平面内有18条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中至少有一个角小于11°. 02．在同一平面内有2010条直线a12,…，a2010,如果a1⊥a22∥a3，a3⊥a4，a4∥a5……
那么a1与a2010的位置关系是 .
03．已知n（n＞2）个点P1，P2，P3….在同一平面内没有任何三点在同一直线上，设表示过这几个点中的任意两个点所作的所有直线的条数，显然：S2＝1，S3＝3，S4＝6，∴S5＝10…则＝ .
演练巩固·反馈提高
01．如图，∠＝∠＝90°.下列说法正确的是（）
A．α的余角只有∠B B．α的邻补角是∠
C．∠是α的余角D．α与∠互补
02．如图，已知直线、被直线所截，则∠的同位角为（）
A．∠B．∠C．∠D．∠
03．下列语句中正确的是（）
A．在同一平面内，一条直线只有一条垂线
B．过直线上一点的直线只有一条
C．过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条
D．垂线段就是点到直线的距离
04．如图，∠＝90°，⊥于D，则下列结论中，正确的个数有（）
①⊥②与互相垂直③点C到的垂线段是线段④线段的长度是点B到的距
离⑤垂线段是点B到的距离⑥＞
A．0 B． 2 C．4 D．6
05．点A、B、C是直线l上的三点，点P是直线l外一点，且＝4，＝5，＝6，
l1l2
l3
l4
l5
l6
图⑴
l1
l2
l3
l4
l5
l6
图⑵
A
E
B C F
D
A
B
C D
F
E
M
N
α
第1题图第2题图
A
B D C
第4题图
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则点P到直线l的距离是（）
A．4 B．5 C．小于4 D．不大于4
06．将一副直角三角板按图所示的方法旋转（直角顶点重合），则∠＋∠＝ .
07．如图，矩形沿对折，且∠＝72°，则∠＝ .
08．在同一平面内，若直线a1∥a22⊥a33∥a4,…则a1a10.（a1与a10不重合）
09．如图所示，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件：①∠1＝∠5，
②∠1＝∠7，③∠2＋∠3＝180°，④∠4＝∠7，其中能判断a∥b的条件的
序号是 .
10．在同一平面内两条直线的位置关系有 .
11．如图，已知平分∠，平分∠，且∠E＝∠＋∠．试说明∥？
12．如图，已知平分∠，平分∠，∠1＝∠2，那么直线
与的位置关系如何？
13．如图，推理填空：
⑴∵∠A＝（已知）
∴∥（）
⑵∵∠2＝（已知）
∴∥（）
⑶∵∠A＋＝180°（已知）
∴∥．
14．如图，请你填上一个适当的条件使∥．
A
B
C
D
O
A
B C
D
E
F
G
H
a
b
c
第6题图第7题图第9题图
1
2
3 4
5
6
7 8
1
A
C D
E
B
A B
C D
E
F
1
2
A
B C
D
E
F
第14题图
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培优升级·奥赛检测 01．平面图上互不重合的三条直线的交点的个数是（ ） A ．1，3 B ．0，1，3 C ．0，2，3 D ．0，1，2，3 02．平面上有10条直线，其中4条是互相平行的，那么这10条直线最多能把平面分成（ ）部分. A ．60 B ． 55 C ．50 D ．45 03．平面上有六个点，每两点都连成一条直线，问除了原来的6个点之外，这些直线最多还有（ ）个交点. A ．35 B ． 40 C ．45 D ．55 04．如图，图上有6个点，作两两连线时，圆内最多有
交点. 05．如图是某施工队一张破损的图纸，已知a 、b 是一个角的两边，现在要在图纸上画一条与这个角的平分线平行的直线，请你帮助这个施工队画出这条平行线，并证明你的正确性. 06．平面上三条直线相互间的交点的个数是（ ） A ．3 B ．1或3 C ．1或2或3 D ．不一定是1，2，3 07．请你在平面上画出6条直线（没有三条共点）使得它们中的每条直线都恰好与另三条直线相交，并简单说明画法？ 08．平面上有10条直线，无任何三条交于一点，要使它们出现31个交点，怎么安排才能办到？
09．如图，在一个正方体的2个面上画了两条对角线、，那么两条对角线的夹角等于（ ）
A ．60°
B ． 75°
C ．90°
D ．135°
10．在同一平面内有9条直线如何安排才能满足下面的两个条件？ ⑴任意两条直线都有交点；
⑵总共有29个交点. 第13讲 平行线的性质及其应用
考点·方法·破译 1．掌握平行线的性质，正确理解平行线的判定与性质定理之间的区别和联系； 2．初步了解命题，命题的构成，真假命题、定理；
3．灵活运用平行线的判定和性质解决角的计算与证明，确定两直
线的位置关系，感受转化思想在解决数学问题中的灵活应用. 经典·考题·赏析 【例１】如图，四边形中，∥， ∥，∠A ＝38【解法指导】
两条直线平行，同位角相等； 两条直线平行，内错角相等； 两条直线平行，同旁内角互补. 平行线的性质是推导角关系的重要依据之一，必须正确识别图形的特征，看清截线，识别角的关系式关键.
【解】：∵∥ ∥ ∴∠A ＋∠B ＝180° ∠B ＋∠C ＝180°(两条直线平行，同旁内角互补) ∴∠A ＝∠C ∵∠A ＝38° ∴∠C ＝38°
a b A
B C
7 / 83 【变式题组】
01．如图，已知∥，点E 在的延长线上，若∠＝155°，则∠的度数为（ ）
A ．155°
B ．50°
C ．45°
D ．25°
02．（安徽）如图，直线l 1 ∥ l 2,∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3为（ ） A ． 50°
B ． 55°
C ． 60°
D ．65° 03．如图，已知∥∥，∠α：∠D ：∠B ＝2: 3: 4, 试求∠α、∠D 、∠B 的度数. 【例２】如图，已知∥∥，⊥，∠B ＝60°，∠＝45°，求∠的度数. 【解法指导】平行线的性质与对顶角、邻补角、垂直和角平分线相结合，可求各种位置的角的度数，但注意看清角的位置. 【解】∵∥∥ ∴∠B ＝∠ ∠F ＝∠(两条直线平行，内错角相等)又∵∠B ＝60° ∠＝45° ∴∠＝60° ∠＝45° 又∵⊥ ∴∠＝90°（垂直定理） ∴∠＝90°－45°＝45° ∴∠＝60°－45°＝15° 【变式题组】 01．如图，已知∥, 且平分∠，∠B ＝48°，则∠C 的的度数＝ 02.如图,已知∠＋∠＝120°，、分别∠、∠，过点O 与平行，则∠＝ 03．如图，已知∥ ∥, 平分∠，∠A ＝40°，∠D ＝50°，求∠的度数.
【例３】如图，已知∠1＝∠2，∠C ＝∠D ． 求证：∠A ＝∠F .
【解法指导】
因果转化，综合运用.
逆向思维：要证明∠A ＝∠F ，即要证明∥． 要证明∥, 即要证明∠D ＋∠＝180°，
即：∠C ＋∠＝180°；要证明∠C ＋∠ ＝180°即要证明∥． 要证明∥即要
证明∠1＝∠3. 证明：∵∠1＝∠2，∠2＝∠3（对顶角相等）所以∠1＝∠3 ∴∥（同位角相等?两直线平行）∴∠＋∠C ＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠C ＝∠D ∴∠＋∠D ＝180° ∴∥（同旁内角，互补两直线平
行）∴∠A ＝∠F （两直线平行，内错角相等）
【变式题组】 01．如图，已知∥，∠1＝∠2，求证：∥
A
B
C
D
O
E F
A
E
B
C （第1题图） （第2题图） E A F G
D C B B
A M
C
D N P （第3题图） C D
A B
E F
1
3
2
G 3 C A 1
D 2
E （第1题图）
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D A 2
E
1
B
C
B F E A
C
D 02．如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B ． 求证：∠＝∠
03．如图，两平面镜α、β的夹角θ，入射光线平行 于β入射到α上，经两次反射后的出射光线O′B 平行 于α，则角θ等于. 【例４】如图，已知⊥，⊥，∠1＝∠3. 求证：平分∠． 【解法指导】抓住题中给出的条件的目的，仔细分析 条件给我们带来的结论，对于不能直接直接得出结论 的条件，要准确把握住这些条件的意图.（题目中的：
∠1＝∠3） 证明：∵⊥，⊥ ∴∠＝∠＝90° （垂直定义）∴∥（同位角相等，两条直线平行） ∵∠1＝∠3 ∴∠3＝∠（两条直线平行，内错角相等） ∴平分∠（角平分线定义） 【变式题组】 01．如图，若⊥于E ，∠1＝∠2，求证：⊥．
02．如图，在△中，⊥于⊥于F , ∥，平分∠． 求证：∠＝∠.
B ＝40°，是∠的平分线. ⊥，求：.
【例５】已知，如图，∥，求证：∠＋∠＋∠＝360°
【解法指导】从考虑360°这个特殊角入手展开联想，分析类比，
联想周角.构造两个“平角”或构造两组“互补”的角.
过点C 作∥即把已知条件∥联系起来，这是关键. A D M C
N E B A
2 C F
3 E D
1
B
（第2题图）
3 1 A B G D
C E F
E
D
2
1 A B C
9 / 83
α β P B C D A
∠P ＝α＋β
F γ D
α β E B C
A
F
D E B
C A B C A
A ′ l
B ′
C ′
【证明】：过点C 作∥ ∵∥ ∴∠1＋∠＝180° (两直线平行，同旁内角互补) 又∵∥，∴∥（平行 于同一条直线的两直线平行） ∴∠2＋∠＝180°(两直线平行， 同旁内角互补) ∴∠＋∠1＋∠2＋∠＝180°＋180°＝360° 即∠＋∠＋∠＝360° 【变式题组】 01．如图，已知，∥，分别探究下面四个图形中∠和∠、∠的关系，请你从所得四个关系中选出任意一个，说明你探究的结论的正确性. 结论：⑴ ⑵ ⑶ ⑷
【例６】如图，已知，∥，则∠α、∠β、∠γ、∠ψ之间的关系是 ∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝180° 【解法指导】基本图形 善于从复杂的图形中找到基本图形，运用基本图形的规律打开思路【解】过点E 作∥． 过点F 作∥． ∵∥ ∴∠错角相等）又∵∥ ∴∥（平行于同一条直线的两直线平行）∴∠∥ ∴∥（平行于同一条直线的两直线平行）∴∠ψ同旁内角互补）∴∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝∠1＋∠3ψ＝180° 【变式题组】 01．如图， ∥，∠C ＝90°，则∠α、∠β、∠γ的关系是（ ） A ． ∠β＝∠α＋∠γ B ．∠β＋∠α＋∠γ＝180° C ． ∠α＋∠β－∠γ＝90° D ．∠β＋∠γ－∠α＝90° 02．如图，已知，∥，∠和∠的平分线相交于点F ，∠E ＝140°，求∠的度数.
【例７】如图，平移三角形，设点A 移动到点，画出平移后的三角形. 【解法指导】抓住平移作图的“四部曲”——定，找，移，连. ⑴定：确定平移的方向和距离.
⑵找：找出图形的关键点. ⑶移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点.
⑷连: 按原图形顺次连接对应点. 【解】①连接 ②过点B 作的平行线l ③在l 截取对应点，用同样的方法作出点C 的对应21，作出平移后的图形.
知三角形中，∠C ＝90°, ＝4，＝4，现将△沿方向平移到△的位置，若平移距离为3, 求△与△的重叠部分的面积.
B A
P C A C C D A A P C B D P
B
P
D B D ⑴ ⑵ ⑶ ⑷
10 / 83
西 B 30°
A 北
东 南
03．原来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿着方向平移的距离，就
得到此图形，求阴影部分的面积.（单位：厘米）
演练巩固 反馈提高 01．如图，由A 测B 得方向是（ ）
A ．南偏东30°
B ．南偏东60°
C ．北偏西30°
D ．北偏西60°
02．命题：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③垂直于同一条直线的两直线
平行；④平行于同一条直线的两直线垂直.其中的真命题的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
03．一个学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相
同，两次拐弯的角度可能是（ ） A ．第一次向左拐30°，第二次向右拐30° B ．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°
C ．第一次向左拐50°，第二次向右拐130°
D ．第一次向左拐60°，第二次向左拐120°
04．下列命题中，正确的是（ ）
A ．对顶角相等
B ． 同位角相等
C ．内错角相等
D ．同旁内角互补
05．学习了平行线后，小敏想出过直线外一点画这条直线的平行线的新方法，是
通过折一张半透明的纸得到的[如图⑴—⑷]
从图中可知，小敏画平行线的依据有（ ）
①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行. A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④
06．在A 、B 两座工厂之间要修建一条笔直的公路，从A 地测得B 地的走向是南
偏东52°.现A 、B 两地要同时开工，若干天后，公路准确对接，则B 地所修公路的走向应该是（ ）
A ．北偏东52°
B ．南偏东52°
C ．西偏北52°
D ．北偏西38°
07．下列几种运动中属于平移的有（ ）
①水平运输带上的砖的运动；②笔直的高诉公路上行驶的汽车的运动（忽略车轮的转动）；③升降机上下做机械运动；④足球场上足球的运动. A ．1种 B ．2种 C ．3种 D ．4种
08．如图，网格中的房子图案正好处于网格右下角的位置.平移这个图案，使它
正好位于左上角的位置（不能出格）
B
A
C