初中二次函数的解题方法

11.1班沈阳 14号

初中二次函数的解题方法

首先回顾一下初中二次函数的重要性质和基本表达式：一般式：y=a x2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点

坐标为(-b/2a,4ac-b2/4a) ;

顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点

坐标为(h,k),对称轴为x=h，顶点的位置特征和图像的开

口方向与函数y=ax2的图像相同，有时题目会指出让你

用配方法把一般式化成顶点式。

交点式：y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴

即y=0有交点A(x1，0)和 B(x2，0)的抛物线,即

b^2-4ac≥0] ：由一般式变为交点式的步骤：∵

X1+x2=-b/a x1·x2=c/a∴

y=ax2+bx+c=a(x2+b/ax+c/a)=a[﹙x2;-(x1+x2)x+x1

x2]=a(x-x1)(x-x2)

重要概念：。

1.二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x = h

或者x=-b/2a 对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次

函数图像的顶点P。特别地，当h=0时，二次函数图像的

对称轴是y轴(即直线x=0);a,b同号，对称轴在y轴左

b=0,对称轴是y轴;a,b异号，对称轴在y轴右侧

2.二次函数图像有一个顶点P，坐标为P ( h,k ) 当

h=0时，P在y轴上;当k=0时，P在x轴上。h=-b/2a

k=(4ac-b2)/4a

3.二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大

小。当a>0时，二次函数图像向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。|a|越大，则二次函数图像的开口越小。

有时也可以考虑图像的整体性质、特殊点的位置及二次方程的联系，结合韦达定理和判别式定理确定a,b,c, △及系数的代数符号。

常见问题

1、抛物线中特殊点组成的三角形问题：抛物线线中的特殊三角形主要有两类：（1）、抛物线与x轴的两个交点和与y轴的交点所组成的三角形；（2）、抛物线与x轴的两个交点和顶点所组成的三角形。

解决策略是：应用平面几何的有关定理，如等腰三角形的三线合一、直角三角形的勾股定理、射影定理、斜边中线定理等结合两点间的距离公式及二次方程的求根公式、判别式定理、韦达定理等知识求解。用到的数学思想方法有数形结合、分类讨论、转化等。

2、二次函数的定点和动点问题：求动点运动所形成的直线或曲线一般采用消去参数法，即消去参数以后的方程即为动点需满足的函数解析式。

解决定点问题有两个解决办法：（1）特殊值法，即令参数

取两个符合条件的特殊值，通过解方程组求解，解即为顶点

坐标。（2）转化为参数为主元的方程问题，即方程有无穷

多解，得到系数为零的条件再讨论解决。

3、求抛物线的顶点、两坐标轴的交点以及抛物线与其它图象的交点等点所构成的面积，关键是用含系数a、b、c的代数式表示出点的坐标或线段长，使面积问题与系数a、b、c建立联系．

4、二次函数与整数问题

二次函数与整数问题的联姻主要表现在系数a、b、c为整数、整点以及某范围内的参数的整数值等．解题时往往要用到一些整数的分析方法．

5、二次函数的最值问题

定义域是闭区间时，二次函数存在两个最值(最大值和最小值)．如果顶点横坐标在区间内，则在顶点处与距顶点较远的端点处各取一个最值；如果顶点横坐标不在区间内，则在区间两端点处各取一个最值．定义域是开区间时，二次函数只有其顶点横坐标在区间内的才在顶点处取得一个最值，否则不存在最值．在初中数学竞赛中，二次函数是解决一些实际问题的有

效工具，二次函数本身也蕴含着丰富的内涵，因此，在近几

年的全国数学竞赛中，有关二次函数试题频频出现，并有不断拓展和加深的趋势。

例1 抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点为(4，－11)，且与x 轴的两个交点的横坐标为一正一负．则a 、b 、c 中为正数的（ ）

A 、只有a

B 、只有b

C 、只有c

D 、有a 和b 解：由顶点为(4，－11)，抛物线交x 轴于两点，知a >0．设抛物线与x 轴的两个交点的横坐标分别为x 1，x 2，即x 1、x 2为方程ax 2+bx +c =0的两个根，由题设x 1x 2<0知a c <0，所以c <0，又对称轴为x =4知－a b 2>0，故b <0．故选(A)．

例2 已知二次函数f (x )=ax 2+bx+c 的系数a 、b 、c 都是整数，

并且f (19)=f (99)=1999，|c |<1000，则c = ．

解：由已知f (x )=ax 2

+bx+c ，且f (19)=f (99)=1999，因此可设f (x )=a (x －19)(x －99)+1999，

所以ax 2+bx+c =a (x －19)(x －99)+1999

=ax 2－(19+99)x +19×99a +1999，故c =1999+1881a ．

因为|c |<1000，a 是整数，a ≠0，经检验，只有a =－1满足，此时c =1999－1881=118．

例3 已知a ，b ，c 是正整数，且抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有两个不同的交点A ，B ，若A 、B 到原点的距离都小于1，求a+b+c 的最小值．

解：设A 、B 的坐标分别为A(x 1，0)，B(x 2，0)，且x 1

x 1，x 2是方程ax 2+bx+c =0的两个根． ∴???

????>=<-=+,0,02121a c x x a b x x ∴x 1<0，x 2<0 又由题设可知△=b 2－4ac >0，∴b >2ac ①

∵|OA|=|x 1|<1，|OB|=|x 2|<1，即－1

∵抛物线y =ax 2+bx+c 开口向上，且当x =－1时y >0，

∴a (－1)2+b (－1)+c >0，即a+c>b ．

∵b ，a +c 都是整数，∴a+c ≥b +1 ③

由①，③得a+c >2

ac +1，∴(c a -)2>1，又由②知， c a ->1，c a >+1，即a >(c +1)2≥(1+1)2=4

∴a ≥5，又b >2ac ≥215?>4，∴b ≥5

取a =5，b =5，c =1时，抛物线y =5x 2+5x +1满足题意．

故a+b+c 的最小值为5+5+1=11．

例4 如果y =x 2

－(k －1)x －k －1与x 轴的交点为A ，B ，顶点为C ，那么△ABC 的面积的最小值是（ ）

A 、1

B 、2

C 、3

D 、4

解：由于△=(k －1)2+4(k +1)=(k +1)2+4>0，所以对于任意实数k ，抛物线与x 轴总有两个交点，设两交点的横坐标分别为x 1，x 2，则： |AB|=524)()(221221221++=-+=-k k x x x x x x

又抛物线的顶点c

坐标是(452,212++--k k k )， 因此S △ABC =52212++k k ·3

22)52(8

1452++=++-k k k k 因为k 2+2k +5=(k +1)2+4≥4，当k =－1时等于成立，

所以，S △ABC ≥

14813=，故选A ．

例5

已知二次函数y=x 2－x －2及实数

(1)函数在－2

(2)函数在a ≤x ≤a +2的最小值．

解：函数y=x 2－x －2的图象如图1(1)若－2

若a ≥21，当x =21时，y 最小值=－49．

(2)若－2

最小值=(a +2)2－(a +2)－2=a 2+3a ，若a <21≤a +2，即－23≤a <21，当x =

21时，y 最小值=－4

9．

若a ≥21，当x =a 时，y 最小值=a 2－a －2．

例6 当|x +1|≤6时，函数y =x |x |－2x +1的最大值是 ．

解：由|x +1|≤6，得－7≤x ≤5，当0≤x ≤5时，y=x 2

－2x +1=(x 42图1

－1)2，此时y最大值=(5－1)2=16．

当－7≤x<0，y=－x2－2x+1=2－(x+1)2，此时y最大值=2．

因此，当－7≤x≤5时，y的最大值是－16．

说明：对于含有绝对值的二次函数，通常是先分区间讨论，去掉绝对值符号，求出各区间的最值，然后通过比较得出整个区间函数的最值．

例7、已知二次函数y=x^2+(k+2)x+k+5与x轴的两个不同交点的横坐标都是正的，那么，k的值应为（ )

A.k＞4或k＜-5

B.-5＜k＜-4

C.k≥-4或k≤-5

D.-5≤k≤-4

因为与X轴有2个交点

所以b^2-4ac=(k+2)^2-4(k+5)>0 —— (1)

设与x轴交点分别为x1，x2

则x1+x2=-（k+2）>0 ——（2）

x1*x2=k+5>0 ——（3）

解得-5

选B

例8.已知二次函数y=x2+bx+c的图像经过点（-1,0），（1，

-2），当y随x的增大而增大时，x的取值范围是__[3/4，+

∝）__.

解析：把点（-1,0），（1，-2）代入二次函数数，可解得

b=-3/2 函数的对称轴为 x=-（-3/2）/2=3/4

a=1＞0，函数开口向上，单调递增区间是[3/4，+∝）

.例9.

二次函数y=ax^2+bx+c，当x取整数时，y值也是整数，这样的二次函数叫作整点二次函数，请问是否存在a的绝对值小于0.5的整点二次函数，若存在请写出一个，若不存在请说明理由。

解答：（方法1）（反证法）假设存在二次项系数a的绝对值小于0.5的整点二次函数，（a≠ 0)

则当x=0时，y=c，即c为整数，

同理，当x=1时，y=a+b+c=m，x=-1时，y=a-b+c=n，其中m、n 都应为整数，

两式相加，2a+2c=m+n，推知2a也应为整数，而|a|<0.5，即

|2a|<1，矛盾。

所以不存在a的绝对值小于0.5的整点二次函数。

（方法2）

x＝0时，y＝c是整数

x＝1时，y＝a＋b＋c是整数

x＝－1时，y＝a－b＋c是整数

∴(a＋b＋c)＋(a－b＋c)＝2a＋2c是整数

而2c是整数

例10.

已知y=x2-│x┃-12的图象与x轴交于相异两点A，B另一抛物线y=ax2+bx+c过A,B，顶点为P，且△APB是等腰直角三角形，求a，b，c

解答：显然A,B坐标为(-4,0),(4,0).

y=ax2+bx+c过A,B,所以b=0,c/a=-16,P点坐标为:(0,-16a)

由于APB是等腰直角三角形，所以AB^2=AP^2+BP^2,

求出a=±1/4.

所以a=1/4,b=0,c=-4或者a=-1/4,b=0,c=4.

例11.

已知y=x2-│x┃-12的图象与x轴交于相异两点A，B另一抛物线y=ax2+bx+c过A,B，顶点为P，且△APB是等腰直角三角形，求a，b，c

解答：显然A,B坐标为(-4,0),(4,0).

y=ax2+bx+c过A,B,所以b=0,c/a=-16,P点坐标为:(0,-16a)

由于APB是等腰直角三角形，所以AB^2=AP^2+BP^2,

求出a=±1/4.

所以a=1/4,b=0,c=-4或者a=-1/4,b=0,c=4.

例12 已知a <0，b ≤0，c >0，且ac b 42-=b －2ac ，求b 2－4ac 的最小值．

解：令y =ax 2+bx+c ，由于a <0，b ≤0，c >0，则△=b 2－4ac >0， 所以，此二次函数的图像是如图2所示的一条开口向下的抛物线，且

与x 轴有两个不同的交点A(x 1，0)，

B(x 2，0)． 因为x 1x 2=a c <0，不妨设x 1

|x 1|=c a

ac b b a ac b b =--=-+-242422， 故a

b a

c 442-≥c =a ac b b 242--≥－a ac b 242- ∴b 2－4ac ≥4，当a =－1，b =0，c =1时，等号成立． 因此，b 2－4ac 的最小值为4．

x 图3