必修四2.4.平面向量的数量积

平面向量的数量积

教案 A 第 1 课时

教学目标

一、知识与技能 1．掌握平面向量的数量积及其几何意义； 2．掌握平面向量数量积的重要性质及运算律； 3．了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题； 二、过程与方法

本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义， 理解定义之后便可引导学 生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识．

三、情感、态度与价值观 通过问题的解决，培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力；培养 学生的交流意识、合作精神；培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的

能力． 教学重点、难点

教学重点：

教学难点： 教学关键： 教学方法

本节学习的

关键是启发学生理解平面向量数量积的定义， 理解定义之后便可引导学 生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识． 学习方法

通过类比物理中功的定义，来推导数量积的运算． 教学准备

教师准备 : 多媒体、尺规 . 学生准

备 : 练习本、尺规 .

教学过程

一、创设情境，导入新课 在物理课中，我们学过功的概念，即如果一个物体在力 么力F 所做的功W 可由下式计算： W =| F II s | cos 0,

其中0是F 与s 的夹角.我们知道力和位移都是向量，而功是一个标量（数量） 故从力所做的功出发，我们就顺其自然地引入向量数量积的概念． 二、主题探究，合作交流 提出问题

平面向量数量积的定义． 平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 平面向量数量积的定义的理解． F 的作用下产生位移 s ，那

①

a ?

b 的运算结果是向量还是数量它的名称是什么

② 由所学知识可以知道，任何一种运算都有其相应的运算律，数量积是一种向量的 乘法运算，它是否满足实数的乘法运算律

师生活动：已知两个非零向量 a 与b ,我们把数量I a ll b |cos e 叫做a 与b 的数量积 (或内积)，记作a ? b ,即卩

a ?

b =| a ll b |cos e( 0

其中e 是a 与b 的夹角，I a |cos e( | b |cos e)叫做向量 a 在b 方向上(b 在a 方向上)的投

影.

在教师与学生一起探究的活动中，应特别点拨引导学生注意

：

(1) 两个非零向量的数量积是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向 量夹角的余弦的

乘积；

(2)

零向量与任一向量的数量积为 0,即a - 0=0;

(3) 符号“?”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“X”代替； (4)

当 owe< —时 cos e >0,从而 a ? b >0；当一

2 2

a ?

b <0.与学生共同探究并证明数量积的运算律.

已知a 、b 、c 和实数入，则向量的数量积满足下列运算律 ：

①

a ?

b =b ? a (交换律);

② (入 a )? b =^( a ? b )

?( a +b )? c =a - c +b - c 特别是：(1)当a z 0时， 垂直的非零向量 b ,都有a ? b =0.

注意：已知实数 a 、b 、c (b z0),则ab =bc a =c .但对向量的数量积，该推理不 正确，即a ?

b =b ?

c 不能推出a =c .由上图很容易看出，虽然 a ? b =b ? c ,但a z c .

对于实数 a 、b 、c 有 ( a ? b ) c =a (b ? c )；但对于向量 a 、b 、c , (a ? b ) c =a (b ? c ) 不成立.这是因为(a ? b ) c 表示一个与c 共线的向量，而 a (b ? c )表示一个与a 共 线的向量，而c 与a 不一定共线，所以(a ? b ) c =a (b ? c )不成立.

提出问题

① 如何理解向量的投影与数量积它们与向量之间有什么关系 ② 能用“投影”来解释数量积的几何意义吗

师生活动：教师引导学生来总结投影的概念，可以结合“探究”，让学生用平面向 量的数量积的定义， 提出注意点“投影”

定义：| b |cos A 投影也是一个数量，不是向量；

=a ?(入b )(数乘结合律)；

(分配律).

由a ? b =0不能推出b 一定是零向量.这是因为任一与 a

从数与形两个角度进行探索研究. 教师给出图形并作结论性的总结,

的概念，如下图.

e 叫做向量b 在a 方向上的投影.并引导学生思考

B当e为锐角时投影为正值；当e为钝角时投影为负值；当e为直角时投影为

0 ；当e =0°时投影为| b | ；当e =180°时投影为-| b |.

教师结合学生对“投影”的理解，让学生总结出向量的数量积的几何意义： 数量积a ? b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影| b |cos e 的乘积.

让学生思考：这个投影值可正、可负，也可为零，所以我们说向量的数量积的结果 是一个实数.教师和学生共同总结两个向量的数量积的性质

：

设 A B C

特别地 a ? a =| a |2 或 | a |= J a ?a . a ? b

D. cos e= ------- .

|a||b|

E | a ? b | a || b | .

上述性质要求学生结合数量积的定义自己尝试推证，教师给予必要的补充和提示， 在推导过程中理解并记忆这些性质.

讨论结果： ① 略.

② 向量的数量积的几何意义为数量积 a ? b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影

| b |cos e 的乘积.

三、拓展创新，应用提高

例1已知|a |=5 , | b |=4 , a 与b 的夹角为120。，求a ? b 活动:教师引导学生利用向量的数量积并结合两向量的夹角来求解. 解：a ? b =| a || b |cos e

=5X 4 X cos 120 ° =5X 4 X(-)

2

=-10 .

点评：确定两个向量的夹角，利用数量积的定义求解.

2 2 2 2 2 我们知道，对任意 a , b € R,恒有(a +b ) =a +2ab +b , ( a +b ) (a - b ) =a -

b .对 a 、b ,是否也有下面类似的结论

(a +b ) 2=a 2+2a ? b +b 2；

(a +b )?( a -b ) =a 2- b 2

. 解：(1) (a +b ) = ( a +b )?( a +b ) =a ? b +a ? b +b ? a +b ? b =a 2+2a - b +b 2；

(2) (a +b )?( a -b ) =a ? a -a ? b +b - a -b - b

=a 2- b 2.

例 3 已知 | a |=6 , | b |=4 , a 与 b 的夹角为 60°,求(a +2b )?(a -3 b ).

a 、

b 为两个非零向量，e 为两向量的夹角，e 是与b 同向的单位向量. e ? a =a ?

e=| a |cos e . a 丄 b a ? b =0.

当a 与b 同向时，a ? b =| a || b | ；当a 与b 反向时，a ? b =-| a || b | . 例2

任意向量 (1)

(2)

解：（a +2b ）?（ a -3b ） =a ? a - a ? b -6 b ? b

2 2

=| a | -a ? b -6| b |

2 2

=| a | -| a ll b |cos 0 -6| b |

2 2

=6-6X 4X cos60° -6X4 =-72 .

例4已知l a |=3 , l b |=4，且a 与b 不共线，当k 为何值时，向量a +kb 与a - kb 互相 垂直 解：a +kb 与a - kb 互相垂直的条件是（a +kb ）?（ a- kb ） =0, 即 a 2- k 2b 2=0.

2 2 2 2

?/ a =3 =9, b =4 =16,

9

??? 9-16 k =0.

??? k=± -.

4

3

也就是说，当k =± -时，a +kb 与a -kb 互相垂直.

4

点评：本题主要考查向量的数量积性质中垂直的充要条件. 四、小结

1. 先由学生回顾本节学习的数学知识，数量积的定义、几何意义，数量积的重要 性质，数量积的运算律.

2. 教师与学生总结本节学习的数学方法，归纳类比、定义法、数形结合等.在领 悟数学思想方法的同时，鼓励学生多角度、发散性地思考问题，并鼓励学生进行一题多 解.

课堂作业

1. 已知a , b , c 是非零向量，则下列四个命题中正确的个数为（ ①|a ? b |=| a ll b | ③a 丄b | a +b |=| a -

b |

A. 1 B . 2 2?有下列四个命题：

ABC 为直角三角形的充要条件是 AB ? BC =0；

④厶ABC 为斜三角形的充要条件是 AB ? BC 丰0. 其中为真命题的是（

）

a //

b ②a 与b 反向

l a

D

a ?

b =-| a ll b |

-c |=| b ? c | ④ |a |=|

b |

①在△ ABC 中，若AB ? BC >0,则^ ABC 是锐角三角形; ②在△ ABC 中，若 AB ?

BC >0,则^ ABC 为钝角三角形;

A.①

B.②

C. 3D

.④

3.设l a l=8 ,e为单位向量，a与e的夹角为60°,则a在e方向上的投影为（

）

第2课时

教学目标

一、 知识与技能

1 .掌握平面向量数量积运算规律 . 2.

能利用数量积的性质及数量积运算规律解决有关问题

.

3. 掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简 单问题. 二、 过程与方法

教师应在坐标基底向量的数量积的基础上，推导向量数量积的坐标表示.通过例题 分析、课堂训练，让学生总结归纳出对于向量的坐标、数量积、向量所成角及模等几个 因素，知道其中一些因素，求出其他因素基本题型的求解方法.平面向量数量积的坐标 表示是在学生学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积的基础上进一步学习的， 都为数量积的坐标表示奠定了知识和方法基础.

三、 情感、态度与价值观

通过平面向量数量积的坐标表示，进一步加深学生对平面向量数量积的认识，提高 学生的运算速度，培养学生的运算能力，培养学生的创新能力，提高学生的数学素质. 教学重点、难点

A.

B. 4

C. 42

.8+逅

2

4. ① ③

设a 、b 、c 是任意的非零平面向量, (a ? b ) c - (c ? a ) b =0 ；

(b ? c ) a - (c ? a ) b 不与 c 垂且它们相互不共线，有下列四个命题

：

②| a |-| b |<| a -b | ;

④(3a +2b )?(3a -2 b ) =9|a | 2-4| b |2. 其中正确的是( A. ①② ) .②③

.③④

D .②④

5. 在^ ABC 中, AB =b , AC =c ,

则 J (|b|c|)2 (b ?c)2 等于(

)

1

0 B . — S AABC

C

2

设i , j 是平面直角坐标系中

a = (m+1)

如果(a +b )±( a -b )，则实数 m=_

7 .若向量 a 、b 、c 满足 a +b +c =0，且 | a |=3 , | b |=1 , | c |=4，贝U a ? b +b ? c +c ? a= ________ .

参考答案：

A. 6.

.S\ ABC

D

. 2S L ABC

x 轴、y 轴方向上的单位向量，且

i-3j ，b =i +(m-1)j ，