2015年浙教版初中数学八年级下册知识点总结
(a ≥ 0) ；注意使用 a = ( a ) 2 (a ≥ 0) . a ) 2 = a (a ≥ 0) ,（2） a 2 = a = ?
- a (a < 0)
= (a ≥ 0 , b > 0) ，商的算术平方根等于被除式的算术平方根除
八年级下册知识点及典型例题
第一章
二次根式
1．二次根式：一般地，式子
a , (a ≥ 0) 叫做二次根式.注意：
（1）若a ≥ 0 这个条件不成立，
则
a 不是二次根式；
（2） a 是一个重要的非负数，即； a ≥0.
2．重要公式：（1）(
?a ? 3．积的算术平方根：
ab = a ? b (a ≥ 0, b ≥ 0) ，积的算术平方根等于积中各因式的算术
平方根的积；注意：本章中的公式，对字母的取值范围一般都有要求.
4．二次根式的乘法法则：
a ?
b = ab (a ≥ 0, b ≥ 0) .
5．二次根式比较大小的方法：
（1）利用近似值比大小；
（2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小； （3）分别平方，然后比大小.
6．商的算术平方根：
a a
b b
以除式的算术平方根.
7．二次根式的除法法则：
（1） a = a (a ≥ 0 , b > 0) ；（2） a ÷ b = a ÷ b (a ≥ 0, b > 0) ；
b
b
（3）分母有理化：化去分母中的根号叫做分母有理化；具体方法是：分式的分子与分母同乘
分母的有理化因式，使分母变为整式.
8．常用分母有理化因式：
a 与 a ， a -
b 与 a + b ， m a + n b 与 m a - n b ，
它们也叫互为有理化因式.
9．最简二次根式：
（1）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，① 被开方数的因数是整数，因式
是整式，② 被开方数中不含能开的尽的因数或因式；
（2）最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于 2，且不含分母； （3）化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式； （4）二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式.
10．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次
根式叫做同类二次根式.
11．二次根式的混合运算：
如： x 2 - - 3 = 0 是分式方程，所以 x 2 - - 3 = 0 不是一元二次方程。
（ ( （1）二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在
有理数范围内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用；
（2）二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如：化为同类二次根式才能合并；
除法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等.
第二章
一元二次方程
1、认识一元二次方程：
概念：只含有一个未知数，并且可以化为 ax 2 + bx + c = 0 ( a , b , c 为常数，a ≠ 0 )的整式
方程叫一元二次方程。
构成一元二次方程的三个重要条件：
①、方程必须是整式方程(分母不含未知数的方程)。
2 2 x x
②、只含有一个未知数。
③、未知数的最高次数是 2 次。
2、一元二次方程的一般形式：
一般形式：ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )，系数 a , b , c 中，a 一定不能为 0，b 、c 则可以为 0，
所以以下几种情形都是一元二次方程：
①、如果 b = 0, c ≠ 0 ，则得 ax 2 + c = 0 ，例如： 3x 2 - 2 = 0 ；
②、如果 b ≠ 0, c = 0 ，则得 ax 2 + bx = 0 ，例如： 3x 2 + 4 x = 0 ； ③、如果 b = 0, c = 0 ，则得 ax 2 = 0 ，例如： 3x 2 = 0 ；
④、如果 b ≠ 0, c ≠ 0 ，则得 ax 2 + bx + c = 0 ，例如： 3x 2 + 4 x - 2 = 0 。
其中， ax 2 叫做二次项， a 叫做二次项系数； b x 叫做一次项， b 叫做一次项系数； c 叫做常数
项。任何一个一元二次方程经过整理(去括号、移项、合并同类项…)都可以化为一般形式。
例题：将方程 ( x - 3)(3x + 1) = x 2 化成一元二次方程的一般形式.
解：
( x - 3)(3x + 1) = x 2
去括号，得： 3x 2 - 8x - 3 = x 2
移项、合并同类项，得： 2 x 2 - 8x - 3 = 0
(一般形式的等号右边一定等于 0)
3、一元二次方程的解法：
(1)、直接开方法： 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解） 形式： x
+ a )2 = b
(3)、公式法：（求根公式： x = ）
n=2
(2)、配方法：（理论依据：根据完全平方公式： a 2 ± 2ab + b 2 = (a ± b )2 ，将原方程配成
( x + a )2 = b 的形式，再用直接开方法求解.）
-b ± b 2 - 4ac 2a
(4)、分解因式法：（理论依据： a ? b = 0 ，则 a = 0 或 b = 0 ；利用提公因式、运用
公式、十字相乘等分解因式方法将原方程化成两个因式相乘等于
0 的形
4、一元二次方程的应用
例 1 ：商场某种新商品每件进价是 120 元，在试销期间发现，当每件商品售价为 130
元时，每天可销售 70 件，当每件商品售价高于 130 元时，每涨价 1 元，日销售量就减少 1 件．据
此规律，请回答：
（1）当每件商品售价定为 170 元时，每天可销售多少件商品？商场获得的日盈利是多少？
（2）在上述条件不变、商品销售正常的情况下，每件商品的销售价定为多少元时，商场日盈
利可达到 1600 元？（提示：盈利＝售价－进价）
分析：这是一个一元二次方程应用题，关键在于理清数量关系，列出方程。 （1）解：销售件数：70- (170-130)?1 = 30 (件)
日获利： 30 ? (170 -120) = 1500(元)
（2）解：设每件商品的销售价定为 x 元
由题意得： (x - 120 )??70 - (x - 130 )?1?? = 1600
整理得： x 2 - 320 x + 25600 = 0
即： (x - 160 )2 = 0
∴ x = 160
答：每件商品的销售价定为 160 元时，商场日盈利可达 1600 元。
例 2 如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设长方形地面，请观察下列图形，并解答有
关问题：
n=1
（1）铺设地面所用瓷砖的总块数为
（用含n=3的代数式表示，n 表示第 n 个图
形）
一般的，有 n 个数 x , x , x ? ??, x , 我们把
叫做这 n 个数的算术平
n x （2）上述铺设方案，铺一块这样的长方形地面共用了 506 块瓷砖，求此时 n 的值；
（3）是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形？请通过计算加以说明。
分析：这是一个图形数列题，解题关键在于理清数量关系。黑瓷砖由四部分组成，比较难求。
所以先考虑白瓷砖数，观察白瓷砖数量变化，不难发现，第 n 个图形中白瓷砖数为 n ? (n + 1) 。
同时再观察整个图形瓷砖数量变化，易得，第 n 个图形中总瓷砖数为 (n + 2) ? (n + 3) 块。
解：（1） n 2 + 5n + 6
（2）由题意得： n 2 + 5n + 6 = 506 ，即 n 2 + 5n - 500 = 0
∴ (n - 20)(n + 25) = 0
∴ n = 20, n = -25 （不合题意，舍去）。
1
2
（3） 白瓷砖： n 2 + n （块）
黑瓷砖： 4n + 6 （块）
由题意得： n 2 + n = 4n + 6
n 2 - 3n - 6 = 0
解得： x = 3 ± 33
（不合题意，舍去）
2
∴ 不存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形。
第三章
数据分析初步
1、平均数
平均数是衡量样本（求一组数据）和总体平均水平的特征数，通常用样本的平均数去估
计总体的平均数。
平均数：把一组数据的总和除以这组数据的个数所得的商。平均数反映一组数据的平
均水平，平均数分为算术平均数和加权平均数。
1
( x + x + x + ? ? ? + x )
1 2
3
n
1 2
3
n
均数简称平均数，记做 - （读作“x 拔”）
（定义法）
当所给一组数据中有重复多次出现的数据，常选用加权平均数公式。
且f+f+……+f=n（加权法），其中f,f,f???f表
123k
12k
示各相同数据的个数，称为权，“权”越大，对平均数的影响就越大，加权平均数的分母恰好为各权的和。
当给出的一组数据，都在某一常数a上下波动时，一般选用简化平均数公式
其中a是取接近于这组数据平均数中比较“整”的数;?
，
2、众数与中位数
平均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量。平均数的大小与每一个数据都有关，任何一个数的波动都会引起平均数的波动，
当一组数据中有个数据太高或太低，用平均数来描述整体趋势则不合适，用中位数或众数则较合适。中位数与数据排列有关，个别数据的波动对中位数没影响；
当一组数据中不少数据多次重复出现时，可用众数来描述。
众数：在一组数据中，出现次数最多的数(有时不止一个)，叫做这组数据的众数
中位数：将一组数据按大小顺序排列，把处在最中间的一个数(或两个数的平均数)叫做这组数据的中位数．
例1、求下面一组数据的平均数、中位数、众数。
10，20，80，40，30，90，50，40，50，40。
3、方差与标准差
用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，计算公式是s2=
一般的，一组数据的方差的算术平方根
[(x-)2+(x-)2+…+(x-)2]；
12n
S= [(x - x)2 + (x - x)2 + …+ (x - x)2 ] 称为这组数据的标准差。 n
1 _ _ _
1 2 n
标准差＝ 方差
方差和标准差都是反映一组数据的波动大小的一个量，其值越大，波动越大，也越不稳
定或不整齐。或者说，离散程度小就越稳定，离散程度大就不稳定。
第四章
平行四边形
1、多边形
四边形的内角和等于 n 边形的内角和为
(n ≥3)。
n 边形的对角线的总条数
(n ≥3)。
2、平行四边形的性质
1、 叫做平行四边形。平行四边形用符号“ ”表示。
2、平行四边形的角有什么关系： ， 。
3、平行四边形的边有什么关系： ， 。
4、平行四边形的对角线有什么关系： 。
3、中心对称
1、如果一个图形绕一个点旋转 180°后，所得到的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中
心对称（point symmetry ）图形，这个点叫对称中心。 2、对称中心平分连结两个对称点的线段
4、平行四边形的判定
1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形
2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形
4、对角线互相平分的四边形是平行四边形
5、三角形的中位线
1、
叫做三角形的中位线。
3
2、三角形的中位线的定理是
。
6、反证法
定义：在证明数学问题时，先假设命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果
与定义、定理、公理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假设相矛盾，从而说明命
题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立，这种证明方法叫做反证法。
反证法的步骤：1、假设命题反面成立；2、从假设出发,经过推理得出和反面命题矛盾,或
者与定义、公理、定理矛盾； 、得出假设命题不成立是错误的,即所求证命题成立.简而言之
就是“反设、归谬、结论”
矛盾的来源：1、与原命题的条件矛盾；2、导出与假设相矛盾的命题；3、导出一个恒假命
题.
适用与待证命题的结论涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”等字眼
时.
第五章 特殊平行四边形
矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也说是长方形
性质：
矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等 矩形的对角线相等且互相平分。
特别提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；矩形具有平行四边形的一切性质
判定方法：
有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形
有三个角是直角的四边形是矩形
菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（菱形是平行四边形：一组邻边相等）
性质：
菱形的四条边都相等
菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。
判定方法:
一组邻边相等的平行四边形是菱形
对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形
对角线互相垂直平分的四边形是菱形
四条边都相等的四边形是菱形
正方形:
定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形。
性质：正方形既有矩形的性质，又有菱形的性质。
正方形是轴对称图形，其对称轴为对边中点所在的直线或对角线所在的直线，也是中心对称图形，对称中心为对角线的交点。
判定：有一组邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形；
平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质：
平行四边形矩形菱形正方形
图形
1．对边且；1．对边
且；
1．对边且四1．对边且四
条边都；条边都；
2．对角；2．对角2．对角；2．对角且四个
性质邻角；
3．对角线且四个角都是
；
3．对角线角都是；
且每3．对角线
；3．对角线条对角线且每条对角
；；线；面积
.
第六章
反比例函数
（一）反比例函数的概念
1． （ ）可以写成 （
决有关自变量指数问题时应特别注意系数
）的形式，注意自变量 x 的指数为 这一限制条件；
，在解
2． （ ）也可以写成 xy=k 的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中
的 k ，从而得到反比例函数的解析式；
3．反比例函数
的自变量 （二）反比例函数的图象
在用描点法画反比例函数
，故函数图象与 x 轴、y 轴无交点．
的图象时，应注意自变量 x 的取值不能为0，且 x 应对称
取点（关于原点对称）．
（三）反比例函数及其图象的性质
k>0
k<0
图像
象限 增减性 变化趋势 对称性
双曲线
第一、三象限 第二、四象限
y 随 x 的增大而减小 y 随 x 的增大而增大 双曲线无限接近于 x 、y 轴,但永远不会与坐标轴相交
双曲线既是轴对称图形又是中心对称图形（图象关于原点对 称，即若（a ，b ）在双曲线的一支上，则（ ， ）在双 曲线的另一支上；图象关于直线
对称，即若（a ，b ）
在双曲线的一支上，则（ ， ）和（ ，
）在双曲线 的 另 一 支 上 ．
）
面积不变性
任意一组变量的乘积是一个定值,即 xy=k
长方形面积 ︳m n ︱ ＝︳K ︱
y
B P(m,n) o A x
4．k 的几何意义
如图1，设点 P （a ，b ）是双曲线
上任意一点，作 PA⊥x 轴于 A 点，PB⊥y 轴于 B
点，则矩形 PBOA 的面积是 （三角形 PAO 和三角形 PBO 的面积都是 ）．
如图2，由双曲线的对称性可知，P 关于原点的对称点 Q 也在双曲线上，作 QC⊥PA 的延
长线于C，则有三角形PQC的面积为．
图1图2
5．说明：
（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．
（2）直线与双曲线的关系：
时，两图象必有两个交点，且这两个交当时，两图象没有交点；当
点关于原点成中心对称．