{高中试卷}高三数学平面向量一轮复习
20XX年高中测试
高
中
试
题
试
卷
科目:
年级:
考点:
监考老师:
日期:
第七章平面向量
1
2.掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律.
3.掌握实数与向量的积的运算法则及运算律,理解两个向量共线的充要条件.
4.了解平面向量基本定理,理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算.5.掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件.
6.掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式,并且能熟练运用;掌握平移公式.
向量由于具有几何形式与代数形式的“双重身份”,使它成为中学数学知识的一个交汇点,成为多项内容的媒介.
主要考查:
1.平面向量的性质和运算法则,共线定理、基本定理、平行四边形法则及三角形法则.2.向量的坐标运算及应用.
3.向量和其它数学知识的结合.如和三角函数、数列、曲线方程等及向量在物理中的应用.4.正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变形的能力.以化简、求值或判断三角形的形状为主.解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明.
第1课时向量的概念与几何运算
1.向量的有关概念
⑴既有又有的量叫向量.
的向量叫零向量.的向量,叫单位向量.
⑵叫平行向量,也叫共线向量.规定零向量与任一向量. ⑶且的向量叫相等向量. 2.向量的加法与减法
⑴求两个向量的和的运算,叫向量的加法.向量加法按法则或法则进行.加法满足律和律. ⑵求两个向量差的运算,叫向量的减法.作法是将两向量的重合,连结两向量的,方向指向. 3.实数与向量的积
⑴实数λ与向量的积是一个向量,记作λ.它的长度与方向规定如下: ① | λ |=.
②当λ>0时,λ的方向与的方向; 当λ<0时,λ的方向与的方向; 当λ=0时,λ. ⑵λ(μ)=. (λ+μ)=.
λ(+b )=.
⑶共线定理:向量b 与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ使得.
4.⑴平面向量基本定理:如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线的向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数1λ、2λ,使得.
⑵设1e 、2e 是一组基底,=2111e y e x +,b =2212e y e x +,则与b 共线的充要条件是.
例1
.已知△ABC 中,
D 为BC 的中点,
E 为AD 的中点.设=,b AC =,求. 解:=-=4
1(+)-=-
43+4
1 变式训练1.如图所示,D 是△ABC 边AB 上的中点,则向量等于() A .-+2
1 B .--21 C .-21 D .+21
解:A
例2.
已知向量2132e e -=,2132e e +=,2192e e -=,其中1e 、2e 不共线,求实数λ、μ,使b a c μλ+=.
解:c =λ+μb ?21e -92e =(2λ+2μ)1e +(-3λ+3μ)2e ?2λ+2μ=2,且-3λ+3μ=-9?λ=2,且μ=-1
变式训练2:已知平行四边形ABCD 的对角线相交于O 点,点P 为平面上任意一点,求证:
4=+++
证明+=2,+=2?+++=4
例3.已知ABCD 是一个梯形,AB 、CD 是梯形的两底边,且AB =2CD ,M 、N 分别是DC 和AB 的中点,若a =,b =,试用a 、b 表示和.
解:连NC ,则==-=+=+=4141
;2
1-=-= 变式训练3:如图所示,OADB 是以向量=,=为邻边的平行四边形,又=
31,=3
1
,试用、表示,,. 解:=
61a +65b ,=32a +3
2
b , =
21-6
1b 例4.设,是两个不共线向量,若与起点相同,t ∈R ,t 为何值时,,t ,3
1(+)三向量的终点在一条直线上?
解:设])(3
1
[t +-=-λ (λ∈R)化简整理得:)3
1()13
2(=-+-t λλ
∵不共线与,∴???????
==???????
?=-=-21
2303
0132t t λλλ 故21=
t 时,)(3
1
,,t +三向量的向量的终点在一直线上. 变式训练4:已知,,,,OA a OB b OC c OD d OE e =====,设t R ∈,如果3,2,a c b d ==
()e t a b =+,那么t 为何值时,,,C D E 三点在一条直线上?
解:由题设知,23,(3)CD d c b a CE e c t a tb =-=-=-=-+,,,C D E 三点在一条 直线上的充要条件是存在实数k ,使得CE kCD =,即(3)32t a tb ka kb -+=-+, 整理得(33)(2)t k a k t b -+=-. ①若,a b 共线,则t 可为任意实数; ②若,a b 不共线,则有33020
t k t k -+=??
-=?,解之得,6
5t =.
综上,,a b 共线时,则t 可为任意实数;,a b 不共线时,6
5
t =. D
1.认识向量的几何特性.对于向量问题一定要结合图形进行研究.向量方法可以解决几何中的证明.
2.注意与O 的区别.零向量与任一向量平行.
3.注意平行向量与平行线段的区别.用向量方法证明AB ∥CD ,需证∥,且AB 与CD 不共线.要证A 、B 、C 三点共线,则证∥AC 即可.
4.向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则,特点:首尾相接首尾连;向量减法的三角形法则特点:首首相接连终点.
第2课时 平面向量的坐标运算
1.平面向量的坐标表示
分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底,对于一个向量,有且只有一对实数x 、y ,使得=x i +y j .我们把(x 、y)叫做向量的直角坐标,记作.并且||=.
2.向量的坐标表示与起点为的向量是一一对应的关系. 3.平面向量的坐标运算:
若=(x 1、y 1),=(x 2、y 2),λ∈R ,则: += a -b = λa =
已知A(x 1、y 1),B(x 2、y 2),则=.
4.两个向量=(x 1、y 1)和=(x 2、y 2)共线的充要条件是.
例
1.已知点A (2,3),B (-1,5),且=3
1
,求点C 的坐标. 解=
31=(-1,32),=+=(1,
311),即C(1, 3
11
) 变式训练1.若(2,8)OA =,(7,2)OB =-,则
3
1
AB =. 解: (3,2)--提示:(9,6)AB OB OA =-=-- 例2.已知向量=(cos 2α,sin 2α),=(cos 2β,sin 2β),|-|=5
52,求cos(α-β)的值. 解:|-|=
55222552=--?)cos(βα2cos 2
2552βα--?=55
222552=--?)cos(βα?cos 2
βα-=53?cos(α-β)=257- 变式训练2.已知-2b =(-3,1),2+b =(-1,2),求+b . 解 =(-1,1),b =(1,0),∴+b =(0,1)
例3. 已知向量=(1, 2),=(x, 1),1e =+2,2e =2-,且1e ∥2e ,求x . 解:1e =(1+2x ,4),2e =(2-x ,3),1e ∥2e ?3(1+2x)=4(2-x)?x =2
1 变式训练3.设=(ksinθ, 1),b =(2-cosθ, 1) (0 <θ<π),∥,求证:k≥3.
证明: k =θ
θ
sin cos 2-∴k -3=
θ
π
θsin )
3cos(22-
-≥0 ∴k≥3
例4. 在平行四边形ABCD 中,A(1,1),=(6,0),点M 是线段AB 的中点,线段CM 与BD 交于点P .
(1) 若=(3,5),求点C 的坐标; (2) 当||=||时,求点P 的轨迹. 解:(1)设点C 的坐标为(x 0,y 0),
)5,1()5,9()0,6()5,3(00--==+=+=y x
得x 0=10 y 0=6 即点C(10,6)
(2) ∵=∴点D 的轨迹为(x -1)2+(y -1)2=36 (y ≠1) ∵M 为AB 的中点∴P 分的比为2
1
设P(x ,y),由B(7,1) 则D(3x -14,3y -2) ∴点P 的轨迹方程为)1(4)1()5(22≠=-+-y y x
变式训练4.在直角坐标系x 、y 中,已知点A(0,1)和点B(-3,4),若点C 在∠AOB 的平分线上,且||=2,求的坐标.
解 已知A (0,1),B (-3,4) 设C (0,5), D (-3,9)
则四边形OBDC 为菱形∴∠AOB 的角平分线是菱形OBDC 的对角线OD ∵2103==
∴)5
103,510(10
32-
==
1.
认识向量的代数特性.向量的坐标表示,实现了“形”与“
数”的互相转化.以向量为工具,几何问题可以代数化,代数问题可以几何化.
2.由于向量有几何法和坐标法两种表示方法,所以我们应根据题目的特点去选择向量的表示方法,由于坐标运算方便,可操作性强,因此应优先选用向量的坐标运算.
第3课时 平面向量的数量积
1.两个向量的夹角:已知两个非零向量a 和b ,过O 点作OA =a ,OB =b ,则∠AOB =θ (0°≤θ≤180°) 叫做向量与b 的.当θ=0°时,与b ;当θ=180°时,与b ;如果与b 的
夹角是90°,我们说与b 垂直,记作.
2.两个向量的数量积的定义:已知两个非零向量与b ,它们的夹角为θ,则数量叫做与b 的数量积(或内积),记作·b ,即·b =.规定零向量与任一向量的数量积为0.若=(x 1, y 1),b =(x 2, y 2),则a ·b =. 3.向量的数量积的几何意义:
|b |cosθ叫做向量b 在方向上的投影 (θ是向量与b 的夹角).
a ·
b 的几何意义是,数量a ·b 等于. 4.向量数量积的性质:设、b 都是非零向量,是单位向量,θ是与b 的夹角. ⑴·=·= ⑵a ⊥b ?
⑶当与b 同向时,·
b =;当与b 反向时,·b =. ⑷ cosθ=.
⑸ |a ·
b |≤ 5.向量数量积的运算律:
⑴b =; ⑵ (λa )·b ==a ·(λb ) ⑶ (+)·
c =
例1. 已知|a |=4,|b |=5,且a 与b 的夹角为60°,求:(2a +3b )·(3a -2b ). 解:(2+3b )(3-2b )=-4
变式训练1.已知||=3,|b |=4,|+b |=5,求|2-3b |的值. 解:56
例2. 已知向量=(sin θ,1),b =(1,cos θ),-2
2π
θπ
<
<.
(1) 若a ⊥b ,求θ; (2) 求|+b |的最大值.
2021年高中数学-平面向量专题
第一部分:平面向量的概念及线性运算 欧阳光明(2021.03.07) 一.基础知识自主学习 1.向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量;向量的大小叫做向量 的(或称) 平面向量是自由向量 零向量长度为的向量;其方向是任意的记作0 单位向量长度等于的 向量 非零向量a的单位向量为± a |a| 平行向量方向或的非零向量 0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等,不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何 意义) 运算律 加法求两个向量和的运算(1)交换律: a+b=b+a. (2)结合律: (a+b)+c=a+(b+c). 减法求a与b的相反向量-b 的和的运算叫做a与b 的差 法则 a-b=a+(-b) 数乘求实数λ与向量a的积的 运算 (1)|λa|=|λ||a|. (2)当λ>0时,λa的方向与a的方向; 当λ<0时,λa的方向与a的方向;当λ =0时,λa=0. λ(μa)=λμa; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb. 向量a(a≠0)与b共线的条件是存在唯一一个实数λ,使得b=λa. 二.难点正本疑点清源 1.向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时,与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线
段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等,而没有谁大谁小之说,即向量不能比较大小. 2.向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线(或重合)的情况,而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合. 三.基础自测 1.化简OP →-QP →+MS →-MQ → 的结果等于________. 2.下列命题:①平行向量一定相等;②不相等的向量一定不平行;③平行于同一个向量的两个向量是共线向量; ④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是_______. 3.在△ABC 中,AB →=c ,AC →=b.若点D 满足BD →=2DC →,则AD → =________(用b 、c 表示). 4.如图,向量a -b 等于() A .-4e1-2e2 B .-2e1-4e2 C .e1-3e2 D .3e1-e2 5.已知向量a ,b ,且AB →=a +2b ,BC →=-5a +6b ,CD → =7a -2b ,则一定共线的三点是 () A .A 、B 、DB .A 、B 、C C .B 、C 、DD .A 、C 、D 四.题型分类深度剖析 题型一 平面向量的有关概念 例1 给出下列命题: ①若|a|=|b|,则a =b ;②若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则AB →=DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件;③若a =b ,b =c ,则a =c ;④a =b 的充要条件是|a|=|b|且a ∥b ;⑤若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c.其中正确的序号是________. 变式训练1 判断下列命题是否正确,不正确的请说明理由. (1)若向量a 与b 同向,且|a|=|b|,则a>b ; (2)若|a|=|b|,则a 与b 的长度相等且方向相同或相反; (3)若|a|=|b|,且a 与b 方向相同,则a =b ; (4)由于零向量的方向不确定,故零向量不与任意向量平行; (5)若向量a 与向量b 平行,则向量a 与b 的方向相同或相反; (6)若向量AB →与向量CD → 是共线向量,则A ,B ,C ,D 四点在一条直线上; (7)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量; (8)任一向量与它的相反向量不相等 题型二 平面向量的线性运算 例2 如图,以向量OA →=a ,OB →=b 为边作?OADB ,BM →=13BC →,CN →=13 CD →,用a 、b 表示OM →、ON →、MN → . 变式训练2 △ABC 中,AD →=23 AB →,DE ∥BC 交AC 于E ,BC 边上的中线AM 交DE 于N.设AB →=a ,AC → =b ,用a 、b 表示向 量AE →、BC →、DE →、DN →、AM →、AN →. 题型三 平面向量的共线问题 例3 设e1,e2是两个不共线向量,已知AB →=2e1-8e2,CB →=e1+3e2,CD → =2e1-e2. (1)求证:A 、B 、D 三点共线; (2)若BF → =3e1-ke2,且B 、D 、F 三点共线,求k 的值.
高中数学平面向量测试题及答案[001]
平面向量测试题 一、选择题: 1。已知ABCD 为矩形,E 是DC 的中点,且?→?AB =→a ,?→?AD =→b ,则?→ ?BE =( ) (A ) →b +→a 2 1 (B ) →b -→a 2 1 (C ) →a +→b 2 1 (D ) →a -→ b 2 1 2.已知B 是线段AC 的中点,则下列各式正确的是( ) (A ) ?→?AB =-?→?BC (B ) ?→?AC =?→?BC 2 1 (C ) ?→?BA =?→?BC (D ) ?→?BC =?→ ?AC 2 1 3.已知ABCDEF 是正六边形,且?→?AB =→a ,?→?AE =→b ,则?→ ?BC =( ) (A ) )(2 1→→-b a (B ) )(2 1 →→-a b (C ) →a +→b 2 1 (D ) )(2 1→ →+b a 4.设→a ,→b 为不共线向量,?→?AB =→a +2→b ,?→?BC =-4→a -→b ,?→ ?CD = -5→ a -3→ b ,则下列关系式中正确的是 ( ) (A )?→?AD =?→?BC (B )?→?AD =2?→ ?BC (C )?→?AD =-?→ ?BC (D )?→?AD =-2?→ ?BC 5.将图形F 按→ a =(h,k )(其中h>0,k>0)平移,就是将图形F ( ) (A ) 向x 轴正方向平移h 个单位,同时向y 轴正方向平移k 个单位。 (B ) 向x 轴负方向平移h 个单位,同时向y 轴正方向平移k 个单位。 (C ) 向x 轴负方向平移h 个单位,同时向y 轴负方向平移k 个单位。 (D ) 向x 轴正方向平移h 个单位,同时向y 轴负方向平移k 个单位。 6.已知→a =()1,2 1,→ b =(), 2 22 3- ,下列各式正确的是( ) (A ) 2 2?? ? ??=??? ??→ →b a (B ) →a ·→b =1 (C ) →a =→b (D ) →a 与→b 平行 7.设→ 1e 与→ 2e 是不共线的非零向量,且k → 1e +→ 2e 与→ 1e +k → 2e 共线,则k 的值是( ) (A ) 1 (B ) -1 (C ) 1± (D ) 任意不为零的实数 8.在四边形ABCD 中,?→?AB =?→?DC ,且?→?AC ·?→ ?BD =0,则四边形ABCD 是( ) (A ) 矩形 (B ) 菱形 (C ) 直角梯形 (D ) 等腰梯形 9.已知M (-2,7)、N (10,-2),点P 是线段MN 上的点,且?→ ?PN =-2?→ ?PM ,则P 点的坐标为( ) (A ) (-14,16)(B ) (22,-11)(C ) (6,1) (D ) (2,4)
高中数学平面向量知识点总结
高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念: ①向量:既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示,或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示,如:AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ,a ;坐标表示法),(y x yj xi a 向 量的大小即向量的模(长度),记作|AB u u u r |即向量的大小,记作|a | 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ②零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的, 0 与任意向量平行零向量a =0 |a |=0 由于0r 的方向是任意的,且规定0r 平行于任何向量,故在有关向量平行(共线) 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别) ③单位向量:模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 |0a |=1 ④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自 由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的. ⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为b a 大 小相等,方向相同 ),(),(2211y x y x 2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ,则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r (1)a a a 00;(2)向量加法满足交换律与结合律; 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”: (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法
高中数学必修4平面向量知识点总结与典型例题归纳
平面向量 【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 1.向量:既有大小又有方向的量。记作:AB 或a 。 2.向量的模:向量的大小(或长度),记作:||AB 或||a 。 3.单位向量:长度为1的向量。若e 是单位向量,则||1e =。 4.零向量:长度为0的向量。记作:0。【0方向是任意的,且与任意向量平行】 5.平行向量(共线向量):方向相同或相反的向量。 6.相等向量:长度和方向都相同的向量。 7.相反向量:长度相等,方向相反的向量。AB BA =-。 8.三角形法则: AB BC AC +=;AB BC CD DE AE +++=;AB AC CB -=(指向被减数) 9.平行四边形法则: 以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +,a b -。 10.共线定理://a b a b λ=?。当0λ>时,a b 与同向;当0λ<时,a b 与反向。 11.基底:任意不共线的两个向量称为一组基底。 12.向量的模:若(,)a x y =,则2||a x y =+,22||a a =,2||()a b a b +=+ 13.数量积与夹角公式:||||cos a b a b θ?=?; cos ||||a b a b θ?= ? 14.平行与垂直:1221//a b a b x y x y λ?=?=;121200a b a b x x y y ⊥??=?+= 题型1.基本概念判断正误: (1)共线向量就是在同一条直线上的向量。 (2)若两个向量不相等,则它们的终点不可能是同一点。 (3)与已知向量共线的单位向量是唯一的。 (4)四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。 (5)若AB CD =,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。 (6)若a 与b 共线, b 与c 共线,则a 与c 共线。 (7)若ma mb =,则a b =。