2012年江苏高考数学试题及答案

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2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

数学Ⅰ

参考公式：

棱锥的体积13

V Sh =

，其中S 为底面积，h 为高．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{124}A =，，，{246}B =，，，则A B = ▲

． 解析：由已知，集合{124}A =，，，{246}B =，，，所以A B = {1,2,4,6}. 答案：{1,2,4,6},

2．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334::，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 ▲ 名学生． 解析：由已知，高二人数占总人数的310

，所以抽取人数为

3501510

?=.

答案：15

3．设a b ∈R ，，117i i 12i

a b -+=

-（i 为虚数单位），则a b +的值为 ▲ ．

解析：由已知，2

117i 117i i 2515i 2515i

i ===53i 12i (12i)(12i 1-4i 5

a b --+++=

=+--+（）(1+2））. ∴538a b +=+=.

答案：8.

4．右图是一个算法流程图，则输出的k 的值是 ▲

．解析：将1k =带入0=0不满足， 将2k =带入40-<不满足， 将3k =带入20-<不满足， 将4k =带入00=不满足， 将5k =带入40>满足， 所以5k =. 答案：5.

5．函数()f x =的定义域为 ▲ ． 解析：由题意6012log 0x x >??-≥?

，所以x ∈.

答案：(0,

6．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ▲ ． 解析：满足条件的数有1，-3，33-，53-，73-，9

3-；所以6310

5

p ==

.

答案：35

.

7．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3cm AB AD ==，12cm AA =， 则四棱锥11A BB D D -的体积为 ▲ cm 3．

解析：1263

2

V =?=.

答案：6.

8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线

2

2

2

14

x

y

m

m -

=+，则m 的值为 ▲ ．

D

A

B

C 1C 1D

1A

1B

（第7题）

解析：224

50m m e m

m ?++=

=???>?

，解得2m =. 答案：2.

9．如图，在矩形ABCD

中，2AB BC ==，点E 为BC 的中点，

点F 在边CD

上，若AB AF =

AE BF

的值是 ▲

． 解析：以A 为坐标原点，AB,AD 所在直线分别为x 轴和y 轴建立 平面直角坐标系，

则由题意知：点

B 0)，点

E

)

,设点F (,)a b ，

所以0)AB =uu u r ，(,)AF a b =uuu r

；

由条件解得点(1,2)F ，

所以AE =uuu r

，(

)

12BF -

uuu r ；

所以AE BF =

uuu r uuu r g

10．设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[11]-，上，0111()2

01

x x ax f x bx x <+-??

=+??

+?≤≤≤，，，，其中a b ∈R ，．若1322f f ????

= ? ???

??

，则3a b +的值为 ▲

． 解析：因为2T =，所以(1)(1)f f -=，求得20a b +=. 由1

3

()()2

2

f f =，2T =得1

1()()2

2

f f =-

，解得322a b +=-.

联立20322a b a b +=??+=-?，解得2

4a b =??=-?

所以310a b +=-.

答案10-

（第9题）

11．设α为锐角，若4cos 65απ?

?+

= ???，则sin 212απ?

?+ ??

?的值为 ▲

． 解析: Q α为锐角，26

6

3

π

π

πα∴

<+

<

，4cos 65απ?

?+

= ??

?Q ，3sin 65

απ?

?∴+= ???；

12cos 66sin 22sin 253αααππ?π??∴+= ??

?++=

? ????

????，

sin 2sin 2sin 2cos cos 2sin 1234343450ααααπππππππ???????

?∴+=+-=+-+=

? ? ? ?????????

50

.

12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是 ▲ ． 解析：圆C 的圆心为(4,0)，半径为1；由题意，直线2y kx =-上至少存在一点00(,2)A x kx -，

以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点；故存在0x R ∈，使得11A C ≤+成立，即m in 2AC ≤；而min A C 即为点C 到直线2y kx =-的

，

2≤，解

得403

k ≤≤，即k 的最大值是43

.

答案：43

13．已知函数2()()f x x ax b a b =++∈R ，的值域为[0)+∞，，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，，则实数c 的值为 ▲ ． 解析：由值域为[0)+∞，得2

40a b =-=V ，即2

4

a

b =

；

2

2

2

2

()42a

a f x x ax

b x ax x ?

?∴=++=++=+ ??

?，

2

()2a f x x c ?

?∴=+< ??

?

解得2a x +<

；

Q 不等式()f x c <的解集为(6)m m +，，)()62

2

a a ∴+

-==，解得9c =.

答案：9

14．已知正数a b c ，，满足：4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，则

b a

的取值范围是 ▲ ．

答案：[,7]e

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．

内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）

在ABC ?中，已知3AB AC BA BC ?=?

．

（1）求证：tan 3tan B A =；

（2）若cos 5

C =求A 的值．

解析：

16．（本小题满分14分）

如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B A C =，D E ，分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F ⊥，为11B C 的中点． 求证：（1）平面AD E ⊥平面11BCC B ； （2）直线1//A F 平面ADE ． 解析：

17．（本小题满分14分）

如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程2

2

1(1)(0)20

y kx k x k =-

+>表示的曲线上，

其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． （1）求炮的最大射程；

（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不

超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．

1A

1C

（第16题）

F

D

C

A

B E

1B

解析：

18．（本小题满分16分）

若函数()y f x =在0x x =处取得极大值或极小值，则称0x 为函数()y f x =的极值点. 已知a ，b 是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点． （1）求a 和b 的值；

（2）设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+，求()g x 的极值点；

（3）设()(())h x f f x c =-，其中[22]c ∈-，，求函数()y h x =的零点个数． 解析：

19．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆

222

2

1(0)x y a b a

b

+

=>>的左、右

焦点分别为1(0)F c -，，2(0)F c ，．已知(1)e ，

和2e ? ??

都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率．

（1）求椭圆的方程；

（2）设A ，B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线

与直线2BF 平行，2AF 与1BF 交于点P ． （i ）若122

AF BF -=

1AF 的斜率；

（ii ）求证：12PF PF +是定值．

（第19题）

解析：

20．（本小题满分16分）

已知各项均为正数的两个数列{}n a 和{}n b

满足：1n a n *

+=

∈N ．

（1）设1

1n

n n

b b n a *+=+∈N ，，求证：数列2

n

n b a ???????? ???????

是等差数列；

（2

）设1n n n

b b n a *

+=∈N ，，且{}n a 是等比数列，求1a 和1b 的值．

解析：

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数学Ⅱ(附加题)

号

21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

答．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演

算步骤．

A ．[选修4 - 1：几何证明选讲]（本小题满分10分）

如图，AB 是圆O 的直径，D ，E 为圆上位于AB 异侧的两点，连结BD

并延长至点C ，使

BD = DC ，连结AC ，AE ，DE ． 求证：E C ∠=∠． 解析：

B ．[选修4 - 2：矩阵与变换]（本小题满分10分）

已知矩阵A 的逆矩阵1

1

344112

2-??

-??

=????-????

A ，求矩阵A 的特征值． 21-A 题）

解析：

C ．[选修4 - 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

在极坐标中，已知圆C 经过点()4

P π

，圆心为直线()sin 3

2

ρθπ-=-

与极轴的交

点，求圆C 的极坐标方程． 解析：

D ．[选修4 - 5：不等式选讲]（本小题满分10分） 已知实数x ，y 满足：11|||2|3

6

x y x y +<-<

，，求证：5||18

y <

．

解析：

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．

作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22．（本小题满分10分）

设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，0ξ=；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，1ξ=． （1）求概率(0)P ξ=；

（2）求ξ的分布列，并求其数学期望()E ξ． 解析：

23．（本小题满分10分）

设集合{12}n P n =，，，…，n *

∈N ．记()f n 为同时满足下列条件的集合A 的个数：

①n A P ?；②

若x A ∈，则2x A ?；③若n

P x A ∈e，则2n

P x A ?e． （1）求(4)f ；

（2）求()f n 的解析式（用n 表示）． 解析：