陕西省咸阳市2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含解析

咸阳市2018~2019学年度第一学期期末教学质量检测

高一数学试题

一、选择题

1.设集合{}1,0,1,2A =-，{}0,1B =，则()A C B A =I （ ） A. {}1,2- B. []0,1

C. {}1,0,1,2-

D. []1,2-

【答案】A 【解析】 【分析】

利用补集的定义求出集合B 的补集，利用交集的定义求出()A C B A ?． 【详解】∵{}1,0,1,2A =-，{}0,1B =， ∴A C B ={﹣1，2}

∵{}

1,0,1,2A =-， ∴()A C B A ?= {}1,2- 故选A ．

【点睛】求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解；在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍． 2.函数f （x ）1

1x

=

-的定义域为（ ） A. （0，+∞） B. （﹣∞，1）∪（1，+∞） C. （﹣∞，1） D. （1，+∞）

【答案】B 【解析】 【分析】

由分式的分母不为0,求解x 的范围即得答案． 【详解】解：由10x -≠，解得1x ≠．

∴函数1

()1f x x

=

-的定义域为()(),11,-∞+∞U ．

【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，属于基础题． 3.若24a =，则1

log 2

a 的值是（ ） A. 1- B. 0

C. 1

D.

12

【答案】A 【解析】 【分析】

根据指数运算求出a 的值，然后利用对数的运算律求出1

log 2

a 的值. 【详解】2242a ==Q ，2a ∴=，所以，12211

log log log 2122

a -===-. 故选：A.

【点睛】本题考查指数运算，同时也考查了对数运算，考查计算能力，属于基础题. 4.圆A ：x 2+y 2＝1与圆B ：x 2﹣4x +y 2﹣5＝0的公共点个数为（ ） A. 0 B. 3

C. 2

D. 1

【答案】D 【解析】 【分析】

根据圆心距等于两圆半径之和可得两圆外切，所以只有一个公共点． 【详解】解：因为圆22:045B x x y --+=

配成标准式可得圆22:(2)1B x y -+=，故其圆心为(2,0)B ，半径为1， 圆A 的圆心(0,0)A ，半径为1，

所以圆心距为||2AB =，两圆的半径之和为112+=， 所以两圆相外切，只有一个公共点． 故选：D ．

【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系及其判定．属于基础题．

5.正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，已知点E 、F 分别为棱AB 与BC 的中点，则直线EF 与直线BC 1所成的角为（ ） A. 30°

B. 45°

C. 60°

D. 90°

【解析】 【分析】

由题意画出图形，数形结合得答案． 【详解】解：如图，

连接AC ，11A C ，

因为E 、F 为棱AB ，BC 的中点，则11//EF A C ， 又11//AC AC Q

11AC B ∴∠为直线EF 与直线1BC 所成的角，

连接1A B ，可得△11A BC 为等边三角形， 11AC B

∴∠60?．

故选：C ．

【点睛】本题考查异面直线所成角，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题． 6.已知a ＞0且a ≠1，则函数y ＝log a x 和y ＝（1﹣a ）x 的图象只可能是（ ）

A. B.

C. D.

【答案】B 【解析】 【分析】

根据函数的单调性及特殊点对其判断．

【详解】解：当10a ->，即01a <<时，函数log a y x =单调递减，()1y a x =-单调递

增，故排除A ，

当10a -<，即1a >时，此时函数log a

y x =单调递增，()1y a x =-单调递减，排除D ，

C 中，对数函数图象不过(1,0)，不正确．

故选：B ．

【点睛】本题考查了函数的图象及其变换，属于基础题． 7.已知函数()2143f x x -=+，且()6f t =，则t =（ ） A.

1

2

B.

13

C.

14

D.

15

【答案】A 【解析】

分析：用换元法求出()f t ，再解方程()6f t =即可. 详解：21t x =-，则1

2

t x +=

， 故()1

43252

t f t t +=?

+=+， 令256t +=，则1

2

t =

，故选A . 点睛：函数解析式求法有：（1）换元法；（2）配凑法；（3）待定系数法；（4）函数方程法.注意针对问题的特征选择合适的方法.

8.若f （x ）()2

21

1f x x log x x ?+=?≥?，＜，，则f （﹣1）的值为（ ） A. 0

B. 1

C. 2

D. ﹣2

【答案】A 【解析】 【分析】

根据函数解析式推导出()2(1)1log 1f f -==，由此能求出结果．

【详解】解：2

(2),1

()log ,1f x x f x x x +

?Q …， ()()2(1)121log 10f f f ∴-=-+===． 故选：A ．

【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 9.若a ＞b ＞1，0＜c ＜1，则下列式子中不正确的是（ ） A. log log a b c c >

B. a b c c <

C. c c a b >

D.

log log c c a b >

【答案】D 【解析】 【分析】

利用对数函数、指数函数与幂函数的单调性即可判断出正误． 【详解】解：1a b >>Q ，01c <<，0log log a b c c ∴>>,A 正确;

Q x y c =是减函数，∴a b c c <，B 正确;

c y x =Q 为增函数，∴c c a b >，C 正确.

Q log c y x =是减函数，∴log log 0c c a b <<,D 错误.

故选D ．

【点睛】本题考查了对数函数、指数函数与幂函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

10.某简单几何体的三视图（俯视图为等边三角形）如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）为

A. 18

B. 3

C. 33

D. 3【答案】C 【解析】 【分析】

判断三视图复原的几何体的形状,利用三视图的数据求解几何体的体积即可.

【详解】由题意可知几何体是底面为正三角形的三棱柱，底面边长为2，高为3， 所以几何2

32333?=C ． 【点睛】本题考查三视图求解几何体的体积，考查转化思想以及空间想象能力．

11.对于a ∈R ，直线l ：（a ﹣1）x ﹣y +a +1＝0和圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣12＝0，则直线l 与圆C 的位置关系为（ ） A. 相交 B. 相切

C. 相离

D. 以上三种位置均有可能

【答案】A 【解析】 【分析】

求出圆的圆心与半径，直线恒过的定点，判断点与圆的位置关系即可． 【详解】解：Q 直线:(1)10l a x y a --++=，

()()110x a x y ∴++--+=

1010x x y +=?∴?--+=?解得12x y =-?∴?=?

∴直线l 恒过定点(1,2)-，

圆22:4120C x y x +--=化成标准式为2

2

(2)16x y -+=，则圆的圆心为(2,0)，半径为4．

(1,2)-Q 与(2,0)的距离为134<，

Q 直线恒过的定点在圆内，

∴直线与圆相交．

故选：A ．

【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的判断与应用，考查计算能力，属于基础题． 12.设m ，n ，l 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题，其中正确的是（ ）

①若α⊥β，l ?α，m ?β，则l ⊥m ； ②若α∥β，l ?α，m ?β，则l ∥m ； ③若l ⊥α，l ∥β，则α⊥β；

④若l ?α，l ⊥m ，l ⊥n ，m ∥β，n ∥β，则α⊥β. A. ①② B. ②③

C. ③

D. ③④

【答案】C 【解析】 【分析】

由空间中直线与直线、直线与平面以及平面与平面位置关系的判定逐一核对四个命题得答案．

【详解】解：对于①，由αβ⊥，l α?，m β?，得//l m 或l 与m 相交或l 与m 异面，故①错误；

对于②，由//αβ，l α?，m β?，得//l m 或l 与m 异面，故②错误； 对于③，由l α⊥，l β//，得αβ⊥，故③正确；

对于④，l α?，l m ⊥，l n ⊥，//m β，//n β，如图，//αβ，不一定垂直，故④错误．

∴其中正确的是③．

故选：C ．

【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题．

二、填空题

13.在平面直角坐标系中，点A （﹣2，0），B （0，t ），如果直线AB 的倾斜角为45°，那么实数t 的值为_____. 【答案】2 【解析】 【分析】

先求出AB 所在直线的斜率2

t

k =

，然后根据斜率与倾斜角的关系即可求解． 【详解】解：Q 点(2,0)A -，(0,)B t ，

AB ∴所在直线的斜率2

t k =， Q 直线AB 的倾斜角为45?，

∴112

t =，即2t =．

故答案

：2

【点睛】本题主要考查了由两点求解直线的斜率及斜率与倾斜角的关系，属于基础试题． 14.设常数a ＞0且a ≠1，函数f （x ）＝log a x ，若f （x ）的反函数图象经过点（1，2），则a ＝_____. 【答案】2. 【解析】 【分析】

由反函数的性质得函数()log a f x x =的图象经过点(2,1)，由此能求出a ．

【详解】解：Q 常数0a >且1a ≠，函数()log a f x x =，()f x 的反函数的图象经过点(1,2)，

∴函数()log a f x x =的图象经过点(2,1)，

log 21a ∴=，

解得2a =． 故答案为：2．

【点睛】本题考查实数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函

数与方程思想，是基础题．

15.长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AD ＝2，若该长方体的外接球的表面积为8π，则AA 1的长为_____. 【答案】3. 【解析】 【分析】

根据长方体外接球的直径为长方体的体对角线，即可求解．

【详解】解：设长方体的高为m ，则根据长方体外接球半径公式，设其半径为R ，则

248S R ππ==，解得2R =，

221422R m =++=，解得3m =． 故答案为：3．

【点睛】本题考查球的表面积，考查长方体外接球问题，属于基础题．

16.若函数()21x

f x m =--有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是__________. 【答案】()0,1 【解析】

【详解】令()0f x =，即21x

m -=，画出函数21x

y =-和y m =的图象如图：

由图可知，要使函数()21x

f x m =--有两个不同的零点，则实数m 的取值范围()0,1，

故答案：()0,1

三、解答题

17.已知两条直线l 1：ax ＋2y －1＝0，l 2：3x ＋(a ＋1)y ＋1＝0. (1)若l 1∥l 2，求实数a 的值；

(2)若l 1⊥l 2，求实数a 的

值．

【答案】(1) a=2 (2)2

a 5

=- 【解析】 【分析】

（1）利用直线与直线平行的条件直接求解； （2）利用直线与直线垂直的条件直接求解．

【详解】(1)由题可知，直线l 1：ax ＋2y －1＝0，l 2：3x ＋(a ＋1)y ＋1＝0. 若l 1∥l 2，则

21

311

a a -=≠+ 解得a=2或a=-3(舍去) 综上，则a=2；

（2）由题意，若l 1⊥l 2，则()3a 210a ++=, 解得2a 5

=-

. 【点睛】本题考查实数值的求法，考查直线与直线平行与垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 18.已知二次函数f （x ）＝x 2﹣2x +c ，满足f （0）＝2. （1）求f （x ）在区间[﹣1，2]上的最大值；

（2）若函数f （x ）在区间[a ，a +1]上单调，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）5；（2）（﹣∞，0]∪[1，+∞） 【解析】 【分析】

（1）将0x =代入即可求得c 的值，结合二次函数的单调性即可得解；

（2）依题意，1a …

或11a +?，解出即可． 【详解】解：（1）(0)2f =Q ，()2

2f x x x c =-+

2c ∴=，

()222f x x x ∴=-+

又函数的对称轴为1x =，则函数()f x 在[1-，1]上单调递减，在(1，2]上单调递增， 故()(1)5max f x f =-=；

（2）若函数()f x 在区间[a ，1]a +上单调，则1a …

或11a +?，解得1a …或0a ?， 故实数a 的取值范围为(][),01,-∞?+∞．

【点睛】本题考查二次函数的图象及其性质，属于基础题．

19.如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，AP ⊥CD ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝1，AD ＝2，E ，F 分别为AD ，PC 的中点，O 为AC 与BE 的交点.求证：

（1）AP ∥平面BEF ； （2）BE ⊥平面P AC .

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】 【

分析】

（1）连结AC 交BE 于点O ，连结OF ，连结CE ，推导出四边形ABCE 是平行四边形，//OF AP ，由此能证明//AP 平面BEF ．

（2）推导出四边形BCDE 为平行四边形，//BE CD ，AP BE ⊥，AC BE ⊥，从而BE ⊥

平面APC ，

【详解】证明：（1）连结AC 交BE 于点O ，连结OF ，连结CE

1AE BC ==Q ，//AD BC ，

∴四边形ABCE 是平行四边形，

O ∴是AC 的中点，

又点F 为PC 的中点， //OF AP ∴，

OF ?Q 平面BEF ，AP ?/平面BEF ，

//AP ∴平面BEF ．

（2）//AD BC Q ，1ED BC ==，

∴四边形BCDE 为平行四边形，

//BE CD ∴，

AP CD ⊥Q ，

AP BE ∴⊥，

又Q 四边形ABCE 是平行四边形，AB BC =，

∴四边形ABCE 是菱形，

AC BE ∴⊥，

AP BE ⊥Q ，AP AC A ?=，

AP ，AC ?平面APC ，

BE ∴⊥平面APC ，

【点睛】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题．

20.已知函数f （x ）122

x

x

a -=+是奇函数. （1）求实数a 的值并判断函数在定义域上的单调性； （2）解关于x 的不等式f （lgx ）1

3

+＞0. 【答案】（1）a ＝1，减函数；（2）()0,10 【解析】 【分析】

（1）由()f x 是奇函数，得()()f x f x -=-，得2112212x x

x x

a a --=-?++，得1a =；

（2）由()1

13

f =-

，得()()1f lgx f >，得1lgx <，根据对数函数的单调性解不等式即可． 【详解】解：（1）()f x Q 是奇函数，

()()f x f x ∴-=-

1221()221

x x x x

f x a a -----==+?+Q ，

∴2112212x x

x x

a a --=-?++， 212x x a a ∴?+=+，

(1)21x a a ∴-?=-，

1a \=；

122()11212x x x

f x -==-+++Q ，

21x y =+Q 在定义域上单调递增，且值域为()1,+∞，2

y x

=

在()1,+∞上单调递减， 由复合函数的单调性可知()f x 在R 上是减函数． （2）令21

1123

x -+

=-+， 得123x +=，得1x =，

()1

13

f ∴=-，

1

()03f lgx +>Q ，

1

()3

f lgx ∴>-

()()1f lgx f ∴>， 1lgx ∴<， 010x ∴<<，

不等式的解集为()0,10．

【点睛】本题考查了函数奇偶性的判断，根据定义法是解决本题的关键；本题考查了不等式的解法，利用函数的单调性是解决本题的关键．

21.如图所示，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BB 1＝BC ＝1，E 为D 1C 1的中点，连接ED ，EC ，EB 和DB .

（1）求证：平面EDB ⊥平面EBC ；

（2）若M 是AB 的中点，求证：平面B 1D 1M ∥平面EDB .

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】 【分析】

（1）先通过线线垂直证得DE ⊥平面EBC ，进而得面面垂直； （2）需先证11B D ，1D M 与平面EDB 平行，进而得面面平行． 【详解】解：（1）证明：

由2AB =，11BB =，E 为11D C 中点 得2CD =，11111CC C E D E D D ==== 2DE CE ∴==

由勾股定理可得

DE CE ⊥

又由BC CD ⊥

可得BC DE ⊥（三垂线定理）

CE ?Q 平面ECB ，BC ?平面ECB ，且BC CE C =I

DE ∴⊥平面ECB DE ?Q 平面EDB ∴平面EDB ⊥平面EBC ；

（2）

证明：在矩形11BDD B 中，11//B D BD

BD ?Q 平面EDB ，11B D ?平面EDB 11//B D ∴平面EDB

又1//D E MB Q 且1D E MB =

∴四边形1MBED 为平行四边形，

1//MD BE ∴

BE ?Q 平面EDB ，1MD ?平面EDB

1//MD ∴平面EDB

1111MD B D D =Q I

∴平面11//B D M 平面EDB ．

【点睛】此题考查了面面垂直，面面平行的证明方法，属于中档题．

22.如图，已知圆心在x 轴正半轴上的圆C 与直线5x +12y +21＝0相切，与y 轴交于M ，N 两点且∠MCN ＝120°

.

（1）求圆C 的标准方程；

（2）求过点P （0，3）的直线l 与圆C 交于不同的两点D ，E ，若|DE |＝3l 的方程.

【答案】（1）（x ﹣1）2+y 2＝4；（2）y 4

33

x =-+或x ＝0 【解析】 【分析】

（1）由题意设圆心为(,0)C a ，且0a >，再由已知求解三角形可得||2CM a =，于是可设圆C 的标准方程为222()4x a y a -+=，由点C 到直线512210x y ++=的距离列式求得a 值，

则圆C 的标准方程可求；

（2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为3y kx =+，即30kx y -+=，利用圆心到直线的距离等于半径列式求得k ，可得直线方程，验证当0x =时满足题意，则答案可求． 【详解】解：（1）由题意设圆心为(,0)C a ，且0a >，

由120MCN ∠=?，可得Rt MCO ?中，60MCO ∠=?，||OC a =，则||2CM a =， 于是可设圆C 的标准方程为222()4x a y a -+=， 又点C 到直线512210x y ++=的距离|521|

213

a d a +==，解得1a =或2131a =-（舍去）．

故圆C 的标准方程为2

2

(1)4x y -+=；

（2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为3y kx =+，即30kx y -+=． 则由题意可知，圆心C 到直线l 的距离1d =． 故2

11k =+，解得4

3

k =-

． 又当0x =时满足题意， 故直线l 的方程为4

33

y x =-

+或0x =．

【点睛】本题考查圆的标准方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．