人教版高中数学,不等关系与不等式
人教版高中数学同步练习
§3.1 不等关系与不等式 课时目标
1.初步学会作差法比较两实数的大小.
2.掌握不等式的基本性质,并能运用这些性质解决有关问题.
1.比较实数a ,b 的大小
(1)文字叙述
如果a -b 是正数,那么a >b ;
如果a -b 等于0,那么a =b ;
如果a -b 是负数,那么a
(2)符号表示
a -
b >0?a >b ;
a -
b =0?a =b ;
a -
b <0?a
2.常用的不等式的基本性质
(1)a >b ?b (2)a >b ,b >c ?a >c (传递性); (3)a >b ?a +c >b +c (可加性); (4)a >b ,c >0?ac >bc ;a >b ,c <0?ac (5)a >b ,c >d ?a +c >b +d ; (6)a >b >0,c >d >0?ac >bd ; (7)a >b >0,n ∈N ,n ≥2?a n >b n ; (8)a >b >0,n ∈N ,n ≥2 一、选择题 1.若a ,b ,c ∈R ,a >b ,则下列不等式成立的是( ) A.1a <1b B .a 2>b 2 C.a c 2+1>b c 2+1 D .a |c |>b |c | 答案 C 解析 对A ,若a >0>b ,则1a >0,1b <0,此时1a >1b ,∴A 不成立; 对B ,若a =1,b =-2,则a 2 对C ,∵c 2+1≥1,且a >b ,∴a c 2+1>b c 2+1 恒成立, ∴C 正确; 对D ,当c =0时,a |c |=b |c |,∴D 不成立. 2.已知a <0,b <-1,则下列不等式成立的是( ) A .a >a b >a b 2 B.a b 2>a b >a C.a b >a >a b 2 D.a b >a b 2>a 答案 D 解析 取a =-2,b =-2,则a b =1,a b 2=-12 , ∴a b >a b 2>a . 3.已知a 、b 为非零实数,且a A .a 2 B .a 2b C.1ab 2<1a 2b D.b a 答案 C 解析 对于A ,当a <0,b <0时,a 2 对于B ,当a <0,b >0时,a 2b >0,ab 2<0,a 2b 对于C ,∵a 0,∴1ab 2<1a 2b ; 对于D ,当a =-1,b =1时,b a =a b =-1. 4.若x ∈(e -1,1),a =ln x ,b =2ln x ,c =ln 3x ,则( ) A .a B .c C .b D .b 答案 C 解析 ∵1e ∴a -b =t -2t =-t >0,∴a >b . c -a =t 3-t =t (t 2-1)=t (t +1)(t -1), 又∵-1 ∴c -a >0,∴c >a .∴c >a >b . 5.设a ,b ∈R ,若a -|b |>0,则下列不等式中正确的是( ) A .b -a >0 B .a 3+b 3<0 C .a 2-b 2<0 D .b +a >0 答案 D 解析 由a >|b |得-a ∴a +b >0,且a -b >0.∴b -a <0,A 错,D 对. 可取特值,如a =2,b =-1, a 3+ b 3=7>0,故B 错. 而a 2-b 2=(a -b )(a +b )>0,∴C 错. 6.若a >b >c 且a +b +c =0,则下列不等式中正确的是( ) A .ab >ac B .ac >bc C .a |b |>c |b | D .a 2>b 2>c 2 答案 A 解析 由a >b >c 及a +b +c =0知a >0,c <0, 又∵a >0,b >c ,∴ab >ac .故选A. 二、填空题 7.若1≤a ≤5,-1≤b ≤2,则a -b 的取值范围为________. 答案 [-1,6] 解析 ∵-1≤b ≤2,∴-2≤-b ≤1,又1≤a ≤5, ∴-1≤a -b ≤6. 8.若f (x )=3x 2-x +1,g (x )=2x 2+x -1,则f (x )与g (x )的大小关系是________. 答案 f (x )>g (x ) 解析 ∵f (x )-g (x )=x 2-2x +2=(x -1)2+1>0, ∴f (x )>g (x ). 9.若x ∈R ,则x 1+x 2与12 的大小关系为________. 答案 x 1+x 2≤12 解析 ∵x 1+x 2-12=2x -1-x 22(1+x 2)=-(x -1)22(1+x 2) ≤0, ∴x 1+x 2≤12 . 10.设n >1,n ∈N ,A =n -n -1,B =n +1-n ,则A 与B 的大小关系为________. 答案 A >B 解析 A =1n +n -1,B =1n +1+n . ∵n +n -1 三、解答题 11.设a >b >0,试比较a 2-b 2a 2+b 2与a -b a +b 的大小. 解 方法一 作差法 a 2- b 2a 2+b 2-a -b a +b =(a +b )(a 2-b 2)-(a -b )(a 2+b 2)(a 2+b 2)(a +b ) =(a -b )[(a +b )2-(a 2+b 2)](a 2+b 2)(a +b )=2ab (a -b )(a +b )(a 2+b 2) ∵a >b >0,∴a +b >0,a -b >0,2ab >0. ∴2ab (a -b )(a +b )(a 2+b 2)>0,∴a 2-b 2a 2+b 2>a -b a +b . 方法二 作商法 ∵a >b >0,∴a 2-b 2a 2+b 2>0,a -b a +b >0. ∴a 2-b 2 a 2+ b 2a -b a +b =(a +b )2a 2+b 2=a 2+b 2+2ab a 2+b 2=1+2ab a 2+b 2>1. ∴a 2-b 2a 2+b 2>a -b a +b . 12.设f (x )=1+log x 3,g (x )=2log x 2,其中x >0且x ≠1,试比较f (x )与g (x )的大小. 解 f (x )-g (x )=1+log x 3-2log x 2=log x 3x 4 , ①当????? 0<x <1,3x 4>1,或????? x >1,0<3x 4 <1, 即1<x <43时,log x 3x 4 <0,∴f (x )<g (x ); ②当3x 4=1,即x =43时,log x 3x 4 =0,即f (x )=g (x ); ③当????? 0<x <1,0<3x 4<1,或????? x >1,3x 4 >1, 即0<x <1,或x >43时,log x 3x 4 >0,即f (x )>g (x ). 综上所述,当1<x <43时,f (x )<g (x ); 当x =43 时,f (x )=g (x ); 当0<x <1,或x >43 时,f (x )>g (x ). 能力提升 13.若0 A .a 1b 1+a 2b 2 B .a 1a 2+b 1b 2 C .a 1b 2+a 2b 1 D.12 答案 A 解析 方法一 特殊值法. 令a 1=14,a 2=34,b 1=14,b 2=34 , 则a 1b 1+a 2b 2=1016=58,a 1a 2+b 1b 2=616=38 , a 1b 2+a 2b 1=616=38 , ∵58>12>38 ,∴最大的数应是a 1b 1+a 2b 2. 方法二 作差法. ∵a 1+a 2=1=b 1+b 2且0 ∴a 2=1-a 1>a 1,b 2=1-b 1>b 1,