导数在函数中的应用专题复习[1]1

导数在函数中的应用专题复习

一、考情分析

根据高考通常是在知识的交汇点处命题这一特点，导数能与许多数学知识构成广泛的联系，特别是与函数、数列、平面向量、三角，因此导数的“交融性”在高考中尤为突出，导数的综合题仍将是今后高考数学命题的重点和热点．

函数与导数相结合的考查既有基础题也有综合题。基础题以考查基本概念与运算为主，主要考查函数的图象、性质及导数的相关知识；综合题一般是以三次函数、指数函数与对数函数为载体，主要考察综合应用知识的能力。基本题型：(1)利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题；(2)以函数为载体的实际应用题，通常是首先建立所求量的目标函数，再利用导数进行求解. 本文结合2011年高考题说说导数在函数中的应用。

二、主干知识整合

1、导数的几何意义：)(x f 在0x x =处导数)(0'

x f 即为)(x f 所表示曲线在0x x =处切线的斜率,即

)(0'x f k =,此时曲线在点))(,(00x f x 处的切线方程为:))(()(00'0x x x f x f y -=-.

作用:确定0x x =处切线的斜率(在已知)(x f 表达式的情况下),从而确定切线方程.

2、用导数研究函数的单调性：()y f x =在区间(,)a b 内可导，若()f x '>0，则()y f x =在(,)a b 上递增;若()f x '<0，则()y f x =在(,)a b 上递减. 注意：()f x '为正（负）是函数()f x 递增（减）充分不必要条件。如果函数f(x)在区间（a,b ）内可导且不是常函数，上述结论可以改进为：f(x)在区间（a,b ）上单调递增?()f x '≥0在（a,b ）上恒成立；f(x)在区间（a,b ）上单调递减?()f x '≤0在（a,b ）上恒成立

3、用导数研究函数的极值：0x 是函数)(x f 极值点则()0f x '=；但是()0f x '=，0x 不一定是极值点（还要求函数()f x 在0x 左右两侧的单调性相反）；若()0f x '≥ （或()0f x '≤）恒成立，则函数()f x 无极值。

4、用导数研究函数在闭区间],[b a 上的最值：一般是先确定函数()y f x =在(,)a b 上的极值，再将极值与区间端点的函数值比较以确定最值。

三、考查方向探析

考查方向一：以函数为依托的小综合题

主要考查函数、导数的基础知识和基本方法.在近年的高考命题中多以选择、填空题的形式出现，内容上日趋综合化，解题方法上日趋多样化.

例1、(2011年高考湖南卷理科8)设直线t x =与函数()()x x g x x f ln ,2

==的图像分别交于点N M ,，

则当MN 达到最小时的t 值为

A. 1

B.

2

1

C. 25

D. 22

解析：将t x =代入()()x x g x x f ln ,2

==中，得到点N M ,的坐标分别为()2

,t

t ，()t t ln ,，从而

(),0ln 2

>-=t t t MN 对其求导，可知当且仅当2

2

=

t 时取到最小。故选D 评析：本小题主要考查二次函数和对数函数的图像和性质，以及建立距离函数，用导数法求最值. 例2、（2011年山东理9）函数2sin 2

x

y x =

-的图象大致是 解析：函数2sin 2x y x =

-为奇函数，且12cos 2y x '=-，令0y '=得1

cos 4

x =，由于函数cos y x =为周期函数，而当2x π>时，2sin 02x y x =->，当2x π<-时，2sin 02

x

y x =-<，则答案应选C 。

考查方向二： 曲线的切线问题

主要考查导数的几何意义，待定系数法，推理论证与运算求解能力．题型日趋综合化。 例3、（2011年山东文4）曲线3

11y x =+在点P(1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是 （A ）-9 （B ）-3 （C ）9 （D ）15

解析：因为2

3y x '=，切点为P （1,12），所以切线的斜率伟3，故切线方程为3x-y+9=0,令x-=0，得y=9，故选C

例4、(2011年高考全国卷理科8)曲线y=2x

e -+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x 围成的三角

形的面积为

(A)

13 (B)12 (C)2

3

(D)1 解析：

2'2x y e -=- ，2k =-，切线方程为22y x -=-

2π

x

A

O

y 4 2π x

B. O

y 4 2π x

C. O

y 4

2π x

D.

O

y

4

由23222

3x y x y x y ?=?=?

??

?

=-+??=??

得 则1211.233S =??= 故选A 考查方向三：求参数范围

主要考查导数与方程、不等式、数列等的结合。是高考中函数与导数综合题的主流题型．

例5、(2011年高考安徽卷理科16)设2

()1x

e f x ax =+，其中a 为正实数

（Ⅰ）当a 4

3

=

时，求()f x 的极值点；（Ⅱ）若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围。 解析：

22

'

2222

(1)212()(1)(1)x x x e ax e ax ax ax f x e ax ax +-+-==++

（1）当a 43=时，2'2248

133()4(1)3

x x x

f x e x +-=+，由'()0f x =得24830x x -+=解得12

13,22x x == 由'()0f x >得1322x x <>或，由'()0f x <得1322x <<，当x 变化时'

()f x 与()f x 相应变化如下表：

x

1(,)2-∞ 12 13(,)22 32 3

(,)2

+∞ '()f x

+ 0 - 0 + ()f x

↗

极大值

↘

极小值

↗

所以，112x =

是函数()f x 的极大值点，23

2

x =是函数()f x 的极小值点。 （2）因为()f x 为R 上的单调函数，而a 为正实数，故()f x 为R 上的单调递增函数

'()0f x ∴≥恒成立，即2210ax ax -+≥在R 上恒成立，因此2440a a ?=-≤，结合0a >解得

01a <≤

评析：本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调性之间的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力。

例6、 (2011年高考全国新课标卷理科21)已知函数ln ()1a x b

f x x x

=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。

（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x k

f x x x

>

+-，求k 的取值范围。 分析：（1）利用导数的概念和性质求字母的值；（2）构造新函数，用导数判定单调性，通过分类讨论

确定参数的取值范围。

解：（Ⅰ）2

2)1()

ln 1

(

)(x b x x x x a x f -+-+=

' ，由题意知：?????-='=21)1(1)1(f f 即?????-=-=212

1b a b 1==∴b a

（Ⅱ）由（Ⅰ）知x

x x x f 1

1ln )(+-=

，所以， ??

????--+-=

+--x x k x x x x x x f )1)(1(ln 211

)11ln ()(22

设)0(,)1)(1(ln 2)(2>--+=x x x k x x h 则，2

22)1)(1()(x

x

x k x h ++-=' ⑴如果0≤k ，由2

2

2)1()1()(x x x k x h --+='知，当1≠x 时， 0)(<'x h ，而0)1(=h

故，由当0)(),,1(,0)()1,0(<'+∞∈>'∈x h x x h x 时当时得：

0)(-11

2

>x h x

从而，当0>x 时，,0)1ln ()(>+--x k x x x f 即x

k

x x x f +->1ln )(

⑵如果)1,0(∈k ，则当，)11

,1(k x -∈时，0)(,02)1)(1(2>'>++-x h x x k

而0)1(=h ；0)(>x h 得：0)(-11

2

与题设矛盾； ⑶如果1≥k ，那么，因为0)(>'x h 而0)1(=h ，),1(+∞∈∴x 时，由0)(>x h 得：0)(-11

2

与题设矛盾；

综合以上情况可得：(]0,∞-∈k

评析：本题综合考察导数的概念、性质、求导法则、导数的应用及分类讨论的思想 考查方向四：导数在实际问题中的应用

主要考查将实际问题转化为数学模型的能力.利用导数求最值，解决某些简单的优化问题。 例7、（2010年山东理21）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为

803

π

立方米，且2l r ≥．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为

c （3c >）千元．设该容器的建造费用为y 千元．

（Ⅰ）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； （Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r ．

解析：（Ⅰ）由题意可知2

3480()33r l r l r πππ+

=≥2，即2804

233

l r r r =-≥，则02r <≤. 容器的建造费用为22

28042346()433

y rl r c r r r c r ππππ=?+?=-+，

即2216084y r r c r

πππ=-+，定义域为{02}r r <≤.

（Ⅱ）2

160168y r rc r

πππ'=-

-+，令0y '=，得3202r c =-.令3202,2r c ==-即 4.5c =， （1）当3 4.5c <≤时，3

20

2,2

c -≥当02r <≤，0y '<，函数y 为减函数，当2r =时y 有最小值；

（2）当 4.5c >时，3

202,2c <-当32002r c <<-，0y '<；当320

2

r c >-时0y '>， 此时当3

20

2

r c =

-时y 有最小值。 例8、（2011年福建理18）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式210(6)3

a

y x x =

+--，其中3

（I ）求a 的值

（II ）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大。

解析：（I ）因为x=5时，y=11，所以1011,22

a

a +== （II ）由（I ）可知，该商品每日的销售量22

10(6)3

y x x =+--

所以商场每日销售该商品所获得的利润

222

()(3)[

10(6)]210(3)(6),363

f x x x x x x x =-+-=+--<<- 从而，2

()10[(6)2(3)(6)]30(4)(6)f x x x x x x '=-+--=--

于是，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：

x

（3，4） 4 （4，6） ()f x ' + 0 - ()f x

单调递增

极大值42

单调递减

由上表可得，x=4是函数()f x 在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点；

f x取得最大值，且最大值等于42。

所以，当x=4时，函数()

答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大。

评析：本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想。