高考数学压轴专题(易错题)备战高考《计数原理与概率统计》基础测试题含解析

高中数学《计数原理与概率统计》知识点归纳

一、选择题

1．把15个相同的小球放到三个编号为123，，的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，则共有多少种放法（ ） A ．18 B ．28

C ．38

D ．42

【答案】B 【解析】 【分析】

根据题意，先在1号盒子里放1个球，在2号盒子里放2个球，在3号盒子里放3. 个球，则原问题可以转化为将剩下的9个小球，放入3个盒子，每个盒子至少放1个的问题，由挡板法分析可得答案． 【详解】

根据题意，15个相同的小球放到三个编号为123，，的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，

先在1号盒子里放1个球，在2号盒子里放2个球，在3号盒子里放3个球， 则原问题可以转化为将剩下的9个小球，放入3个盒子，每个盒子至少放1个的问题， 将剩下的9个球排成一排，有8个空位，在8个空位中任选2个，插入挡板，有

2887

282

C ?=

=种不同的放法， 即有28个不同的符合题意的放法； 故选B ． 【点睛】

本题考查排列、组合的应用，关键是将原问题转化为将3个球放入3个盒子的问题，属于基础题．

2．甲、乙两类水果的质量（单位：kg ）分别服从正态分布()()

221122,,,N N μδμδ，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是（ ）

A ．甲类水果的平均质量10.4kg μ=

B ．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右

C ．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小

D ．乙类水果的质量服从正态分布的参数2 1.99δ= 【答案】D 【解析】

由图象可知，甲类水果的平均质量μ1=0.4kg ，乙类水果的平均质量μ2=0.8kg ，故A ，B ，C ，正确；乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2= 1.99，故D

不正确．故选D ．

3．若不等式组2302400x y x y y +-≤??

-+≥??≥?

表示的区域为Ω，不等式222210x y x y +--+≤表示的

区域为T ，则在区域Ω内任取一点，则此点落在区域T 中的概率为（ ） A ．

4

π B ．

8

π C ．

5

π D ．

10

π 【答案】D 【解析】 【分析】

作出不等式组2302400x y x y y +-≤??

-+≥??≥?

对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何概型的概率公

式即可得到结论． 【详解】

作出不等式组2302400x y x y y +-≤??

-+≥??≥?

表示的区域Ω，

不等式2

2

2210x y x y +--+≤化为()()22

111x y -+-≤

它表示的区域为T ，如图所示；

则区域Ω表示ABC V ，由240

230

x y x y -+=??--=?，解得点()12B -，； 又()20A -，，30B （，）

，∴()1

32252

ABC S =?+?=V ， 又区域T 表示圆，且圆心()11M ，在直线230x y +-=上，

在ABC V 内的面积为2

1 12

2

π

π?=

；

∴所求的概率为2510

P π

π==

，故选D ．

【点睛】

本题主要考查了几何概型的概率计算问题，利用数形结合求出对应的面积是解题的关键，属于中档题.

4．《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（

表示一根阳线，

表示一根阴线），从

八卦中任取两卦，则这两卦的六根线中恰好有4根阴线的概率为（ ）

A ．

314

B ．27

C ．

928

D ．

1928

【答案】A 【解析】 【分析】

列出所有28种情况，满足条件的有6种情况，计算得到概率. 【详解】 根据题意一共有：

乾坤、乾巽、乾震、乾坎、乾离、乾艮、乾兑；坤巽、坤震、坤坎、坤离、坤艮、坤兑； 巽震、巽坎、巽离、巽艮、巽兑；震坎、震离、震艮、震兑；坎离、坎艮、坎兑； 离艮、离兑；艮兑，28种情况.

满足条件的有：坤巽，坤离，坤兑，震坎，震艮，坎艮，共6种.

故632814p =

=. 故选：A . 【点睛】

本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.

5．已知5929

0129(1)(2)(1)(1)...(1)x x a a x a x a x ++-=+-+-++-，则7a =（ ）

A ．9

B ．36

C ．84

D ．243

【答案】B 【解析】

()()59x 1x 2++-等价变形为[()][()()]59x 12x 11-++-+-，然后利用二项式

定理将其拆开，求出含有7

(1)x -的项，便可得到7a ．

【详解】

解：55(1)[(1)2]x x +=-+展开式中不含7

(1)x -；

()[()()]99x 2x 11-=-+-展开式中含7(1)x -的系数为()72

9C 136-=

所以，7a 36=，故选B 【点睛】

本题考查二项式定理，解题的关键是要将原来因式的形式转化为目标因式的形式，然后再进行解题．

6．三位同学参加数学、物理、化学知识竞赛，若每人都选择其中两个科目，则有且仅有两人选择的科目完全相同的概率是（ ） A ．

14

B ．

13

C ．

12

D ．

23

【答案】D 【解析】 【分析】

先求出三位同学参加数学、物理、化学知识竞赛，每人都选择其中两个科目的基本事件总数，再求出有且仅有两人选择的科目完全相同所包含的基本事件个数，利用古典概型的概率计算公式即可得到答案. 【详解】

三位同学参加数学、物理、化学知识竞赛，每人都选择其中两个科目共有23

3()27C =种不

同

结果，有且仅有两人选择的科目完全相同共有221

33218C C C ??=种，故由古典概型的概率计

算公式可得所求概率为182273

=. 故选：D 【点睛】

不同考查古典概型的概率计算问题，涉及到组合的基本应用，考查学生的逻辑推理与数学运算能力，是一道中档题.

7．将三枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A =“三个点数之和等于15”，B =“至少出现一个5点”，则概率()|P A B 等于（ ） A ．

5108

B ．

113

C ．

17

D ．

710

【答案】B

【分析】

根据条件概率的计算公式即可得出答案. 【详解】

3311166617()216A P AB C C C +==Q ，111

5556111

6691

()1216

C C C P B C C C =-= ()()()72161

|2169113

P AB P A B P B ∴=

=?= 故选：B 【点睛】

本题主要考查了利用条件概率计算公式计算概率，属于中档题.

8．6件产品中有4件合格品，2件次品.为找出2件次品，每次任取一个检验，检验后不放回，则恰好在第四次检验后找出所有次品的概率为（ ） A ．

35

B ．

13

C ．

415

D ．

15

【答案】C 【解析】 【分析】

题目包含两种情况：第一种是前面三次找出一件次品，第四次找出次品，第二种情况是前面四次都是正品，则剩余的两件是次品，计算概率得到答案. 【详解】

题目包含两种情况：

第一种是前面三次找出一件次品，第四次找出次品，231461

5

C p C ==；

第二种情况是前面四次都是正品，则剩余的两件是次品，442461

15

C p C ==；

故12415

p p p =+=. 故选：C . 【点睛】

本题考查了概率的计算，忽略掉前面四次都是正品的情况是容易发生的错误.

9．在区间[1,1]-上随机取一个数k ，使直线(3)y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（ ） A ．

12

B ．

13

C

．

4

D

．

3

【答案】C

【分析】

根据直线与圆相交，可求出k 的取值范围，根据几何概型可求出相交的概率. 【详解】

因为圆心(0,0)，半径1r =，直线与圆相交，所以

1d =

≤，解得44

k -≤≤

所以相交的概率224

P ==

,故选C.

【点睛】

本题主要考查了直线与圆的位置关系，几何概型，属于中档题.

10．若52345

012345(23)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则0123452345a a a a a a +++++为

（） A ．－233 B ．10

C ．20

D ．233

【答案】A 【解析】 【分析】

对等式两边进行求导，当x ＝1时，求出a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5的值，再求出a 0的值，即可得出答案． 【详解】

对等式两边进行求导，得：

2×5（2x ﹣3）4＝a 1+2a 2x +3a 3x 2+4a 4x 3+5a 5x 4， 令x ＝1，得10＝a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5； 又a 0＝（﹣3）5＝﹣243，

∴a 0+a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5＝﹣243+10＝﹣233． 故选A ． 【点睛】

本题考查了二项式定理与导数的综合应用问题，考查了赋值法求解二项展开式的系数和的方法，利用导数得出式子a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5是解题的关键．

11．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( ) A ．12种 B ．18种

C ．24种

D ．36种

【答案】D 【解析】

4项工作分成3组,可得：2

4

C

=6， 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，

可得：3

6363

A ?=种．

故选D.

12．已知离散型随机变量X 服从二项分布~(,)X B n p ，且()4E X =，()D X q =，则

11

p q

+的最小值为（ ） A ．2 B ．

52

C ．

94

D ．4

【答案】C 【解析】 【分析】

根据二项分布()~X B n p ，的性质可得()E X ，()D X ，化简即44p q +=，结合基本不等式即可得到11

p q

+的最小值. 【详解】

离散型随机变量X 服从二项分布()X B n p :，， 所以有()4E X np ==，

()()1D X q np p ==-（，

所以44p q +=，即14

q

p +=，（0p >，0q >） 所以

11114q p p q p q ????+=++= ??????? 559

214444

4q p q p p q p q ??++≥?=+= ???， 当且仅当4

23

q p ==时取得等号．

故选C ． 【点睛】

本题主要考查了二项分布的期望与方差，考查了基本不等式，属于中档题．

13．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A ．

112

B ．

114

C ．

115

D ．

118

【答案】C 【解析】

分析：先确定不超过30的素数，再确定两个不同的数的和等于30的取法，最后根据古典概型概率公式求概率.

详解：不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两

个不同的数，共有2

1045C =种方法，因为7+23=11+19=13+17=30，所以随机选取两个不

同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为

31

=4515

，选C. 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法： (1)列举法. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法. (3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.

14．河图是上古时代神话传说中伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案，与自己的观察，画出的“八卦”，而龙马身上的图案就叫做“河图”．把一到十分成五组，如图，其口诀：一六共宗，为水居北；二七同道，为火居南；三八为朋，为木居东；四九为友，为金居西；五十同途，为土居中．“河图”将一到十分成五行属性分别为金，木，水，火，土的五组，在五行的五种属性中，五行相克的规律为：金克木，木克土，土克水，水克火，火克金；五行相生的规律为：木生火，火生土，土生金，金生水，水生木．现从这十个数中随机抽取3个数，则这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字的概率为（ ）

A ．

110

B ．

15

C ．

25

D ．

12

【答案】C 【解析】 【分析】

从这十个数中随机抽取3个数，这3个数字的属性互不相克，包含的基本事件个数

11221

52222()20n C C C C C =+=，这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字

包含的基本事件个数为：11221

22222()8,m C C C C C =+=，由此能求出这3个数字的属性互不

相克的条件下，取到属性为土的数字的概率． 【详解】

由题意得数字4，9属性为金，3，8属性为木，1，6属性为水， 2，7属性为火，5，10属性为土，

从这十个数中随机抽取3个数，这3个数字的属性互不相克，

包含的基本事件个数11221

52222()20n C C C C C =+=，

这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字包含的基本事件个数为：

11221

22222()8,m C C C C C =+=，

∴这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字的概率82

205

m p n ===． 故选：C ． 【点睛】

此题考查古典概型，关键在于根据计数原理准确求解基本事件总数和某一事件包含的基本事件个数.

15．设01p <<，随机变量ξ的分布列是

则当p 在(0,1)内增大时，“()E ξ减小”是“()D ξ增加”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件

【答案】D 【解析】 【分析】

首先求()E ξ和()D ξ，然后换元()t E ξ=，

()2

21331321

222228

D t t t ξ??=-++=--+ ???，利用函数的单调性，判断充分必要条件.

【详解】

由题意可知：()()2

21210p p p p -+-+= ， 且()2

011p <-<，()0211p p <-<，2

01p <<

解得：01p <<，

()()()2

211121341E p p p p p ξ=-?-+?-+?=-，

()()()()()()2

2

2

2

2

141114121341D p p p p p p p ξ=----+--?-+--?????????????

288p p =-+，

设()411,3E p t ξ=-=∈-，

2

21113884422t t D t t ξ++??=-?+?=-++ ?

?? ()2

1122

t =-

-+， 当()1,1t ∈-时，D ξ增大，当()1,2t ∈时，D ξ减小， 所以当E ξ减小时，不能推出D ξ增加； 设()2

880,2D p p t ξ=-+=∈，

2

1822p t ?

?--+= ???，

2

1228t p -??-= ???

，

当102p <<

时，12p =，此时1412

E ξ?=- ?，当D t ξ=增加时，E ξ也增加，

当

112p ≤<时，12p =+1412

E ξ?=+- ?，当D t ξ=增加时，E ξ减小，

所以当D ξ增加，不能推出E ξ减小.

综上可知：“E ξ减小”是“D ξ增加”的既不充分也不必要条件. 故选：D 【点睛】

本题考查充分必要条件，离散型随机变量的期望和方程，重点考查换元，二次函数的单调性，属于中档题型.

16．现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为 A ．

1

2

B ．

13

C ．

16

D ．

112

【答案】B 【解析】 【分析】

求得基本事件的总数为222

422226C C n A A =?=，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为222

2222m C C A ==,利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.

由题意，现有甲乙丙丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，

基本事件的总数为222

42222

6C C n A A =?=， 其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为222

2222m C C A ==,

所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为1

3

m p n ==，故选B. 【点睛】

本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理应用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

17．二项式5

1(2)x x

-的展开式中含3x 项的系数是 A ．80 B ．48 C ．?40 D ．?80

【答案】D 【解析】

5

12x x ??- ???展开式的通项公式为：()()55521551C 212C r

r r r r r

r r T x x x ---+??=-=- ???

n n n n ， 令523r -=，1r =，所求系数为14

5C 280-=-n ，故选D .

18．某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单位：厘米），左图为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展所对

应的散点图，并求得其回归方程为 1.160.5?37y

x =-，以下结论中不正确的为（ ）

A ．15名志愿者身高的极差小于臂展的极差

B ．15名志愿者身高和臂展成正相关关系，

C ．可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米

D ．身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米， 【答案】D

【分析】

根据散点图和回归方程的表达式，得到两个变量的关系，A根据散点图可求得两个量的极差，进而得到结果；B，根据回归方程可判断正相关；C将190代入回归方程可得到的是估计值，不是准确值，故不正确；D，根据回归方程x的系数可得到增量为11.6厘米，但是回归方程上的点并不都是准确的样本点，故不正确.

【详解】

A，身高极差大约为25，臂展极差大于等于30，故正确；

B，很明显根据散点图像以及回归直线得到，身高矮臂展就会短一些，身高高一些，臂展就长一些，故正确；

C，身高为190厘米，代入回归方程可得到臂展估计值等于189.65厘米，但是不是准确值，故正确；

D，身高相差10厘米的两人臂展的估计值相差11.6厘米，但并不是准确值，回归方程上的点并不都是准确的样本点,故说法不正确.

故答案为D.

【点睛】

本题考查回归分析，考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x与Y之间的关系，这条直线过样本中心点．线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的, 线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值.

19．某人连续投篮6次，其中3次命中，3次未命中，则他第1次、第2次两次均未命中的概率是（）

A．1

2

B．

3

10

C．

1

4

D．

1

5

【答案】D

【解析】

【分析】

先求出基本事件总数，再求出第1次、第2次两次均未命中包含的基本事件个数，计算即可求出第1次、第2次两次均未命中的概率．

【详解】

由题可得基本事件总数33

6320

n C C

==，

第1次、第2次两次均未命中包含的基本事件个数213

2434

m C C C

==

所以他第1次、第2次两次均未命中的概率是

41

205

m

P

n

===

故选D.

【点睛】

本题考查计数原理及排列组合的应用，解题的关键是正确求出基本事件个数．

20．某校组织由5名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲和乙都不是第一个出场，甲不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为（）

A．1

3

B．

1

4

C．

1

5

D．

1

2

【答案】A

【解析】

【分析】

根据条件概率的公式与排列组合的方法求解即可.【详解】

由题意得学生甲和乙都不是第一个出场,甲不是最后一个出场的概率

113

333

15

5

C C A9

A20

P==,其

中学生丙第一个出场的概率

13

33

25

5

C A3

A20

P==,所以所求概率为2

1

1

3

P

P

P

==.

故选：A

【点睛】

本题主要考查了根据排列组合的方法求解条件概率的问题,属于中等题型.